1.5数量积和向量积

利用三阶行列式符号, 上式可写成
i a b x1 x2
j y1 y2
k z1 z2
(y1z2y2z1)i (x1z2x2z1)j(x1y2x2y1)k.
向量积的坐标表示 设ax1iy1 jz1k, bx2iy2 jz2k, 则
ab (y1z2y2z1)i (x1z2x2z1)j(x1y2x2y1)k.
(3)(a)· ba· (b)(a· b), (a)· (b)(a· b), 其中、为数.
数量积的坐标表示 设a(x1, y1, z1 ), b(x2, y2, z2 ), 则 a· bx1x2y1y2z1z2 .
提示： ax1iy1 jz1k, bx2iy2 jz2k, a· b(x1iy1 jz1k)· (x2iy2 jz2k) x1x2i· ix1y2i· jx1z2i· k y1x2 j· iy1y2 j· jy1z2 j· k z1x2k· iz1y2k· jz1z2k· k x1x2y1y2z1z2 .
a b 3 2 1 5i 11 j 7 k 2 1 3
显然
3 1 3 3 故a×b//c. 1 1 1 3
例5 已知 OA i 3 j , OB j 3k , 求OAB的面积.
解 : 根据向量积的几何意义, |OAOB| 表示以 OA 和 OB 为邻边的平行四边形的面积, 于是OAB的面积为
向量积的坐标表示 设ax1iy1 jz1k, bx2iy2 jz2k, 则
i a b x1 x2
j y1 Leabharlann 2k z1 z2例4 设a2i3jk, bij3k , 计算ab . 解:
i j k a b 2 3 1 8i 5 j k 1 1 3
向量积的定义 向量a与b的向量积cab: |c||a||b|sin(a,^b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. 由向量积的定义知：
a b 以 a,b为邻边的平行四边形面积
向量积的运算律 (1) 交换律: abba; (2) 分配律: (ab)cacbc; (3) 结合律：(a)ba(b)(ab)(为数). 讨论： 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki? ji? kj? ik?
所以 从而
| b | 12 02 12 2 , cos AMB a b 1 1 . | a ||b| 2 2 2
AMB . 3
二、两向量的向量积
向量积的定义 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c||a||b|sin(a,^ b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即
§5 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
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一、两向量的数量积
•数量积的物理背景 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s 表示位移.
由物理学知道, 力F所作的功为 W|F||s|cos , 其中 为F与s的夹角.
一、两向量的数量积
数量积的定义 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a· b|a||b|cos . 根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.
对于非零向量a，b，若 a / / b
a / /b a b 0

a / / b y1z2 y2 z1 0, x1z2 x2 z1 0, x1 y2 x2 y1 0
x1 y1 z1 a // b x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
1 S |OA OB | 2 i j k OA OB 1 0 3 3i 3 j k 0 1 3






因为
|OAOB| (3)3 (3)2 12 19


所以三角形OAB的面积为
1 S |OA OB| 1 19 2 2
一、两向量的数量积
数量积的定义 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a· b|a||b|cos . 数量积的性质 (1) a· a|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a· b 0 , 则 a b ; 反之, 如果ab, 则a· b0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 aba· b0.
c ab
右手规则
二、两向量的向量积
向量积的定义 向量a与b的向量积cab: |c||a||b|sin(a,^b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. 向量积的性质 (1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则 a//bab0.
一、两向量的数量积
数量积的定义 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a· b|a||b|cos . •数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a,^ b), 所以, 当a0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a 的方向上的投影, 于是 a· b|a|ba. 同理, 当b0时, a· b|b|ab.
讨论： 在空间直角坐标系中 i· i ? j· j ? k· k? i· j? j· k? k· i?
一、两向量的数量积
数量积的定义 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a· b|a||b|cos . 数量积的运算律 (1)交换律: a· bb· a; (2)分配律: (ab)· ca· cb· c.>>>
数量积的坐标表示 设a(x1, y1, z1 ), a(x2, y2, z2 ), 则 a· bx1x2y1y2z1z2 . 向量夹角余弦的坐标表示
设(a,^ b), 则当a0、b0时, 有 x1 x + y yz z1 z2 a xb x a b 2 1a 2b y y z a b .2 cos 2 2 2 2 2 2y 2 2 x 2 2y z 2 | a ||b| ax z a a b b b 1x 2 2 x1 y 1 z y z 2
例3 设向量
a 3i 2 j k , b 2i j 3k , 求a b.
i j k
解：
1 例4 设向量 a 2i 3 j k , b i k , c i j k 3 问a×b与c是否平行？ i j k 解：
ab 2 1 3 0 1 3i j 3k 1
x1y2ijx1z2ik y1x2 jiy1z2 jk z1x2kiz1y2kj. (y1z2y2z1)i(x1z2x2z1)j(x1y2x2y1)k.
向量积的坐标表示 设ax1iy1 jz1k, bx2iy2 jz2k, 则
ab (y1z2y2z1)i (x1z2x2z1)j(x1y2x2y1)k. •记忆方法
提示:
a· b|a||b|cos .
例1 已知 a i j, b i k 求 a· b, cos(a,^ b), ab
解：
a· b=｛1,1,0｝· ｛1,0,1｝=1+0+1=1
a b cos(a,^ b)= ab

1
1 2 2 2 2
12 12 02 12 02 12
1 2
ab a cos(a,^ b)=
例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角. a(2, 2, 1)(1, 1, 1) (1, 1, 0), b(2, 1, 2)(1, 1, 1) (1, 0, 1). 因为 ab1110011, | a | 12 12 02 2 ,
向量积的坐标表示 设ax1iy1 jz1k, bx2iy2 jz2k, 则
ab (y1z2y2z1)i (x1z2x2z1)j(x1y2x2y1)k.
提示： iijjkk0, ijk, jki, kij.
ab(x1iy1 jz1 k)(x2iy2 jz2k)