AP微积分-Part I Limits and Continuity-227
Chapter 1 Limits and__ Continuity
-1 -2
Definition 2.7 Let f be a function defined on an open interval of the form (c, a) for some real number c, and let L be a real number. We say that the left-hand limit of f(x) as x approaches a from the left is L, and write lim f ( x ) = L, lim+ f ( x) = L,
lim f ( x ) = 3 2 ,
2 1 -2 -1 1 2
and say that the limit of f(x), as x approaches 1, is 3/2, or that f(x) approaches 3/2 as x approaches 1. Figure 6
6
x →1
x→a
if for every number ε>0, there is a number δ>0 such that
if 0 < x a < δ , then f ( x ) L < ε . y y=L+ε L y=L-ε o a-δ a a-δ x Figure 5
5
In order to understand the precise meaning of a function in Definition 2.5, let us begin to consider the behavior of a function 0.5 x + 1, x ≠ 1 f ( x) = x =1 0, as x approaches 1. From the graph of f shown in Figure 6, we can intuitively see that as x gets closer to 1 from both sides but x≠1, f(x) gets closer to 3/2. In this case, we use the notation
《微积分教学资料》calculusi(1)
A
x2 1 lim 2 x 1 x 1
x
１
３
x2 1 f ( x ) x 1 , x 1 x 1 3 ,
２
y
A
x 1 lim 2 x 1 x 1
2
１
x
The limit value does not depend on
how the function is defined at X0
x a
such that
f ( x) L
if
0 xa
then
Geometric interpretation of limit
f ( x)
L
L
L a a a
(4 x 5) 7 Example Prove that lim x 3
Proof 1.Guessing a value for . Let be a given positive number.
Sinx/x
0.84147098 0.95885108 0.97354586 0.98506736 0.99334665 0.99833417 0.99998339 0.99998333 0.99999583 0.99999983
sin x lim 1 x0 x
Caution: Notice the phrase “but x≠a” in the definition of limit. This means that in finding the limit of f(x) as x approaches a, we never consider x=a. In fact, f(x) need not even be defined when x=a. the only thing that matters is how f is defined near a.
关于AP考试微积分课程的知识
其内容包括了大学一年的微积分课程内容的三分之二。开设 Calculus AP Derivative as a function、二阶导数 Second derivatives、导数的应
课程的学校或者自学的同学，应当在高一高二进行合理支配，确定课程打 用 Applications of derivatives、导数的'运算 Computation of
四、AP 微积分教材 1.Cracking the AP calculus ABBC exams 2021 Edition ：David S.Kahn 2.Barron‘s AP Calculus with CD-ROM (Paperback 【关于 AP 考试微积分课程的学问】
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两门课。微积分 AB 需要 1 年的课程学习时间，其内容大约占了大学一年
Ⅱ.导数(Derivatives) 包括导数的概念 Concept of the e、
的微积分课程内容的三分之一，而微积分 BC 需要 1 年多的课程学习时间， 在一个点处的导数 Derivative at a point、导函数(包括中值定理等)
三、AP 微积分考试内容
approximations to definite integrals。
微积分 BC 课程的主要内容：
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Ⅳ. 多项式估算和级数 Polynomial Approximations and Series 包 括 Concept of series 级数的定义、Series of constants 常数，Taylor series 泰勒级数。
算，以保证把学习微积分应具备的学问先行学习完毕。由于 AP 微积分是 derivatives 等内容;
AP微积分-AP Calculus 公式大全-217
AP Calculus BC1. Important limits()001111011sin sin lim1, lim 1lim 1lim 10, ()lim lim , x x xt x t m m m m m m n n x x x ax ax bx be t e x m n P x a x a x a x a a m n b x b →→→∞→---→∞→∞==⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭<++++===+++⎧⎪⎪⎨x x sec )'(tan = x csc (cot)'-= x x x tan sec )'(sec = x x x cot csc )'(csc -=(6) 211)'(arcsin xx -=211)'(arccos xx --=211)'(arctan x x +=211)'cot (x x ar +-= 11)'sec (2-=x x x arc 11)'csc (2--=x x x arc2. Rules（1）If f (x )，g (x ) are differential ，a. )()())()((x g x f x g x f '±'='±；b. )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，especially ，)())((x f C x Cf '='（C is a constant ）；c. )0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，especially ，21()()()()g x g x g x ''=-。
(2) Chain Rule )]([x g f y =⇒dxdudu dy dx dy ⋅= (3) Implicit Differentiation ()(()'r t f =3. Applications of Derivative Mean Value Theorem) is differentiable Tangent and normalFirst Derivative Test'f changes from - to +，local min 'f changes from + to -，local maxSecond Derivative Test ''()0f a >，local min ''()0f a <，local max(4) Absolute max/min: compare function value of critical point and endpoints.Steps: 1. find 'f ;2.solve '0f =;3. compare value at critical point and endpoints.1. Indefinite Integral:'()()Definition f x dx f x C =+⎰ Method ()()df x f x C =+⎰2. Methods for Indefinite Integral 不定积分方法 ① Formulas ：dx x C =+⎰（integrand 为1）, kdx kx C =+⎰, 11n nx x dx C n +=++⎰ln x xa a dx C a=+⎰ x xe dx e C =+⎰1sin 2 4x x C ++②()f u du3. Find the antiderivative of ()f u .③ Partial fraction （拆分）ln ||ln ||()()cx d A Bdx dx dx A x a B x b C x a x b x a x b +=+=-+-+----⎰⎰⎰(通分求A,B)④ Integration by partsudv uv vdu =-⎰⎰，（or ''uv dx uv vu dx =-⎰⎰）， Tabular Integration ， （story about ln x , sin x , and xe ）3. Improper Integral 反常积分（两种形式，无穷积分，瑕积分） ① Integral on infinite interval()lim (),()lim (),()()()lim ()lim ().ba ab bbaa c cbcaca b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞→∞-∞→-∞∞∞-∞-∞→-∞→∞===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰② Integrand with infinite discontinuities()lim (),bca ac bbbf x dx f x dx -→=⎰⎰4.5. )'()x β⋅6. ①(,)c a b ∈. ②low upper function er function a⎣⎦L Right functio ef func on n ti )cy dy ⎤⎥⎣⎦③ V olume ：with known cross section()baA x dx ⎰, ()A x is the area of the cross section.Revolution ：2Inner 2Out rad er radiu ius s baR r dx π⎡⎤-⎣⎦⎰，Shell Method ：2baxydx π⎰（旋转轴为y-axis ） or 2baxydy π⎰（旋转轴为x-axis ）④ Length21x x ⎰or 21y y ⎰or 21t t ⎰.1. Separation Variable()()()()dy M x N y dy M x dx dx N y =⇒=⎰⎰ 2. Logistic Equation (1)(),lim ()1kt t dP P K kP P t P t K dt K e-→∞=-⇒==+ ,where is the environmental capacity. 3. Slope Field4. Euler’s Method ： 11n n n n x x x dyy y x dx ++=+∆⎧⎪⎨=+⋅∆⎪⎩n a ++，1n a∞=∑Test for ConvergenceAssume that the following limit exists: 1≥..③ Comparison TestAssume that there exists 0M >such that 0n n a b ≤≤for n M ≥. If1nn b∞=∑ converges, then If1nn a∞=∑ also converges. If1nn a∞=∑ diverges, then1nn b∞=∑ alsodiverges.Limit Comparison Test Let {}n a and {}n b be positive sequences. Assume limnn na Lb →∞=a) If 0L >,then1nn a∞=∑ converges if and only if1nn b∞=∑ converges.b) If L =∞, and1nn a∞=∑ converges, then1nn b∞=∑ converges.c) If 0L =, and1nn b∞=∑ converges, then1nn a∞=∑ converges.3. Four Series① The geometric seriesnar∞converges if ||1r <and diverges otherwise.0, lim n n a a →∞>>>>4. ()(012a a x c a x +-+-()n∞∑is either anonnegative number ( )or infinity( ).If i s finite, converges absolutely whenx c R -< and diverges when x c R ->. If R =∞, ()F x converges absolutely for all x .（ii ）Term-by-term Differentiation and IntegrationPossible convergence at the endpointsAssume that ()0()nn n F x a x c ∞==-∑ has radius of convergence 0R > . Then is differentiable on(, )c R c R -+[or for all x if R =∞]. Furthermore, we can integrate and differentiate term by term.For (, )x c R c R ∈-+,()()110'() () (A any constant)1n n n n n n a F x na x c F x dx x c A n ∞∞-+===-=-++∑∑⎰；These series have the same radius of convergence R .()(!n f a n ++()(0)!n f n ++and x ).Interval of convergence all real numbers初等函数基本知识点小结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．∈N◆2ma n◆3（112（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：注意底数的限制0>a ，且1≠a 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化幂值 真数如果a ○1 ○2 ○3 abln ln（1）1，+∞）． ○2 21、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．三角函数基本知识点小结sin1. 2. 3.sin(α±β(tan a a sin2αa 2tan =Trigonometric Function and Inverse Trigonometric Function。
AP微积分课程设计
北京中加学校AP微积分课程的实施方案正值北京中加学校建校十五周年之际，为了实现百年名校的伟大目标，无论是在管理，还是在教育教学上都需要不断健全和完善体制机制。
然而，学科课程的建设和更新势必首当其冲，迫在眉睫。
暑假在大连举行的《北京中加学校数学课程和教学多元化的探究》教学研讨会为北京中加学校的学科建设开了先河，也奠定了思想基础。
借此良机，对于北京中加学校的特色学科之一，AP微积分，我们借鉴过去的教学经验，整合国内外教学资源，依据美国大学理事会AP微积分的课程标准，拟定了关于AP微积分课程的教学设想。
一、指导思想本课程是北京中加学校为学生开设的一门国际数学专业基础课。
开设本课程的目的，在于以美国大学理事会规定的AP?微积分课程标准为指导，按照理论与实践相结合的原则，通过对微积分基本原理及规律的讲授，使学生系统掌握极限、连续、导数和积分等知识的基本原理、基本内容和基本方法，对微积分在经济活动中的应用有比较清晰的了解，提高学生专业词汇量和阅读英语原版书籍的能力，拓宽学生国际数学视野，使学生体验到数学的价值和美学认知。
课内学时144，4学分，从高一第一学期开始开设，高二第二学期结束，将近两个学年授完。
二、课程目标AP微积分是在高中学习阶段有余力、有能力、成绩优秀的学生有机会先修的美国大学基础课程以获得美国大学学分专业的必修课。
要求学生在学完本课程后，掌握本课程的基本原理、基本内容、基本方法及基本知识，并具有对所学的微积分知识进行现实理解和实际应用的能力，从而顺利通过AP考试。
据此，本课程考核着重于基本知识的掌握、理解和应用分析能力两个方面。
在各章的考核要求中，有关基本概念、基本理论、基本公式、应用分析能力的内容按“识记、理解、简单应用和综合应用”四个层次要求。
三、教学进度北京中加学校AP微积分教学内容及其进度计划四、课程内容Chapter2LimitsandDerivatives第二章极限和导数Chapter3DifferentiationRules 第三章导数法则Chapter4ApplicationsofDifferentiation第四章导数的应用Chapter5Integrals第五章积分Chapter6ApplicationsofIntegration 第六章积分的应用Chapter7TechniquesofIntegration第七章积分技巧五、考核方式为了彰显我校“多一把尺子，多一位人才”的教育教学理念，本课程采用形成性考核与终结性考核相结合的方式。
高等数学微积分课件多元函数极限的连续性
Good job if you saw this as “limit does not exist” indicating a vertical asymptote at x = -2. This limit is indeterminate. With some algebraic manipulation, the zero factors could cancel and reveal a real number as a limit. In this case, factoring leads to……
The concept of limits in two dimensions can now be extended to functions of two variables. The function below uses all points on the xy-plane as its domain.
z f ( x, y) x 2 y 2 3
If the point (2,0) is the input, then 7 is the output generating the point (2,0,7). If the point (-1,3) is the input, then 13 is the output generating (-1,3,13). For the limit of this function to exist at (-1,3), values of z must get closer to 13 as points (x,y) on the xy-plane get closer and closer to (-1,3). Observe the values in the table to see if it looks like the limit will hold.
AP微积分AB部分介绍
AP微积分AB部分介绍三立为大家整理了AP微积分AB部分介绍的相关内容，供考生们参考，以下是详细内容。
AP微积分共分两个模块，每个部分又分为A和B两个部分，考试时间为195分钟。
其中第一个模块为多项选择题(5选1)，共计105分钟，共45题，其中Part A是从1到28题，不允许使用计算器，考试时间为55分钟，Part B从29题到45题，共计50分钟，允许使用计算器;第二个模块为问答题，共6道题，Part A有两道题目，允许使用计算器，考试时间为30分钟，Part B有4道题目，不允许使用计算器，考试时间为60分钟。
每个选择题答对得1分，不答得0分，答错不扣分，卷面分乘以一个系数(1.2)为最后得分，如果所有的题都答对，则为54分，占总分的50%。
问答题每道题9分，共54分，占总分的50%。
基本上卷面分数得到70分以上就可以得到实际分数的5分，60以上的分数大概可以得到4分，低于4分的则可能不被美国学校承认。
另外，关于计算器的使用，要求所选图形计算器一定要能画函数图像，求导数和积分值，推荐TI系列，比如TI-84，TI-89或者TI-N Spire等。
1、考试内容Calculus AB和BC所考内容大概包含5部分，分别为函数、极限和连续，导数和导数的应用，不定积分、定积分及其应用，微分方程和无穷级数。
其中，极限部分以求极限值和渐近线为主，大约5道选择题，导数和导数的应用部分为考试重点，以运用不同函数的导数去解决实际物理或者几何问题为主，大约有15道选择题和3道问答题，不定积分、定积分及其应用部分为考试重点，以运用不定积分的运算法则求体积、面积或者解决实际问题为主，大约有15道选择题和2道问答题，微分方程部分主要考可分离变量的微分方程和斜率场，大约有5道选择题，无穷级数部分为考试难点，不过只有BC考试，考试内容以泰勒级数、麦克劳林级数和拉格朗日余项为主，大约有1个问答题和5个选择题。
具体的内容解析如下：A.Function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数*(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换B.Limit and Continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理C.Derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数*(8)参数函数求导数和极坐标求导数D.Application of Derivative导数的应用(1)微分中值定理(D-MVT)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值E.Indefinite Integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)U换元法求不定积分*(4)分部积分法求不定积分*(5)待定系数法求不定积分F.Definite Integral 定积分(1)Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质*(3)Accumulation function求导数*(4)反常函数求积分H.Application of Integral定积分的应用(1)积分中值定理(I-MVT)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用I.Differential Equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场*J.Infinite Series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
AP微积分考试的知识点储备
AP微积分考试的知识点储备三立为大家整理了AP微积分考试的知识点储备的相关内容，供考生们参考，以下是详细内容。
1. AP微积分的预备知识AP微积分学习前，学生们应该掌握以下预备知识：(1)实数与数轴(初中知识)(2)绝对值(初中知识)(3)区间和邻域(高中知识)(4)函数的概念(自变量和因变量)、函数表示法(特别是图示法和解析法)、函数的定义域和值域、函数的几何特征：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
(高中知识)(5)基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的表达式、定义域和图形。
(高中知识)(6)复合函数对于定义域和值域的理解(高中知识)(7)初等函数和隐函数的表示法和概念(高中知识)(8)数列的基本性质(高中知识)利用高中数学总复习资料可以帮助我们巩固微积分预备知识，国内大学财经类微积分课本的第一章一般会有对高中数学的简单回顾。
SAT1数学部分考的是代数、几何，相当于我国初中知识水平，SAT2数学部分主要包括函数、三角、几何。
SAT2数学分为数学一和数学二，其中数学一比较简单，数学二比较难，包括三角，矩阵，级数，向量和部分微积分。
由于SAT2数学二适用性更广泛，我国学生一般会选考SAT2数学二。
学生可以把准备SAT1数学部分和SAT2数学一和数学二考试的部分内容作为准备学习AP微积分和AP统计学的基础。
AP微积分基础主要在函数和三角。
AP统计学基础主要在概率。
2. AP微积分的学习和考试内容根据最新考试大纲规定的AP微积分的考试内容如下：第一部分：函数和极限(Functions and limits)(1)函数(Functions)(2)函数图像分析(Analysis of graphs)(3)函数的极限(包括单侧极限) (Limits of functions (including one-sided limits)(4)渐进和无穷(Asymptotic and unbounded behavior)(5)函数的连续性(Continuity as a property of functions)第二部分：导数(Derivatives)(1)导数的概念(Concept of the derivative)(2)在一个点处的导数(Derivative at a point)(3)导函数(包括中值定理等) (Derivative as a function)(4)二阶导数(Second derivatives)(5)导数的应用(Applications of derivatives)(6) 导数的运算(Computation of derivatives)第三部分：积分(Integrals)(1)定积分的概念和性质(Interpretations and properties of definite integrals)(2)积分的应用(Applications of integrals)(3)微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)(4)不定积分(Techniques of Antidifferentiation)(5)不定积分的应用( Applications of Antidifferentiation)(6)定积分的数值计算( Numerical approximations to definite integrals)第四部分：多项式估算和级数(Polynomial Approximations and Series)(1) 级数的定义(Concept of series)(2) 常数项级数(Series of constant terms)(3) 泰勒级数(Taylor series)注：微积分AB需要1年的课程学习时间，其内容大约占了美国大学一年的微积分课程内容的三分之二，而微积分BC需要1年多的课程学习时间，其内容包括了美国大学一年的微积分课程内容的全部。