2015-2016学年江苏省常熟市高二上学期期中考试

2015-2016学年江苏省常熟市高二上学期期中考试
一、填空题（共14小题；共70分）
1. 点关于点的对称点的坐标为______．
2. 已知，，则 ______．
3. 已知过两点，的直线斜率为，则 ______．
4. 已知圆锥的底面半径为，高是，则圆锥侧面积等于______．
5. 经过点作圆的弦为，使得点平分弦，则弦所在的直线
方程为______．
6. 设，为两个不重合的平面，，是两条不相同的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，，则；
④若，，，，则．
其中正确的命题为______．（填序号）
7. 点关于直线的对称点的坐标是______．
8. 如图为圆的直径，点在圆周上（异于，两点），直线垂直于圆所在的平面，点
为线段的中点，有以下四个命题，其中真命题的序号是______．
① 平面；② 平面；③平面；④
9. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为，则这个三
棱柱的体积为______．
10. 如图，各条棱长均为的正三棱柱中，为中点，则三棱锥的
体积为______．
11. 设点，，若圆上存在点，使，则实数的取值
范围是______．
12. 若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交
所得的弦长为，则面积的最小值为______．
13. 设集合，，当时，则实数的
取值范围是______．
14. 已知点，，，，当四边形的周长最小时，则的值为
______．
二、解答题（共6小题；共78分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证： 平面．
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点
是棱的中点．
（1）求证：；
（2）若，求证：平面平面．
17. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点
在边所在直线上．
（1）边所在直线的方程；
（2）若直线平分矩形的面积，求出原点与距离的最小值．
18. 已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线相切，
设直线与圆相交于，两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得的垂直平分线过点 ?
19. 已知圆，圆关于直线对称的圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）在直线上是否存在点，过点分别作圆，圆的两条切线，，分别为，，有?若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
20. 已知的三个顶点为，，，设其外接圆为圆．
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
答案
第一部分
1.
2.
3.
4.
5.
6. ④
7.
8. ②④
9.
10.
11.
12.
13.
14.
第二部分
15. （1）由，，可得，又直三棱柱中，
从而可证平面
所以，平面平面；
（2）连接，，
因为分别为的中点，
所以．
又因为平面，平面，
所以，有 平面．
16. （1）因为，点是棱的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）依题意，有，点是棱的中点，
所以，
由（1）可得，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
17. （1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，
所以边所在的直线的方程为，即．
（2）依题意，得，所以原点与距离为
，所以最小值为．
18. （1）设圆心为（）．
由于圆与直线相切，且半径为，所以，即<br>\（\[ \left|4m-29
\right|=25 .\]\）<br>因为为整数，故，故所求的圆的方程是．（2）直线，即，代入圆的方程，消去整理，得<br>\（\[\left
（a^2+1\right）x^2+2\left（5a-1\right）x+1=0\]\）<br>由于直线交圆于，两点，故
<br>\（\[\Delta =4\left（5a-1\right）^2-4\left（a^2+1\right）>0，\]\）<br>即，解得<br>\（\[a<0\ 或\ a>\dfrac{5}{12}.\]\）<br>所以实数的取值范围是．（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，
的方程为，即<br>\（\[x+ay+2-4a=0.\]\）<br>由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以，
解得<br>\（\[a=\dfrac34.\]\）<br>由于，所以存在实数，使得过点的直线
垂直平分弦．
19. （1）由已知可得，设，则，则的中点在直线
上，所以，解得，
所求圆的方程为．
（2）假设存在点满足条件，设，由已知可得，所以，又，，所以，
解得，所以存在点满足．
20. （1）线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为＋．
由此得外接圆的圆心，半径，故的方程为＋．
设圆心到直线的距离为，则．
当直线垂直轴时，其方程为，此时与的交点为和，得弦长为，符合题意．当直线不垂直轴时，可设的方程为，由圆心到直线的距离、半径、半弦长
构成直角三角形，得<br>\（\[ \dfrac{ \left|3k+1 \right|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{10-1}=3.\]\）<br>解得<br>\（\[k=\dfrac43.\]\）<br>此时直线的方程为．
综上直线的方程为或．
（2）直线的方程为．
设，，因为点是点，的中点，所以．
因为，都在半径为的上，所以<br>\（\[\begin{cases}\left（x-3\right）^2+\left（y-2\right）
^2=r^2，\\ \left（\dfrac{m+x}{2}-3\right）^2+\left（\dfrac{n+y}{2}-2\right）^2=r^2.\end{cases}\]\）<br>
因为关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以<br>\（\[\left （2r-r\right）^2\leqslant \left（m-3\right）^2+\left（n-2\right）^2\leqslant \left（2r+r\right）^2.\]\）<br>又
因为，所以．
而在上的值域为，故且．又线段与圆无公共点，所以＋对任意恒成立，即<br>\（\[r^2<\dfrac{32}{5} .\]\）<br>因此得的半径的取值范围是．。