2018学年数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 复数代数形式的加减运算及其几何意义
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i) -(3i+ 1)等于()A.3 -3iB.5-5iC.7+ iD.5 +5i解析 (6- 2i) -(3i+ 1) =(6-1)+ (- 2-3)i= 5-5i,故选 B .答案 B2如图 ,在复平面内 , 复数 z1,z2对应的向量分别是则A .2 B.3C.解析z1=- 2-i,z2= i,z1+z2=- 2.故选A.答案 A3 若z1=2+ i,z2=3+a i( a∈R ),且z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为 ()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+ i+3+ai= (2+ 3)+ (1+a )i = 5+(1+a )i .∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a= 0.∴a=- 1.答案 D4已知 z1 =3-4i,z2=- 5+ 2i,z1 ,z2对应的点分别为P1,P2,则对应的复数为A.- 8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2- 2i解析由复数减法的几何意义 ,知对应的复数为z1-z2= (3- 4i) -( -5+ 2i)= (3+5)+ (-4-2)i= 8- 6i,故选B .1答案 B5 若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2 ,z3,且 |z-z1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点 P 为△ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析由|z-z0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为△ABC 的外心 .答案 B6如图 ,在平行四边形 OABC 中 ,各顶点对应的复数分别为 z O=0,z A=2∈R ,则a-b的值为.解析由复数加法的几何意义,知∴- 2a+ 3i--根据复数相等的充要条件,得解得答案 -47 已知z1=m2- 3m+m2i,z2= 4+ (5m+6)i( m∈R ),若z1-z2= 0,则m=.解析∵z2-3m+m2i) -[4 + (5m+6)i] = (m2-3m-4)+ (m2-5m-6)i= 0,1-z2= (m答案 -18 已知z是复数,|z|= 3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设 z=a+b i( a,b∈R),则a+b i+ 3i =a+ (b+ 3)i 是纯虚数 ,∴a= 0,b+ 3≠0.又|z|= 3,∴ b=3,∴z=3i .答案 3i9 若|z-1|= 1,试说明复数z 对应点的轨迹 .分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|= 1 表示复数z对应的点到点 (1,0)的距离为1,故复数 z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心 ,以 1 为半径的圆 .10 已知复平面内的点A,B 对应的复数分别是z1=sin 2θ+ i, z2=- cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈ (0,π),设对应的复数是2(1)求复数 z;(2)若复数 z 对应的点P 在直线 y上求的值解 (1)∵点 A,B 对应的复数分别是z1= sin2θ+ i,z2=- cos2θ+icos 2θ,∴点 A,B 的坐标分别是A(sin2θ,1),B(- cos2θ,cos 2θ),2θ)-(sin2θ,1)= (- cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).对应的复数 z=- 1+ (-2sin2θ)i .(2)由 (1) 知点 P 的坐标是 (-1,-2sin2θ),代入 y得 -2sin2θ=即sin2θθ=又θ∈ (0,π),∴sin θ或能力提升1 若|z-1|=|z+ 1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限解析∵ |z-1|=|z+ 1|,∴点 Z 到 (1,0)和 (-1,0)的距离相等 ,∴点 Z 在以 (1,0)和 (- 1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上 .答案 B2 已知z=cos为虚数单位则平面内到点的距离等于的点的轨迹是A.以点 (0,0) 为圆心 ,1 为半径的圆B.以点 C 为圆心 ,1 为半径的圆C.满足方程 x2+y 2= 1 的曲线D.满足 (x-1)2+ (y-2)2的曲线解析∵ |z|∴平面内到点C(1,2)的距离等于 |z|的点的轨迹方程为(x-1)2+ (y-2)2= 1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案 B★ 3 若复数z=x+y i( x,y∈ R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x+ 4y的最小值为()A.2B.4C.解析由 |z-4i |=|z+ 2|,得 |x+ (y-4)i|=|x+ 2+y i|,∴x2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y2,即x+ 2y= 3,∴2x+ 4y=2x+ 22y≥当且仅当 x= 2y时,2x+ 4y取得最小值答案 C4 设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i= (3+5cosθ)+ (-4+ 5sinθ)i,则x2+y2的最大值是.3人教 A 版 2018-2019学年高中数学修1-2解析∵ x+y i= (3+5cos θ)+ (-4+ 5sin θ)i,∴x2+y2= (3+ 5cosθ)2+ (-4+5sinθ)2= 50+ 30cos θ-40sin θ= 50+ 50cos(θ+ φ),其中 sin φ∴( x2+y2)max= 50+ 50=100.答案 1005若 n 个复数 a1 ,a2,⋯,a n,存在 n 个不全零的数 k1,k2,⋯ ,k n, 使得 k1 a1+k 2 a2 + ⋯+k n a n=0 成立 ,称 a1,a2,⋯,a n性相关.依此定,能使a1=1,a2= 1-i,a3=2+ 2i三个复数性相关的数k1,k2,k3的依次可取. (写出一数即可 ,不必考所有情况 )解析本主要考新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的用,在新定下,k1a1 +k 2a2+k 3a3= 0,即k1+k 2 (1-i) +k 3(2+ 2i)= 0,即 (k1+k 2+ 2k3)+ (-k2 +2k3)i = 0,故 -k2 +2k3= 0,k2 =2k3.又部之和k1+k2+2k3= 0,∴k1=-k 2 -2k3=- 4k3,∴k1 =- 4k3,k2= 2k3 ,令 k3取任意一个非零就可以得到一.答案 -4,2,1(答案不唯一 )6 已知|z|=2, |z+3-4i|的最大是 .解析由 |z|= 2 知复数 z 的点在 x2+y2=4上,心O(0,0),半径r= 2.而|z+ 3-4i |=|z- (-3+ 4i)|表示复数 z 的点与 M(-3,4)之的距离 ,由于 |OM|= 5,所以 |z+ 3-4i|的最大 |OM|+r= 5+2=7.答案 77 已知复数z1=1-2i和z2= 4+ 3i分复平面内的A,B 两点 .求:(1)A,B 两点的距离 ;(2)段 AB 的垂直平分方程的复数形式,并化数表示的一般形式 .解(1)因|z2 -z1|=| (4+3i) - (1-2i)|=| 3+5i|所以 A,B 两点的距离(2)段 AB 的垂直平分上任一点Z 到 A,B 两点的距离相等 ,点 Z 的复数z,由复数模的几何意,知 |z-(1-2i)|=|z- (4+ 3i) |.z=x+y i( x,y∈R ),代入上式 ,得|(x-1)+(y+ 2)i|=| (x-4)+( y-3)i|,即( x-1)2+(y+ 2)2=( x-4)2+( y-3)2.整理上式可得段 AB 的垂直平分的方程3x+ 5y-10=0.所以段 AB 的垂直平分方程的复数形式|z-(1- 2i)|=|z- (4+3i)|,数表示的一般形式 3x+ 5y-10= 0.★8 在△ABC中,角A,B,C所的的度分a,b,c, 复数 z=cos A+ isin A,且足 |z+1|= 1.(1)求复数 z;-(2)求的4人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题分析第 (1)问 ,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模, 从而求出角A,进而求出复数z; 第(2) 问,利用正弦定理把边转化为角 ,再进行三角恒等变换即可求解.解(1)∵ z=cos A+ isin A,∴z+1=1+ cos A+ isin A.∴|z+ 1|∵|z+ 1|= 1,∴2+ 2cos A= 1.∴c os A=∵角 A 是△ABC 的一个内角 ,∴ A= 120 .∴s in A∴复数 z=(2)由正弦定理 ,得 a= 2R·sin A,b= 2R·sin B,c=2R·sin C(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),∴原式-∵B= 180 -A-C= 60-C,∴原式---即-的值为 2.5。
人教A版高中数学选修1-2：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 同步课时练习
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义填一填1.复数代数形式的加减法 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数(a ，b ∈R )，那么 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1，②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应．故复数加法的几何意义是：复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.故复数减法的几何意义是：复数的减法可以按照向量的减法来进行，即复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数.判一判1.两个虚数的和或差可能是实数．(√)解析：当两个虚数的虚部互为相反数时和为实数，当两个虚数的虚部相等时差为实数，故正确．2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√) 解析：由复数的加法法则可知正确，故正确．3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．(×) 解析：想一想1.复数|z 1－z 2|提示：表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1与Z 2间的距离．2．在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则 (1)四边形OACB 是什么四边形？(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则该四边形OACB 的形状是什么？ (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 的形状是什么？(4)若|z 1|＝|z 2|，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 又是什么形状？ 提示：(1)平行四边形． (2)矩形． (3)菱形． (4)正方形．3．如何求复平面上向量对应的复数？提示：在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB →所对应的复数是z B －z A ，BA →所对应的复数是z A －z B ，不可把被减数与减数弄错．思考感悟：练一练1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1 B ．－iC ．5＋2iD ．1－i解析：(3＋i)－(2＋i)＝1. 答案：A2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.答案：C3．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 解析：两式相加得2z 1＝8＋2i. 答案：8＋2i4．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|＝________.解析：由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.答案：2 2知识点一 复数的加减运算1.1212A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8i解析：z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6，故选B. 答案：B2．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 答案：－13．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析：z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.知识点二复数加减运算的几何意义4.已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1对应的复数为( ) A ．－8＋6i B ．8－6i C ．8＋6i D ．－2－2i解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→， ∴P 2P 1→对应的复数为：z 1－z 2＝3－4i －(－5＋2i) ＝(3＋5)＋(－4－2)i ＝8－6i. 答案：B5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形AOB 为直角三角形．答案：B6．若复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：设AC 与BD 交于点O ，则有DA →＝DO →＋OA →＝12DB →＋12CA →＝－12( AC →＋BD →)．于是DA→对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i ，故选D.知识点三 复数加减运算几何意义的应用7.解析：利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0,1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2.∴M ∩N ＝{0，－2}．答案：{0，－2}8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值是多少？解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.基础达标一、选择题1．(2－2i)－(－3i ＋5)等于( )A ．2－iB ．－3＋iC ．5i －7D ．2＋3i解析：(2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i.故选B. 答案：B 2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－a ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.答案：A3．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1解析：z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1. 答案：A 4．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－2或1解析：z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.答案：C5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.答案：D6．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．答案：D7．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，故选A. 答案：A 二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.解析：原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i. 答案：16i9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________. 解析：设这个复数为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝x ＋y i ＝115＋3i.答案：115＋3i10．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则| AB →|＝________.解析：由题意AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴| AB →|＝2. 答案：211．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝________. 解析：∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ， 又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i. 答案：5＋5i12．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________.解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 三、解答题13．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解析：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. (2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 14．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解析：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.能力提升15.复数z 1＝3m －1－2m i ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R .若z 1＋z 2>0，求实数m 的值． 解析：z 1＋z 2＝(3m －1－2m i)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m )＋(m 2－2m )i. ∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0，∴⎩⎨⎧3m －1－m >0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.16．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.(1)求BC →对应的复数；(2)求BD →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)因为AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，所以BC →＝AC →－DC →， 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)因为BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，所以cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525，因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525.于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。
2018学年高中数学人教A版选修1-2课件：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 精品
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
已知 z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数 z＝z1－z2 对应的点位于第________象限．
【解析】 z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为 (1，－1)位于第四象限．
【答案】 四
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
2．复数减法的几何意义
如图 3-2-2 所示，设O→Z1，O→Z2分别与复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 对应，且O→Z1，
O→Z2不共线，则这两个复数的差 z1－z2 与向量 数减法的几何意义．
(即Z→2Z1)对应，这就是复
图 3-2-2 这表明两个复数的差 z1－z2(即O→Z1－O→Z2)与连接两个终点 Z1，Z2 且指向 被减数 的向量对应．
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i) ＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.
【答案】 B
3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数 z 对应的点 Z( )
A．在实轴上
【成才之路】高中数学人教A版选修1-2练习：3.2.1复数代数形式的加减运算(含答案解析)
选修 1-2第三章3.2一、选择题1．计算 (3＋ 2i)－ (1－ i) 的结果是导学号92601196 ()A． 2＋ i B ． 4＋3iC． 2＋ 3i D ． 3＋ 2i[答案 ]C[分析 ](3＋ 2i)－ (1－ i) ＝ 3＋ 2i－ 1＋i ＝ 2＋ 3i．2．若复数z 知足 z＋ (3－ 4i) ＝1，则 z 的虚部是导学号92601197 ()A．－ 2 C． 3B ． 4 D．－4[答案 ]B[分析 ]z＝ 1－(3－ 4i) ＝－ 2＋ 4i，所以 z 的虚部是4．3．设 z1＝2＋ bi， z2＝ a＋ i，当 z1＋ z2＝ 0 时，复数a＋bi 为导学号92601198 () A． 1＋ i B ． 2＋iC． 3 D ．－ 2－ i[答案 ]D[分析 ]1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)∵z＝(2＋ a)＋(b＋1)i ＝ 0，∴2＋ a＝ 0a＝－ 2，∴，b＋ 1＝ 0b＝－ 1∴a＋bi ＝－ 2－ i．4．已知 z＝ 11－ 20i，则 1－ 2i－ z 等于导学号92601199 () A． 18＋ 10i B ． 18－ 10iC．－ 10＋18i D ． 10－ 18i[答案 ]C[分析 ]∵z＝11－20i ，∴1－2i － z＝ 1－ 2i－ 11＋ 20i＝－ 10＋ 18i ．5．设 f(z)＝ |z|， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2) ＝导学号92601200 () A． 10 B ． 55C． 2 D ． 52[答案 ]D[分析 ]1－z2＝5＋5i，∵z∴f(z1－z2)＝ f(5＋ 5i) ＝|5＋ 5i|＝ 52．6．设复数z 知足关系式z＋|z|＝ 2＋ i，那么 z＝导学号92601201 ()A．－3＋i B ．3－i 44C．－3－ i D．3＋ i 44[答案 ]D[分析 ]设 z＝x＋ yi( x、 y∈R )，则 x＋ yi ＋ x2＋ y2＝ 2＋ i，x＋x2＋ y2＝ 2所以有，y＝ 13x＝4，解得y＝ 13故 z＝4＋ i ，应选 D．二、填空题7．│ (3＋ 2i) － (4－i) │＝ ________. 导学号 92601202[答案 ]10[分析 ]│(3 ＋2i) － (4－ i)│＝│3＋ 2i－ 4＋ i│＝│－ 1＋ 3i│＝－ 1 2＋ 32＝ 10．8．已知复数 z1＝ (a2－ 2)＋ (a－4)i ， z2＝ a－ (a2－ 2)i(a∈R )，且 z1－ z2为纯虚数，则a＝________. 导学号 92601203[答案 ]－1[分析 ]z1－ z2＝ (a2－ a－ 2)＋ (a－ 4＋ a2－ 2)i( a∈R )为纯虚数，a2－a－ 2＝ 0∴，解得 a＝－ 1．a2＋ a－ 6≠ 0→→→对应的复数分别为－2＋ i、 3＋ 2i、 1＋5i ，9．在复平面内， O 是原点， O A、OC、A B→那么 B C 对应的复数为 ______. 导学号 92601204[答案 ]4－4i[分析 ]→→→B C＝ O C－ O B→→→＝OC－(OA＋AB)＝3＋2i －( －2＋ i＋ 1＋ 5i)＝(3＋ 2－ 1)＋ (2－ 1－ 5)i＝4－4i ．三、解答题→→对应的复数分别是3＋2i 与 1＋ 4i，两对角线10．已知平行四边形 ABCD 中， A B与 A CAC 与 BD 订交于 P 点 . 导学号 92601205→(1)求 A D 对应的复数；→(2)求 D B 对应的复数．[剖析 ]由复数加、减法运算的几何意义可直接求得→→A D ， DB 对应的复数，先求出向→→对应的复数，经过平面向量的数目积求△APB 的面积．量 P A、P B[分析 ](1)因为 ABCD 是平行四边形，所以→→→，于是→→→，A C＝ A B＋A D A D＝ A C－ A B而 (1＋ 4i) －(3＋ 2i) ＝－ 2＋ 2i，→即 A D 对应的复数是－2＋ 2i．→→→(2)因为 D B ＝ A B － A D ，而 (3＋ 2i)－ (－ 2＋ 2i)＝ 5，→即 D B 对应的复数是5．一、选择题1 ．复数 (3m ＋ mi) － (2 ＋ i) 对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是导学号92601206 ()2A． m<3 B ． m<12C．3<m<1 D ． m>1[答案 ]A3m－2<02．[分析 ](3m＋ mi) － (2＋ i)＝ (3m－ 2)＋ (m－1)i ，由题意得，∴m<m－1<03 2．复数 z1＝ a＋ 4i， z2＝－ 3＋ bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a， b 的值为导学号 92601207 ()A． a＝－ 3， b＝－ 4 C． a＝ 3，b＝－ 4B ． a＝－ 3， b＝4 D． a＝ 3， b＝4[答案 ]A[分析 ]由题意可知 z1＋ z2＝ (a－ 3)＋(b＋4)i 是实数，z1－ z2＝ (a＋ 3)＋ (4－ b)i 是纯虚数，b＋ 4＝0故 a＋ 3＝ 0，解得 a＝－ 3， b＝－ 4．4－ b≠ 03．在平行四边形→ →ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，若向量 OA、OB对应的复数→导学号 92601208 ()分别是 3＋i 、－ 1＋ 3i，则 CD 对应的复数是A． 2＋ 4i B ．－ 2＋ 4i C．－ 4＋ 2i D ． 4－ 2i[答案 ]D[分析 ]→→→→依题意有 CD ＝BA ＝OA－ OB，而 (3＋ i) － (－ 1＋ 3i)＝ 4－ 2i，→．即 CD对应的复数为 4－ 2i应选 D．4．假如一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是导学号 92601209 () 11A．5 B ． 3i11＋3i D ．11＋2 3iC．55 [答案 ]C[分析 ]设 z＝x＋ yi( x， y∈R )，则 x＋ yi ＋x2＋ y2＝ 5＋3i，22＝ 5x＝11x＋ x＋ y5∴，解得．y＝ 3y＝ 311∴z＝5＋3i，应选 C．二、填空题5 ．设 z1＝ x ＋ 2i ， z2＝ 3 － yi( x ， y ∈R) ，且z1＋ z2＝ 5 － 6i ，则 z1－ z2＝________. 导学号92601210[答案 ]－1＋10i[分析 ]∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝( x＋3)＋(2－y)i，又 z1＋ z2＝ 5－ 6i，x＋3＝ 5.∴x＝ 2∴．2－ y＝－ 6y＝ 8∴z1－ z2＝ (2＋ 2i) － (3－ 8i)＝－ 1＋ 10i ．36．已知z1＝2 a＋ (a＋ 1)i ， z2＝－ 3 3b＋ (b＋ 2)i( a、 b∈R )，若 z1－ z2＝ 4 3，则 a＋b ＝______. 导学号 92601211[答案 ]3[分析 ]1 －z2＝[333b)＋ (a＋ 1－ b－ 2)i ＝z2 a＋ (a＋ 1)i] － [ － 33b ＋ (b＋ 2)i] ＝ ( 2 a＋ 34 3，3∴2 a＋ 33b＝ 43，a－ b＝1a＝ 2解得，∴a＋b＝ 3．b＝ 1三、解答题7．已知z1＝(3x＋ y) ＋(y－ 4x)i ，z2＝ (4y－2x) － (5x＋ 3y)i( x、 y∈R )，设z＝z1－z2，且z＝13－ 2i，求 z1、 z2. 导学号 92601212[分析 ]z＝ z1－ z2＝ (3x＋ y)＋ (y－ 4x)i － [(4y－ 2x) － (5x＋ 3y)i] ＝ [(3x＋ y)－ (4y－ 2x)] ＋ [(y－4x)＋ (5x＋ 3y)]i ＝ (5x－ 3y)＋ (x＋ 4y)i ，又因为 z＝ 13－ 2i，且 x， y∈R，5x－ 3y＝ 13所以，x＋ 4y＝－ 2x＝ 2解得．y＝－ 1所以 z1＝ (3×2－ 1)＋ (－ 1－ 4× 2)i ＝5－ 9i，z2＝ 4× (－ 1)－ 2× 2－ [5 ×2＋ 3×(－1)]i ＝－ 8－ 7i．→8．已知复平面内平行四边形ABCD ， A 点对应的复数为2＋i ，向量 BA对应的复数为1→＋ 2i，向量 BC对应的复数为3－ i，求：导学号92601213(1)点 C、 D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[分析 ]→→3－ i，(1)∵向量BA对应的复数为1＋ 2i，向量 BC对应的复数为→∴向量AC对应的复数为(3－ i) － (1＋ 2i) ＝2－ 3i．→→→又 OC＝OA＋ AC，∴点C 对应的复数为(2＋i) ＋ (2－ 3i)＝ 4－ 2i．→→∵AD ＝ BC，→→∴向量AD 对应的复数为3－i ，即 AD＝ (3，－ 1)．→设 D(x， y)，则 AD ＝ (x－ 2， y－ 1)＝ (3，－ 1)，x－2＝ 3x＝ 5∴，解得．y－1＝－ 1y＝ 0∴点D 对应的复数为5．→→ →→(2)∵BA·BC＝ |BA||BC|cos B，→ →3－ 227 2 BA·BC∴cos B＝→ →＝5× 10＝10.∴sin B＝10．|BA ||BC|→ →72∴S＝|BA ||BC|sin B＝5× 10×10＝ 7，∴平行四边形 ABCD 的面积为 7．。
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ， 则BA →对应的复数为－2－i ， ∵CA →＝CB →＋BA →，∴CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：D2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ， 故z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：D3．设复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．5 B. 5 C ．6D. 6解析：z 1－z 2＝(cos θ－sin θ)＋2i ， 所以|z 1－z 2|＝(cos θ－sin θ)2＋4＝5－sin 2θ， 因此当sin 2θ＝－1时，|z 1－z 2|取最大值6，故选D. 答案：D4．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．圆 B ．半圆 C ．直线D ．射线解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|得 (x －3)2＋(y ＋4)2＝(x ＋3)2＋(y －4)2，化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是一条直线． 答案：C5．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22D.12解析：由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，d ＝|－1|12＋12＝22. 答案：C6．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：17．设实数x ，y ，θ满足以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x 2＋y 2的最大值是________． 解析：∵x ＋y i ＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)， ∴x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2 ＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.∴(x 2＋y 2)max ＝50＋50＝100. 答案：1008．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析：因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a －b ＝－4.答案：－4 9．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)；(2)(3＋2i)＋(3－2)i ； (3) (1＋2i)＋(i ＋i 2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解析：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i.(2)原式＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i. (3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋32＋42＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i.(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.10．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数1,2＋i ，－1＋2i.D 为BC 的中点． (1)求向量AD →对应的复数； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由条件知在复平面内B (2,1)，C (－1,2)． 则D (12，32)，点D 对应的复数是12＋32i ，AD →＝OD →－OA →＝(12，32)－(1,0)＝(－12，32)，∴AD →对应复数为－12＋32i.(2)AB →＝OB →－OA →＝(1,1)， |AB →|＝2，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，|AC →|＝8＝22，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，|BC →|＝10， ∴|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2， ∴△ABC 为直角三角形． ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2. [B 组 能力提升]1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝|ad －bc |，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x >0)，符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 111＝x 的点Z 在复平面上所表示的曲线的形状是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由已知可得|z －1|＝x ，∴|x －1＋y i|＝x . ∴(x －1)2＋y 2＝x 2.∴y 2＝2x －1. 答案：C2．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析： 由|z －4i|＝|z ＋2|得 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 即x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.答案：C3．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100. 答案：C4．已知复数z 1＝1－2i 和z 2＝4＋3i 分别对应复平面内的A ，B 两点，求： (1)A ，B 两点间的距离；(2)线段AB 的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式． 解析：(1)|A B →|＝|z 2－z 1|＝|(4＋3i)－(1－2i)| ＝|3＋5i|＝34.所以A ，B 两点间的距离为34.(2)线段AB 的垂直平分线上任一点Z 到A ，B 两点的距离相等， 设点Z 对应的复数为z ， 由复数模的几何意义， 知|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上式，得 |(x －1)＋(y ＋2)i|＝|(x －4)＋(y －3)i|， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝(x －4)2＋(y －3)2.整理上式可得线段AB 的垂直平分线的方程为3x ＋5y －10＝0.所以线段AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x ＋5y －10＝0.5．设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，a ∈R ，A ＝{z ||z －z 1|<2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，|z －z 1|<2， 即|z －(1＋2a i)|<2，|z －z 2|≤22， 即|z －(a －i)|≤22，由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1,2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即(1－a )2＋(2a ＋1)2≥32，解得a ≤－2或a ≥85.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
优化方案高中数学选修1-2(人教A版)：3.2.1 《复数代数形式的加减运算及其几何意义》 课件
∴|OA|＝ 2＋ 2,|OB|＝ 2－ 2.
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第三章 数系的扩充与复数的引入
又点 O 到直线 l 的距离为 22,且过 O 向 l 引垂线,垂足在线段 AB 上,且 22＜ 2－ 2,故由复数的几何意义知,集合 P 中复 数模的最大值为 2＋ 2,最小值为 22.
信息提炼 层层剖析 利用复数模的几何意义判定 M、N 的轨迹图形. 由 M、N 的图形判定 M∩N 的图形. 复数问题转化为实数问题. 根据复数模的几何意义,运用数形结合方法确定并求出 集合 P 中复数模的最大、最小值.
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第三章 数系的扩充与复数的引入
题型三 复数加减运算的综合应用
例3 已知z1,z2∈C,且|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1. 求|z1＋z2|. 【解】 法一:设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1, ① (a－c)2＋(b－d)2＝1, ② 由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|
(2)因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间的
对应关系;式子 z1＋z2＝O→Z1＋O→Z2,z1－z1＝O→Z2－O→Z1的左边是
复数,而右边是坐标,因此不能说 z1＋z2 与O→Z1＋O→Z2,z2－z1 与
－ 相 → →
OZ2 OZ1
等.
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第三章 数系的扩充与复数的引入
做一做
在复平面内,向量 A→B ,A→C 对应的复数分别为－1－8i,－2－ 3i,则 B→C 对应的复数为( )
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第三章 数系的扩充与复数的引入
(3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C, ∴O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i,即 B 点对应 的复数为 1＋6i.
数学人教A版选修1-2优化练习第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．已知复数＝＋，＝－，则复数＝－对应的点位于( )．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限解析：＝－＝(－)－(＋)＝－－故对应的点(－，－)在第三象限．答案：．在复平面内的平行四边形中，对应的复数是＋，对应的复数是－＋，则对应的复数是( )．＋．＋．－－．－解析：依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是＋，对应的复数是－＋，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－－.答案：．复数＝＋，＝－＋，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为( )．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝．＝，＝－解析：由题意可知＋＝(－)＋(＋)是实数，－＝(＋)＋(－)是纯虚数，故(\\(＋＝，＋＝，－≠，))解得＝－，＝－.答案：．，分别是复数，在复平面内对应的点，是原点，若＋＝－，则三角形一定是( )．直角三角形．等腰三角形．等腰直角三角形．等边三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形为直角三角形．答案：．设∈，且＋－－＝，则＋的最小值为( )．．解析：由＋＝－知，在复平面内，复数对应的点的轨迹是以(－)和()为端点的线段的垂直平分线，即直线＝－，而＋表示直线＝－上的点到点(，－)的距离，其最小值等于点(，－)到直线＝－的距离．答案：．已知复数＝(－)＋(－)，＝－(－)(∈)，且－为纯虚数，则＝.解析：－＝(－－)＋(－＋－)(∈)为纯虚数．∴(\\(－－＝，＋－≠.))解得＝－.答案：－．若复数满足－＝θ＋θ，则的最大值为．解析：∵－＝θ＋θ，∴＝＋θ＋θ.则＝θ(＋θ)＝θ()≤.答案：．在平行四边形中，各顶点对应的复数分别为＝，＝＋，＝－＋，＝－＋，则实数－为．解析：因为＋＝，所以＋＋(－＋)＝－＋，所以(\\(－＝－，,()＋＝，))得－＝－.答案：－．设∈，复数＝(＋)－(＋)－(－)．()若为实数，求的值．()若为纯虚数，求的值．解析：＝(－－)＋(－＋).()若为实数，则－＋＝，所以＝或.()若为纯虚数，则(\\(－－＝，－＋≠，))解得＝－.故当＝－时，为纯虚数．．如图所示，平行四边形的顶点，，分别对应复数＋，－＋.求：()向量对应的复数；()向量对应的复数；()向量对应的复数．解析：()因为＝－，所以向量对应的复数为－－.()因为＝－，所以向量对应的复数为(＋)－(－＋)＝－.()因为＝＋，所以向量对应的复数为(＋)＋(－＋)＝＋.[组能力提升]．设()＝＋－，且＝＋，＝－－，则(－)等于( )．＋．＋．＋．＋解析：∵＝＋，＝－－，。
人教版数学高二-人教A版选修1-2课时作业复数代数形式的加、减运算及
课时作业40一、选择题1．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－iD ．－1－3i解析：z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i. 答案：B2．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1→对应的复数为( ) A. －8＋6i B. 8－6i C. 8＋6iD. －2－2i 解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→， ∴P 2P 1→对应的复数为： z 1－z 2＝3－4i －(－5＋2i) ＝(3＋5)＋(－4－2)i ＝8－6i. 答案：B3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案：B4．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解析：∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i. 答案：C 二、填空题5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝__________.(x ，y ∈R ) 解析：原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 答案：(y －x )＋5(y －x )i6．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 为平行四边形，则z ＝__________.解析：由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)． ∴z ＝3－6i. 答案：3－6i7．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是__________．解析：复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4. 答案：4 三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ， ∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.9．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i. (1)求BC →对应的复数； (2)求BD →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →， 所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i. (2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)， ∴cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525.因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。
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[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i 故z 对应的点(－1，－3)在第三象限． 答案：C
2．在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数是6＋8i ，BD →对应的复数是－4＋6i ，则DA →
对应的复数是( ) A ．2＋14i B ．1＋7i C ．2－14i
D ．－1－7i
解析：依据向量的平行四边形法则可得DA →＋DC →＝DB →，DC →－DA →＝AC →，由AC →对应的复数是6＋8i ，BD →
对应的复数是－4＋6i ，依据复数加减法的几何意义可得DA →
对应的复数是－1－7i. 答案：D
3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4
D ．a ＝3，b ＝4
解析：由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故 ⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.
答案：A
4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →
为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形． 答案：B
5．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0
B ．1
C.
22 D.12
解析：由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离． 答案：C
6．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－a －2＝0，a 2
＋a －6≠0.解得a ＝－1.
答案：－1
7．若复数z 满足z －1＝cos θ＋sin θi ，则|z |的最大值为________． 解析：∵z －1＝cos θ＋sin θi ， ∴z ＝1＋cos θ＋sin θi. 则|z |＝ (1＋cos θ)2＋sin 2θ＝
2(1＋cos θ)≤2.
答案：2
8．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a
2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实
数a －b 为________．
解析：因为OA →＋OC →＝OB →
，所以2＋a 2
i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，
得a －b ＝－4.
答案：－4
9．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)若z 为实数，求m 的值． (2)若z 为纯虚数，求m 的值． 解析：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0， 所以m ＝1或2.
(2)若z 为纯虚数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，
解得m ＝－12
.
故当m ＝－1
2
时，z 为纯虚数．
10．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.
求：
(1)向量AO →
对应的复数； (2)向量CA →
对应的复数； (3)向量OB →
对应的复数．
解析：(1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →
对应的复数为－3－2i.
(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →
对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →
对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
[B 组 能力提升]
1．设f (z )＝|z |＋z －5，且z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．52＋5i B ．5＋5i C ．2＋5i
D ．3＋11i
解析：∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i 又∵f (z )＝|z |＋z －5
∴f (z 1－z 2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝52＋5i. 答案：A
2．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心
D ．垂心 解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心． 答案：A
3．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，
则|z 1|2＋|z 2|2
等于( ) A ．10 B ．25 C ．100
D ．200
解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→
为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点， ∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10，∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→
|2＝100.
答案：C
4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →
对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →
对应的复数是________．
解析：∵OA →，OB →
对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ∴BA →
对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i 又在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →
故CD →
对应的复数为4－2i. 答案：4－2i
5．已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.
解析：设复数z 1，z 2， z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形， 在△OZ 1Z 中，由余弦定理得
cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－1
2
，
所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°，因此，△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1.
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设复数z ＝cos A ＋sin A i ，且满足|z ＋1|＝1. (1)求复数z ； (2)求
b －c
a cos (60°＋C )
的值．
解析：(1)∵z ＝cos A ＋sin A i ， ∴z ＋1＝1＋cos A ＋sin A i. ∴|z ＋1|＝
(1＋cos A )2＋sin 2A ＝
2＋2cos A .
又∵|z ＋1|＝1，∴2＋2cos A ＝1.
∴cos A ＝－1
2.∴A ＝120°.
∴sin A ＝
32.∴复数z ＝－12＋32
i. (2)由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C (其中R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴原式＝sin B －sin C
sin A ·cos (60°＋C ).
∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ， ∴原式＝sin (60°－C )－sin C
sin 120°·cos (60°＋C ) ＝32cos C －3
2sin C 32·cos (60°＋C )
＝
cos C －3sin C
12cos C －3
2sin C
＝2.。
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