高考数学第一轮复习单元试卷14-直线与平面及简单几何体
届高三一轮测试理直线平面简单几何体
直线、平面、简单几何体(A 、B )—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．平面α外的一条直线a 与平面α内的一条直线b 不平行，则( )A ．a ∥\αB ．a ∥αC ．a 与b 一定是异面直线D ．α内可能有无数条直线与a 平行2．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )A.πa 23B.πa 22 C ．2πa 2 D ．3πa 23．若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为63，且底面边长为2，则高为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知直线m ⊥平面α，直线n ?平面β，则下列命题正确的是 A ．若α∥β，则m ⊥n B ．若α⊥β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，则α∥β D ．若n ∥α，则α∥β 5．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A.22B.12C.34 D.34 6．设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体． 以上命题中，真命题的个数有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形8．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A.63B.33C.23D.139．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12B.22C.32D.2410．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ?α，n ?α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ?α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ?α，则m ∥α11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC、MN都不垂直12．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在() A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部线上)13．若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为________．14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．15．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．16．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A ＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC 的中点．(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：EF∥平面PAD.18．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面P AB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心．20．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，P A与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB ＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线P A与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.21．(本小题满分12分)已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA ⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；22．(本小题满分12分)如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．(1)若BMMA＝BNNC，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN；(2)若D1P：PD＝1∶2，且PB⊥平面B1MN，求二面角M－B1N－B的余弦值；(3)棱DD1上是否总存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．答案：一、选择题1．D2．B设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知43R2＝16a2，即R2＝18a2，∴S球＝4πR2＝4π·18a2＝πa22.故选B.3．B设高为h，则由22h2＋8＝63可得h＝2，也可建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．4．A易知A选项由m⊥α，α∥β?m⊥β，n?β?m⊥n，故A选项命题正确．5．D设正方形边长为1，由题意易知∠CBC1即为AD与BC1所成的角．设AC 与BD 相交于O ，易知△CC 1O 为正三角形，故CC 1＝22，在△CBC 1中，由余弦定理可得所求余弦值为34.故选D.6．B 命题甲正确，命题乙不正确，命题丙不正确，故真命题个数为1，应选B7．C 将直观图还原得?OABC ， ∵O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm ， OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm ， C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm ， ∴CD ＝2 cm ， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋(42)2＝6 cm ，OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ， 故原图形为菱形．8．B 以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)， 侧面OAB 的法向量为O ＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)，∴cos 〈O ，n 〉＝＝131·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝33. 9．D 过O 作A 1B 1的平行线，交B 1C 1于E ，则O 到平面ABC 1D 1的距离即为E 到平面ABC1D 1的距离． 作EF ⊥BC 1于F ，易证EF ⊥平面ABC 1D 1， 可求得EF ＝14B 1C ＝24.选D.10．D A 错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B 错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C 错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D 对，由空间想象易知命题正确．11．A 以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D (0,0,0)、D 1(0,0,2a )、M (0,0，a )、A (2a,0,0)、C (0,2a,0)、O (a ，a,0)、N (0，a,2a )．∴O ＝(－a ，－a ，a )，M ＝(0，a ，a )，A ＝(－2a,2a,0)． ∴O ·A ＝0，M ·O ＝0， ∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN .12．A ∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB . 故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 的射影H 必在交线AB 上．二．、填空题 13．【解析】 过底面中心O 作侧棱的平行线交一侧面于H ， 则OH ＝13×22a ＝26a 为所求．【答案】 26a14．【解析】 取CC 1的中点F ，则ME ＝MF ， ∴AM ＋ME ＝AM ＋MF ≥AF ＝(2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a .【答案】32a 15．【解析】 由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故 ②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ?α，b ?β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故 ④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 【答案】 ①16．【解析】 由P A ⊥平面ABC ，AE ?平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB?平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD?平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．【答案】①④三、解答题17．【证明】(1)∵P A⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD.(2)取CD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PAD.18．【解析】(1)证明：由题知BC⊥BD，又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD，∴面ABC ⊥面ABD.(2)作DE⊥AB于E，由(1)知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，连DF，则DF⊥AC，∴∠DFE为二面角D－AC－B的平面角．即∠DFE＝45°.EF＝DE＝22DF，∵DF＝aa2＋1，AF＝a2a2＋1且EFAF＝BCAB，解得a2＝22，a＝482.19．【解析】(1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵P A⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴P A⊥CM.∵AB∩P A＝A，AB?平面P AB，P A?平面P AB，∴CM⊥平面P AB.∵CM?平面PCM，∴平面P AB⊥平面PCM.(2)证明：由(1)知CM⊥平面P AB.∵PM?平面PAB，∴CM⊥PM.∵P A⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴P A⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△P AC中，点N为斜边PC的中点，∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，∴MN＝PN＝NC.∴PN＝NC＝AN＝MN.∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．20．【解析】(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz.∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，由PD⊥平面ABCD，得∠P AD为P A与平面ABCD所成的角，∴∠P AD＝60°.在Rt△P AD中，由AD＝2，得PD＝23，∴P(0,0,23)．(2)∵＝(2,0，－23)，＝(－2，－3,0)，∴cos<，>＝＝－13 13，所以P A与BC所成角的余弦值为13 13(3)证明：∵M为PB的中点，∴点M的坐标为(1,2，3)，∴＝(－1,2，3)，＝(1,1，3)，＝(2,4，－23)，∵·＝(－1)×2＋2×4＋3×(－23)＝0，·＝1×2＋1×4＋3×(－23)＝0，∴⊥，⊥，∴PB⊥平面AMC∵PB?平面PBC∴平面AMC ⊥平面PBC .21．【解析】 (1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， ∴SA ⊥BD .∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面SAC . ∵BD ?平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝F ，连SF ，则SF ⊥BD . ∵AB ＝2.∴BD ＝2 2. ∵SF ＝SA 2＋AF 2＝42＋(2)2＝3 2∴S △SBD ＝12BD ·SF＝12·22·32＝6. 设点A 到平面SBD 的距离为h ， ∵SA ⊥平面ABCD ， ∴13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD·SA ， ∴6·h ＝12·2·2·4，∴h ＝43，∴点A 到平面SBD 的距离为43.22．【解析】 (1)证明：连结AC 、BD ，则BD ⊥AC ， ∵BM MA ＝BN NC， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN . 又∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ?平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵＝(0,1－t,1)， B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，23又∵BP ⊥平面MNB 1， ∴·B ＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13，∴＝(0，23，1)，M ＝(－23，23，0)．设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由，得x ＝y ，z ＝－23y .令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A 是平面BB 1N 的一个法向量，A ＝(0,1,0)． 设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A 〉＝|(3，3，－2)·(0，1，0)|22＝32222.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222. (3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连PE ，则PE∥BD，∴PE⊥平面ACC1.∵PE?平面APC1，∴平面APC1⊥平面ACC1.。
2007-度成都市高三数学第一轮复习训练题(直线、平面、简单几何体)
2007－2008学年度成都市高三第一轮复习训练题数学（直线、平面、简单几何体）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为A ．030 B ．060 C ．090 D ．01202．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果GH 、EF 交于一点P ，则 A ．P 一定在直线BD 上 B ．P 一定在直线AC 上C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．.已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．.2D ．35．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6．在北纬45°圈上有A 、B 两地，A 地在东经120°，B 地在西经150°，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离为A ．R π35B ．R π21C ．R π42 D ．R π317．对于直线m 、n 和平面a ，下面命题 中的真命题是 A ．如果,a m ⊂n ∥a ，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,a m ⊂n 与a 相交，那么n m 、是面直线C ．如果n m a n a m 、,,⊄⊂是异面直线，那么n ∥aD ．如果m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面，那么m ∥n8．PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是A ．12BCD9．设直线m n 、和平面αβ、，则下列命题中正确．．的是 A ．若//m n m n αβ⊂⊂，，，则//αβ B ．若//m n m n αβ⊂⊥，，，则αβ⊥ C ．若m m n n αβ⊥⊥⊂，，，则//αβ D ．若//m n m n αβ⊥⊥，，，则αβ⊥ 10．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 A ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 D ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC 11．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 A ．若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B ．若m αα∥,n ∥,则m ∥nC ．若,m n αα⊂∥,则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n12．如图所示，b 、c 在平面α内，a ∩c=B ，b ∩c=A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上（C ，D ，E 均异于A ，B ），则△CDE 是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
高考数学第一轮复习 直线、平面、简单几何体训练题(1).
GMD 1C 1B 1A 1NDCBA高考数学第一轮复习直线、平面、简单几何体训练题(1一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 正四棱柱1111D C B A ABCD -中,AB AA 21=,则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为A .51 B .52 C .53 D .542在空间四边形ABCD 中,AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点,如果GH 、EF 交于一点P ,则A .P 一定在直线BD 上B .P 一定在直线AC 上C .P 在直线AC 或BD 上 D .P 既不在直线BD 上,也不在AC 上3.平面α外有两条直线m 和n ,如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ,给出下列四个命题:①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ; ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ;③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合; ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合; 其中正确的命题个数是A .0B . 1C . 2D . 3 4.平面α∥平面β的一个充分条件是(A .存在一条直线a a ααβ,∥,∥B .存在一条直线a a a αβ⊂,,∥C .存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂,,,,∥,∥D .存在两条异面直线a b a a b αβα⊂,,,∥,∥5.若a 、b 为空间两条不同的直线,α、β为空间两个不同的平面,则a α⊥的一个充分条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A .//a β且αβ⊥ B .a β⊂且αβ⊥ C .a b ⊥且//b αD .a β⊥且//αβ6.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、G 分别是A 1A ,D 1C ,AD 的中点.则求MN 与平面1B BG 所成的角为A .2π B .3π C .4π D .6π 7.对于直线m 、n 和平面a ,下面命题中的真命题是 A .如果,a m ⊂n ∥a ,nm 、共面,那么m ∥n B .如果,a m ⊂n 与a 相交,那么n m 、是面直线 C .如果n m a n a m 、,,⊄⊂是异面直线,那么n ∥a D .如果m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面,那么m ∥n8.PA 、PB 、PC 是从点P 所成角的余弦值是A .12B C9.设直线m n 、和平面αβ、,则下列命题中正确..的是 A .若//m n m n αβ⊂⊂,,,则//αβ B .若//m n m ,C .若m m n n αβ⊥⊥⊂,,,则//αβ D .若//m n m ,10.如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H .则以下命题中,错误..的命题是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A .直线AH 和BB 1所成角为45° B .AH 垂直平面CB 1D 1 C .点H 是△A 1BD 的垂心 D .AH 的延长线经过点C 111.对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 A .若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B .若m αα∥,n ∥,则m ∥nC .若,m n αα⊂∥,则m ∥nD .若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n 12.如图所示,b 、c 在平面α内,a∩c=B ,b ∩c=A ,且a ⊥b ,a ⊥c ,b ⊥c ,若C ∈a ,D ∈b ,E 在线段AB 上(C ,D ,E 均异于A ,B ,则△CDE 是 A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形A. 1B. 2C. 3D. 4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上。
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-空间直线、平面的平行(含解析)
一、单项选择题1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是()A ．平行于同一平面的两个平面一定平行B ．平行于同一直线的两条直线一定平行C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行2.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E ，F 分别为BD ，PD 上的点，若EF ∥平面PBC ，则()A ．EF ∥PAB ．EF ∥PBC ．EF ∥PCD ．以上均有可能3．过四棱锥P －ABCD 任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD 平行的直线有()A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PF FC 等于()A.23B.14C.13D.125．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面分别交底面△ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则()A ．MF ∥EBB ．A 1B 1∥NEC ．四边形MNEF 为平行四边形D ．四边形MNEF 为梯形6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是()A.1，52B.324，52C.52，2D ．[2，3]二、多项选择题7．(2023·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，D ，E ，F 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面DEF 平行的是()8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是()A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值三、填空题9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________．12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF 为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________．①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.四、解答题13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.(1)求证：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积．14．(2023·宁波模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．(1)求证：GH∥BF；(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．15．(多选)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有()A．B，E，C，F四点不共面B．存在点F，使得CF∥平面BAEC．三棱锥B－ADC的体积为定值D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，(1)若EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为______________；(2)若AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为______________．§7.4平行关系1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [如图，取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上．因为A 1M ＝A 1N ＝52，MN ＝22，所以当点P 位于M ，N 点时，A 1P 最大，当点P 位于MN 的中点O 时，A 1P 最小，此时A 1O＝324，所以324≤|A 1P |≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是324，52.]7．AC [对于A ，AB ∥DE ，AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故A 正确；图1对于B ，如图1，作平面DEF 交正方体的棱于点G ，连接FG 并延长，交AB 的延长线于点H ，则AB 与平面DEF 相交于点H ，故B 错误；对于C ，AB ∥DF ，AB ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故C 正确；图2对于D ，如图2，连接AC ，取AC 的中点O ，连接OD ，又D 为BC 的中点，∴AB ∥OD ，∵OD 与平面DEF 相交，∴直线AB 与平面DEF 相交，故D 错误．]8．ACD [由题图，显然A 正确，B 错误；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即12 BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝2VBC(定值)，故D正确．]9.5210.矩形11．A，B，C1(答案不唯一)12．①③解析对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF的中点G，连接EG，CG，∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝12BC，EG∥BC，∴四边形BCGE为梯形，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC的中点，∴OE∥CD，∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确．13．(1)证明设AF＝tAC，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →，因为BF ⊥AO ，所以BF →·AO →＝[(1－t )BA →＋tBC →BA →＋12BC ＝(t －1)BA →2＋12tBC →2＝4(t －1)＋4t ＝0，解得t ＝12，则F 为AC 的中点，又D ，E ，O 分别为PB ，PA ，BC 的中点，于是EF ∥PC ，DO ∥PC ，所以EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(2)解如图，连接DE ，OF ，过P 作PM 垂直于OF ，交FO 的延长线于点M ，因为PB ＝PC ，O 是BC 中点，所以PO ⊥BC ，在Rt △PBO 中，PB ＝6，BO ＝12BC ＝2，所以PO ＝PB 2－OB 2＝6－2＝2，因为AB ⊥BC ，OF ∥AB ，所以OF ⊥BC ，又PO ∩OF ＝O ，PO ，OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC ⊥PM ，又BC ∩FM ＝O ，BC ，FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥P －ABC 的高为PM ，因为∠POF ＝120°，所以∠POM ＝60°，所以PM ＝PO sin 60°＝2×32＝3，又S △ABC ＝12AB ·BC＝12×2×22＝22，所以V 三棱锥P －ABC ＝13S △ABC ·PM ＝13×22×3＝263.14．(1)证明连接BD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，由题意可得，G 是线段BD 的中点，则G ，H 分别是线段BD ，DF 的中点，故GH ∥BF .(2)解存在，P 是线段CD 的中点，理由如下：由(1)可知，GH ∥BF ，GH ⊂平面GHP ，BF ⊄平面GHP ，∴BF ∥平面GHP ，连接PG ，PH ，∵P ，H 分别是线段CD ，DF 的中点，则HP ∥CF ，HP ⊂平面GHP ，CF ⊄平面GHP ，∴CF ∥平面GHP ，BF ∩CF ＝F ，BF ，CF ⊂平面BCF ，故平面GHP ∥平面BCF .15．AB [对于A ，因为点B 在平面AECD 外，点D 在平面AECD 内，直线EC 在平面AECD 内，直线EC 不过点D ，所以直线BD 与EC 是异面直线，即直线BF 与EC 是异面直线，所以B ，E ，C ，F 四点不共面，故A 正确；对于B ，如图，当点F 为线段BD 的中点，EC ＝12AD 时，直线CF ∥平面BAE ，证明如下：取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，则EC ∥FG 且EC ＝FG ，所以四边形ECFG 为平行四边形，所以FC ∥EG ，又因为EG ⊂平面BAE ，则直线CF 与平面BAE 平行，故B 正确；对于C ，在三棱锥B －ADC 中，因为点E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离发生变化，所以三棱锥B －ADC 的体积不是定值，故C 不正确；对于D ，过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ∩平面AECD ＝AE ，所以DH ⊥平面BAE ，所以DH ⊥BE ，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，且DC ⊂平面AECD ，DH ∩DC ＝D ，所以BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE ，与△ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 不正确．]16．23π3解析如图，分别取BC ，B 1C 1的中点F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则四边形BFGB 1为平行四边形，所以BB 1∥FG ，因为E 为CD 的中点，所以EF ∥BD ，因为EF ，FG ⊄平面BDD 1B 1，BD ，BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以EF ∥平面BDD 1B 1，FG ∥平面BDD 1B 1，因为EF ∩FG ＝F ，所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1，(1)因为平面EFG ∩平面BCC 1B 1＝FG ，且点P 在四边形BCC 1B 1内部及其边界上运动，EP ∥平面BDD 1B 1，所以点P 的轨迹是FG ，因为FG ＝BB 1＝2，所以动点P 的轨迹长度为2.(2)因为AB ⊥平面BCC 1B 1，BP ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥BP ，在Rt △ABP 中，AB ＝2，∠BAP ＝30°，则tan ∠BAP ＝BP AB ＝33，所以BP ＝33AB ＝233，所以点P 的轨迹是以B 为圆心，233为半径的一段弧，且圆心角为π2，所以动点P 的轨迹长度为π2×233＝3π3.。
高三数学单元《直线、平面及简单几何体》
高三数学单元《直线、平面及简单几何》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知平面α与平面β相交，直线α⊥m ，则（ ）A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直 2．已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，给出下列命题①α∥m l ⊥=β； ②l ⇒⊥βα∥m ③l ∥βα⊥⇒m ④α⇒⊥m l ∥β 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则cos ∠CAD=（ ） A ．21-B ．41 C ．167-D ．05．已知l m ,是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面α，过m 且与l 平行；② 必存在平面β，过m 且与l 垂直；③ 必存在平面γ，与l m ,都垂直；④ 必存在平面ω，与l m ,的距离相等.其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．正多面体的每个面都是正n 边形，顶点数是V ，棱数是E ，面数是F ，每个顶点连的棱数是m ，则它们之间不正确．．．的关系是 （ ） A ．mF=2E B ．mV=2E C ．nF=2E D ．V+F=E+28．在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是对角线 A 1C 上的点，若PQ=2a，则三棱锥P-BDQ 的体积为 （ ）A ．3633aB ．3183aC ．2433aD ．不确定9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点 P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ ）10．四面体的棱长中，有两条为32及，其余全为1时，它的体积（ ）A ．122 B ．123 C ．121 D ．以上全不正确11．已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是 （ ）A ．6，8B ．8，6C ．8，10D ．10，812．如图一，在△ABC 中，AB ⊥AC 、AD ⊥BC ，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2（射影定理）。
高考数学第一轮复习 直线、平面与简单几何体检测题(B)
如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC，侧棱A1A在底面上的射影恰为底面的边AB，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90O，若A1A=2,AB= ,以C为坐标原点，射线CB、CA分别为x轴、y轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
（1）求 （2）作CD⊥A1A交A1A于D，求D的坐标；（3）求二面角B1-A1A-C的大小（用反余弦表示）.(（1，-1， ），（1，0，0），600； ).
解：连结BG，则BG是BE在平面ABD的射影，即
∠EBG是A1B与平面ABD所成角.如图建立坐标系C-xyz，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），G（ ）.
∴ ， ，∴ ，解之得：a=1，∴ .又 为平面ABD的一法向量，∴ ，∴A1B与平面ABD所成角是arcsin .
用法向量求两异面直线的距离.
正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长 ，求异面直线BD和SC之间的距离.
解：取SA的中点M，连MO，则MO∥SC，连MD，MB，则SC∥面MBD.设面MBD的法向量为 ，易得 ，所以
解：（1）∵ .
(2)设 则
，又
或 .(3)∵A1A在底面上的射影恰好是底面的边AB， .取 的中点H， ，∴ 与 所成的角即为所求.设二面角为 ，则
用法向量求斜线与平面所成的角.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90º.棱AA1=2，D、E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
又所求二面角为锐角，∴二面角A—A1D—Q的大小为 ．
10A- 1 数学 高考 高三一轮总复习 直线平面简单几何题 ppt
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确定一个 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点， 平面 确定一个平面 推论2：经过两条相交直线， 确定一个平面 推论3：经过两条平行直线，
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《高考调研》 高考总复习
第十章
直线、平面、简单几何体（A）
1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这 三个平面把空间分成( A．5部分 ) B．6部分
《高考调研》 高考总复习
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第十章
直线、平面、简单几何体（A）
【解析】
由公理3知，不共线的三点才能确定一个平
面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共 线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条
直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，
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若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平 行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可 能是空间四边形，如图(1)所示．
2．已知A、B、C、D四点不共面，线段AB、BC、CD、
DA的中点依次为E、F、G、H，那么EG和FH的位置关系是
( ) A．相交 C．不共面 答案 A B．平行 D．不确定
解析 ∵EH∥BD∥FG，∴E、F、G、H四点共面
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∴EG与FH相交，选A.
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《高考调研》 高考总复习
第十章
大 纲 版 数 学
→ → 所以，GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)． → → 于是GH＝BC. 又点 G 不在直线 BC 上， 所以四边形 BCHG 是平行四边形．
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第十章
直线、平面、简单几何体（A）
(Ⅱ)C、D、F、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F(0,0,2c)，所以 → → → → EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH， 又 C∉EF，H∈FD，故 C、D、E、F 四点共面．
2020高三第一轮复习训练题数学(15)(直线平面简单几何体1)
2020高三第一轮复习训练题数学（15）（直线平面简单几何体1）数学〔十五〕〔直线、平面、简单几何体1〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，那么,m n 所成的角为 A ．030 B ．060 C ．090 D ．01202．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分不取E 、F 、G 、H 四点，假如GH 、EF 交于一点P ，那么A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分不为SC 、AB 中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．.直线m 、n 与平面α、β,给出以下三个命题： ①假设m ∥α，n ∥α,那么m ∥n ;②假设m ∥α,n ⊥α,那么n ⊥m ;③假设m ⊥α,m ∥β,那么α⊥β.其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．.2D ．35．假设a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，那么a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6．在北纬45°圈上有A 、B 两地，A 地在东经120°，B 地在西经150°，设地球半径为R ，那么A 、B 两地的球面距离为A ．R π35B ．R π21C ．R π42 D ．R π317．关于直线m 、n 和平面a ，下面命题 中的真命题是 A ．假如,a m ⊂n ∥a ，n m 、共面，那么m ∥nB ．假如,a m ⊂n 与a 相交，那么n m 、是面直线C ．假如n m a n a m 、,,⊄⊂是异面直线，那么n ∥aD ．假如m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面，那么m ∥n8．P A 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，那么直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是A ．12B ．6 C ．3 D ．3 9．设直线m n 、和平面αβ、，那么以下命题中正确的选项是．．．．．． A ．假设//m n m n αβ⊂⊂，，，那么//αβ B ．假设//m n m n αβ⊂⊥，，，那么αβ⊥ C ．假设m m n n αβ⊥⊥⊂，，，那么//αβ D ．假设//m n m n αβ⊥⊥，，，那么αβ⊥ 10．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是．．．．．．． A ．假设AB=AC ，DB=DC ，那么AD=BC B ．假设AC 与BD 是异面直线，那么AD 与BC 是异面直线C ．假设AC 与BD 共面，那么AD 与BC 共面 D ．假设AB=AC ，DB=DC ，那么AD ⊥BC 11．关于平面α和共面的直线m 、,n 以下命题中真命题是 A ．假设,,m m n α⊥⊥那么n α∥ B ．假设m αα∥,n ∥,那么m ∥nC ．假设,m n αα⊂∥,那么m ∥nD ．假设m 、n 与α所成的角相等，那么m ∥n12．如下图，b 、c 在平面α内，a ∩c=B ，b ∩c=A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，假设C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上〔C ，D ，E 均异于A ，B 〕，那么△CDE 是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形A. 1B. 2C. 3D. 4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本大题共4小题；每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
高考数学第一轮复习单元试卷14直线与平面及简单几何体高考数学第一轮复习单元测
第十四单元直线与平面及简单几何体(1)有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直．其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3(2)以下命题中正确的个数是( )①四边相等的四边形是菱形;②假设四边形有两个对角都是直角, 那么这个四边形是圆内接四边形;③“平面不经过直线〞的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内〞;④假设两平面有一条公一共直线, 那么这两平面的所有公一共点都在这条公一共直线上.A．1个B．2个C．3个 D ． 4个(3) 直线n m l 、、及平面α，以下命题中的假命题是( )A ．假设//l m ，//m n ，那么//l n .B ．假设l α⊥，//n α，那么l n ⊥.C ．假设l m ⊥，//m n ，那么l n ⊥.D ．假设//l α，//n α，那么//l n .(4) 木星的体积约是地球体积的30240倍，那么它的外表积约是地球外表积的 ( )A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍(5) a 、b 、c 是直线，β是平面，给出以下命题： ①假设c a c b b a //,,则⊥⊥；②假设c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③假设b a b a //,,//则ββ⊂；④假设a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交； ⑤假设a 与b 异面，那么至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是(A ．1B ．2C ．3D ．4(6) 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是(A ．BC//平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC(7) 如图, 四边形ABCD 中, AD ∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 将△ADB 沿BD 折起, 使平面ABD ⊥平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 那么在三棱锥A-BCD中,以下命题正确的选项是( )A ． 平面ABD ⊥平面ABCB ． 平面ADC ⊥平面BDCC ． 平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC(8) 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，那么E 到平面ABC 1D 1的间隔为( )A ．23 B ．22C ．21A BCDAB CDD ． 33〔第8题图 〕 〔第9题图 〕 〔第10题图 〕(9)如图正四面体D-ABC 中, P ∈面DBA, 那么在平面DAB 内过点P 与直线BC成60°角的直线一共有( )A ．条B ． 1条C ．2条D ． 3条(10) 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，那么该多面体的体积为 ( )ABCDP ·A ．32 B ．33 C ．34 D ．23(11) 一个与球心间隔 为1的平面截球所得的圆面面积为π，那么球的外表积为 .(12)直线m 、n 和平面α、β满足: α∥β, m ⊥α, m ⊥n, 那么n 与β之间的位置关系 是__________(13) 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．(14) 平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.〔i 〕当满足条件 时，有β//m ；〔ii 〕当满足条件时，有β⊥m . 〔填所选条件的序号〕(15) 如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点.求：〔Ⅰ〕SMAM的值； 〔Ⅱ〕二面角S —BC —A 的大小； 〔Ⅲ〕正三棱锥S —ABC 的体积(16) 正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60.〔1〕证明：BC PA ⊥；〔2〕求底面中心O到侧面的间隔.(17) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.〔Ⅰ〕求证AC⊥BC1；〔Ⅱ〕求证AC1//平面CDB1；〔Ⅲ〕求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.(18)在斜三棱柱A1B1C1-ABC中, 底面是等腰三角形, AB=AC, 侧面BB1C1C⊥底面ABC.(Ⅰ)假设D是BC的中点, 求证:AD⊥CC1;(Ⅱ)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M, 假设AM=MA1, 求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C; (Ⅲ) AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗? 请你表达判断理由.AB CDA1B1C1M参考答案一选择题:1.C[解析]：②③正确2.B[解析]：①②错误，因为这个四边形可能是空间四边形；③④正确；3.D[解析]：反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行。
高考数学一轮复习 第9章A直线、平面、简单几何体自测题 试题
卜人入州八九几市潮王学校第九章(A)直线、平面、简单几何体名师检测题时间是：120分钟分值：150分第一卷(选择题一共60分)一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．)1．过空间一点与平面垂直的直线有()A．0条B．1条C．0条或者1条D．无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与平面垂直的直线只有1条，应选B.答案：B2．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么“α⊥β〞是“m⊥β〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的断定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴充分性不成立．答案：B3．设直线m与平面α相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：因为只有过m及m在平面α内的射影的平面是过m且垂直于平面α的平面，因此B正确，选择B.答案：B4．三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β)A．当m⊥α，n⊥β时，假设m∥n，那么α∥βB．当b⊂α时，假设b⊥β，那么α⊥βC．当α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，假设n⊥m，那么n⊥αD．当m⊂α，且n⊄α时，假设n∥α，那么m∥nm与n显然可以异面．应选D.答案：D5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，那么异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取CD的中点N，连结NB、ND1，那么易知NB∥DM，∴∠NBD1(或者其补角)就是异面直线DM与D1B所成的角．不妨设正方体的棱长为1，那么D1N＝NB＝＝.又D1B＝，故在△NBD1中，cos∠NBD1＝＝.应选B.答案：B6．假设对于空间任意n(n≥2)条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n() A．最大值为3 B．最大值为4C．最大值为5 D．不存在最大值解析：假设n＝4，显然此时对于空间的任意四条直线不都存在这样的平面α，因此结合各选项知B、C不正确；对于空间任意3条直线，总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，选A.答案：A7.如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC)A．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的间隔为B．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的间隔为C．BE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角大于30°D．BE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角小于30°解析：取PD的中点F，连结EF，AF，那么有EF∥CD，且EF＝CD，又AB∥CD，AB＝CD，因此有EF∥AB，EF＝AB，四边形ABEF为梯形，直线BE与AF必相交，直线BE与平面PAD不平行．注意到BE与BC的夹角为30°，因此直线BE与AD的夹角为30°，由最小角原理可知，直线BE与平面PAD所成的角小于30°，选D.答案：D8．三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱锥外接球的外表积为S＝9π，那么实数a的值是()A．1 B．2C. D.解析：如图，将三棱锥P—ABC嵌入长方体中，那么长方体的体对角线BD为三棱锥外接球的直径，由此得三棱锥外接球的外表积为S＝4π2＝π(PB2＋PD2)＝π[(2a)2＋(a)2]＝9π.∴a＝1，应选A.答案：A9.如图，∠C＝90°，AC＝BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′—MN—B的大小为60°，那么斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为()A. B.C. D.解析：设AC＝BC＝2a，由得MN⊥CM，B′M⊥MN，MN⊥平面B′CM，∠B′MB＝60°，B′M＝MN＝a.作B′E⊥CB于点E，连结AE，那么有MN⊥B′E，B′E⊥CE，B′E⊥平面ABC，∠B′AE是直线B′A与平面ABC所成的角．在Rt△B′AE中，B′E ＝B′M sin60°＝a，EM＝B′M cos60°＝，AE＝＝＝，所以tan∠B′AE＝＝，选B.答案：B10.如图，在棱长为4的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M 在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，那么线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A－A′D′－B′所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.解析：依题意可知|FP|＝|MN|＝1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是×＝π，选C.答案：C11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的高是()A. B.C．1 D.解析：由题知三棱锥的高为球的半径，应选C.答案：C12．球O与锐二面角α－l－β的两半平面相切，两切点间的间隔为，O点到交线l的间隔为2，那么球O的外表积为()A. B．4πC．12πD．36π解析：设球O与平面α、β分别相切于点P、Q，过点O作OR⊥l于点R，连结PR、QR、PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下列图，那么有OP⊥PR、OQ⊥QR，故O、P、R、Q四点一共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得＝2，∴sin∠PRQ＝＝.又二面角α－l－β为锐二面角，∴∠PRQ＝60°，∴∠PRO＝30°，∴OP＝1，即球的半径为1，∴球O的外表积S＝4πR2＝4π，应选B.答案：B第二卷(非选择题一共90分)二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．请把正确答案填在题中横线上．)①假设一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②假设一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面的两个不同平面互相平行；④解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．答案：③④14.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有________个．解析：将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF一共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．答案：215．如图，将∠B＝，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B－AC－D，假设θ∈[，]，M、N分别为AC、BD的中点，那么下面的四种说法：①AC⊥MN；②DM与平面ABC所成的角是θ；③线段MN的最大值是，最小值是；④当θ＝时，BC与AD所成的角等于.其中正确的说法有________(填上所有正确说法的序号)．解析：如图，AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正确；因为θ∈[，]，且线与面所成角的范围为[0，]，所以DM与平面ABC所成的角不一定是θ，②错；BM＝DM＝，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cos＝·cos，所以线段MN的最大值是，最小值是，③正确；当θ＝时，过C作CE∥AD，连结DE，且DE∥AC，那么∠BCE(或者其补角)即为两直线的夹角，BM⊥DM，BM＝DM＝，BD2＝，又DE∥AC，那么DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE2＝＋1＝，cos∠BCE＝＝－≠0，所以④错．答案：①③16．设A、B、C是球面上三点，线段AB＝2，假设球心到平面ABC的间隔的最大值为，那么球的外表积等于________．解析：△ABC所在截面圆的直径为2r＝AB＝2时，球心到平面ABC的间隔最大，此时球半径R＝＝2，S球＝4πR2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题总分值是10分)如图，长方体AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点．(1)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；(2)求四面体EFGB1的体积．解析：(1)取A1D1的中点P，D1P的中点H，连结DP、EH，那么DP∥B1G，EH∥DP，∴EH∥B1G，又B1G⊂平面FGB1，∴EH∥平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1＝A1D1时，EH∥平面FGB1.(2)∵EH∥平面FGB1，∴VE—FGB1＝VH—FGB1，而VH—FGB1＝VG—HFB1＝×1×S△HFB1，S△HFB1＝S梯形B1C1D1H－S△B1C1F－S△D1HF＝，∴V四面体EFGB1＝VE—FGB1＝VH—FGB1＝×1×＝.18．(本小题总分值是12分)直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．解析：(1)证明：直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC.又BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.又∵AC⊂平面ACB1，∴平面ACB1⊥平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点．要使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行，就要使DP与平面BCB1和平面ACB1的交线平行．因为平面BCB1∩平面ACB1＝B1C，所以只要DP∥B1C即可．因为A1B1∥DC，所以四边形DCB1P为平行四边形，所以B1P＝DC＝A1B1＝1，所以P为A1B1的中点．即当P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．19．(本小题总分值是12分)(2021·)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FDEF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.(1)求二面角A′－FD－C的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，假设沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．解析：(1)取线段EF的中点H，AF的中点G，连结A′G，A′H，GH，因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF，又因为G，H是AF、EF的中点．易知GH∥AB，所以GH⊥AF，于是AF⊥平面A′GH，所以∠A′GH为二面角A′－FD－C的平面角．在Rt△A′GH中，A′H＝2，GH＝2，A′G＝2.所以cos∠A′GH＝.故二面角A′－DF－C的余弦值为.(2)设FM＝x.因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(2)2＋(x＋2)2＋22，得x＝，经检验，此时点N在线段BC上．所以FM＝.20．(本小题总分值是12分)(2021·)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的间隔；(2)假设AD＝，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．解析：(1)如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的间隔为点A到平面PBC的间隔．因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.又在矩形ABCD 中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的间隔．在Rt△PAB中，PA＝AB＝，所以AE＝PB＝＝.(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，那么∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE＝＝.在Rt△CBE中，CE＝＝.由CD＝，所以△CDE为等边三角形，故F点为CE的中点，且DF＝CD·sin＝.因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG綊AE，从而FG＝，且G点为AC的中点．连结DG，那么在Rt△ADC中，DG＝AC＝＝.所以cos∠DFG＝＝.21．(本小题总分值是12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD ＝2；E为BS的中点，CE＝，AS＝.求：(1)点A到平面BCS的间隔；(2)二面角E－CD－A的大小．解析：(1)因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的间隔等于D点到平面BCS的间隔．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥DS.由AD∥BC，得BC⊥DS.又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的间隔．因此，在Rt△ADS中，DS＝＝＝.(2)如图，过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过点G作GH⊥CD，交AB于点H，故∠EGH为二面角E－CD－A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连结GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF.故θ＝－∠EGF.由于E为BS边的中点，故CF＝CS＝1，在Rt△CFE中，EF＝＝EF⊥平面CSD，又EG⊥CD，故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF∽△CSD，因此＝，而在Rt△CSD中，CD＝＝＝，故GF＝·DS＝·＝.在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝，可得∠EGF＝，故所求二面角的大小为θ＝.22．(本小题总分值是12分)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.(1)设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1；(2)求二面角B－AC－A1的大小；(3)求此几何体的体积．解析：(1)证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连结C1D.那么OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以OD＝(AA1＋BB1)＝3＝CC1.那么四边形ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，那么OC∥平面A1B1C1.(2)如图，过B作截面BA2C2∥平面A1B1C1，分别交AA1、CC1于A2、C2，作BH⊥A2C2于H，连结CH.因为CC1⊥平面BA2C2，所以CC1⊥BH，那么BH⊥平面A1C.又因为AB＝，BC＝，AC＝⇒AB2＝BC2＋AC2，所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．因为BH＝，所以sin∠BCH＝＝，故∠BCH＝30°，即所求二面角的大小为30°.(3)因为BH＝，所以VB—AA2C2C＝SAA2C2C×BH＝××(1＋2)××＝，VA1B1C1—A2BC2＝S△A1B1C1·BB1＝×2＝1.所求几何体体积为V＝VB—AA2C2C＋VA1B1C1—A2BC2＝.。
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第十四单元 直线与平面及简单几何体一.选择题(1) 有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列命题中正确的个数是 ( )① 四边相等的四边形是菱形;② 若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形;③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”; ④ 若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个(3) 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是()A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .(4) 木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 ( )A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍(5) 已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ① 若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(6) 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 ( )A ．BC//平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC(7) 如图, 四边形ABCD 中, AD ∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 将△ADB 沿BD 折起, 使平面ABD ⊥平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 则在三棱锥A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )A ． 平面ABD ⊥平面ABCB ． 平面ADC ⊥平面BDCC ． 平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC(8) 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为( ) A ．23 B ．22 C ．21D ． 33A B C D A B C D ABCDP ·（第8题图 ） （第9题图 ） （第10题图 ）(9)如图正四面体D-ABC 中, P ∈面DBA, 则在平面DAB 内过点P 与直线BC 成60°角的直线共有 ( )A ． 0条B ． 1条C ． 2条D ． 3条(10) 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为 ( )A ．32 B ．33 C ．34 D ．23二.填空题(11) 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 .(12)已知直线m 、n 和平面α、β满足: α∥β, m ⊥α, m ⊥n, 则n 与β之间的位置关系 是__________(13) 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．(14) 已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）三.解答题(15) 如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点.求：（Ⅰ）SMAM的值；（Ⅱ）二面角S —BC —A 的大小； （Ⅲ）正三棱锥S —ABC 的体积(16) 已知正三棱锥ABCP-的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60.（1）证明：BCPA⊥；（2）求底面中心O到侧面的距离.(17) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.(18)在斜三棱柱A1B1C1-ABC中, 底面是等腰三角形, AB=AC, 侧面BB1C1C⊥底面ABC.(Ⅰ)若D是BC的中点, 求证:AD⊥CC1;(Ⅱ)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M, 若AM=MA1, 求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C;(Ⅲ) AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗? 请你叙述判断理由.AB CDA1B1C1M参考答案一选择题:1.C[解析]：②③正确2.B[解析]：①②错误，因为这个四边形可能是空间四边形；③④正确；3.D[解析]：反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行。
4.C240倍，[解析]：木星的体积约是地球体积的302倍（体积比是半径比的立方）则它的半径约是地球半径的30故表面积约是地球表面积的120倍（面积比是半径比的平方）5.A[解析]：②正确6.C[解析]：由DF//BC可得BC//平面PDF ，故A正确。
若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O 在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF ⊥平面PAE ，故B 正确。
由DF ⊥平面PAE 可得，平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确。
7.D[解析]：∵在四边形ABCD 中, AD ∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90° ∴BD ⊥CD又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD=BD 故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB 故AB ⊥平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面ADC 8.B[解析]：∵A 1B 1//平面AB C 1D 1的中点，∴E 到平面AB C 1D 1 的距离等于A 1到平面AB C 1D 1的距离，而A 1到平面AB C 1D 1的距离等于A 1到直线AB 1的距离，即22.9.Ｃ[解析]： 在平面DAB 内过点Ｂ与直线BC 成60°角的直线共有２条， 故在平面DAB 内过点Ｐ与直线BC 成60°角的直线共有２条。
10.C[解析]： 它们的底面⊥正方形ABCDGB=23，=∆GBC S 1 直三棱柱的体积为13原多面体的体积为34二填空题: 11. 4π2[解析]：∵一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π ∴截面圆的半径为1，故球的半径为2，∴球的表面积为4π2 12. n ⊂β或 n ∥β[解析]： 已知直线m 、n 和平面α、β满足: ∵α∥β, m ⊥α, ∴m⊥β,又m ⊥n,故n ⊂β或 n ∥β13. 2)224(a +[解析]： 新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为2，宽为1）故全面积为2)224(a +14. ③⑤ ②⑤[解析]：若α⊂m ，βα//，则β//m ；若α⊥m ，βα//，则β⊥m 。
三解答题 (15) 解：（Ⅰ）∵SB=SC ，AB=AC ，M 为BC 中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即.23,212213=⨯⨯=⨯⨯SM AM AM BC SM BC 得（Ⅱ）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，.31AM GM = ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角. 在Rt △SGM 中， ∵,2333232GM GM AM SM ==⨯==∴∠SMA=∠SMG=60°，即二面角S —BC —A 的大小为60°。
（Ⅲ）∵△ABC 的边长是3， ∴,2332360,23,233=⋅====GMtg SG GM AM ∴.839234393131=⋅⋅=⋅=∆-SG S V ABC ABC S (16 [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . ∴ BC PA ⊥.[解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离.设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=,∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3.(17) 解法一：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC ⊥BC 1.（Ⅱ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE//AC 1， ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1. （Ⅲ）∵DE//AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED 121AC ==,2221,2521,251====CB CE AB CD.522252228cos =⋅⋅=∴CED ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为.522 解法二： ∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直. 如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A （3，0，0），C 1（0，0，4），B （0，4，0），B 1（0，4，4），D （23，2，0）. （Ⅰ）),4,4,0(),0,0,3(1-=-=BC AC ..011BC AC BC AC ⊥∴=⋅∴（Ⅱ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E （0，2，2）. 111//,21),4,0,3(),2,0,23(AC DE AC AC ∴=∴-=-=.//,,11111CDB AC CDB AC CDB DE 平面平面平面∴⊄⊂ （Ⅲ）),4,4,0(),4,0,3(11=-=CB AC .522||||,cos 111111=>=<∴CB AC CB AC∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为.522 (18) (Ⅰ)证明: ∵AB=AC, D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC. ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C.∴AD ⊥CC 1.(Ⅱ)延长B 1A 1与BM 交于N, 连结C 1N.∵AM=MA 1,∴NA 1=A 1B 1.∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1= A 1N=A 1B 1.∴C 1N ⊥C 1B 1.∵截面N B 1C 1⊥侧面BB 1C 1C,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C.∴截面C 1N B ⊥侧面BB 1C 1C.∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C.(Ⅲ)解: 结论是肯定的, 充分性已由(2)证明,下面证必要性: 过M 作ME ⊥B C 1于E,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C,∴ME ⊥侧面BB 1C 1C.又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C,∴ME ∥AD.∴M, E, A, D 共线. ∵A M ∥侧面BB 1C 1C, ∴AM ∥DE. ∵CC 1⊥AM,∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点, ∴E 是BC 1的中点.∴AM= DE=21CC 1=21AA 1. ∴AM= MA 1.。