2018考研数学必备知识点：线性方程组之解的判定
线性方程组的解的判定
R(C) R(CT ) R(BT MCT ) R(BT ) R(B)
k
- 2 1 0
3 0 2
(k R).
有关矩阵秩的重要结论：
(1) 0 R( Amn ) minm, n
(2) 设矩阵Amn , 若 R( A) s 则存在可逆矩阵P,Q
使得
PAQ
Es o
o
o
即矩阵A可以经过初等变换化为
Es o
o
o
形式。
(3) 若 P,Q 都可逆，则 R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
(2)当p 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0
1 0
2 0
-1 2
1 4
~
0 0
1 0
2 0
3.1 线性方程组的解
3.1 线性方程组的解线性方程组的解。
线性方程组是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在代数学中，线性方程组是一组由一元或多元的线性方程组成的方程组，它们之间的关系是线性的。
线性方程组的解是指能够满足所有方程的变量的取值，使得方程组成立。
在这篇文章中，我们将讨论线性方程组的解的性质和求解方法。
首先，我们来看一下线性方程组的一般形式。
一个包含n个未知数的线性方程组可以写成如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。
其中，aij和bi分别是常数，x1到xn是未知数。
这个方程组可以用矩阵表示为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b分别是n×1和m×1的向量。
线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。
首先，如果线性方程组有且仅有一个解，我们称这个解为唯一解。
这意味着方程组中的每个方程都是相互独立的，且能够通过消元法得到唯一的解。
其次，如果线性方程组有无穷多个解，我们称这个解为无穷解。
这意味着方程组中的某些方程是相互依赖的，导致方程组有无穷多个解。
最后，如果线性方程组没有解，我们称这个解为无解。
这意味着方程组中的某些方程是矛盾的，导致方程组无法满足。
现在，我们来讨论线性方程组的求解方法。
对于一个包含n个未知数的线性方程组，我们可以使用消元法、矩阵法和克拉默法则等方法来求解。
消元法是一种基本的求解方法，它通过逐步消去未知数的系数，将方程组化简为最简形式，从而求得解。
矩阵法是一种更加高效的求解方法，它利用矩阵的性质和运算规则，将方程组表示为矩阵形式，并通过矩阵运算求得解。
克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，它通过计算方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式来求得解。
线性方程组有解的判别定理
线性方程组有解的判别定理
推论1-2
如果非齐次线性方程组AX=β中 的方程个数m等于未知数个数n，即 系数矩阵A是一个方阵，那么当|A|≠0 时，方程组AX=β存在唯一解.
证明因为0≤R()≤n，且 n=R(A)≤R()，故R(A)=R()=n.
线性方程组有解的判别定理
推论即为克莱姆法则给出的结论. 因此，一个给定的非齐次线性方程组AX=β解的情况 判别步骤如下：首先，对方程组的增广矩阵进行初等行变 换，将化成行阶梯形矩阵C.然后，观察C的非零行个数 （这个数即为矩阵的秩），是否等于C除去最后一列剩下 的矩阵的非零行个数（这个数即为矩阵A的秩），若这两 个数不相等，则方程组无解；若这两个数相等，不妨设为 r，则方程组有解，且当 r=n时，方程组存在唯一一组解； 当r<n时，方程组存在无穷多组解.
线性方程组有解的 判别定理
线性方程组有解的判别定理
在第三章中，我们将具有m个方程n个未知数的 齐次线性方程组
（4-8）
线性方程组有解的判别定理
写成矩阵形式为 AX=0（4-9
其中
线性方程组有解的判别定理
这里的m×n矩阵A被称为线性方程组（4-8）的 系数矩阵.如果将矩阵A按列分块写成
A=(β1,β2,…,βn) 其中βi=(a1i,a2i,…,ami)T，i=1,2,…,n，那么线性 方程组（4-8）可以改写成向量形式
谢谢聆听
利用矩阵的秩的概念，可以将前 面对齐次方程组解讨论的结果表述为 下面的定律.
线性方程组有解的判别定理
定理4-4
齐次线性方程组有 非零解的判别定理）齐 次线性方程组AX=0有 非零解的充分必要条件 是它的系数矩阵A的秩 R(A)<n.
线性方程组有解的判别定理
线性方程组解的判定幻灯片PPT
am1 am2 amn bn
1 0
0 1
0 0
0 0
b1r 1 b2 r 1
b1n b2n
d1 d2
0
0
1
0
b3r 1
b3n
d3
0
0
0
1
brr 1
brn
dr
0 0 0 0
0
0
d r 1
0 0 0 0 0 0 0
1.dr1 0，即 r，(A)r(A ~) 无解。
x1 5x2 x3 x4 1
例2：
x1 3x1
2 x2 8x2
x3 3x4 3 x3 x4 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
1 5 1 1 1
A~
1 13
2 8 9
1 1 3
3 1 7
3
1 7
1 5 1 1 1
0 7 2 4 4
00
7 14
2 4
4 8
84
1 5 1 1 1
0
0
0
0
0
一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
对它的增广矩阵：
a11
A~
a2 1
a1 2
a2 2
a1n a2n
b1 b2
进展初等行变换，
可化为如下形式：
例：讨论线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1
x1 3x1
3x2 x2
6x3 px3 1
x4 5x4
6 3
x1 5x2 10x3 12x4 t
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
线性方程组有解的判别定理
§ 4 线性方程组设是由m 个方程组成的 n 元线性方程组，它的系数矩阵、未知数列向量和常数列向量分别是A = X = β=于是线性方程组（ 4-1 ）可改为 AX= β。
记：= =称为 (4-1) 的增广矩阵。
如果β=0 ，那么，式 (4-1) 表示一个齐次线性方程组；否则 (4-1) 表示一个非齐次线性方程组。
定理4.1 如果线性方程组 AX= β有两个不同的解，那么它一定有无穷多解。
线性方程组（ 4-1 ）的解只有三种可能：无解，唯一解，无穷多解。
下面介绍解线性方程组的一个规范方法 --- 高斯消去法，它是加减消元法和代入消元法的推广和规范化。
定义4.1 设是两个由m 个方程组成的 n元线性方程组，如果的解都是的解, 的解都是的解，即线性方程组有相同的解，那么称它们为同解方程组，或称这两个方程组同解。
定理4.2 如果线性方程组的增广矩阵A= 经过有限次行初等变换变成矩阵，作为增广矩阵对应于线性方程组那么，线性方程组是同解方程组。
用高斯消去法解线性方程组 4-1 ，实际上就是对增广矩阵进行矩阵的行初等变换，先把变为阶梯形矩阵，再继续施行行初等变换，使其变为简化阶梯形矩阵。
前者就是消元过程，后者就是回代过程。
定理4.3 设线性方程组 4-1 的增广矩阵 A 经过行初等变换变为阶梯形矩阵 4-4 。
1 当d ≠ 0 时，线性方程组 4-1 无解；2 当d ＝0 且r ＝n 时，线性方程组 4-1 只有唯一解；3 当d ＝0 且r ＜n 时，线性方程组 4-1 有无穷多解。
(4-4)对于齐次线性方程组（4-5）由于总是它的一个解（通常称为零解），所以齐次线性方程组的解总是存在的。
问题是它会不会有非零解，从而有无穷多解。
推论4.4 如果齐次线性方程组（ 4-5 ）的系数矩阵 A 的阶梯形中非零行的数目 r 小于未知数的数目 n ，那么它一定有非零解。
推论4.5 如果齐次线性方程组（ 4-5 ）的方程数目 m 小于未知数的数目n ，那么它一定有非零解。
线性方程组的解的判定
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
即( AX1, AX2 ,L AXn ) (b1,b2 ,L bn ) 所以等价于AXi bi ,i 1,2,L n. () : 若R( A) R( AMB), ( AMB) ( A,b1,b2,L bn ), 又R( A) R( AMbi ) R( AMB), R( A) R( AMbi ) 由定理2知，存在X i ,使得AX i bi 故存在X ,使得AX B
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
1 - 1 0 0 0 a1