高中数学人教A版必修二 课件：3-3-1、2 两条直线的交点坐标、两点间的距离
高一数学人教版A版必修二课件：3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
新知探究 点点落实
思考1
直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案 思考2
答案
直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴ | AC | ＝ b－02＋c－02＝ b2＋c2， பைடு நூலகம்BD|＝ a－b－a2＋c－02＝ b2＋c2.
x＝－3， 5 得 7 y＝－5，
即5x＋15y＋24＝0.
解析答案
类型二
两点间的距离公式及其应用
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， (1)判断△ABC的形状；
解析答案
(2)求△ABC的面积. 1 1 解 S△ABC＝2|AC|· |AB|＝2( 52)2＝26， ∴△ABC的面积为26.
解析答案
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
±6 k＝________. 解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0， k 得 y＝3， k 将(0，3)代入 x－ky＋12＝0， 解得k＝±6.
解析答案
(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点， 2x－y＝0 则直线l的方程为_______________.
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
人教A版高中数学必修二 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.2.2 两点间的距离 课件 (共33张PPT)
所以 A B 2 C D 2 A D 2 B C 2 2 ( a 2 b 2 c 2 ) ，
A C 2B D 22(a2b2c2)，
所以 A B2C D 2A D 2B C2AC 2 BD2 . 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第
因此， ③ , ④ 可以化成同一个方程，表示同一直线， l 1 , l 2 重合.
方法二： 由于 3 4 5 ，
6 8 10
所以 l 1 , l 2 重合.
3.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
它们的坐标分别是（
x
，
A
0
），（ x
B
，0
）（，0，
l 1 :3 x 4 y 2 0 ,l2 :2 x y 2 0 .
解：解方程组
3x 4y 2 0, 2x y 2 0,
得
x
y
2, 2,
所以l1与l2的交点为
M（-2，2）.(如图所示)
M
l1 l2
探究2：当λ 变化时，方程3x+4y-2+λ (2x+y+2)=0 表示何图形?图形有何特点？
y
C）（，0，
y
D），
那么|AB|，|CD|怎样求？
AB=xA-xB,CD=yC-yD
(2)已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，试求两点间的距离.
若 y1 y2
y
P1 ( x1 , y1 )
P2 (x2 , y2 )
高中数学人教A版必修2课件：第三章 3-3 3-3-1 - 3-3-2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
1．判断两直线的位置关系，关键是看两直线的 方程组成的方程组的解的情况，过程如下
2．几种特殊的直线系方程: (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋
By＋m＝0(m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－
Ay＋m＝0(m为常数)． (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点 的 直线系为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但其不 能表示直线A2x＋B2y＋C2＝0，其中λ为常数．
|AM|＝ （0－b2）2＋（0－2c）2＝12 b2＋c2， 所以|AM|＝12|BC|.
1．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的 问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根 据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，
公式中两点的位置没有先后之分．
2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是: 第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在 坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关
程组有无穷多个解，则两条直线重合．
2．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋ C2＝0相交的条件是什么？
提示：由AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，，消y得 (A1B2－A2B1)x＝C2B1－C1B2，
当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解，则直线l1与 l2相交．
5．已知点P(x，y)，问x2＋y2表示的几何意义是 什么？
提示：由两点间的距离公式， x2＋y2＝( （x－0）2＋（y－0）2)2，则x2＋y2表 示点P到坐标原点O的距离的平方．
[例1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，
求出相应的交点坐标：
高一数学人教A版必修2课件：3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离公式 教学课件
第三章
直线与方程
4．(2016～2017· 宜春高一检测)直线 l 经过原点，且经过另两条直线 2x＋3y ＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为 导学号 09024789 ( B ) A．2x＋y＝0
[ 解析] 解法
B．2x－y＝0
2x＋3y＋8＝0 1：由 x－y－1＝0
第三章
直线与方程
直经方程的设法技巧与直线系方程 直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取 遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线． (1)已知 l：y＝kx＋b，与 l 平行的直线方程设为 y＝kx＋b1；与 l 垂直的直线 1 方程设为 y＝－k x＋b1(k≠0)． (2)已知 l：Ax＋By＋c＝0，与 l 平行的直线方程设为 Ax＋By＋C1＝0，与 l 垂直的直线方程设为 Bx－Ay＋C2＝0.
[思路分析]
题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看
它们组成的方程组的解的个数．
返回导航
第三章
直线与方程
2x＋y＋3＝0 (1)解方程组 x－2y－1＝0 x＝－1 ，得 y＝－1
[ 解析]
，所以直线 l1 与 l2 相交，
交点坐标为(－1，－1)．
x＋y＋2＝0 ① (2)解方程组 2x＋2y＋3＝0 ②
[错因分析]
错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，
而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标， 同时满足第三条直线即可．
返回导航
第三章
直线与方程
[ 正解]
显然 l1 与 l3 不平行，当 l1∥l2 或 l2∥l3 时，不能构成三角形，此时对
人教版数学必修二课件：3-3-1两条直线的交点坐标
重点导析
重点 1 联立方程，解方程组求直线交点坐标 重点 2 判断直线间的位置关系
思维导悟
导悟 1 代数法判断两直线的位置关系 【例 1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1∶2x－y＝7 和 l2∶3x＋2y－7＝0； (2)l1∶2x－6y＋4＝0 和 l2∶4x－12y＋8＝0； (3)l1∶4x＋2y＋4＝0 和 l2∶y＝－2x＋3.
知识导学
知识点 1 联立两条不重合直线的方程 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， ，解方程组可求交点坐标． 知识点 2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0： ①A1≠B1⇒两直线相交，即方程组有唯一解．
A2 B2 ②A1＝B1≠C1⇒两直线平行，即方程组无解．
导悟 3 根据交点求参数的值或其范围
【例 3】 已知直线 5x＋4y＝2a＋1 与直线 2x＋3y＝a 的交点位于第四象限，则 a 的取值范围是________．
【解析】 解方程组52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 得xy＝ ＝2aa－7＋ 723，，交点在第四象限， 所以2aa－7＋ 723<>00，，解得－32<a<2. 【答案】 －32<a<2
方法导拨
导拨 求过交点的直线
【例 4】 求过两直线 2x－3y0 平 行的直线方程．
【解】 解法 1：解方程组2x＋x－y＋3y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， ，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，
第三章 直线与方程
第三节 直线的交点坐标与距离公式
2018学年高中数学必修二人教A版课件：3-3-1、2两条直线的交点坐标 两点间的距离 精品
[变式训练 5] 已知两点 A(3，－3)，B(5,1)，直线 l：y＝x， 在直线 l 上求一点 P 使|PA|＋|PB|最小．
解：如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，易知 A′(－ 3,3)．连接 BA′交直线 l 于点 P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB| ＝
|A′B|.又直线 A′B 的方程为 x＋4y－9＝0，与 y＝x 联立 解得 P95，95.
两点间距离公式的应用
[例 3] 已知点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一 点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为________．
[解析] 设 P(x,2)，∵点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y ＝ 2 上 一 点 P ， 使 |AP| ＝ |BP| ， ∴ x＋22＋2－12 ＝
对称问题
命题视角 1：点关于点的对称问题 [例 4] 点(1,1)关于点(2,3)的对称点坐标是________． [分析] 设出对称点坐标(x，y)，利用中点坐标公式求 解．
[解析] 设对称点坐标是(x，y)，
则11＋＋22 xy＝＝23
，解得xy＝＝35 .
所以对称点坐标是(3,5)．
点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决.
[变式训练 1] 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线 l 的方程．
解：方法 1：由方程组2xx＋－y3＋y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， .
∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行，∴直线 l 的斜率 k＝－ 3.∴根据点斜式有 y－(－75)＝－3[x－(－35)]，即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
高中数学人教a版必修二课件：3.3.1 《直线的交点坐标与距离公式》
例5.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
y 解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线 D(b,c) C(a+b,c)
为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得
C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
..
3.3 直线与方程
3.3.1 直线的交点坐标与两点间 的距离公式
本课件在复习的基础上，以我国著名数学家华罗庚的诗 句引入将要研究问题的方法和两直线的位置关系中平行、 垂直都可以用直线的斜率数值来刻画，那么通过研究二元 一次方程组的解与直线的交点问题，引入两直线的交点坐 标求解。
通过例1、例2、例3巩固掌握直线交点的求法和运用直 线系解答相交直线的方程求解问题；通过例4、例5学会求 两点间的距离，学会运用坐标法通过计算解答平面几何问 题，初步了解解析法解决问题的思路和步骤。
用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
练习：证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则有C(0,0)
y B (0,b)
M
O C (0,0)
A(a,0x)
1.两条直线的交点坐标
2.“两直线的位置关系”与“方程组解的个数”之间有何对应 关系？
两直线相交 方程组有唯一解 两直线平行 方程组无解 两直线重合 方程组有无穷多解
3.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
2015-2016学年高一数学人教版必修2课件：3.3.1-2两条直线的交点坐标两点间的距离
3・3直线的交点坐标与距离公式3. 3. 1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记两条直线交点坐标求法及两点间的距离公式，初步掌握它们的应用.(BOB)俩点间的距离;L式形式）—f原点与任一点的距离〕瀛豪提示如杲您在观石木*件旳辻我中A0.^0.獭同幷宥幻灯片.可£to.【知识链接】1•直线方程的一般式Ax+By+C=0(A2+B2#0)2•解二元一次方程组的两种方法⑴代入消元法(2)加减消元法主题一:两条直线的交点坐标【自主认知】已知二元一次方程组思考下列问题(1)二元一次方程组的解法有哪些？提示:代入消元法，加减消元法.A J X+B J +C J =0, A2x + B2y + C2=0,(2)如何解这个方程组?请写出解的过程.提示:采用消元的方法来解方程组① x B?•■② x B]得(AiBp-AzBJx 二B I C Q-B Q C I，当A1B2-A2B1XO时方程组有惟一解JA]X + B]y + C] =0,①A2x + B2y + C2 =0,②当A1B r A2B1=0z HB1C2-B2C1^0HtT3^KW；「「当A]B2・A2B I=O,且B1C2-B2G二0时方程组有无数多解.A J B?— A?BjC.A.-CA(3)在方程组中,每一个方程都可表示申—•县线,那么方程组的解说明什么？提示:芳*呈组的'解对应葩点即为两直线的交点i根据以上探究过程,试着完成下面表格: 1・几何元素及代数表示2两条直线的交点问题【合作探究】1•若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？提示:不一定•两解. 条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟若方程组有无穷多组解，则两直线重合.2设2i：A[X+Biy+C尸0”2：A2X+B2y+C2=0,则片与乙相交的条件是什么？提示人与b相交的条件是或(A2,B2#0)A2 B2【过关小练】1 •直线x=1和y=2的交点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)7C.(1,1)D.(2,2)［解析】选A.由题意知故两直线交点坐标为(1,2).X = 1,y = 2,2直线/1:x+y+2=0与/2：2x+2y+3=0的位置关系是【解析】由②■①x 2得J二0矛盾，故方程组无解，x + y + 2 = 0,① 2x + 2y + 3 = 0,②即（I：答案：］1/2主题二:两点间的距离公式【自主认知】1 •在直角坐标系中，已知两点Pi(x1,y1),P2(x2，y2)iiP1,P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为1\^%,0),1\/1幽2,0),叫(0,力),％(0$2),直线匕N苫P02相交于点Q,|P[Q|」QP2l分别是多少？提示:因为IP.QhlM.M^JQPX 叫％, ^LU|P1Q|=|x2-x1|)|QP2|=|y2-y1|.2•结合问题1,如何推导出公式『巴1=提示:在构造的M^P1QP2中利用勾股定理, 由此得到两点间的距离公式IP巴匕9J(x2—xj2+(y2—y$■根据以上探究过程，试着写出平面内两点间的距离公式：两点间的距离公式⑴条件:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ⑵结论:|Pf2〔= .⑶特别地原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= ____________［合作探究】1 •公式中“与X2，y〔与丫2的顺序是否可以互换？提示:因为公式中含有的是(X2・X併与区・力)2的租故可以交换顺序・2当Pf 2垂直于坐标轴时，公式的形式是怎样的？提示:当卩巴垂直于y轴时，尸尸』屮广X』；当卩巴垂直于X轴时」Pf』3•式子的几何意义是什么？提示:式子表示平面上的点(x,y)到原点的距离.JxWJx? + y2 = J(x_O『+(y_0)~【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域对平面上两点间距离公式的直接运用，要注意公式的形式，关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题，如果直接代入两点间距离公式，由于有两个根式,所以求解非常烦琐, 故经常采用对称方法转化后，再由两点间距离求解.例如:求函数的值域.-x + l-Vx^+x + ly=解:原式可变形为V 2 4 \ 2 4J(x-i)2+ (0-^)2J(x4)2+ (0-^)2.1、—A/3即 y=PA ・PB,由于 |PA ・PB|vAB 二 所以 |y|<1,SP-1<y<1> 以函数 f它表示动点P （x,O ）到1 6W离之差即图序示:A （订）和B （-订）【过关小练】1 •已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|=()A 1B 2C 3 i解析】选A・|AB|=|3・2|=1・•2,A(a,2a),B(1,2)两点的距离为，则吐【解析】由得a=0或厉答案：0或2+ (2a-2)2 =怎【归纳总结】1 •对求两条直线交点坐标的两点说明(1)求解直线的交点坐标时，要注意无解和有无数多解的特殊情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系.(2)若探讨直线的位置关系，最后要把解的情况还原为几何问题,即直线的位置关系.2•方程组的解与两条直线的位置关系的联系(1 )方程组有惟一解，两直线相交.(2)方程组有无穷多解,两直线重合.(3)方程组无解,两直线平行.3 •对两点间距离公式的两点说明(1)求两点间的距离时，可直接把坐标代入相应公式,需注意公式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和，切不可把横、纵坐标混用.⑵两点间的距离公式除求距离外，还可以求参数的值，求解时直接利用题设建立参数的方程，然后求解得参数值便可.类型一:求两条直线的交点坐标【典例1 ］判断下列各组直线的位置关系•如果相交，求出交点的坐标:(1)Z1:5x+4y-2=0,/2:2x+y+2=0.(2)/［ :2x-6y+3=0,/2:y=(3)/1:2x-6y=0,/2:y=［解题指南］解两直线方程组成的方程组，根据解的情况判断.1 1_X + _・3 21 1-x + -・3 210 5x + 4y-2 = 0 所以人与$相交,且交点坐标如2x + y + 2 = 0,倚 半） 3，3 ②X 6整理得2X-6浮三6y + 3 = 0,®因此z ①和②可攻化网同一亍方程,即①和②表示同一条直线,人与重合. [y 〒 +护【解析】⑴解方程组 X=T 14 y =—・ 3⑵解方程组2x-6y = 0,①< 1 1②x6 ■①得3二0,矛声二_x + _，② 方程组无解,所以希直礙公粪点右⑶解方程组 II/2.【规律总结】求两直线的交点坐标的方法及注意事项(1)方法:联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标.⑵注意第项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.【巩固训练】已知直线片:Ax+3y+C=0』2：2x・3y+4=0,若人厶的交点在y轴上，求C的值. 【解析】由因为直线/山的交点在y轴上，所以x==0,即c=4・_（4 + C）]Ax + 3y + C = 0,得 - A +2' [2x-3y + 4 = 09 I 2 4 + C 4y -------------- F—9[3 A + 2 3-（4 + C）【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中，若三条直线2x+y-5=03x-y-1=0 和ax+y・3=0相交于一点，则实数a的值为 ________________________ .［解析］解方程组将x=2"二1 代入ax+y・3 二0,得2a + l・3 二0,解得a 二：L. ~2x + y-5 = 0 ]x = 2, x-y-l = 0 寸[y = 1.答案：1类型二:过两直线交占的直线系方程【典例2】⑴经过皆B(1,0)和两直线/1:x+2y-2=0,Z2:3x-2y+2=0交点的直线方程为⑵无论实数a取何值力程(a・1)x・y+2a・1=0表示的直线恒过定点，试求该定点.【解题指南】⑴设所求直线方程为x+2y・2+入(3x・2y+2)二0,再将x二1"二0代入求出入即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为1+a (x+2)二0.解方程组得直线所过定点.x + 2 = 0,【解析】⑴设所求直线方程为x+2y-2+入(3x-2y+2)二0. 因为点P(1,O)在直线上所以1・2+入(3+2)二0,所以入二.所以所求方*呈为x+2y・2+ (3x-2y+2)=0z 即x+y-l=0z 答案:x+y・l二0(2)由(a-l)x-y+2a-l=0z得-x-y-l+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x・y -1=0与直线x+2二0的交点. 解方程组所以方程(a・l)x-y+2a・l二0表示的直线恒过定点(21).x = _2, y = l・【延伸探究】1・(变换条件)若把本例⑴中条件“经过点P(1,o)”换为“经过点P(1,1)M其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】设所求直线方程为x+2y-2+入(3x・2y+2)二0, 因为点P(S)在直线上所以l+2xl・2+入(3xl・2xl+2)二0,所以入二-. 所以所求直线方程为x+2y・2- (3x-2y+2)二0,即y二1.2(变换条件)若一条直线经过本例(1)中两直线的交点，且与直线3x+y+1=0平行，则此直线的方程是什么？提示:由两直线联立方程组得解得x=0"二l z所以交点为(0Q又直线3x+y+l二0平行于所求直线，故可设直线方程为3x+y+m二0,把(0,1)代入得m二-1.故所求直线方程为3 x+y -1二0. x + 2y - 2 = 0,3x-2y + 2 = 0,［规律总结］1・解含着参数的直线恒过定点的问题的两种方法：(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题冃中含参数直线所过的定点，从而问题得解.⑵方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y4-C1+A(A2X4-B2y4-C2)=05 其中入是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得•若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0,y0).人“ +殆+匚=0, A2x + B2y + C2 =02过两直线交点的直线系方程若直线A：A〔x+Biy+C讦0与直线Z2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x°,yo),则方程A1x+B1y4-C1+A(A2x+B2y+C2)=0(AGR)表示过人与空交点的直线系方程(但不包括直线9,其中入为待定系数.【拓展延伸】常见的直线系⑴与直线L:Ax+By+C=O平行的直线系方程为:Ax+By+m=O(其中n#C,m为待定系数). ⑵与直线L:Ax+By+C=O垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=O(m为待定紊数).⑶过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x o)+B(y-y o)=O.【补偿训练】1 •对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0必经过的定点是()A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,・3)D.2 •设直线A：x・3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点为P,求过点P和原点的直线方程.【解题指南】1•整理为A]X+Biy+C]+入Qx+Bzy+C/n的形式，解方程组得定点坐标. 2 •利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.【解析】1 •选C.直线方程)x+2my+6=0可化为:・x+6+in(2y+x)=0・因此，该直线恒过直线・x+6=0与x+2y=0的交点由2 •方法一:求得交点又0(0,0),写出方程为3x+19y=0.方法二:过两直线人:x・3y+4=0及/2：2x+y+5=0的交点的直线系方傕嗣 =0, 写为x-3y+4+A(2x+y+5)=0(^mSM^/2)把0(0,0)代入过瞧的事n 二「. 、.，得好，故所求直线方程为:x・3妊+2y = 0(2x+y+5)=0,即3x+19羽0二岁?)7 "1x = 6, y = —线系方程x・3y+4+入(2x+y+5)二Q类型三:两点间距离公式的应用【典例3】(1)(2015-牡丹江高一检测)设A(1,2)在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是()A.(2,0)或(0,0)B.⑴,0)C.(1+ ,0)D.(1+ ,0咸⑴,0)(2) (2015-兰州高一检测)AABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-4), B(2,2),C(4,£,求三角形AB边上中线的长度.V21721【解题指南】⑴设出点B的坐标利用两点间距离公式求出点B的坐标;(2)先利用中点坐标公式求AB的中点坐标，再利用两点间距离公式即可求出.【解析】⑴选D.设B(x,O),则二5,解得x二土+1,故B点的坐标是(1+ ,0)或(1- ,0).⑵AB的中点D的坐标为D(W 所以|CD| =故AB边上中线长为・J(x —l『+(O—2)~A/21A/21』-1一4)+[-1 -(一2)F = A/26.【规律总结】1 •两点间距离的求法⑴当直线和坐标轴垂直时，可以用两点间距离公式的特殊形式，如A(xy),B(x,y2),则|AB|=|y r y2|.(2)两点间距离公式对任意两点都成立，解题过程中注意恰当设点，确定两点坐标即可代入公式求距离.2利用两点间距离求参数的方法已知距离求参数是最常见的距离公式的应用，一般是通过距离公式列出方程，解方程求参数.【巩固训练】已知AABC三个顶点的坐标分别为A(・3,1),B(3,・3), C(1,7),试判断AABC的形状.【解析】方法一：因为|AB|二所以|AB| 二|AC|,且|AB|2+|AC|2 二|BC|2.所以A ABC是等腰直角三角形.AC| = ^(l + 3)2+(7-l)2=區BC| = J(l —3『+(7 + 3『=7104,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＋4y－4＝0的交点在第一象限？
[解析]
y＝kx＋3k－2 由 x＋4y－4＝0
∵两直线的交点在第一象限 12－12k>0 4k＋1 ∴ 7k－2 >0 4 k ＋ 1
2 ∴7<k<1.
等腰三角形．
[解析]∵|AB|＝ (4－ Nhomakorabea)2＋(3－1)2＝2 2
|AC|＝ (0－2)2＋(5－1)2＝2 5 |BC|＝ (5－3)2＋(0－4)2＝2 5 ∴|AC|＝|BC| 又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则 点P的坐标为________． [答案] (－5,0)或(11,0)
[ 点评 ]
(1) 解出交点坐标 x 、 y 以后，可将 x ， y 值代入
各选项检验，或用两点式写出方程即可．
(2)可设所求方程方程为(x－3y＋4)＋λ(2x＋y＋5)＝0， 4 由过原点(0,0)知，λ＝－5.
[ 例 2]
已知点 A(1,2) ， B(3,4) ， C(5,0) 求证：△ ABC 为
.
5．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则直
本节学习重点：两条直线的位置关系及两点间距离公
式． 本节学习难点：①含字母系数时两直线位置关系的讨 论． ②两点间距离公式的推导．
1．利用二元一次方程组的系数关系判断解的情况或直 线的交点个数时，应注意系数为零的情况．
2 ．经过两相交直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋
2 即当7<k<1 时，两直线的交点在第一象限．
[ 点评 ] 直线 l1 ： y ＝ k(x ＋ 3) － 2 过定点 A( － 3 ，－ 2) ， 故讨论两直线交点在第一象限可用数形结合法．如图，l2：
x＋4y－4＝0与坐标轴交点B(0,1)、C(4,0)．
满足条件时，kAC<k<kAB.
已知直线l1：x ＋ my＋6＝0 ，l2 ：(m－ 2)x ＋ 3y＋ 2m＝0 ， 试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相 交．
追求卓越，崇尚一流。
主编：齐继鹏
一、阅读教材P102～105回答
1．已知两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝0，如果 l1 与l2相交且交点为 P(x0 ，y0) ， 则P点的坐标应满足方程组 ；如果P
点 的 坐 标 是 方 程组 * 的惟一解 ， 则 P 点是直线 l1 与 l2
的 交点．因此，两条直线是否有交点，就要看方程组*是否
有惟一 解．当方程组*有无穷多个解时，说明直线l1与l2 重
合 当方程组无解时，说明直线l1与l2平行
2．已知两直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1与l2相交，则k1 ≠ k2，
(2)若l1∥l2，则k1 ＝ k2，b1 ≠ b2， (3)若l1与l2重合，则k1 ＝ k2，b1 ＝ b2.( 在 横 线 上 填 “＝”或“≠”) 3 ．已知直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2
y－3 x－2 2,2)，由两点式得所求直线的方程为 ＝ ，即 x－4y 2－3 －2－2 ＋10＝0.
[点评] 上述解法是一般求解方法． 也可设所求直线为(x＋3y－4)＋λ(5x＋2y＋6)＝0，
7 ∵所求直线过点(2,3)，∴λ＝－ ， 22 ∴所求直线方程为：x－4y＋10＝0.
过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和
点坐标为 (－1,2)
则k＋b＝
．
2．直线l1：y＝kx＋3与l2：x－y＋b＝0相交于点A(1,0)， . －4 . 3 ． 过 点 ( － 1,2) 与直 线 y ＝－ 2x － 3 平行的 直线方程 为 2x－y＋4＝0
4．两点A(1,2)、B(－3,1)的距离为
线x＋ay＋2a－3＝0在y轴上的截距为 －1 .
[分析]
程求解．
设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方
设点 P 的坐标为 (x,0) ，由 d(P ， A) ＝ 10 得
[ 解析 ]
(x－3)2＋(0－6)2＝10， 解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0).
[例3]
k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x
P2QP1，从而推导出|P1P2|的距离公式．
[ 例 1]
求经过点 (2,3) ，且经过两条直线 l1 ： x ＋ 3y － 4
＝0，l2：5x＋2y＋6＝0交点的直线方程．
[解析] 解方程组
x＋3y－4＝0 5x＋2y＋6＝0 x＝－2 得， y＝2
， 所以 l1 与 l2 的交点是(－
＝0，(A1B1C1≠0，A2B2C2≠0)．
5．用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步建立直角
坐标系，第二步用坐标表示相关的量进行有关代数运算，
第三步把代数运算结果“翻译”成几何关系．
二、解答下列问题 1 ．直线l1： x ＋ y － 1＝ 0 ，l2： x－y ＋ 3＝ 0， l1与 l2 的交
原点的直线的方程为 A．19x－9y＝0 C．19x－3y＝0 [答案] D ( ) B．9x＋19y＝0 D．3x＋19y＝0
[解析]
x－3y＋4＝0 解方程组 2x＋y＋5＝0
19 x＝－ 7 得 y＝3 7
3 ∴k＝－ . 19
3 又 3x＋19y＝0 的斜率为－ ，故选 D. 19
[解析]
当l1∥l2(或重合)时，A1B2－A2B1＝1×3－(m－
B2y ＋ C2 ＝ 0 的交点的直线可表示为 A1x ＋ B1y ＋ C1 ＋ λ(A2x ＋ B2y ＋ C2) ＝ 0( 不表示 l2 ， λ∈R) ．此结论反过来也成立．用 它求经过两直线交点的直线方程时，避免了繁杂的计算． 3．两点间距离公式的推导采用的构造三角形的方法，
由于平行于坐标轴的线段长易求．因此构造了直角三角形