第07课时-等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
将它们代入公式
nn 1 S n na1 d 2
a1 4 d 6
S 20 1220
10 a1 45 d 310 得： 20 a1 190 d 1220
所以
n(n 1) S n 4n 6 3n 2 n 2
an 可以建立一个等差数列
a1 500
d 50
n 10
• 课本45页练习1题
• 课本46页1（1）（2）
小结
• 1、等差数列的前n项和公式推导 • 倒序相加法 • 2、等差数列的前n项和公式
Sn na1 an 2
S n na1
nn 1 d 2
• 3、公式的应用
na1 an Sn 2
• 把 an a1
na1 an n 1 d 代入 S n 2
，得到 Sn 也
可以用首项 a1 与公差 d 表示，即
nn 1 S n na1 d 2
• 3、等差数列前n项和公式
na1 d 2
的自变量 x 取正整数时的函数值.
解：由题意知：等差数列的首项a1=5，公差为
5 d 7 n(n 1) 5 S n 5n ( ) 2 7 5 2 75 n n 14 14
所以
配方
5 15 2 1125 (n ) 14 2 56
所以，当n取与7.5最近的整数即7或8时，Sn 取最大值.
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
等差数列的前n项和
2
问:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn qn r，
2
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列 一定是等差数列吗？
结论:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn 2 qn r， 等差数列当且仅当r=0
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列是
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
n( a1 an ) Sn . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
公式2
n（n 1) Sn na1 d 2
思考：
n(a1 an ) 2、求和公式 ( ) S n 2 n( n 1) ( )S n na1 d 2
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，
特征：
当A 0 即d 0 时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn An 2 Bn的图象是抛物线 y Ax 2 Bx上的一群孤立的点.
思考：
数列an 的前n项和S n An 2 Bn( A, B为常数)，则数列an 是不是一定是等差 数列？
结论：
an 是公差为2 A的等差数列
复习
1.等差数列的定义：
an 是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d .
3.重要性质:
⑴an am (n m)d .
(完整版)等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与首项、末
项之间的关系总结
一、定义：
等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
它的一般
形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, ...，其中a₁为首项，d为公差。
二、前n项和的计算：
等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：
Sn = (n/2)(a₁ + an)
其中，Sn表示前n项和，a₁为首项，an为末项（第n项）。
三、首项、末项与前n项和的关系：
1. 首项和末项的关系：
首项a₁和末项an之间的关系可以表示为：
an = a₁ + (n-1)d
其中，d为公差。
2. 前n项和与首项、末项之间的关系：
根据前n项和的计算公式，可以得出以下关系：
Sn = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + nd - d)
= n(a₁ + (n-1)d)/2
四、应用示例：
假设有等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，其中首项a₁=2，公差d=3。
计算该数列前n项和的步骤如下：
1. 根据首项和公差，确定该数列的末项计算公式：an = 2 + (n-
1)3。
2. 根据前n项和的计算公式，将首项a₁、末项an代入计算：Sn = n(2 + (n-1)3)/2。
以上就是对等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系进行总结的内容。
注意：本文档的内容仅供参考，不涉及法律问题。
7.等差数列的前n项和 -
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10， 则S6等于 ( )
A．12
C．24 答案：C
B．18
D．42
2．已知一个等差数列 {an } 前10项的和是310，前20项的 和是1220.求前30项的和
a1 a2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30
巩固练习：
1. 3 ．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的
中间项为( D ) A．8 B ．7 C．6 D．5
2．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的 和为512，偶数项的和为480，则中间项为( c ) A．30 B．31 C．32 D．33
3．等差数列{an}的公差d＝1/2 且S100＝145， 则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( A．52.5 B．72.5
，
10a1＋45d＝35 a1＝－10 即 ，解得 . 22a1＋231d＝473 d＝3
nn－1 nn－1 3 ∴ Sn＝ na1＋ d＝－ 10n＋ ×3 ＝ 2 2 2 23 n － n. 2
2
2． 等差数列前n项和的性质
(1)数列{an}是公差为 d
d 列，且公差为 2 .
3．等差数列前n项和Sn的最值求法 等差数列的前n项和的最值问题一般采用二次函数 配方法解决，要特别注意n为正整数，当配方后对称轴 不是正整数时，它一定在两个正整数中间，离哪个较
等差数列的前N项和
等差数列的前n项和公式类同于
梯形的面积公式
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
返回
三、等差数列前n项和公式的应用： 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位： m）是： , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列 记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500. 有等差数列前n项和公式知 Sn=7(a1+a7)/2=63000 答：这位长跑运动员7天共跑了63000m
3、等差数列4，3，2，1，…前多少项的和是－18?
4、所有被7除余3的两位数之和为____________.
五、综合提升
例1.在等差数列｛an｝中，a4=0.8,a11=2.2, 求a51+a52+„+a80
a1 3d 0.8 解 :由 通 项 公 式得 , a1 10d 2.2
二、等差数列前n项和公式的推导： 设等差数列{an}，Sn为前n项和， Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒，Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
又因
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
(1)+(2),得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
（3）等差数列的性质
等差数列的性质: 等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
等差数列的前n项和·例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n () 12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列的前n项和
等差数列的前n 项和一：知识点讲解（一）：数列的前n 项和对于数列{}n a ，一般地，我们称n a a a a ++++ 321为数列{}n a 的前n 项和， 用表示，即n n a a a a S ++++= 321。
由n n n a a a a a S +++++=-1321 ，123211---+++++=n n n a a a a a S （2≥n ，且*N n ∈），可得1--=n n n S S a （2≥n ，且*N n ∈），当n ＝1时，11S a =。
给出了{}n a 的前n 项和n S 组成的数列{}n S 的递推公式或n S 与n a 的关系式，求{}n a 的通项公式常用的思路有两种：✧ 先求出n S ，再用1--=n n n S S a （2≥n ，且*N n ∈），求出n a ；✧ 将1--=n n n S S a （2≥n ，且*N n ∈）转化为n a 的递推关系式，再求n a 。
n a 与n S 的关系式1--=n n n S S a 的使用条件是2≥n ，且*N n ∈，求n a 时切勿漏掉1=n 的情况。
例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n S n +=2，则=8aA. 72B. 36C. 18D. 16例2：已知数列{}n a 的前n 项和nn S 3=，求n a 。
（二）：等差数列{}n a 的前n 项和n S 的公式已知首项、末项与项数，求和公式：=n S 。
已知首项、公差与项数，求和公式：=n S 。
等差数列{}n a 的前n 项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法。
主要适用于具有 =+=+=+--23121n n n a a a a a a 特征的数列求和。
若已知等差数列{}n a 的首项1a 、末项n a 及项数n ，则用公式()21n n a a n S +=求和。
这里21na a +是1a 与n a 的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质。
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第07课时-等差数列的前n 项和
目的：要求学生掌握等差数列前n 项和公式、推导及其简单应用
重点、难点：等差数列前n 项和公式的推导
过程：
一、复习：
1、等差中项
2、等差数列的性质
3、练习
(1)在等差数列{a n }中，
若a 3+a 8=m ，则a 5+a 6= ；若a 5=a ，a 10=b ，则a 15= .
(2) 三个数构成一个公差为2的等差数列，且它们的和等于它们的积，则这三个数为 .
(3)在等差数列{a n }中,a m =n,a n =m,则a m+n 的值为 .
二、新课
(一)引入：著名的数学家高斯(德国1777－1855)十岁时计算1+2+3+…+100的故事
总结：
1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和；
2．高斯的解法是：
前100项和2
)1001(100100+⨯=S ，即2)(1n n a a n S +=.
(二)等差数列前n 项和公式
1、掌握等差数列求和的方法——倒序法，即：
S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
又S n = a n + a n -1 + …+ a 2 + a 1
所以2S n =(a 1 + a n )+ (a 2 + a n -1 )+…+( a n + a 1 )
又a 1 + a n = a 2 + a n -1 =…=a n + a 1，
∴2S n = n(a 1 + a n )
即S n = 2n (a 1 + a n )
上式中以a n = a 1 +(n -1) d 代入知S n = n a 1 +2)1(-n n d .
2、S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
= a 1 + (a 1 +d) +(a 1 +2d) +…+[a 1 +(n -1)d]
而 S n = a n + a n -1 + …+ a 2 + a 1
= a n + (a n -d) + (a n -2d) +…+[a n - (n -1)d]
∴2S n =(a 1 + a n )+ (a 1 + a n )+…+(a 1 + a n )=n(a 1 + a n )
说明：
1、又一次说明下标和相等的两项之和相等，或说到首末两项“等距离”的两项之和相等；
2、等差数列前n 项和公式有二种形式：
S n = 2n (a 1 + a n )； S n = n a 1 +2)1(-n n d .
其中，a 1, a n , n , d , S n ,五个量知三求二.
3、事实上，S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
= a 1 + (a 1 +d) +(a 1 +2d) +…+[a 1 +(n -1)d]
=n a 1 +[1+2+…+(n -1)] d =2d n 2+(a 1-2d )n.
4、一般来说等差数列的前n 项和S n 是n 的二次函数，且不含常数项，特别情形S n 也有可能是n 的一次函数或S n =0.
(三)应用举例
例1、已知等差数列{a n }.
(1) 已知a 1=5, a 60=50, 求S 60.
(2) 已知a 1=65,d=61-, S n = -5,求n 与a n .
(3) 已知a 1=4,S 8=172, 求a 8和d.
(4) 已知a 1+a 2+a 3+a 4 =p ，a n -3+a n -2+a n -1+a n =q ，则S n = .
例2、在等差数列{a n }中，已知∑=101n n a =310，∑=20
11n n a =910，求∑=3021n n a 的值. (其中，∑为希腊字母，国际音标为['sigm ə])
小结：3n 项的等差数列，前n 项和、中间n 项和、后n 项和构成等差数列
已知S n 求a n
例3、已知数列{a n }的前n 项和S n = -n 2 + 14n+c ，
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2)若此数列为等差数列，则其前几项和最大？
小结：对数列{a n }的前n 项之和S n =An 2+Bn+C(A ≠0)，
若C=0，则{a n }是等差数列；
若C ≠0，则{a n }从第二项起成等差数列.
变1：
首项为正的等差数列{a n}中，S3=S11，问此等差数列的前几项和最大？
变2：
已知等差数列{a n}的前n项和S n= -n2 + 13n，问此等差数列的前几项和最大？
变3：
已知数列{a n}，若a n= -2n+25，则S n达到最大值时的n为( ) A.13 B.12 C.11 D.10
变4：
已知数列{a n}，若a n= -2n+25，求数列{|a n|}的前n项和.
练习：
(1)等差数列13，15，17，…，81的各项和为 .
(2) 等差数列{a n}中, a6 + a9 + a12 + a15 = 30，则前20项和S20
为 .
(3) 等差数列{a n}中,前四项和为21，末四项和为67，前n项
和为286，则项数n= .
(4) 数列{a n}等差, 公差d=0.5，a1+a7+a13+…+a97=60，则前100项和S100= .
(5)求和∑=+10
0)32(n n = .
三、小结
1、等差数列前n 项和公式的二种形式:
S n = 2n (a 1 + a n )； S n = n a 1 +2)1(-n n d . 其中，a 1, a n , n , d , S n ,五个量知三求二.
2、一般来说等差数列的前n 项和S n 是n 的二次函数，且不含常数项，特别情形S n 也有可能是n 的一次函数或S n =0.。