高中数学人教A版必修二 课件：3-3-1、2 两条直线的交点坐标、两点间的距离
＋4y－4＝0的交点在第一象限？
[解析]
y＝kx＋3k－2 由 x＋4y－4＝0
∵两直线的交点在第一象限 12－12k>0 4k＋1 ∴ 7k－2 >0 4 k ＋ 1
2 ∴7<k<1.
等腰三角形．
[解析]∵|AB|＝ (4－ Nhomakorabea)2＋(3－1)2＝2 2
|AC|＝ (0－2)2＋(5－1)2＝2 5 |BC|＝ (5－3)2＋(0－4)2＝2 5 ∴|AC|＝|BC| 又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则 点P的坐标为________． [答案] (－5,0)或(11,0)
[ 点评 ]
(1) 解出交点坐标 x 、 y 以后，可将 x ， y 值代入
各选项检验，或用两点式写出方程即可．
(2)可设所求方程方程为(x－3y＋4)＋λ(2x＋y＋5)＝0， 4 由过原点(0,0)知，λ＝－5.
[ 例 2]
已知点 A(1,2) ， B(3,4) ， C(5,0) 求证：△ ABC 为
.
5．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则直
本节学习重点：两条直线的位置关系及两点间距离公
式． 本节学习难点：①含字母系数时两直线位置关系的讨 论． ②两点间距离公式的推导．
1．利用二元一次方程组的系数关系判断解的情况或直 线的交点个数时，应注意系数为零的情况．
2 ．经过两相交直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋
2 即当7<k<1 时，两直线的交点在第一象限．
[ 点评 ] 直线 l1 ： y ＝ k(x ＋ 3) － 2 过定点 A( － 3 ，－ 2) ， 故讨论两直线交点在第一象限可用数形结合法．如图，l2：
x＋4y－4＝0与坐标轴交点B(0,1)、C(4,0)．
满足条件时，kAC<k<kAB.
已知直线l1：x ＋ my＋6＝0 ，l2 ：(m－ 2)x ＋ 3y＋ 2m＝0 ， 试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相 交．
追求卓越，崇尚一流。
主编：齐继鹏
一、阅读教材P102～105回答
1．已知两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝0，如果 l1 与l2相交且交点为 P(x0 ，y0) ， 则P点的坐标应满足方程组 ；如果P
点 的 坐 标 是 方 程组 * 的惟一解 ， 则 P 点是直线 l1 与 l2
的 交点．因此，两条直线是否有交点，就要看方程组*是否
有惟一 解．当方程组*有无穷多个解时，说明直线l1与l2 重
合 当方程组无解时，说明直线l1与l2平行
2．已知两直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1与l2相交，则k1 ≠ k2，
(2)若l1∥l2，则k1 ＝ k2，b1 ≠ b2， (3)若l1与l2重合，则k1 ＝ k2，b1 ＝ b2.( 在 横 线 上 填 “＝”或“≠”) 3 ．已知直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2
y－3 x－2 2,2)，由两点式得所求直线的方程为 ＝ ，即 x－4y 2－3 －2－2 ＋10＝0.
[点评] 上述解法是一般求解方法． 也可设所求直线为(x＋3y－4)＋λ(5x＋2y＋6)＝0，
7 ∵所求直线过点(2,3)，∴λ＝－ ， 22 ∴所求直线方程为：x－4y＋10＝0.
过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和
点坐标为 (－1,2)
则k＋b＝
．
2．直线l1：y＝kx＋3与l2：x－y＋b＝0相交于点A(1,0)， . －4 . 3 ． 过 点 ( － 1,2) 与直 线 y ＝－ 2x － 3 平行的 直线方程 为 2x－y＋4＝0
4．两点A(1,2)、B(－3,1)的距离为
线x＋ay＋2a－3＝0在y轴上的截距为 －1 .
[分析]
程求解．
设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方
设点 P 的坐标为 (x,0) ，由 d(P ， A) ＝ 10 得
[ 解析 ]
(x－3)2＋(0－6)2＝10， 解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0).
[例3]
k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x
P2QP1，从而推导出|P1P2|的距离公式．
[ 例 1]
求经过点 (2,3) ，且经过两条直线 l1 ： x ＋ 3y － 4
＝0，l2：5x＋2y＋6＝0交点的直线方程．
[解析] 解方程组
x＋3y－4＝0 5x＋2y＋6＝0 x＝－2 得， y＝2
， 所以 l1 与 l2 的交点是(－
＝0，(A1B1C1≠0，A2B2C2≠0)．
5．用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步建立直角
坐标系，第二步用坐标表示相关的量进行有关代数运算，
第三步把代数运算结果“翻译”成几何关系．
二、解答下列问题 1 ．直线l1： x ＋ y － 1＝ 0 ，l2： x－y ＋ 3＝ 0， l1与 l2 的交
原点的直线的方程为 A．19x－9y＝0 C．19x－3y＝0 [答案] D ( ) B．9x＋19y＝0 D．3x＋19y＝0
[解析]
x－3y＋4＝0 解方程组 2x＋y＋5＝0
19 x＝－ 7 得 y＝3 7
3 ∴k＝－ . 19
3 又 3x＋19y＝0 的斜率为－ ，故选 D. 19
[解析]
当l1∥l2(或重合)时，A1B2－A2B1＝1×3－(m－
B2y ＋ C2 ＝ 0 的交点的直线可表示为 A1x ＋ B1y ＋ C1 ＋ λ(A2x ＋ B2y ＋ C2) ＝ 0( 不表示 l2 ， λ∈R) ．此结论反过来也成立．用 它求经过两直线交点的直线方程时，避免了繁杂的计算． 3．两点间距离公式的推导采用的构造三角形的方法，
由于平行于坐标轴的线段长易求．因此构造了直角三角形
高一数学人教版A版必修二课件：3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
新知探究 点点落实
思考1
直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案 思考2
答案
直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴ | AC | ＝ b－02＋c－02＝ b2＋c2， பைடு நூலகம்BD|＝ a－b－a2＋c－02＝ b2＋c2.
x＝－3， 5 得 7 y＝－5，
即5x＋15y＋24＝0.
解析答案
类型二
两点间的距离公式及其应用
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， (1)判断△ABC的形状；
解析答案
(2)求△ABC的面积. 1 1 解 S△ABC＝2|AC|· |AB|＝2( 52)2＝26， ∴△ABC的面积为26.
解析答案
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
±6 k＝________. 解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0， k 得 y＝3， k 将(0，3)代入 x－ky＋12＝0， 解得k＝±6.
解析答案
(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点， 2x－y＝0 则直线l的方程为_______________.
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
人教A版高中数学必修二 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.2.2 两点间的距离 课件 (共33张PPT)
所以 A B 2 C D 2 A D 2 B C 2 2 ( a 2 b 2 c 2 ) ，
A C 2B D 22(a2b2c2)，
所以 A B2C D 2A D 2B C2AC 2 BD2 . 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第
因此， ③ , ④ 可以化成同一个方程，表示同一直线， l 1 , l 2 重合.
方法二： 由于 3 4 5 ，
6 8 10
所以 l 1 , l 2 重合.
3.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
它们的坐标分别是（
x
，
A
0
），（ x
B
，0
）（，0，
l 1 :3 x 4 y 2 0 ,l2 :2 x y 2 0 .
解：解方程组
3x 4y 2 0, 2x y 2 0,
得
x
y
2, 2,
所以l1与l2的交点为
M（-2，2）.(如图所示)
M
l1 l2
探究2：当λ 变化时，方程3x+4y-2+λ (2x+y+2)=0 表示何图形?图形有何特点？
y
C）（，0，
y
D），
那么|AB|，|CD|怎样求？
AB=xA-xB,CD=yC-yD
(2)已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，试求两点间的距离.
若 y1 y2
y
P1 ( x1 , y1 )
P2 (x2 , y2 )
高中数学人教A版必修2课件：第三章 3-3 3-3-1 - 3-3-2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
1．判断两直线的位置关系，关键是看两直线的 方程组成的方程组的解的情况，过程如下
2．几种特殊的直线系方程: (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋
By＋m＝0(m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－
Ay＋m＝0(m为常数)． (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点 的 直线系为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但其不 能表示直线A2x＋B2y＋C2＝0，其中λ为常数．
|AM|＝ （0－b2）2＋（0－2c）2＝12 b2＋c2， 所以|AM|＝12|BC|.
1．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的 问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根 据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，
公式中两点的位置没有先后之分．
2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是: 第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在 坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关
程组有无穷多个解，则两条直线重合．
2．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋ C2＝0相交的条件是什么？
提示：由AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，，消y得 (A1B2－A2B1)x＝C2B1－C1B2，
当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解，则直线l1与 l2相交．
5．已知点P(x，y)，问x2＋y2表示的几何意义是 什么？
提示：由两点间的距离公式， x2＋y2＝( （x－0）2＋（y－0）2)2，则x2＋y2表 示点P到坐标原点O的距离的平方．
[例1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，
求出相应的交点坐标：
高一数学人教A版必修2课件：3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离公式 教学课件
第三章
直线与方程
4．(2016～2017· 宜春高一检测)直线 l 经过原点，且经过另两条直线 2x＋3y ＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为 导学号 09024789 ( B ) A．2x＋y＝0
[ 解析] 解法
B．2x－y＝0
2x＋3y＋8＝0 1：由 x－y－1＝0
第三章
直线与方程
直经方程的设法技巧与直线系方程 直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取 遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线． (1)已知 l：y＝kx＋b，与 l 平行的直线方程设为 y＝kx＋b1；与 l 垂直的直线 1 方程设为 y＝－k x＋b1(k≠0)． (2)已知 l：Ax＋By＋c＝0，与 l 平行的直线方程设为 Ax＋By＋C1＝0，与 l 垂直的直线方程设为 Bx－Ay＋C2＝0.
[思路分析]
题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看
它们组成的方程组的解的个数．
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第三章
直线与方程
2x＋y＋3＝0 (1)解方程组 x－2y－1＝0 x＝－1 ，得 y＝－1
[ 解析]
，所以直线 l1 与 l2 相交，
交点坐标为(－1，－1)．
x＋y＋2＝0 ① (2)解方程组 2x＋2y＋3＝0 ②
[错因分析]
错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，
而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标， 同时满足第三条直线即可．
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第三章
直线与方程
[ 正解]
显然 l1 与 l3 不平行，当 l1∥l2 或 l2∥l3 时，不能构成三角形，此时对
人教版数学必修二课件：3-3-1两条直线的交点坐标
重点导析
重点 1 联立方程，解方程组求直线交点坐标 重点 2 判断直线间的位置关系
思维导悟
导悟 1 代数法判断两直线的位置关系 【例 1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1∶2x－y＝7 和 l2∶3x＋2y－7＝0； (2)l1∶2x－6y＋4＝0 和 l2∶4x－12y＋8＝0； (3)l1∶4x＋2y＋4＝0 和 l2∶y＝－2x＋3.
知识导学
知识点 1 联立两条不重合直线的方程 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， ，解方程组可求交点坐标． 知识点 2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0： ①A1≠B1⇒两直线相交，即方程组有唯一解．
A2 B2 ②A1＝B1≠C1⇒两直线平行，即方程组无解．
导悟 3 根据交点求参数的值或其范围
【例 3】 已知直线 5x＋4y＝2a＋1 与直线 2x＋3y＝a 的交点位于第四象限，则 a 的取值范围是________．
【解析】 解方程组52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 得xy＝ ＝2aa－7＋ 723，，交点在第四象限， 所以2aa－7＋ 723<>00，，解得－32<a<2. 【答案】 －32<a<2
方法导拨
导拨 求过交点的直线
【例 4】 求过两直线 2x－3y0 平 行的直线方程．
【解】 解法 1：解方程组2x＋x－y＋3y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， ，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，
第三章 直线与方程
第三节 直线的交点坐标与距离公式
2018学年高中数学必修二人教A版课件：3-3-1、2两条直线的交点坐标 两点间的距离 精品
[变式训练 5] 已知两点 A(3，－3)，B(5,1)，直线 l：y＝x， 在直线 l 上求一点 P 使|PA|＋|PB|最小．
解：如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，易知 A′(－ 3,3)．连接 BA′交直线 l 于点 P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB| ＝
|A′B|.又直线 A′B 的方程为 x＋4y－9＝0，与 y＝x 联立 解得 P95，95.
两点间距离公式的应用
[例 3] 已知点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一 点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为________．
[解析] 设 P(x,2)，∵点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y ＝ 2 上 一 点 P ， 使 |AP| ＝ |BP| ， ∴ x＋22＋2－12 ＝
对称问题
命题视角 1：点关于点的对称问题 [例 4] 点(1,1)关于点(2,3)的对称点坐标是________． [分析] 设出对称点坐标(x，y)，利用中点坐标公式求 解．
[解析] 设对称点坐标是(x，y)，
则11＋＋22 xy＝＝23
，解得xy＝＝35 .
所以对称点坐标是(3,5)．
点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决.
[变式训练 1] 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线 l 的方程．
解：方法 1：由方程组2xx＋－y3＋y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， .
∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行，∴直线 l 的斜率 k＝－ 3.∴根据点斜式有 y－(－75)＝－3[x－(－35)]，即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
高中数学人教a版必修二课件：3.3.1 《直线的交点坐标与距离公式》
例5.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
y 解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线 D(b,c) C(a+b,c)
为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得
C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
..
3.3 直线与方程
3.3.1 直线的交点坐标与两点间 的距离公式
本课件在复习的基础上，以我国著名数学家华罗庚的诗 句引入将要研究问题的方法和两直线的位置关系中平行、 垂直都可以用直线的斜率数值来刻画，那么通过研究二元 一次方程组的解与直线的交点问题，引入两直线的交点坐 标求解。
通过例1、例2、例3巩固掌握直线交点的求法和运用直 线系解答相交直线的方程求解问题；通过例4、例5学会求 两点间的距离，学会运用坐标法通过计算解答平面几何问 题，初步了解解析法解决问题的思路和步骤。
用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
练习：证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则有C(0,0)
y B (0,b)
M
O C (0,0)
A(a,0x)
1.两条直线的交点坐标
2.“两直线的位置关系”与“方程组解的个数”之间有何对应 关系？
两直线相交 方程组有唯一解 两直线平行 方程组无解 两直线重合 方程组有无穷多解
3.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
2015-2016学年高一数学人教版必修2课件：3.3.1-2两条直线的交点坐标两点间的距离
3・3直线的交点坐标与距离公式3. 3. 1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记两条直线交点坐标求法及两点间的距离公式，初步掌握它们的应用.(BOB)俩点间的距离;L式形式）—f原点与任一点的距离〕瀛豪提示如杲您在观石木*件旳辻我中A0.^0.獭同幷宥幻灯片.可£to.【知识链接】1•直线方程的一般式Ax+By+C=0(A2+B2#0)2•解二元一次方程组的两种方法⑴代入消元法(2)加减消元法主题一:两条直线的交点坐标【自主认知】已知二元一次方程组思考下列问题(1)二元一次方程组的解法有哪些？提示:代入消元法，加减消元法.A J X+B J +C J =0, A2x + B2y + C2=0,(2)如何解这个方程组?请写出解的过程.提示:采用消元的方法来解方程组① x B?•■② x B]得(AiBp-AzBJx 二B I C Q-B Q C I，当A1B2-A2B1XO时方程组有惟一解JA]X + B]y + C] =0,①A2x + B2y + C2 =0,②当A1B r A2B1=0z HB1C2-B2C1^0HtT3^KW；「「当A]B2・A2B I=O,且B1C2-B2G二0时方程组有无数多解.A J B?— A?BjC.A.-CA(3)在方程组中,每一个方程都可表示申—•县线,那么方程组的解说明什么？提示:芳*呈组的'解对应葩点即为两直线的交点i根据以上探究过程,试着完成下面表格: 1・几何元素及代数表示2两条直线的交点问题【合作探究】1•若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？提示:不一定•两解. 条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟若方程组有无穷多组解，则两直线重合.2设2i：A[X+Biy+C尸0”2：A2X+B2y+C2=0,则片与乙相交的条件是什么？提示人与b相交的条件是或(A2,B2#0)A2 B2【过关小练】1 •直线x=1和y=2的交点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)7C.(1,1)D.(2,2)［解析】选A.由题意知故两直线交点坐标为(1,2).X = 1,y = 2,2直线/1:x+y+2=0与/2：2x+2y+3=0的位置关系是【解析】由②■①x 2得J二0矛盾，故方程组无解，x + y + 2 = 0,① 2x + 2y + 3 = 0,②即（I：答案：］1/2主题二:两点间的距离公式【自主认知】1 •在直角坐标系中，已知两点Pi(x1,y1),P2(x2，y2)iiP1,P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为1\^%,0),1\/1幽2,0),叫(0,力),％(0$2),直线匕N苫P02相交于点Q,|P[Q|」QP2l分别是多少？提示:因为IP.QhlM.M^JQPX 叫％, ^LU|P1Q|=|x2-x1|)|QP2|=|y2-y1|.2•结合问题1,如何推导出公式『巴1=提示:在构造的M^P1QP2中利用勾股定理, 由此得到两点间的距离公式IP巴匕9J(x2—xj2+(y2—y$■根据以上探究过程，试着写出平面内两点间的距离公式：两点间的距离公式⑴条件:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ⑵结论:|Pf2〔= .⑶特别地原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= ____________［合作探究】1 •公式中“与X2，y〔与丫2的顺序是否可以互换？提示:因为公式中含有的是(X2・X併与区・力)2的租故可以交换顺序・2当Pf 2垂直于坐标轴时，公式的形式是怎样的？提示:当卩巴垂直于y轴时，尸尸』屮广X』；当卩巴垂直于X轴时」Pf』3•式子的几何意义是什么？提示:式子表示平面上的点(x,y)到原点的距离.JxWJx? + y2 = J(x_O『+(y_0)~【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域对平面上两点间距离公式的直接运用，要注意公式的形式，关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题，如果直接代入两点间距离公式，由于有两个根式,所以求解非常烦琐, 故经常采用对称方法转化后，再由两点间距离求解.例如:求函数的值域.-x + l-Vx^+x + ly=解:原式可变形为V 2 4 \ 2 4J(x-i)2+ (0-^)2J(x4)2+ (0-^)2.1、—A/3即 y=PA ・PB,由于 |PA ・PB|vAB 二 所以 |y|<1,SP-1<y<1> 以函数 f它表示动点P （x,O ）到1 6W离之差即图序示:A （订）和B （-订）【过关小练】1 •已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|=()A 1B 2C 3 i解析】选A・|AB|=|3・2|=1・•2,A(a,2a),B(1,2)两点的距离为，则吐【解析】由得a=0或厉答案：0或2+ (2a-2)2 =怎【归纳总结】1 •对求两条直线交点坐标的两点说明(1)求解直线的交点坐标时，要注意无解和有无数多解的特殊情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系.(2)若探讨直线的位置关系，最后要把解的情况还原为几何问题,即直线的位置关系.2•方程组的解与两条直线的位置关系的联系(1 )方程组有惟一解，两直线相交.(2)方程组有无穷多解,两直线重合.(3)方程组无解,两直线平行.3 •对两点间距离公式的两点说明(1)求两点间的距离时，可直接把坐标代入相应公式,需注意公式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和，切不可把横、纵坐标混用.⑵两点间的距离公式除求距离外，还可以求参数的值，求解时直接利用题设建立参数的方程，然后求解得参数值便可.类型一:求两条直线的交点坐标【典例1 ］判断下列各组直线的位置关系•如果相交，求出交点的坐标:(1)Z1:5x+4y-2=0,/2:2x+y+2=0.(2)/［ :2x-6y+3=0,/2:y=(3)/1:2x-6y=0,/2:y=［解题指南］解两直线方程组成的方程组，根据解的情况判断.1 1_X + _・3 21 1-x + -・3 210 5x + 4y-2 = 0 所以人与$相交,且交点坐标如2x + y + 2 = 0,倚 半） 3，3 ②X 6整理得2X-6浮三6y + 3 = 0,®因此z ①和②可攻化网同一亍方程,即①和②表示同一条直线,人与重合. [y 〒 +护【解析】⑴解方程组 X=T 14 y =—・ 3⑵解方程组2x-6y = 0,①< 1 1②x6 ■①得3二0,矛声二_x + _，② 方程组无解,所以希直礙公粪点右⑶解方程组 II/2.【规律总结】求两直线的交点坐标的方法及注意事项(1)方法:联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标.⑵注意第项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.【巩固训练】已知直线片:Ax+3y+C=0』2：2x・3y+4=0,若人厶的交点在y轴上，求C的值. 【解析】由因为直线/山的交点在y轴上，所以x==0,即c=4・_（4 + C）]Ax + 3y + C = 0,得 - A +2' [2x-3y + 4 = 09 I 2 4 + C 4y -------------- F—9[3 A + 2 3-（4 + C）【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中，若三条直线2x+y-5=03x-y-1=0 和ax+y・3=0相交于一点，则实数a的值为 ________________________ .［解析］解方程组将x=2"二1 代入ax+y・3 二0,得2a + l・3 二0,解得a 二：L. ~2x + y-5 = 0 ]x = 2, x-y-l = 0 寸[y = 1.答案：1类型二:过两直线交占的直线系方程【典例2】⑴经过皆B(1,0)和两直线/1:x+2y-2=0,Z2:3x-2y+2=0交点的直线方程为⑵无论实数a取何值力程(a・1)x・y+2a・1=0表示的直线恒过定点，试求该定点.【解题指南】⑴设所求直线方程为x+2y・2+入(3x・2y+2)二0,再将x二1"二0代入求出入即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为1+a (x+2)二0.解方程组得直线所过定点.x + 2 = 0,【解析】⑴设所求直线方程为x+2y-2+入(3x-2y+2)二0. 因为点P(1,O)在直线上所以1・2+入(3+2)二0,所以入二.所以所求方*呈为x+2y・2+ (3x-2y+2)=0z 即x+y-l=0z 答案:x+y・l二0(2)由(a-l)x-y+2a-l=0z得-x-y-l+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x・y -1=0与直线x+2二0的交点. 解方程组所以方程(a・l)x-y+2a・l二0表示的直线恒过定点(21).x = _2, y = l・【延伸探究】1・(变换条件)若把本例⑴中条件“经过点P(1,o)”换为“经过点P(1,1)M其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】设所求直线方程为x+2y-2+入(3x・2y+2)二0, 因为点P(S)在直线上所以l+2xl・2+入(3xl・2xl+2)二0,所以入二-. 所以所求直线方程为x+2y・2- (3x-2y+2)二0,即y二1.2(变换条件)若一条直线经过本例(1)中两直线的交点，且与直线3x+y+1=0平行，则此直线的方程是什么？提示:由两直线联立方程组得解得x=0"二l z所以交点为(0Q又直线3x+y+l二0平行于所求直线，故可设直线方程为3x+y+m二0,把(0,1)代入得m二-1.故所求直线方程为3 x+y -1二0. x + 2y - 2 = 0,3x-2y + 2 = 0,［规律总结］1・解含着参数的直线恒过定点的问题的两种方法：(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题冃中含参数直线所过的定点，从而问题得解.⑵方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y4-C1+A(A2X4-B2y4-C2)=05 其中入是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得•若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0,y0).人“ +殆+匚=0, A2x + B2y + C2 =02过两直线交点的直线系方程若直线A：A〔x+Biy+C讦0与直线Z2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x°,yo),则方程A1x+B1y4-C1+A(A2x+B2y+C2)=0(AGR)表示过人与空交点的直线系方程(但不包括直线9,其中入为待定系数.【拓展延伸】常见的直线系⑴与直线L:Ax+By+C=O平行的直线系方程为:Ax+By+m=O(其中n#C,m为待定系数). ⑵与直线L:Ax+By+C=O垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=O(m为待定紊数).⑶过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x o)+B(y-y o)=O.【补偿训练】1 •对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0必经过的定点是()A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,・3)D.2 •设直线A：x・3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点为P,求过点P和原点的直线方程.【解题指南】1•整理为A]X+Biy+C]+入Qx+Bzy+C/n的形式，解方程组得定点坐标. 2 •利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.【解析】1 •选C.直线方程)x+2my+6=0可化为:・x+6+in(2y+x)=0・因此，该直线恒过直线・x+6=0与x+2y=0的交点由2 •方法一:求得交点又0(0,0),写出方程为3x+19y=0.方法二:过两直线人:x・3y+4=0及/2：2x+y+5=0的交点的直线系方傕嗣 =0, 写为x-3y+4+A(2x+y+5)=0(^mSM^/2)把0(0,0)代入过瞧的事n 二「. 、.，得好，故所求直线方程为:x・3妊+2y = 0(2x+y+5)=0,即3x+19羽0二岁?)7 "1x = 6, y = —线系方程x・3y+4+入(2x+y+5)二Q类型三:两点间距离公式的应用【典例3】(1)(2015-牡丹江高一检测)设A(1,2)在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是()A.(2,0)或(0,0)B.⑴,0)C.(1+ ,0)D.(1+ ,0咸⑴,0)(2) (2015-兰州高一检测)AABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-4), B(2,2),C(4,£,求三角形AB边上中线的长度.V21721【解题指南】⑴设出点B的坐标利用两点间距离公式求出点B的坐标;(2)先利用中点坐标公式求AB的中点坐标，再利用两点间距离公式即可求出.【解析】⑴选D.设B(x,O),则二5,解得x二土+1,故B点的坐标是(1+ ,0)或(1- ,0).⑵AB的中点D的坐标为D(W 所以|CD| =故AB边上中线长为・J(x —l『+(O—2)~A/21A/21』-1一4)+[-1 -(一2)F = A/26.【规律总结】1 •两点间距离的求法⑴当直线和坐标轴垂直时，可以用两点间距离公式的特殊形式，如A(xy),B(x,y2),则|AB|=|y r y2|.(2)两点间距离公式对任意两点都成立，解题过程中注意恰当设点，确定两点坐标即可代入公式求距离.2利用两点间距离求参数的方法已知距离求参数是最常见的距离公式的应用，一般是通过距离公式列出方程，解方程求参数.【巩固训练】已知AABC三个顶点的坐标分别为A(・3,1),B(3,・3), C(1,7),试判断AABC的形状.【解析】方法一：因为|AB|二所以|AB| 二|AC|,且|AB|2+|AC|2 二|BC|2.所以A ABC是等腰直角三角形.AC| = ^(l + 3)2+(7-l)2=區BC| = J(l —3『+(7 + 3『=7104,。
2015-2016学年高一数学人教版必修2课件：3.3.1-2两条直线的交点坐标两点间的距离2
3.3直线的交点坐标与距离公式3. 3. 1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离汉慕提示如黑您在U木"件旳辻竝中出字他泉•漬吳用衡資◎ n知导学・亲础籲滾幻灯片.可lEtfiU?・j知识提炼/1.两条直线的交点坐标已知直线人:A1x+B1y+C1=0;/2:A2x+B2y+C2=0.^A(a,b). ⑴若点A在直线/:Ax+By+C=O上,则有Aa+Bb+C=O.(2)若点A是直线人与b的交点，则有A]a + B]b + C] =0,成立A?a + B°b + Cj —2 •两直线的位置关系3 •两点间的距离公式⑴条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).(2)结论:|P巴A⑶特例:点P(x,y倒原，解)四劄I自我心测坐练01・判一判(正确的打“屮，错误的打“X〃)⑴若点A(a,b)在直线Z:Ax+By+C=O上则点A的坐标一定适合直线/的方程. ()(2) 若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.()(3) 当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.劇畀器鬻对求任意两点间的距离都适用.2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1) _____________________________________ 若点A(1,b)是直线2x+3y+1 =0上一点，则b= ___________________________ ・若直线2x+y+1=0与直殘x・y・4=0的交点为(a,b),则a・b = ⑶点M(・3,4)到坐标原点的距离|OM|二 ___________________________ .IOMI = J(-3 -OF + (4 -OF 二阿=5. 【解析】⑴由于点A(l,b)是直线2x+3y+l 二0上一点将(l,b)代入直线方程, 可得b 二-1・(1厂3)'故 a-b=l-(-3)=4.答案：4(3)根据两点间的距离公式可得答案：5答案：-]_ ⑵解方程组 则两条直线的交点为2x + y +1 = 0 x—y—4 = 0, ，可得x =l，丿=一3IOMI = J(-3 -OF + (4 -OF 二阿=5.◎倉辱归繳」貧玄空玻知识点1两条直线的交点坐标_1・两条直线的交点坐标设两条直线的方程分别为Z1:A1x+B1y+C1=0,Z2:A2x+B2y+C2=0,$n 果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是方程组的解;反之，如果这两个二元一次方程只有一组公共解,那么以这组解为坐标的点必是直线人和b的交点.A]X + Ey + C] =0,A2x + B2y + C2 =02两直线相交的条件(1) 将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交•当方程组只有一解时,两直线相交.(2) 设/1:A1x+B1y+C1=0;Z2:A2x+B2y+C2=0.!JliJ/1与仏相交的条件是或(A2,B2^0).(3) 设两条直线人:y=k1 x+b1 ;Z2:y=k2x+b2,则人与佐相交«k/k2.A J- 尹—A? B2［知识拓展］共点直线系方程(1) 经过定点的直线系方程经过定点P(x0z y0)的直线y-y°二k(x-Xo)(k为参数)是一束直线(方程中不包括与y 轴平行或重合的那一条)，所以y-y°二k(x・x°)是经过点P(x0z y0)的直线系方程•直线方程y二kx+b(其中k为参数b为常数)表示过定点©b)的直线系方程(不含直线x 二0).(2)过两条直线交点的直线系方程①经过两条直线/i：AiX+B』+Ci二O(A“B］不同时为O),/2：A2x+B2y+C2=O(A2/B2不同时为0)的交点的直线为(A1x+B1y+C1)+A(A2x+ B2y+C2)=0(S中入为参数)，此方程表示的直线不包括直线0②这个参数形式的方程在解题中很有用处，但在解题中要注意验证$是否符合题意，否则会出现漏解情况.【微思考】｛］）彳:两直%的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一占乡巒示迂二空密条直瞬否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是丢有惟—解•右方程组有无穷多组解，则两直线重合.(2) 若两条直线中有一条斜率存在，另一条斜率不存在，则这两条直线相交吗？提示:相交，因为两直线仅有三种位置关系:平行、相交、重合，而此处一条斜率存在,另一条不存在，显然不能平行或重合,故一定相交.【即时练】1 •下列直线中，与直线x+3y-4=0相交的直线为（A.x+3y=0B.y=- x-12C.y=・ x+4D.2x=3y2若直线x-y-a=O与x轴相交于点M的横坐标为3,则吐1【解析】L选D.ABC选项中的三条直线的斜率和题干中直线的斜率都是从而它们不会与直线x+3y-4二0相交，只有D选项的斜率为故它们相交2 •由于直线x・y・a〒O与x轴相交于点M的横坐标为3,即M(3,0),将(3,0)7弋入直线方程xy a二0中，解得a=3・答案：3 32 02 1且_丰_匚,3 3 3知识点2两点间的距离公式1 •对两点间距离公式的两点说明⑴点匕巴的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为(2)使用此公式时，注意公式几何意义的逆向思维，如可理解为点(x,y)到原点的距离，也可理解为(・x,y)到原点的距离，可根据实际需要而定.IP]P2l = 7(x1~x2)2+(y]-y2)I2 •距离公式的几个特例⑴当PQ丄x轴时,『巴1比2-川(2) 当PR丄y轴时,『巴1=姙一x/・(3) 当点匕尸2中有一个是原点时，【微思考】当\B两点在坐标轴上时，利用两点间的距离公式求|AB|距离还适用吗？提不:适用，因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.【即时练】求下列两点间的距离.(1) A(-2,5),B(-2r5)・(2) A(3,4),B(2,-1).(3) A(0,0),B(3,4).[解析]⑴方法一：|AB| = _____________________ 隸諮幕彈亍于曲』[-2-(-2)]2+[5一(一5)]2 = 10.（2）|AB| = J（3-2）+[4-（- 1）了 = >116.（3）|AB| = ^（3-0）2+（4-0）2=5.知识点3解析法（或坐标法）1・解析法的意义所谓解析法（或坐标法），就是通过建立平面直角坐标系，将几何元素及其关系用坐标描述,将几何问题转化为代数问题，通过分析、处理代数问题最终解决几何问题的方法•这种方法把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合•这种思想贯穿平面解析几何的始终.2解析法应用的注意点一些平面几何问题用'麻析法解决时更简单,但要把坐标建立在适当的位置上, 注意利用图形的集合性质.(1) 要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算.(2) 如果图形中有互相垂直的两条线,可以考虑将其作为坐标轴;如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形中心作为坐标原点;如果图形具有轴对称性，可以将图形的对称轴作为坐标轴.【微思考】解析法的实质是什么？提示:就是通过平面直角坐标系,利用代数的方法来解决几何问题.【即时练】已知AABC是直角三角形，斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系，证明|AM|= |BC|・2【证明】如图，以AB边所在的直线为x轴,AC边所在的直线为y轴, 建立直角坐标系，设B(bO),C(OQ, 由中点坐标公式知所以|AM| = |OM|又因为所以|AM|= |BC|.2【题型示范】类型一与两条直线交点有关的问题【典例1】(1)若直线y=x+2k+1与直线x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是()A—6<k<—2r 5 1 1 C. —— < k < —2 2B.--<k<06D.k>-2⑵过人:3x-5y-10=0和Z2:x+y+1 =0的交点，且平行于Z3:x+2y-5=0的直线方程为 _______________ •(3)求经过点(2,3)且经过人:x+3y・4=0与/2：5x+2y+6=0的交点的直线方程.【解题探究】1•题⑴中的交点在第一象限，其坐标应满足什么条件？2 •题⑵中与直线/3：x+2y- 5二0平行的直线应设成什么形式？3.题(3)中可否用两点式求直线方程?若用过某—交点的直线系方程又如何求解？【探究提示】1•该点的横坐标、纵坐标都应大于零.2 •可设所求直线方程为x+2y+c二0.3 •可由已知方程联立解方程组,求得交点坐标，由两点式写出所求的直线方程. 或设所求直线方程为卅3片4+入3+2『+6)二0,将点(2,3)代入求得入的值【自主解答】（I）选C ・由又交点在第一象限，故解得2 2y = x + 2k +1,1 c得< y=—-x+2 / 2-k>0 且—+ ->0,3 3 33 3 _2 —5y — _k + _,3 3oc \ O H —-+Ae+X A O u p +A e +X了+T X 亿 暑益英塢w屢竄、e議m^坦O芯+冷+X 只腿代塢M 咲监強(0)⑶方法一:联立(-2,2). 由两点式可得:所求方法二:设所求直线方程为：x+3y ・4+入(5x+2y+6)二0. 因为点(2,3)在直线上，所以2 + 3x3・4+入(5x2+2x3 + 6)二0,所以 所求方程为x+3y-4- (5x+2y+6)二0,即为x ・4y+10二0. 『一3_ x-2+ 3y_魏叫严点勿6 = 0,赧穷2，10二0・7 22J 7 22【方法技巧】L过两条直线交点的直线方程的求法⑴常规解法（方程组法）:一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.（2）特殊解法（直线系法）:先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.2 •与直线的交点有关的求参数的策略已知三条直线相交于一点，求直线方程中的参数,只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解•已知三条直线有三个不同的交点，需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上和三条直线的斜率不同.【解题指南】解答本题可由所求直线与已知直线厶垂直，得所求直线的斜率，再 由/山两直线方程联立可求得交点坐标利用点斜式写出所求直线的方程. 另夕卜也可根据所求直线经过两直线人和b 的交点匕可设直线方程为X- 2y+4+入(x+y-2)二 0,又与直线6垂直，可得斜率为 求出参数入的值即可.【变式训练】求经过两直线/1 :x-2y+4=0和©x+ym 的交点P,且与直线/3：3x-4y+5=0垂直的直线?的方程.【解析】方法一解方程组 越頤早（彩泸为直线右的斜率为所以直线/的斜率为弓十一片 所以直线/的方程为y ・2二.（X-0眉盼坍y2&0）. 方法二:设崩求直线/的方程为x ・2y+4+X （x+y ・2p 二0. 由该直线的斜率那，求得入的值为U,即可以锋到/的方程43由该直线的斜率为 为4x+3y-6二0. 4【补偿训练】求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线/的方程.［解析］由方程组得因为直线/和直线3x+y J二0平行，x = _}所以直线/的斜率k二・3 •所切潮誦斜我有°，得5，即所求直线方程为15x+5yjt厝許2 = 0 __7类型二平面上两点间距离公式的应用【典例2】⑴已知点M(x,・4)与点N(2,3)间的距离为7，则x的值为⑵(2013-吉林高一检测)已知点(x,5)关于点(1,y)的对称点为则点P(x,y倒原点O的距离是________________________________________ .(3)已知A(-3,4),B(2,)，在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并厂求|PA|的值. V2【解题探究】1•题(1)中可建立怎样的等式求出参数X? 2题⑵中若A,C关于B对称，则A,B,C三点的关系是什么?3 .题⑶中点P的坐标有何特点?怎样求得|PA|的值【探究提示】L由于利用两点间的距离公式可得2 •关系是B为A,C的中点，可醐毎石銘公式解决有关问题.3 .P点的糾坐标为晟出横坐标利用|PA|二|PB|建立方程求出x利用两点间的隅公曲嘶屮-3『=7血寸—)L+c l x )p 丄NW 一陋L丄 NW矍O H S T X寸 J x 矍 g⑵因为点(x,5)关于点(l,y)的对称点为(-2,-3),IOPI = 7(4-0)2 + (1-0)2 =717. 则V- 答事: 2)小 2, 5 + (—3) = yx2, x = 4, y = 1,。
高中数学人教A版必修二3.3.1-3.3.2《第2课时 两直线的交点坐标、两点间的距离》ppt课件
坐标法的应用 [例3]一长为3 m，宽为2 m缺一角A的长方形木板(如图所示)， 长缺0.2 m，宽缺0.5 m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点
M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？
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3 的取值范围是－2，2.
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对称问题 [例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x ＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．
[解] 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直
线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 4 b － ＝－1， a· 3 8×a＋6×b＝25， 2 2
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[类题通法]
两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得
的方程组的解．
解法一体现了方程思想，要学会利用．
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[活学活用] 1．若直线 5x＋4y－2m－1＝0 与直线 2x＋3y－m＝0 的交点在 第四象限，求 m 的取值范围．
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3.3.1 & 3.3.2
第二课时
两直线的交点坐标、两点间的距离
两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)
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1．两条直线的交点坐标如何求？
2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？
3．平面内两点间的距离公式是什么？
回顾相关知识
3.3 第 1 部 分
第 三 章 3.3. 1& 3.3. 2 第二 课时 突破 常考 题型
题型一 题型二
题型三
跨越高分障碍
随堂即时演练
应用落实体验
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课时达标检测
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