2015-2016学年第一学期数学检测考试答案 (1) - 副本 - 副本 - 副本

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0
；
8. d ( −e − x + C ) = e − x dx ； 9. 函数 y = ax 3 + bx 2 的拐点为 (1,3) ，则 a = −
| | | | |
线
D.趋于无穷大的数列必无界 2.下列说法正确的是（ B ） A.若 f ( x) 在点 x0 处连续， g ( x ) 在点 x0 处不连续，则 f ( x) g ( x ) 在点 x0 处不连续 B.方程 x 3 − 3 x + 1 = 0 在区间 (0,1) 内有唯一实根 C.曲线 y = f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处有切线，则 f ′( x0 ) 一定存在 D.若函数 f ( x) ， g ( x ) 在点 x0 处均不可导，则 f ( x) + g ( x) 在点 x0 处不可导 3.下列条件不能使函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上应用拉格朗日中值定理的是（ D ） A. f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导 B. f ( x) 在 [a, b] 上可导
因此 y ( x )在唯一的驻点 x0处取得极小值，从而在 x0处取得最小值. 即最经济的车速 约为每小时 59km。 此时行车的总费用约为 y (58.5) ≈ 168.9元 。 …………………………………………… （1 分） 阅卷教师 七、附加题（本大题共 4 分）
F ' ( x ) = x f ′( x ) + f ( x ) >0， F ( x ) 在 R 上为增函数 …………………………………（2 分） 又 a > b 则 F ( a ) > F (b) 即 a f ( a ) >b f (b) ………………………………………….（2 分）
） B. lim f ( x ) 存在且不一定等于 f ( x0 )
x → x0
A. lim f ( x ) 存在且等于 f ( x0 )
x → x0
C. lim f ( x ) 不一定存在
x → x0
D. f ( x) 在点 x0 处连续
5.函数 f ( x) 在 x = x0 处可导是 f ( x) 在 x = x0 处可微的（ C ）条件。 A.必要不充分
试卷序号：
1
12.lim
x →0
tan x − sin x
2
16. 设函数 y ( x ) 由方程 2 x − 3 y = 8 所确定，求 y′( x), y′′( x) 。
3 2
e x sin x − 1 1 sin x ( − 1) cos = lim ..................................... （2分） x →0 x3 sin x (1 − cos) = lim （1分） ........................................ x →0 x 3 cos x 1 x x2 = lim 3 2 .................................................. （1分） x → 0 x cos x 1 = ................................................................... （1分） 2
x dx ……………………………………………………………………..（2 分） 3
2
阅卷教师 得分
五、证明题(本大题共 2 小题，每小题 6 分，共计 12 分)
把其定义域分为两个区间： (−∞, 2 ) , [2, +∞ ) . 对 ∀x ∈ (−∞, 2 ) ， f ′′( x ) = ( x − 2)e − x < 0 ， 则 f ( x ) = xe − x 在区间 (−∞, 2) 上是凸的，.. （1 分）
6
dy d( ) dy dx d( ) d2y dx = dt = 2 dx dx dx dt
=
=−
3 .................................................................. （2分） 12π
6t 2 = 6t 2 + 6t 4 1 1+ t2 ………………………..（3 分）
阅卷教师
阅卷教师 得 分
B.充分不必要
C.充分必要 D.既非充分又非必要
二、填空题（共计 5 小题，每小题 3 分，本大题共 15 分。）
得分 一、单项选择题（共计 5 小题，每小题 3 分，本大题共 15 分。） 6. y = arcsin
| | | | |
订
1.下列说法正确的是（ D ） A.凡是分段函数都不是初等函数
18.若 f ′′(u ) 存在, 求函数 y = x 2 f (cos x) 的二阶导数 y′′ . 解：
四、函数求导(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共计 24 分)
x 2 15.设 y = x arcsin + 9 − x + ln 2 ，求 dy 。 3 x x 1 1 1 (−2 x ) + = arcsin ………………………（4 分） 解： y′ = arcsin + x 2 2 3 3 x 3 2 9− x 1− 3
x 1 + x2
………………………………………………(1 分) 耗油率为 (2 +
x2 ) L/ h , 司机的工资为 30元 /小时 , 试问最经济的车速为多少 ? 此时行 360
1 f ′( x ) = − 1+x 2
1 1− ( x 1 + x2 )2
1 + x2 − x 1 + x2
x 1 + x 2 = 0 ……………………………….(3 分)
19．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式：
π arctan x + arccos = . 2 2 1+ x
证明：设 f ( x ) = arctan x + arccos
x
对 ∀x ∈ (2, +∞ ) ， f ′( x ) = (1 − x )e − x > 0 ， 则 f ( x ) = xe − x 在区间 [2, +∞ ) 上是凹的…… （1 分） 22. 货车以每小时 x km 的常速行驶 130km( 50 ≤ x ≤ 100 ),设汽油的价格为 4元 /L ,货车的
n →+∞
14.lim
6
ln 2sin x 2 2 π x → π − 36 x
dy = dt = dx dx dt
2t 1 + t 2 = 2t 3 1 1+ t2 ………………………………………….（3 分）
1 2 cos x 2sin x = lim （3分） ........................................... π −72 x x→
dy d 2 y 2 所确定, 求 dx ， dx .
( n 2 + 1 − n)( n 2 + 1 + n) n2 + 1 + n ( n 2 + 1 − n)( n 2 + 1 + n)
........................... （2分）
........................... （2分） n2 + 1 + n (n 2 + 1 − n 2 ) （1分） = lim n .................................................. n →+∞ n2 + 1 + n 1 = 2 = lim n
x − 1 2 x +1 ) x+3 −4 x−+43 x−+43 (2 x +1) = lim(1 + ) .......................................... （2分） x →∞ x+3 . x + 3 −4(2 x +1) −4 −4 x +3 = lim(1 + ) ............................................. （2分） x →∞ x+3 = e−8 ............................................................................. （1分）
2 n →+∞
解：对方程两端关于 x 求导可得： 6 x − 6 yy ′ = 0 ，…………………..（*） 解得 y ′( x ) =
2
x2 , ( y ≠ 0) …………………………………………………（3 分） y
（*）式两端再对 x 求导可得： 2 x − ( y ′2 + yy ′′) = 0 ， 解得 y′′( x ) =
3 2
, b=
9 ； 2
必要 条件。
10. f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内无界是 lim f ( x) = ∞ 存在的
x → x0
班级：
阅卷教师 得分
三、求极限(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分)
| | | | | | | | |
.lim(
x →∞
C. f ( x) 在 (a, b) 内可导，且在 a 点右连续，在 b 点左连续 D. f ( x) 在 (a, b) 内有连续的导数
则 dy = arcsin
y ′ = 2 xf (cos x) + x 2 ( − sin x) f ′(cos x) ,
……………………（3 分）