2017版数学大一轮复习练习阶段训练二.doc

阶段训练二【阶段训练】阶段训练二(三角函数、解三角形、平面向量与复数)一、 填空题1. 已知复数z=2i1i ，则|z|= .2. 已知cos α=35(0<α<π)，那么sin 2α= .3. 已知向量a=(2，1)，b=(x ，-2)，若a ∥b ，则a+b= .4. 若复数z=1+i ，则z·z +|z |-1= .5. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若sin 2A-sin 2sin Bsin C ，b ，则A= .6. 在等腰三角形ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，BC =2BD ，AC =3AE，那么AD ·BE= .7. 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a(sin A-sin B)=csin C-bsin B ，且2a=c ，则sin A= .8. 将函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 .9. 已知向量a=(1，b=(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m= .10. 若函数f(x)=Asin ωx (其中A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)=.(第10题)11. 在△ABC 中，已知AB=3，AC=4，BC=5，若I 为△ABC 的内心，则CI ·CB = .12. 已知函数f(x)=Acos 2(ωx+φ)+1π0002A ωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭其中，，的最大值为3，f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0，2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+…+f(2 015)= .13. 在△ABC 中，若sin A=45，AB ·AC=6，则△ABC 的面积为 .14. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125-1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∠AOC=α.若BC=122α-sin 2αcos 2α-的值为.(第14题)二、 解答题15. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE =23AD，AB=a ，AC =b.(1) 用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2) 求证：B ，E ，F 三点共线.(第15题)16. 已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)为奇函数，其中a ∈R ，θ∈(0，π)，且f π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.(1) 求a ，θ的值；(2) 若f 4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=-25，α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求sinπ3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. 已知函数f(x)=Asinπ6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(其中A>0，ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若α，β∈π-02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，f(3α+π)=1013， f5π32β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=65，求sin(α-β)的值.(第17题)18. 已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(1) 求角C的大小；(2) 若，且sin C+sin(B-A)=5sin 2A，求△ABC的面积.19. 某飞机失联，经卫星侦查，它最后出现在小岛O附近.现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心、100 n mile为半径的圆周上，船A，B，C，D 构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图).设小岛O到AB的距离为x，∠OAB=α，船D到小岛O的距离为d.(1) 请分别求出d关于x，α的函数关系式d=g(x)，d=f(α)，并分别写出定义域；(2) 当A，B两艘船之间的距离是多少时，搜救范围最大(即d最大)?(第19题)20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=2cos22A A⎛⎫ ⎪⎝⎭，，n=cos-22A⎛⎫⎪⎝⎭，，m⊥n.(1) 求角A的大小；(2) 若a=2，cos B=，求b的长. 【阶段训练答案】阶段训练二1. 【解析】复数z=2i 1i +=2i(1-i)(1i)(1-i)+=2i 22+=1+i ，则.2. 2425 【解析】因为cos α=35(0<α<π)，所以sin α=45，所以sin 2α=2sin αcos α=2425.3. (-2，-1) 【解析】因为a ∥b ，所以1×x-2×(-2)=0，解得x=-4，所以a +b =(-2，-1).4. 【解析】+1.5. 30° 【解析】因为sin 2A-sin 2，所以a 2-b 2bc.又，所以由余弦定理得cos A=222-2b c a bc +==.因为0°<A<180°，所以A=30°.6. -43 【解析】因为AD =12(AB +AC )，BE =AE -AB =13AC-AB，所以AD ·BE =12(AB +AC )·1-3AC AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =2211-23AC AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =-43.7. 【解析】根据正弦定理将a(sin A-sin B)=csin C-bsin B 化简为a(a-b)=c 2-b 2，即a 2+b 2-c 2=ab.由余弦定理得cos C=222-2a b c ab +=12，所以sinC=.又2a=c ，所以sin a A =sin c C =2sin a C ，解得sin A=.8. 2π3【解析】sin x-cos x=2sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭，将其图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sinπ-6x m⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.由所得函数为偶函数，则所得图象关于y轴对称，所以2sinπ-6x m⎛⎫+⎪⎝⎭=2sinπ-6x m⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以sin xcosπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭+cos xsinπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭=-sinxcosπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭+cos xsinπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin xcosπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭=0，所以cosπ-6m⎛⎫⎪⎝⎭=0，所以m-π6=kπ+π2(k∈Z)，即m=kπ+2π3(k∈Z)，所以m的最小值为2π3.9. 【解析】因为a·，所以cosπ6=||||⋅a ba b，解得10. 0【解析】由函数图象可得A=2，T=2(6-2)=8=2πω，故ω=π4，所以函数解析式为f(x)=2sin π4x，所以有，f(2)=2，，f(4)=0，，f(6)=-2，f(8)=0，f(9)=，…，观察规律可知函数f(x)的周期为8，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0.由于2 015=251×8+7，故可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0.11. 15【解析】设△ABC内切圆的半径为r.由12r(3+4+5)=12×3×4，得r=1，所以.又由cos C=45，知2cos22C-1=45，所以cos2C=，所以CI·CB×5×=15.12. 4 030【解析】因为函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A·1cos(22)2xωϕ+++1=2A cos(2ωx+2φ)+1+2A 的最大值为3，所以2A +1+2A=3，所以A=2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω=4，所以ω=π4.再根据f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0，2)，可得 cos2φ+1+1=2，所以cos 2φ=0，即2φ=π2+k π(k ∈Z).又φ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以φ=π4，故函数的解析式为 f(x)=cos π22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+2=-sin π2x +2，所以f(1)+f(2)+…+f(2 014)+f(2 015)=-πsin 2⎛⎝+sin 2π2+sin 3π2+…+sin 2014π2+sin 2015π2⎫⎪⎭+2×2015=503×0-sin π2-sin 2π2-sin 3π2+4 030=0+4 030=4 030.13. 4 【解析】由sin A=45，知cos A=35.因为AB ·AC =|AB |·|AC |cos A=|AB |·|AC|·35=6，即|AB |·|AC |=10，所以S △ABC =12|AB |·|AC |sin A=4.14. 513 【解析】由点B 的坐标为125-1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，，知圆O 的半径=1.又BC=1，所以△OBC 是等边三角形，且∠COB=60°.在△OAB 中，sin ∠AOB=513.而22α-sin 2αcos 2α-=-sin 2α-=cos(α+30°)，又α=60°-∠AOB ，所以原式=cos(60°-∠AOB+30°)=sin ∠AOB=513.15. (1) 如图，延长AD 到点G ，使AD =12AG，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG=a+b ，AD =12AG=12(a+b)， AE =23AD =13(a+b)， AF =12AC =12b ，BE =AE -AB=13(a+b)-a=13(b-2a)， BF =AF -AB=12b-a=12(b-2a).(第15题)(2)由(1)可知BE =23BF，又因为BE ，BF有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线.16. (1) 因为f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以y 2=cos(2x+θ)为奇函数.又θ∈(0，π)，所以θ=π2，所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos 2x).由f π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=0，得-(a+1)=0，解得a=-1.(2) 由(1)得f(x)=-12sin 4x.因为f 4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=-12sin α=-25，所以sin α=45.因为α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cosα=-35，所以sin π3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin αcos π3+cos αsin π3=.17. (1) 由图象可知A=2，且34T=11π2-π=9π2，所以T=6π=2πω，所以ω=13， 所以f(x)=2sin1π36x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ . (2) 因为f(3α+π)=2sinπ2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2cos α=1013，所以cos α=513. 又因为f 5π32β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2sin(β+π)=-2sin β=65，所以sin β=-35. 因为α，β∈π-02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 所以sin α=1213， cos=45， 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=12-13⎛⎫ ⎪⎝⎭×45-513×3-5⎛⎫ ⎪⎝⎭=-3365.18. (1) 根据正弦定理sin a A =sin cC ，可得csin A=asin C.因为csinacos C ，所以asin，即，所以tan C=sin cos CC. 因为C ∈(0，π) 所以C=π3.(2) 因为sin C+sin(B-A)=5sin 2A ，且sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A ，所以2sin Bcos A=2·5sin Acos A. 因为△ABC 为斜三角形，所以cos A≠0，所以sin B=5sin A ， 由正弦定理可知b=5a ①. 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C ，得21=a 2+b 2-2ab·12 ②. 由①②解得a=1，b=5，所以S △ABC =12absin C=12×1×5×=.19. 以100 n mile 为单位长度.(1) 由∠OAB=α，得AB=2OAcos α=2cos α，所以AD=AB=2cos α， 在△AOD中，OD=f(αα∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 由小岛O 到AB 的距离为x ，知AD=AB ，故，x ∈(0，1). (2) 由OD 2=4cos 2α+1+4cos αsin α=4·1cos22α++1+4·sin22α=2(sin 2α+cos 2α)+3sinπ24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭+3， 因为α∈π02⎛⎫⎪⎝⎭，，所以2α+ππ5π444⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当2α+π4=π2，即α=π8时，OD取得最大值，此时AB=2cosπ8.答：当A，B间距离为n mile时，搜救范围最大.20. (1) 已知m⊥n，所以m·n=2cos22A A⎛⎫⎪⎝⎭，·cos-22A⎛⎫⎪⎝⎭，，，所以sinπ-6A⎛⎫⎪⎝⎭=12.因为0<A<π，所以-π6<A-π6<5π6，所以A-π6=π6，即A=π3.(2) 在△ABC中，由cos B=，得.由正弦定理sinaA=sinbB，得b=a·sinsinBA=2⨯=，所以b=.。