启东教育第18课时多边形

第18课时多边形
一、知识点:
1.三角形:三角形的三边关系,三角形的内角和,三角形的外角性质, 三角形的外角和.
2.多边形:多边形的内角和, 多边形的外角和, 用正多边形铺满地砖.
二、中考课标要求
1.多边形镶嵌平面
这类题目一是体现三角形和多边形有关知识的应用,二是体现数学的实用价值,更重要的是培养创新联想能力.
2.三角形三边关系定理的运用
三角形三边关系定理是三角形成立的先决条件, 注意定理中的“任意”两字的含义,运用这个定理可确定第三边的取值范围.中考中以选择、填空形式出现.
3.多边形的内角和、外角和定理的运用
这类问题的关键是明确多边形内角和(n-2).180°,而外角和恒等于360°,前者与n有关,后者与n无关,中考中多以选择、填空题出现,或与其他知识综合考查,或单独以探索性题目出现.
四、中考题型例析
题型一平面镶嵌问题
例1 (2004.武汉市)一幅美丽的图案, 在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形,那么另外一个为( )
A.正三边形
B.正六边形
C.正五边形
D.正六边形
解析:正三角形的一个内角等于60°,正四边形的一个内角等于90°, 正六边形的一个内角等于120°,而60°+90°+120°+90°=360°, 所以另一个只能取正四边形.
答案:B.
例2 (2004.福州市)下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( )
A.正八边形
B.正七边形
C.正六边形
D.正五边形
解析:要使用同一种正多边形作平面镶嵌,必须满足正多边形的几个内角之和为360°,正多边形中只有正三角形,正方形和正六边形满足这个条件,其他的正多边形都不满足.
答案:C
点评:正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，是解决这类问题的关键。

题型二三角形三边关系的应用
例3 (2004.哈尔滨市)以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( )
A.1cm,2cm,4cm
B.8cm,6cm,4cm;
C.12cm,5cm,6cm
D.2cm,3cm,6cm 解析:根据三角形三边关系定理,即可得证. 答案:B.
题型三 多边形的内角和、外角和定理的应用
例4 (2003.全国初中数学联赛题)在凸十边形的所有内角中, 锐角的个数最多是( ) A.0 B.1 C.3 D.5
解析:因为多边形的外角和是一个和边数无关的定值,这个问题可从外角的角度来考查.如果多边形的内角中有3个以上是锐角,则与它们相邻的外角中就有3个以上是钝角,外角和将超过360°.
答案:C.
例5 (2003.北京海淀区)如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A.∠A=∠1+∠2
B.2∠A=∠1+∠2;
C.3∠A=2∠1+∠2
D.3∠A=∠1+2∠2 解析:由题意可知∠AED=018012
-∠,
∠ADE=01802
2
-∠ ,所以由三角形的内角和等于
180°, 即可找到∠A 与∠1+∠2的关系.
答案:B.
点评:转化思想是一种重要的数学方法,它能化难为易,化未知为已知,掌握这种方法,对我们学习数学有很大帮助.
基础达标验收卷
一、选择题:
1.(2003.新疆)某人到瓷砖商店去购买一种正多边形的瓷砖,铺设无缝地板, 他购买的瓷砖形状不可以是( ).
A.正三角形
B.正四边形
C.正六边形
D.正八边形
2.(200
3.福建泉州)如果只用正三角形作平面镶嵌(要求镶嵌的正三角形的边与另一个正三角形的边重合),则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为( ). A.3 B.4 C.5 D.6
2
1E D
C
B
A
3.(200
4.昆明市)如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A 、B 、C 、D 、E 五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是( )
A.180°
B.150°
C.135°
D.120°
4.(2004.天津市)若一个正多边形的每一个内角都等于120°,则它是
( )
A.正方形
B.正五边形
C.正六边形
D.正八边形
5.(2003.山西)有若干张如图所示的正方形和长方形卡片 (3)
(2)
(1)
a b
a
b b
a
表中所列四种方案能拼成边长为(a+b)的正方形的是( )
二、填空题
1.(2004.哈尔滨市)一个多边形的每一个外角都等于36°,则该多边形的内角和等于____.
2.(2004.贵阳市)正n 边形的内角和等于1 080 °, 那么这个正n 边形的边数n=______.
3.(2003.吉林省)如图,∠1+∠2+∠3+∠4=________.
40
4
32
1 4
32
1
(第3题) (第4题) 4.(2003.江西)如图,∠1+∠2+∠3+∠4=_________.
5.(2003.江西)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律, 拼成若干个图案.
第1个 第2个 第3个
(1)第4个图案中有白色地面砖______块;
E B
(2)第n个图案中有白色地面砖______块.
三、解答题
1.(“祖冲之杯”数学邀请赛题)一个凸多边形的每一个内角都等于140°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是多少?
2.(山东省数学竞赛题)在凸n边形中,小于108°的角最多可以有几个?
3.(“希望杯”初二数学竞赛题)一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最
多有几条?
4.(2003.甘肃)某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖,为适应市场多样化需求,要求在地板
砖上设计的图案能够把正六边形6等分,请你帮他们设计等分图案(至少设计两种).
能力提高练习
一、开放探索题
1.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图
案,也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请你根据图中的图形,填写表中空格:
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种, 请画出用这两
种不同的正多边形镶嵌成一个平面图形, 并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.
2.给你4根木棒,它们的长度分别是2cm,3cm,4cm和5cm,任取其中三根,可组成几种不同的三角形?
3.三角形的两边长是4cm与8cm,它的周长是一个奇数,这样的三角形的周长有几种不同的长度?
4.一个多边形,少去一个内角外,其余各内角的和为1 700°,求这个多边形的边数?
答案:
基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.C 5.A
二、1.1 440° 2.8 3.280° 4.360° 5.(1)18 (2)4n+2
三、1.解:∵多边形的每一个内角都等于140°,
∴多边形的每一个外有都等于40°.
又多边形的外角和为360°,
∴多边形的边数n=
360
40
=9.
因此,从这个九边形的一个顶点出发的对角线条数是:9-3=6(条).
2.解:若内角小于108°,则外角大于180°-108°=72°,
∵多边形的外角和为360°,
∴外角大于72°的角最多有4个.
即内角小于108°的角最多可有4个.
3.解:∵多边形的内角仅有4个是钝角,
∴多边形的外角仅有4个是锐角.
又∵多边形的外角中最多有3个钝角,
∴多边形最多有4+3=7个外角.
因此,多边形的边数最多是7.
4.只要符合题目要求即可,如图.
能力提高练习
一、1.解:(1)0
(2)180n n
.
(2)答:正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形等. (3)如图:正方形和正八边形镶嵌构成平面图形.
设在一个顶点周围有m 个正方形的角,n 个正八边形的角,那么m 、n 应是方程m ×90°+n ×135°=360°的整数解,即2m+3n=8,且其整数解只有一组m=1,n=2,所以符合条件的图形只有一种.
2.解:以2cm,3cm,4cm 为边长,以2cm,4cm,5cm 为边长,以3cm,4cm,5cm 为边长都可以组成三角形,故可组成3种不同的三角形.
3.解:设第三边边长为xcm,则8-4<x<8+4,∴4<x<12,∵4+9=12是偶数, 而周长为奇数,∴第三边必为奇数,在4<x<12的奇数中,x 可以取5,7,9,11, 即这样的三角形的周长有4种不同的长度.
4.12边形.。