1第15章三角函数学案(两角和与差的正弦、余弦)
(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.
《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。
给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。
从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。
学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。
(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。
)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
两角和与差的正弦、余弦公式导学案
一、知识回顾 1、填表：（表一）2、在单位圆中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β， 则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=， 向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-， 又∵cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （1）又 ∵ []cos()cos ()αβαβ+=-- cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅- cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅． （2）利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式： cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）cos()cos cos sin sin ,αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）3、两角和与差的正余弦公式（1）差角的正余弦：sin( = ；)cos(βα-= ； （2）和角的正余弦 ：sin(( = ；cos ( = ； 4、牛刀小试（不查表求下列式子的值）（1）sin15； （2）cos 75； （3）sin 75二、知识应用 1. 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求cos()4πα-的值。
2. 已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．3. 已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值． 4. 已知2π＜α＜β＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值．1．cos(－15°)的值为( )A.6＋22B.6＋24C.6－22D.6－242．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.323．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，πD ．－2，π4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．2mB ．±2m C.3mD ．±3m5.已知向量a ＝(cos75°,sin75°)，b ＝(cos15°,sin15°),那么|a －b |等于( ) A.12 B.22 C.32D ．1 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋27．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π28．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋a sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝( ) A ．1B. 3 C ．2D ．39.12sin75°＋32sin15°的值等于__________． 10．已知sin θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，32π，那么cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝__________. 11．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为__________． 12.已知函数f(x)＝2sin(13x －π6)，x ∈R.(1)求f(5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。
1《两角和与差的正弦、余弦》导学案
第1课时两角和与差的正弦、余弦1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求值、证明.我们在第一章学习了任意三角函数的概念,知道一些特殊角的三角函数值,如cos 45°=错误！未找到引用源。
,cos 30°=错误！未找到引用源。
,由此我们能否得到cos 15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于cos 45°-cos 30°呢?问题1:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°(填“是”或“是不”)成立的,如果不成立,那么不查表求得cos 15°的值是错误！未找到引用源。
.问题2:如何用向量的方法探究cos(α-β)的表达式?如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,分别作α、β,它们的终边分别与单位圆O交于A、B点,则错误！未找到引用源。
=(cos α,sin α),错误！未找到引用源。
=(cos β,sin β).∴错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
=cos αcos β+sin αsin β,设错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角为θ,则错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
=|错误！未找到引用源。
|·|错误！未找到引用源。
|·cos θ=cos θ.∴cos(α-β)=cos θ=.问题3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导(1)cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=;(2)sin(α+β)=cos[错误！未找到引用源。
-(α+β)]=cos[(错误！未找到引用源。
-α)-β]=;(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.问题4:C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)公式间的特点两角和与差的余弦公式的特点:、、.两角和与差的正弦公式的特点:、、.1.不查表,求cos 75°的值为().2.已知sin α=错误！未找到引用源。
15.1(2)两角和与差的正弦、余弦公式教案
练习：1．求cos75的值
解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30
=
2．计算：1cos65cos115cos25sin115
2cos70cos20+sin110sin20
解：原式=cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)
巩固转化方法学生交流探讨
证一：左边=2( cos+ sin)=2(sin cos+cos sin)=2sin( +)=右边（构造辅助角）
证二：右边=2(sin cos+cos sin)=2( cos+ sin= cos+ sin=左边
例3已知sin(+)= ,sin()= 求 的值
解：∵sin(+)=
∴sincos+cossin= ①
课题序号
2
教学班级
14机电、商服
教学课时
1
教学形式
自主合作
课题
名称
15.1两角和与差的正弦、余弦公式(2)
使用教具
多媒体
教学目的
能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点
两角差角的正弦公式的掌握与简单应用
教学难点
两角差角的正弦公式的推导
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
预习
课外作业
教材P8习题，练习册
板
书
设
计
两角和与差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin(+)=sincos+cossin
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学目标：1.理解两角和与差的概念；2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；3.能够运用两角和与差的公式解决相关问题。
导学思路：1.引入问题：如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？2.引出两角和与差的概念；3.探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式；4.运用公式解决相关问题。
一、引入问题在三角函数中，我们学过单个角的正弦、余弦、正切公式，但如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？请思考并回答。
二、两角和与差的概念1.两角和的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角和。
用符号表示为：A+B。
2.两角差的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角差。
用符号表示为：A-B。
三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.正弦的两角和与差公式：s in(A + B) = sinA · cosB + cosA · sinBsin(A - B) = sinA · cosB - cosA · sinB2.余弦的两角和与差公式：cos(A + B) = cosA · cosB - sinA · sinBcos(A - B) = cosA · cosB + sinA · sinB3.正切的两角和与差公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA · tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA · tanB)四、运用公式解决问题例题1：已知sinA = 1/5，cosB = 3/5，且角A和角B互余，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。
025两角和与差的正弦、余弦和正切(学生学案)(生)
专题025：两角和与差的正弦、余弦和正切（学生学案）（生）考点要求：1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．3．本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等． 知识结构：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；（降幂公式）(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 4．辅助角公式：函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 5．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 6．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 基础自测1．下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．63．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为 （ ）A 、725 B 、1825C 、725-D 、1825-6．计算sin119 °sin181 °－sin 91°sin29°的结果等于 ( )A. －12B.22C.32D.337．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________. 8．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________； （2）22cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）22sin 151︒-=_________；（4）22sin 15cos 15︒+︒=_________．9．求值：tan10tan 20tan 20)︒⋅︒+︒=______．例题选讲：1．三角函数式的化简例1：化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .方法总结：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式的求值例2：已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．方法总结：三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．例3：2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2方法小结：1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．2.对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值． 3．三角函数的求角问题例4：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.方法总结： 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． 4．三角函数的综合应用 例5：(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．方法总结： 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理： ①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；例6:已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β.方法总结：1.解决给值求角问题的一般步骤是：(1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出要求的角． 2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．巩固作业： A 组：一、选择题：1．若0<α<π2，－π2<β<0， cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝ ( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 2．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π=时，取得最大值12，当49x π=时，取得最小值12-，则该函数的解析式是 （ ）()A 12sin()36y x π=- ()B 1sin(3)26y x π=+ ()C 1sin(3)26y x π=- ()D 1sin(3)26y x π=-+3．化简1tan151tan15+-等于 （ ）()A ()B ()C 3()D 1 4．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=（ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 165.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为 ( )A.－12B.12C.－32D.32二、填空题：6.已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为____________. 7．已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=_________ ．8．在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =__________--- ． 9.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．10.给出下列四个命题：①存在这样的α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ②不存在无穷多个α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ③对于任意的α，β，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；④不存在这样的α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-． 其中假命题的序号有____________． 11.给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形. 其中正确的序号为___________12．给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：13． 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.14． 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．15． 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．16． 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．。
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课题：§15.1两角和与差的正弦、余弦公式（一）
第 课时 授课时间
一、探究引入
1、问题：
（1）=030cos ；=060cos ；=0
90cos ；
（2）下列各式是否成立？ 000060cos 30cos )6030cos(+=+； 000030cos 60cos )3060cos(-=-
2、问题：
)6030cos(00+，)3060cos(00-能用030、060角的三角函数值来表达
吗？能用角α和β的正弦或余弦表示角βα±的正余弦值吗？
3、复习：向量数量积的定义式及坐标公式.
二、讲授新知
1、公式推导
如图，设角α的终边与单位圆
的交点为)sin ,(cos ααP ， 角β的终边与单位圆的 交点为)sin ,(cos ββQ 。
记向量)sin ,(cos αα==a ，)sin ,(cos ββ==b ，则应用向量数量积的坐标公式，可得到βαβαsin sin cos cos +=∙b a 。
因此，有：cos()cos cos sin sin .αβαβαβ-=+———两角差的余弦公式：)(βα-C 由上述公式，可得[])(cos )cos(βαβα--=+
)sin(sin )cos(cos βαβα-+-=
βαβαsin sin cos cos -=
故有：cos()cos cos sin sin .αβαβαβ+=-———两角和的余弦公式：)(βα+C
2、特征
①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用；③区别公式)(βα+C 与)(βα-C .
三、讲授例题
例1：不用计算器，求0cos 75和0cos15的值.
练习：求0cos105的值.
例2：求值0000cos80cos 20sin80sin 20+.
练习：求值
（1）0000cos 40cos 20sin 40sin 20-，
（2）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π
，
（3）0000cos 45cos30sin 45sin30+.
例3：已知3
cos 4α=-，且α为第二象限角，求cos 3πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭的值．
4、问题解决
试用两角和与差的余弦公式证明：
cos sin , sin cos 22π
παααα⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.区别比较这两个式子.
四、课堂小结
1、两角和与差的余弦公式；
2、区别公式)(βα+C 与)(βα-C 的结构和特点.
课题：§15.1两角和与差的正弦、余弦公式（二）
第 课时 授课时间
一、复习：两角和与差的余弦
练习：1．求0cos75的值
2．计算：（1） 0000115sin 25cos 115cos 65cos -
（2） 000020sin 10cos 20cos 80cos +
3．已知锐角α,β满足cos α=53
cos(α+β)=135
-求cos β.
二、讲授新知
1、两角和与差的正弦
（1）推导sin(α+β)=cos[2π
-(α+β)]=cos[(2π
-α)-β] =cos(2π
-α)cos β+sin(2π
-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β
即： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β （S α+β）
以-β代β得sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β （S α-β）
（2） 公式的分析，结构解剖，嘱记
三、讲授例题
例1 不查表，求下列各式的值：
（1）sin75︒ （2）sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒
例2 求证：cos α+3sin α=2sin(6π
+α)
例3已知sin(α+β)=32
,sin(α-β)=52 求βα
tan tan 的值
解：
四、课堂小结：
两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”
课题：§15.1两角和与差的正弦、余弦公式（三）
第 课时 授课时间
一、回归旧知：
1、（1）两角和的余弦公式：)(βα+C ：
（2）两角差的余弦公式：)(βα-C ：
2、（1）两角和的正弦公式：)(βα+S ：
（2）两角差的正弦公式：)(βα-S ：
二、知识活用：
1.求值：
（1） 15cos
（2） 20802080sin sin cos cos +
（3） 1013010130sin sin cos cos +
（4）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°
（5）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．
（6） 29912991sin sin cos cos -
2．已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4π
α-的值。
3.已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．
4.已知32=
αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.
5.已知1312-
=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，5
1-=+)cos(βα，求βcos 的值。