高中数学专题专练15 平行垂直关系的证明

十五 平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证：（1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1AA（1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥． ∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥ ∵1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，且112DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ， ∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．一、单选题1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对点增分集训对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，， 满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项． 2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥ 【答案】D【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行， ∴该选项错误；对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥； ②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥； ③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ，可异面；若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥ （2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3【答案】B【解析】由m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确； 若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误； 若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故（4）错误；故选B ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面 D ．MN BDP ∥平面【答案】C【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确； B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；C ：记AC BD O =I ．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，∴1ON D M CD ∥∥，112ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥，∵MN ⊄平面1BD D ，1OD ⊂平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ． 6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行 B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确； 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥； ②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥； ③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③C ．③和④D ．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面1111ABB A ADD A ABCD ，，，满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，， 直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ⊂⊂，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．A ．BD CE ⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ， 而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ． 9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN AB ∥ B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC【答案】D【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90︒，因此B 项错； 对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错； 对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VA BC ⊥，∵=AC VA A I ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ⊂平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ． 10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错； 对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角，即11145B D C ∠=︒，∴这正确的；③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的； ④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=︒，∴不正确．12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】①∵90BAD AD AB ∠=︒=，，∴45ADB ABD ∠=∠=︒， ∵45AD BC BCD ∠=︒∥，，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD 'I 平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '， ∵A D '⊂平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为113226⋅=③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '⊂平面A BD '，∴CD A B ⊥'，又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，∴A B '⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．二、填空题13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．【答案】③【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确； m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确；m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β=，∴④不正确；故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥． 以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180︒．③错误；④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，AD =E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD ∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD ⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π【答案】①④【解析】在ABE △中，tan ABE ∠=，在ACD △中，tan CAD ∠=， ∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABE CDF △，△沿BE DF ，折起，且A C ，在平面BEDF 同侧，此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE I 平面AGHC AG =，平面CDF I 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥，显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥，进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的；折叠后，可得PG =10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠， ∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形，∴DF 为外接球的直径，即2DF R ==，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为2244150R π=π⨯=π⎝⎭，∴④是正确， 综上正确命题的序号为①④．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形．且PA =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）89．【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴BD =，又PBD △为正三角形，∴PB PD BD ===，又∵2AB =，PA =AB PB ⊥， 又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PBBC B =，∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ⊆平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ，∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =，由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， ∴111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△， 即四面体A CDE -的体积为89． 18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （3）求证：AF ⊥平面EBC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EA AB A I ， ∴BC ⊥平面EABF ．又AF ⊂平面EABF ，∴BC AF ⊥．（2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥． 又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥． 又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ．（3）由（1）可知，AF BC ⊥．在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=︒， ∴1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠． 设AF BE P =I ，∵90PAE PAB ∠+∠=︒，故90PBA PAB ∠+∠=︒，则90APB ∠=︒，即EB AF ⊥．又∵EB BC BI，∴AF⊥平面EBC．=。