2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三(上)期中数学试卷和答案

2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=．2．（3分）函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是．3．（3分）已知sinα=，α∈（，π），则tanα=．4．（3分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）=．5．（3分）函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是．6．（3分）等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=．7．（3分）设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是．8．（3分）等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=．9．（3分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．10．（3分）已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．11．（3分）已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．12．（3分）在△ABC中，若tanA=2tanB，a2﹣b2=c，则c=．13．（3分）已知x+y=1，x＞0，y＞0，则+的最小值为．14．（3分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．二、解答题：15．已知函数f（x）=2cos（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）=+，求cosθ的值．16．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2的值；（2）求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）=log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．18．如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D 处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？19．设函数f（x）=x|x﹣1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）﹣g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤2} ．【解答】解：集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，所以A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}2．（3分）函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：∵函数y=ln（x2﹣x﹣2），∴x2﹣x﹣2＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1，或x＞2；∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．3．（3分）已知sinα=，α∈（，π），则tanα=﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．4．（3分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）=﹣2．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（1）=1，f（0）=0，f（3）=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，∴f（﹣1）+f（0）+f（3）=﹣2，故答案为：﹣25．（3分）函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是[﹣4，0] ．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx﹣2=2sin（x﹣）﹣2 的值域为[﹣4，0]，故答案为：[﹣4，0]．6．（3分）等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=120．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=8a1，a4=4+a2，∴4a1+d=8a1，a1+3d=4+a1+d，联立解得a1=3，d=2∴S10=10×3+×2=120故答案为：1207．（3分）设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是a＞1或a＜﹣1．【解答】解：由题意可得f（1）=21﹣4=﹣2，∴f（a）＞f（1）可化为或，分别解不等式组可得a＞1或a＜﹣1故答案为：a＞1或a＜﹣1．8．（3分）等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=4．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{a n}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为49．（3分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，若函数f（x）是偶函数，则﹣2φ+=kπ+，即φ=﹣﹣，k∈Z，∴φ=，故答案为：．10．（3分）已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．【解答】解：函数f（x）=ax+（b＞0）的导数为f′（x）=a﹣，在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=a﹣b，由切线与直线x+2y﹣1=0垂直，可得k=a﹣b=2，即a=b+2，由函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，可得a﹣≥0在区间[，+∞）上恒成立，即有≤x2的最小值，由x≥可得x2的最小值为．即有≤，由b＞0，可得b≤．则b的最大值为．故答案为：．11．（3分）已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．【解答】解：f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m=（3a﹣2）m﹣a+b，∵当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，∴，即．画出可行域如图，联立，解得A（），令z=a+b，化为b=﹣a+z，由图可知，当直线b=﹣a+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．12．（3分）在△ABC中，若tanA=2tanB，a2﹣b2=c，则c=1．【解答】解：∵tanA=2tanB，可得：，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，∴由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2﹣b2=c2，又∵a2﹣b2=c，∴c=c2，解得：c=1．故答案为：1．13．（3分）已知x+y=1，x＞0，y＞0，则+的最小值为．【解答】解：∵x+y=1，x＞0，y＞0，∴y=1﹣x∴+=+===﹣1+，令3x+2=t，则t∈（2，5）且x=（t﹣2），∴﹣1+=﹣1+=﹣1+=﹣1+，由基本不等式可得﹣2t﹣=﹣2（t+）≤﹣2•2=﹣16，当且仅当t=即t=3x+2=4即x=时取等号，∴﹣2t﹣+20≤4，∴≥，∴﹣1+≥，故答案为：．14．（3分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ax，g（x）=x2+2bx，∴f′（x）=x2﹣2a，g′（x）=2x+2b；由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，∴x2﹣2a≤0恒成立，即﹣≤x≤；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，即0＜a≤，解得0＜a≤2；∴b﹣a≤﹣a=﹣+，当a=时，取“=”，∴b﹣a的最大值为．故答案为：．二、解答题：15．已知函数f（x）=2cos（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）=+，求cosθ的值．【解答】解：（1）f（x）=2cos（cos﹣sin）====．∵f（x）的最小正周期为2π，∴ω=1，∴f（x）=；（2）f（θ）==+，∴，∵θ∈（0，），∴（），则cos（）=．则cosθ=cos[]=cos（）cos﹣sin（）sin==．16．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2的值；（2）求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列，∴a1+a3=2（a2+5），①，当n=1时，2a1=a2﹣3，②当n=2时，2（a1+a2）=a3﹣7，③∴联立①②③解得，a1=1，a2=5，a3=19．（2）证明：由2S n=a n+1﹣2n+1+1，①得2S n﹣1=a n﹣2n+1，（n≥2），②，两式相减得2a n=a n+1﹣a n﹣2n（n≥2），==3（n≥2）．∵=3，∴{a n+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+1∴a n+2n=3n，即a n=3n﹣2n．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）=log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）由题意可知，x2﹣2ax+1+a＞0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4﹣4a＜0，∴0＜a＜，且a≠1；（2）∵＞lnx，∴x+﹣lnx＞2a，令f（x）=x+﹣lnx，∴f'（x）=﹣﹣+1，令f'（x）=﹣﹣+1=0，∴x=，∴x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）≥f（）=﹣ln，∴a＜（﹣ln）．18．如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D 处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=，∠CDA=α，∴∠ACD=﹣α．又AB=BC=CA=10，△ACD中，由正弦定理知，得CD=，AD=…（3分）∴S=8AD+16BD+24CD=+160=40•+120（＜α＜）．…（7分）（2）S′=40×，令S′=0，得cosα=．…（10分）当cosα＞时，S′＜0；当cosα＜时，S′＞0，∴当cosα=时S取得最小值．…（12分）此时，sinα=，AD==5+，∴中转站距A处5+千米时，运输成本S最小．…（14分）19．设函数f（x）=x|x﹣1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）﹣g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1﹣x）+m=∴当时，当x∈（1，m]时，f（x）=x（x﹣1）+m=∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2由得：又m＞1．∴当时，f（x）max=m2；当时，．（2）函数p（x）有零点即方程f（x）﹣g（x）=x|x﹣1|﹣lnx+m=0有解，即m=lnx﹣x|x﹣1|有解令h（x）=lnx﹣x|x﹣1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2﹣x+lnx∵∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0当x∈（1，+∞）时，h（x）=﹣x2+x+lnx．∵=＜0∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0∴方程m=lnx﹣x|x﹣1|有解时，m≤0，即函数p（x）有零点时m≤020．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：根据题意，有a1=1，a2=2，a3=a1+d1=1+d1，a4=a2+d2=2+d2，a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16，a4=a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16，2+d2=1+2d1∴d1=2，d2=3．∴a10=2+4d2=14恒成立，∴2+，（2）证明：当n为偶数时，∵a n＜a n+1∴（d2﹣d1）+1﹣d2＜0∴d2﹣d1≤0且d2＞1当n为奇数时，∵a n＜a n恒成立，∴，+1∴（1﹣n）（d1﹣d2）+2＞0∴d1﹣d2≤0∴d1=d2∵S15=15a8，∴8++14+=30+45d2∴d1=d2=2∴a n=n∴数列{a n}是等差数列；（3）解：若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数∵a m=a n，∴∵d1=3d2，∴∵m为奇数，n为偶数，∴3m﹣n﹣1的最小正值为2，此时d1=3，d2=1∴数列{a n}的通项公式为a n=．。