柱锥台球的体积与表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
柱、锥、台表面积体积公式
乌海市滨河中学 贾宽
学习目标： 1．知道棱柱、棱锥及棱台的表面积的求法。 2．了解圆柱、圆锥及圆台的表面积公式， 了解柱体、锥体及台体的体积公式。 3．能够利用上述几何体的表面积与体积公 式解决问题。
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
l
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
柱体体积
一般柱体的体积是：
V Sh
其中S是什么？h是什么？
锥体体积
1 V Sh（其中S是什么？h是什么？） 3
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别是什么? h是什么?
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
1 V ( S S S S )h V Sh 3 S为底面面积，S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
2r '
r 'O’
2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
1 V Sh 3 S为底面面积， h为柱体高
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱锥台球的表面积体积
A
6
55
O•
D
B
5
6 E
5C
球的体积
祖暅原理：两等高的几何体若在所有等
高处的水平截面的面积相等，则 这两个几的体积?
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知， 它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
C B
D A
C B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
练习1：长方体的共顶点的三个侧面积分别 为 3 、 5 、15 ，则它的外接球的表面积 为 __________
练习：2把一个半径为R的球放在墙角，且与墙角 的三个面都相切，则球心与墙角顶点的距离（） 3在球面上有四点P, A, B,C，已知PA, PB, PC两 两垂直，且PA PB PC a,则球的表面积（）
l
R
o
lll l o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
l
R
o
l o
o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
1.3 柱、锥、台和球体的表面积和体积1
D A
1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长 ．设六正棱锥的底面边长为 ， 那么它的体积为（ 为 5 ，那么它的体积为（ ）
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来 ．
1 则它的体积是原来的（ 的 ，则它的体积是原来的（ 2
）
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为 ．已知圆锥的母线长为 ， 6π，则它的体积是 ， .
7. 若球的大圆面积扩大为原来的 倍，则 若球的大圆面积扩大为原来的3倍 它的体积扩大为原来的（ 它的体积扩大为原来的（ ）倍？
8一个正方体的所有顶点都在球面上，若这 一个正方体的所有顶点都在球面上， 一个正方体的所有顶点都在球面上 个球的体积是V， 个球的体积是 ，则这个正方体的体积 是 .
D O A B E
C
已知正四棱锥底面正方形长为4cm， 例2. 已知正四棱锥底面正方形长为 ， 高与斜高的夹角为30° 高与斜高的夹角为 °，求正四棱锥的侧 面积及全面积.（单位： 精确到0.01 ） 面积及全面积 （单位：cm2，精确到
棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台 和球的体积
取一摞纸张放在桌面上(如图所示 取一摞纸张放在桌面上 如图所示) ， 如图所示 并改变它们的放置方法， 并改变它们的放置方法，观察改变前后 的体积是否发生变化？ 的体积是否发生变化？
2． 2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其 )h,其 分别为圆台的上、 中r、R分别为圆台的上、 、 分别为圆台的上 下底面的半径，高为 下底面的半径，高为h.
A O B S C A' S' O' B' h D D' C'
五. 球的体积 4 V球= π R 3，其中 为球的半径 其中R为球的半径 为球的半径.
球的体积和表面积
A● A B
D B D1 A1 O
O1
C
R
●
● ●
O
·
M
D
C1 B1
3. 球的表面积
球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以 求球的表面积无法用展开图求出， 求球的表面积无法用展开图求出， 如何求球的表面积公式呢? 如何求球的表面积公式呢? 回忆球的体积公式的推导方法, 回忆球的体积公式的推导方法, 得到 启发， 启发，可以借助极限思想方法来推导 球的表面积公式。 球的表面积公式。
A 3л
2
B 4л
C 3 3π
D
1
D 6л
C
1
为1的 棱 为 的 体， 则A1、C1、B、D 、 棱 为 2 的 四面体的顶点 体的 球 四面体 球， 的 球，此 球的 为 3， 3 2 S 球 4π ( ) = 3π , A 2
C1 B1
3 a (2R) = a + ( 2a) , 得：R = 2
2 2 2
a 变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R= 1.如果球 R=————。 变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R= 2 。
。
有三个球,一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各面, 变式 . 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比 求这三个球的体积之比. 的各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面
ri = R R − [ (i − 1)]2 , i = 1,2L, n. n
2
问题:已知球的半径为 用 表示球的体积 表示球的体积. 问题 已知球的半径为R,用R表示球的体积 已知球的半径为
立体几何中的球台与球柱的体积与表面积计算
立体几何中的球台与球柱的体积与表面积计算在立体几何中，球台和球柱是两种常见的几何体形状。
球台是由一个平面截取一个圆球形状而得到的，而球柱则是由一个矩形围绕一个圆柱形状而得到的。
本文将介绍如何计算球台和球柱的体积和表面积。
一、球台的体积与表面积计算球台是由一个圆平面和底面高度组成的，其体积和表面积可以通过以下公式计算：1.1 球台的体积计算设球台的底面半径为R，顶面半径为r，高度为h，则球台的体积V 可以通过以下公式计算：V = (1/3)πh((r^2)+(rR)+(R^2))1.2 球台的表面积计算球台的表面积S可以通过以下公式计算：S = π((r^2)+(R^2)+(r+R)l)其中，l为球台底面圆上弧长，可以通过以下公式计算：l = 2π(R+r)二、球柱的体积与表面积计算球柱是由一个圆柱和两个球面组成的几何体，其体积和表面积可以通过以下公式计算：2.1 球柱的体积计算设球柱的底面半径为R，高度为h，则球柱的体积V可以通过以下公式计算：V = πh(R^2)2.2 球柱的表面积计算球柱的表面积S可以通过以下公式计算：S = 2π(R^2)+2πRh三、实例演算为了更好地理解如何计算球台和球柱的体积和表面积，我们以具体数值进行实例演算。
3.1 球台实例演算假设球台的底面半径R = 5 cm，顶面半径r = 3 cm，高度h = 4 cm。
首先，计算球台的体积：V = (1/3)πh((r^2)+(rR)+(R^2))= (1/3)π(4)((3^2)+(3*5)+(5^2))≈ 201.06 cm^3接下来，计算球台的表面积：l = 2π(R+r)= 2π(5+3)≈ 37.7 cmS = π((r^2)+(R^2)+(r+R)l)=π((3^2)+(5^2)+(3+5)37.7)≈ 170.12 cm^2因此，该球台的体积约为201.06 cm^3，表面积约为170.12 cm^2。
3.2 球柱实例演算假设球柱的底面半径R = 6 cm，高度h = 8 cm。
第10讲 柱锥台球的表面积和体积
第10讲 柱锥台球的表面积和体积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积¤例题精讲：【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. 解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上， 圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下， 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上. 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧， 于是725l ππ=，即297l =为所求. 【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：由三视图知正三棱柱的高为2mm .由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.设底面边长为a = ∴ 4a =. ∴正三棱柱的表面积为2123422424)2S S S mm =+=⨯⨯+⨯⨯⨯+侧底.【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m 2）解，其侧面积为152S π=⨯.下部分圆柱体的侧面积为 15 1.8S π=⨯⨯.所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为1155 1.850.052S S S ππ=+=⨯⨯⨯≈（m 2）.点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.【例4】有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm ）解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD . 由题意知，BC =10 cm , 20.588AB cm ππ=⨯⨯=, 点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.∴ 27.05()AC cm =.所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm .点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.图2-3-1212m 18m5m※基础达标1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）.A. 8B. 8πC.4πD.2π2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）.A. 7B. 6C. 5D. 33．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）.A. 122ππ+B.144ππ+C.12ππ+D.142ππ+4．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（）.A. 160 cm2B. 320 cm2C. 2D. cm25．（04年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（）.A．127B．116C．19D．186．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB CD，分别是两底面的直径，AD BC，是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是（结果保留根式）．7．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为.※能力提高8．六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积.9．一个圆锥的底面半径为R，高为H，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱. 当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？※探究创新10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm．设水箱里盛有深为a cm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，试求水深.¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：13V S h = 锥 '0S =←−−− 1(')3V S S h =台 'S S=−−−→ V S h =柱. ¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 . 解：设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则2,3,6ab ac bc ===， 三式相乘得2()36abc =.所以，长方体的体积为6. 【例2】一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt EOF ∆中，15,2EF cm OF xcm ==, 所以EO =于是13V x =依题意函数的定义域为{|010}x x <<.【例3母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的56时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为. 解：容器中水的体积为22618V r l πππ==⨯⨯=.流出水的体积为5'(1)36V V π=-=，如图，22''2V l r π===. 设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则tan α==60α=︒. 所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在边长为a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x ，圆半径为r1224x r ππ⨯=，∴x =4r ， (5AB x r r =+=. 又 AB ， ∴(5r =，解得r =.圆锥的高h ，∴213V r h π==.点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.图(1)图(2)※基础达标1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）. A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:12．三棱锥V —ABC 的底面ABC 的面积为12，顶点V 到底面ABC 的距离为3，侧面VAB 的面积为9，则点C 到侧面VAB 的距离为（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 63．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）.A.B. 6cmC.D.4．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ ）.A.b a B. a b C. 3()b a D. 3()a b5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.AB . C. D . 836．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_____. 7．（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅， 则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC V V '''--= ※能力提高8．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？9．用上口直径为34cm 、底面直径为24cm 、深为35cm 的水桶盛得的雨水正好为桶深的15，问此次降雨量为多少？（精确到0.1mm ）（注：降雨量指单位面积的水平面上降下雨水的深度）※探究创新10．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m . 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m （高不变）；二是高度增加4 m (底面直径不变).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）哪个方案更经济些？俯视图''¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.¤知识要点：1. 表面积：24S R π=球面 （R ：球的半径）.2. 体积：343V R π=球面.¤例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5cm ，求它的内径（钢的密度为27.9/g cm ，精确到0.1cm ）．解：设空心球内径(直径)为2x cm ，则钢球质量为334547.9[()]142323x ππ⋅⋅⋅-=，∴3351423()11.327.94 3.14x ⨯=-≈⨯⨯， ∴ 2.24x ≈，∴直径2 4.5x ≈，即空心钢球的内径约为4.5cm .【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积. 解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC ， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表.【例3】（04年辽宁卷.10）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.A ．B ．C ．D ． 【解】由已知可得，A 、B 、C 、D 在球的一个小圆上.∵ AB=BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴小圆半径r =.由222Rr h =+得222()2RR =+，解得R =∴ 球的体积334433V R ππ===. 所以选A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质222R r h =+，体积和表面积公式. 【例4】推导球的表面积公式. 解：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积S =12i S S S ∆+∆+++∆ .以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h .因此，第i 个小棱锥的体积13i i i V h S =⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+ ，又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆ ， ∴可得13V R S ≈⋅. 又 ∵ 343V R π=，∴13R S ⋅343R π=， ∴24S R π=即为球的表面积公式 点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.※基础达标1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）.A.B. 2C. 2D. 32．设正方体的全面积为224cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）.A. 3cmB. 3323cm πC. 383cm πD. 343cm π 3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ）.A. 以上四个图形都是正确的B. 只有(2)(4)是正确的C. 只有(4)是错误的D. 只有(1)(2)是正确的 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）.A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）.A. 49B. 94C. 427D. 2746．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则这个球的表面积为 ，体积为 . ※能力提高8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体.※探究创新10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.(1)(3)(4)¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.¤例题精讲： 【例1】（06年四川卷）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是 A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π解：如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO =R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=，所以2116233R R ⋅⋅=，解得R =2，则球O 的表面积是16π，选D.【例2】如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面. S 半球=8π ， S 圆台侧=35π ，S 圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为68π .由221[25523V πππ=⨯⨯⨯=圆台]，341162323V ππ=⨯⨯=半球. 所以，旋转体的体积为31614052)33V V cm πππ-=-=圆台半球(. 【例3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱1AA = 8. 若11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？解：当11AA B B 水平放置时，纵截面中水液面积占13144-=，所以水液体积与三棱柱体积比为34.当底面ABC 水平放置时，液面高度为3864⨯=.点评：容器中水的体积不会减少，无论是竖着还是横着，正是由于这种等积思想，才能寻找到不用计算体积，而通过体积比进而化为高度比. 我们可以练习这样一个题：三棱锥V —ABC 的底面ABC 的面积为12，顶点V 到底面ABC 的距离为3，侧面VAB 的面积为9，则点C 到侧面VAB 的距离为 .（答案：4）【例4】如图是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯的体积. （精确到0.01 cm 3）解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.由221515151111851.6673V =⨯⨯+⨯+≈正四棱台（），688864V =⨯⨯=长方体， 343113.097,3V π=⨯≈球所以，这个奖杯的体积为31828.76()V V V V cm =++≈正四棱台长方体球.点评：由三视图研究几何体的表面积和体积，需先发挥空间想象力，按正视图、侧视图、俯视图顺序，逐步构造出几何体形状，分析清楚组合体的结构特征，按相应表面积或体积公式进行计算.※基础达标1．（06年福建卷）已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于（）.A. B. C. D. .2．（06年全国卷II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）.A.316B.916C.38D.9323．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（）.A. 24πcm2，12πcm3B. 15πcm2，12πcm3C. 24πcm2，36πcm3D. 以上都不正确4．（04年广东卷.7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）.A.23B.76C.45D.565．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）.6．一个边长为2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为，体积为.7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y’轴，长度变为原来的12；②画与直角坐标系xoy对应的x’o’y’时，∠x’o’y’必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④梯形；⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是.※能力提高8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）9．已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）※探究创新10．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型, 另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一个剪拼方法, 分别用虚线标示在图1、图2中, 并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3）, 要求剪拼成一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一个剪拼方法, 用虚线标示在图3中, 并作简要说明.1．【2008年宁夏理】 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 2．【2008年宁夏文】 14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
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1 1 S 正棱台侧面积＝2n(a＋a′)h′＝2(c＋c′)h′.
问题 4 如何根据圆柱的展开图，求圆柱 的表面积？
S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)，其中 r 为圆 柱底面半径，l 为母线长．
问题 5 如何根据圆锥的展开图，求圆 锥的表面积？ r
侧面展开图扇形中心角为 θ＝ l ×360° ，
S 圆锥侧＝πrl, S 圆锥表＝πr(r＋l)，
其中 r 为圆锥底面半径， l 为母线长．
问题 6 积？
如何根据圆台的展开图，求圆台的表面
R－r 侧面展开图扇环中心角为 θ＝ l ×360° ，
2 2
S 圆台侧＝π(r＋R)l，S 圆台表＝π(r ＋rl＋Rl＋R )．
问题 7 如何计算柱、锥、台的体积？
问题 1 下图是直六棱柱的展开图，你能根据展 开图，归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？
S 直棱柱侧面积＝ch.
问题 2 下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为 c，你能根据展开图，归纳出正 n 棱锥的侧面面 1 1 积公式吗？
S 正棱锥侧面积＝2nah′＝2ch′
问题 3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周 长为 c， 上底面周长为 c′， 你能根据展开图， 归纳出正 n 棱台的侧面面积公式吗？
画板演示
问题 8 如何计算球的表面积与体积？
画板演示
例5．(2011·天津)一个几何体的三视 图如图所示(单位：m)，则该几何体的体 积为________m3.
答案
4
例 6 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥 的全面积(单位：cm2)为
【答案】 A
48＋12 2 C．36＋12 2 B．48＋24 2 D．36＋24 2
例7．如图，某几何体的正视图(主视图)， 侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为
A．4 3 C．2 3
B．4 D．2
例 8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
例 10 ．如下的三个图中，上面的是一个 长方体截去一个角后所得多面体的直观图， 它的正视图和侧视图在下面画出(单位： cm) ．在正视图下面，按照画三视图的要求 画出该多面体的俯视图求它的体积与表面 积．