辽宁省抚顺市2018届高三3月高考模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

2018年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试数 学（供理科考生使用）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1．设集合2{|3}A x x =∈<N ，{|13}B x x =-<<，则集合A B 为A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，0}D．{|1x x -<2．已知i 是虚数单位，则计算12i2i+-的结果是 A ．41i 5+ B ．4i 5+ C ．i D ．-i3．在等差数列{}n a 中，已知31010a a +=，则数列{}n a 的前12项和为A ．30B ．60C ．90D ．1204．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是A. 成绩是50分或100分的人数是0B. 成绩为75分的人数为20C. 成绩为60分的频率为0.18D. 成绩落在60—80分的人数为29 5．在6的展开式中，含1x 项的系数为A.60-B. 160C. 60D. 646．若实数x ，y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则3z x y =-的最大值是A. 2-B. 1-C. 5D. 3 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.64B.32C.96D.488．执行右面的程序框图，则输出的S 的值是A. 210B. -210C. 420D. -4209．学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”． 已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丁和戊D. 甲和丁10．在三棱锥ABC D -中，已知ABC AD 平面⊥，且ABC ∆为正三角形，3==AB AD ， 则三棱锥ABC D -的外接球的表面积为A ．10πB ．9πC ．8πD ．7π11．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，以线段21F F 为斜边作等腰Rt ∆21MF F ，如果线段1MF 的中点恰好在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于ABC ．2 D12．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且q p <，若不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．（15，)+∞ B ．[15，)+∞ C ．（-∞，6） D ．（-∞，6]第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a =(1，x )，b =（-1，x ），若2-a b 与b 垂直，则||a 的值为 ． 14．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+> 的最小正周期为π，则当[0x ∈，]2π时函数()f x 的一个零点是 ．15．若直线l :y x b =+与抛物线C :24x y =相切于点A ，则以点A 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为 ． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=+，则满足2110n n S S <的n 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且si n 2s i n ()0b A a A C -+=.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为211b c +的值．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠= ，2PD AD AB ===，4CD =，E 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）2.5PM 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国 2.5PM 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）在这18个数据中随机抽取3个数据，用ξ表示其中不．超标数据的个数，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅲ）以这18天的 2.5PM 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．PM 2.5的日均值（微克/立方米）2 7 63 9 64 3 4 3 25 56 578 7 8 7 3 29 3 5 4ABCDPE已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点A （12，4），且两个焦点1F ，2F 的坐标依次为（-1，0）和（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为1k ，直线OF 的斜率为2k ，求当12k k ⋅为何值时，直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+. （Ⅰ）若函数()f x 在区间（2，+∞）内单调递增，求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x （120x x <<）是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：12()()ln 2ag x g x a -<-恒成立. ※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()4πρθ+= （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程及曲线1C 上的动点P 到坐标原点O 的距离||OP 的最大值； （Ⅱ）若曲线2C 与曲线1C 相交于A ，B 两点，且与x 轴相交于点E ，求EA EB +的值． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x =-++．（Ⅰ）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++≥．2018年抚顺市高中毕业生模拟考试数学参考答案与评分标准 （理科）一、选择题（每小题5分，共60分）B C B D C C A B D D A B 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、2； 14、512π； 15、22(2)(1)4x y -+-=； 16、4． 三、解答题17．解：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin 2sin sin b A a B b A ==……3分 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=……6分（Ⅱ）由ABC ∆的面积为2及3A π=得1sin 232bc π=，即6bc = ……8分又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c += ……10分所以112b c b c bc ++==……12分 18．（Ⅰ）证明：设F 为PD 的中点，连接EF ，F A ．因为EF 为PDC ∆的中位线，所以EF ∥CD ，且EF =122CD =． 又AB ∥CD ，AB =2，所以AB =∥EF ，故四边形ABEF 为平行四边形，所以BE ∥AF ．又 AF ⊂平面P AD ，BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD ……4分（Ⅱ）解：设G 为AB 的中点，因为AD =AB ，60BAD ∠=，所以ABD ∆为等边三角形，故DG ⊥AB ；因为AB ∥CD ，所以DG ⊥DC ；又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ，DG ，CD 两两垂直 ……6分以D 为坐标原点，DG 为x 轴、DC 为y 轴、DP为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,2)P，,0)B ，(0,2,1)E ，(0,2,1)DE =，,0)DB =设(,,)x y z =n 为平面DBE 的一个法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20y z y +=⎧⎪+=， 令1y =，则(2)=-n …… 9分 GF又2)PB =-，所以cos ,||||PB PB PB ⋅<>=⋅ n n n 即直线PB 与平面BDE12分19．解：（Ⅰ）概率68731811424=⋅=C C C P ……3分 （Ⅱ）由题意，ξ服从超几何分布：其中18=N ,10=M ,3=n ，ξ的可能取值为0、1、2、3.由3183810)(C C C k P kk -⋅==ξ，得1027)0(31838010=⋅==C C C P ξ， 10235)1(31828110=⋅==C C C P ξ，3415)2(31818210=⋅==C C C P ξ，345)3(318310===C C P ξ……6分 所以ξ的分布列为：得期望7351555()012310210234343E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=或用公式5()3Mn E N ξ==……9分（Ⅲ）由题意，一年中空气质量为二级的概率31186==P ， 12036031=⨯， 所以一年（按360天计算）中约有120天的空气质量为二级……12分20．解：(Ⅰ)由椭圆定义得24a ==，即2a =，又1c =，所以23b =，得椭圆C 的标准方程为22143x y += ……4分 (Ⅱ）设直线EF 的方程为y kx b =+，1122(,),(,)E x y F x y ，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得222(34)84120k x kbx b +++-=，当判别式04322>-+=∆b k 时，得122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ……6分设12k k m ⋅=，因为点,E F 在直线y kx b =+上，得1212()()kx b kx b mx x ++=， 整理得221212()()0k m x x bk x x b -+++=，即222224128()()03434b kb k m bk b k k --+-+=++，化简得22121234k m b m-=-……8分原点O 到直线EF的距离d =，2222212121(34)34b k m d k m k m -==+-+-， 由已知有d 是定值，所以有13434mm m-=--，解得1m =- ……10分即当121k k ⋅=-时，直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，此时d =22127x y += ……12分21．（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x'=+-+……1分 若满足题意，只要1()(1)0f x ax a x'=+-+≥在(2,)+∞恒成立即可， 即1(1)x a x x --≥恒成立，又x ∈(2,)+∞，所以12a ≥……4分（Ⅱ）证明：2()()ln 2a g x f x x x x ax =+=+-，则()g x 的定义域为(0,)+∞，211()ax ax g x ax a x x-+'=+-=，若()g x 有两个极值点()1212,0x x x x <<，则方程210ax ax -+=的判别式21212140,1,0a a x x x x a∆=->+==>且，得212112114,,,0a x x x x x x a ><<∴<=<<又0即……7分 所以11122221211212)ln(ln 2ln 2ln )()(ax aax x ax x a x ax x a x x g x g -++=+---+=-， 设()ln ln()2ah t t at at =++-，其中1t x =∈，由2()0h t a t '=-=得2t a =……9分 又0212<-=-a aaa ，所以()h t 在区间2(0,)a 内单调递增，在区间2(a 内单调递减，即()h t 的最大值为2()2ln 2ln 2ln 22a ah a a a =-+-<-，从而()()12ln 2ag x g x a -<-恒成立……12分22．解：（Ⅰ）由cos()4πρθ+=(cos )22ρθθ-=即曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=……2分根据题意得||OP ==因此曲线1C 上的动点P 到原点O 的距离||OP 的最大值为max ||3OP =……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线20x y --=与x 轴交点E 的坐标为()2,0，曲线2C 的参数方程为:()2x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，曲线1C 的直角坐标方程为2219x y +=……7分联立得2550t +-=……8分 又12||||||||EA EB t t +=+，所以12||||||5EA EB t t +=-==10分 23．解：（Ⅰ）若()|1|f x m +≥恒成立，即min ()|1|f x m +≥……2分由绝对值的三角不等式|3||2||32|5x x x x -++---=≥，得()min 5f x = 即|1|5m +≤，解得64m -≤≤，所以M =4 ……5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知24a b c ++=，得()()4a b b c +++=……6分所以有11111[()()]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++ 11(2)(22)144b c a b a b b c ++=+++=++≥ 即111a b b c+++≥ ……10分。