上学期高二第一次段考数学(文)(附答案)
辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段验收数学试卷(含答案)
沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上）高二年级阶段验收数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角是，则（ ）A ．B ．C．D ．2．已知空间向量，则在上的投影是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点与关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．0D ．34．已知某圆的方程为，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．C ．D ．5．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若P 是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）ABCD6．已知，则异面直线与之间的距离是（ ）AB ．CD ．27．直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线:3410l x y +-=αsin α=45-35-3545(1,1,1),(2,0,0)a b == a b (1,0,0)11,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0,0)222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)A (0,4)B 0ax y b ++=a b +=4-2-2210x y mx y ++++=(,)-∞+∞ (,)-∞+∞ [1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD 1120,2A AB AB ∠=︒=1C D 1CD AP DC (0,1,0),(2,1,0),(1,0,0),(0,1,1)A B C D --AB CD 121(1):220l x m y m ++--=2:(1)220l m x y m +---=分别恒过定点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．如图，在棱长为1的正方体中，点M 是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．过），且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线有（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）．A ．若点P 在直线上，则B ．若点P 在直线上，则C ．若点P 在平面内，则D ．若点P 在平面内，则11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且．则下列结论中正确的有（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．当E 向运动时，二面角的大小不变C ．二面角的最小值为12,l l ,A B ||||PA PB+1111ABCD A B C D -11ADD A 11BC BM ⋅= 1BC BM 75︒30︒45︒60︒(1,2)A 1x =2y x =10x y -+=30x y +-=111ABCD A B C D -1,,AB a AD b AA c === AP xa yb zc =++ 1A D 1x y +=1AC x y z ==1A BD 1x y z ++=11B BDD 1x y +=1111ABCD A B C D -11B D ,EF EF =A BEF -1D A EFB --E ABC --45︒D ．当E 向运动时，总成立第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则_______．13．平面上有四条直线，它们的方程分别是．则由这四条直线围成四边形的面积是_______．14．将由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的多面体放在空间直角坐标系中，使得A 为坐标原点，如图所示．已知，且该多面体所有的顶点都在球上，令球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______，令正四棱锥的内切球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（1）求过三点的圆的一般方程；（2）求过两点和，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）证明：平面；1D AE CF ⊥()2(1,,),,,32a m n b m n == //a b mn =21,4250,1,40y x x y y x x y =+-+==-++-=1111ABCD A B C D -1111P A B C D -A xyz -12,1AB AA ==1O 1O A xy -1O '1O 'A xy -1111P A B C D -2O A xz -2O '2O 'A xz -(1,0),(0,1),(2,3)A B C (1,2)C-(1,D 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB //EF 11ACC A（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题15分）如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径长为是圆O 所在平面内一点，且是圆O 的切线，连接交圆O 于点D ，连接．（1）求证：平面平面；（2）若E 是的中点，连接，当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（本题17分）已知直线．（1）若当时，，当时，，求的值；（2）经过的定点记为关于的对称点记为N ．①求点N 的坐标；②在上是否存在点P ，使得的面积为2，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．19．（本题17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点E 是棱上的动点（不含端点B ）．（1）求二面角平面角余弦的最小值；（2）当E 为棱的中点时，在平面内的射影是F ，求点F 到平面的距离．CE DEF AB 2,C AC BC ,PD PC PBC ⊥PAC PC ,OE ED 120BOD ∠=︒PAC DOE 12:(1)20,:35l x y l y x λλλ++++==+1λλ=12//l l 2λλ=12l l ⊥12λλ+1l ,M M 2l 2l PMN V 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC 1BB C AE B --1BB 1A ACE ABC高二期初月考数学参考答案及评分标准1．C2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABC 12．1613．14．15．解：（1）设圆的一般方程为，……1分由题将三点代入得：……4分解得，所以所求圆的一般方程为；……6分（2）由题，设圆心为，，……7分，即，……10分，……12分∴圆的标准方程为．……13分（若用其他方法，适当给分）16．解：（1）证明：取的中点G ，连接，因为分别为的中点，所以，……2分又E 为的中点，，所以，……4分所以四边形是平行四边形，所以，……5分32229(1)(1)4x y -+-=22(1)(3x z -+=-220x y Dx Ey F ++++=101049230DF E F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩332D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩223320x y xy +--+=(,0)M a ||||MC MD = 2222(1)(02)(1)(0a a ∴++-=-+-222142112a a a a +++=-++2,||a r MC ∴===22(2)13x y -+=AC 1,FG GC ,F G ,AB AC 1//,2FG BC FG BC =11B C 1111//,BC B C BC B C =11//,FG EC FG EC =1EFGC 1//EF GC又平面平面，所以平面……6分（2）在直三棱柱中，平面，又平面平面，所以，又，故以B 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，……8分则，所以，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，……12分设直线与平面所成的角为，则，……14分即直线与平面15分17．解：（1）证明：因为是圆O 的直径，与圆O 切于点A ，所以，又底面圆底面圆，EF ⊂/111,ACC A GC ⊂11ACC A //EF 11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC BA ⊂,ABC BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥1,,BA BC BB ,,x y z (0,2,0),(2,0,1),(0,1,2),(1,0,0)C D E F (1,1,2),(1,0,1),(0,1,2)FE FD CE =-==- DEF (,,)m x y z =200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =3,1y z ==-DEF (1,3,1)m =- CE DEF θ||sin |cos ,|||||m CE m CE m CE θ⋅=〈〉=== CE DEF AB AC AC AB ⊥PO ⊥,O AC ⊂,O PO AC ∴⊥平面，平面平面，……2分在中，，则，……4分因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面……6分（2）底面圆O ，如图以O 为原点，在底面圆O 内过点作的垂线为x 轴，分别为轴建立空间直角坐标系，……7分得，，由（1）知，为平面的一个法向量，……9分设平面的一个法向量为，，，即，令，所以平面的一个法向量为，……13分，……14分所以平面与平面．……15分,,PO AB O PO AB =⊂ PAB AC ∴⊥,PAB PB ⊂,PAB AC PB ∴⊥PAB V 2PA PB AB ===222,PA PB AB PA PB +=∴⊥,,PA AC A PA AC =⊂ PAC PB ⊥PAC PB ⊂PBC PBC ⊥PAC PO ⊥ AB ,OB OP ,y z 1(0,1,0),(0,1,0),,0,1,02A B D C ⎫⎫---⎪⎪⎪⎪⎭⎭11(0,0,1),,22P E ⎫-⎪⎪⎭(0,1,1)m BP ==- PAC ODE (,,)n x y z =111,,,0222OE OD ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭00n OE n OD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 11022102x y z x y -+=-=x =3,1y z ==ODE n = cos ,||||m n m n m n ⋅∴===⋅ PAC ODE18．解：（1）依题有，……4分解得，所以；……6分（2）①因为，所以，即，所以，……8分令，由对称性知，解得，，所以……10分②由上知，……11分直线方程为，……12分令，则P 到的距离13分而三角形的面积为2，所以有，即， (4)于是，解得或，……16分()1112212315310λλλλλ++⎧=≠⎪-⎨⎪-+=⎩123412λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λλ+=-(1)20x y y λ++++=1020x y y ++=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)M -(,)N x y 2135222113y x y x -+⎧=⨯+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩50x y =-⎧⎨=⎩(5,0)N -||MN ==MN 350x y ++=()00,35P x x +MN d PMN 122d =⨯d =05101x +=095x =-115-从而在直线上，存在点或……17分19．（1）取棱的中点D ，有，又平面平面，所以，在平面中，过点C 作，所以，，……2分以C 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为是等边三角形，，所以，因为，所以．设，所以，……4分所以．设平面的一个法向量为，又，所以，即，令，得的一个法向量为，……6分设平面的法向量为，又，所以，即，令，得，2l 92,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭118,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥ABC //CF AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CCCD ⊥1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A B CC ===12,0),2,0),(0,0,2)A B C-1112C B CB = 12)B 1((0,1])BE BB λλ=∈ 1(,,2)BE BB λλλ==- ,2,2)E λλ-ABE ()1111,,n x y z =(0,4,0),(,4,2)AB AE λλ==- 1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111140(4)20y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =110,y z ==ABE 1n = ACE ()2222,,n x y z = (2,0)AC =- 2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222320(4)20y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =2y z ==所以平面的一个法向量为，……8分设平面与平面的夹角为，所以设，因为，所以，所以，所以，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值最小，最小值为；……10分（2）因为E为点，由（1）知，平面的一个法向量是，因F 在平面内，所以令，所以，……12分所以，ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACEθ121212coscos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 3(2)625t λλλ-=+=-(0,1]λ∈(,1]t ∈-∞-1[1,0)t ∈-cos θ===11t=-ABE ACE 173,12E ⎫⎪⎪⎭ACE n =-ACE CF CA CE λμ=+ 32,0),12CF λμ⎫=-+⎪⎪⎭3,2,2F μλμμ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭又，所以，……14分因平面，所以，，……15分即，解得，……16分这样点F 的竖坐标为，也就是说，F 到平面的距离是……17分11,2)A -1321,22A F λμμ⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1A F ⊥ACE 1//A F n==83412112λμλμ+=⎧⎨-=⎩831μ=831ABC 831。
广东省惠阳高级中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学(文)试卷 Word版含答案
广东惠阳高级中学2014-2015学年度 第一学期月考高二年级（文科）数学试题2014-10-6参考公式 锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为锥体的高 一：选择题（每小题5分，共50分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, )(B A C U ⋃等于（ ） A ．{}4 B ．{}6 C ．{}6,4 D ．{}6,5 2．函数1y x=+的定义域是( ) A ．(,2]-∞ B ．(,0)(0,2]-∞⋃ C ．(0,2] D ．[2,)+∞一、已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ 则=))2((f f （ ）A ．31B ．91 C ．2 D ．－24.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥5．在空间直角坐标系中，点(0,2,1),A 点A 关于平面xoy 对称的点为'A ，则'A ，A 两点间的距离'||A A 为（ ）AB. C.4 D.26．执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）A ．15B ．105C ．120D ．7207．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则这个几 何体的体积为 （ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ． π8．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人 中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则 在［2500，3000）（元）月收入段应抽出（ ）人． A ．18 B ．20 C ．22 D ．259．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110．某学校在校学生2000人，为了迎接“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚会”跑步和爬山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级与比赛人数情况如下表：其中::2:5:3a b c =，全校参与爬山的人数占总人数的4.为了了解学生对本次活动的满 意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三级参与爬山的学生中应抽取（ ） A ．15人 B ．30人 C ．40人 D ． 45人二：填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）11．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填 。
2021年高二上学期第一次段考数学试卷(文科)含解析
2021年高二上学期第一次段考数学试卷（文科）含解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{an }满足an+1﹣an=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．62．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（）A．120°B．60°C．150°D．30°3．已知{an }是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2 C．2 D．4．在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．5．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解 D．无解6．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣57．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B． C． D．8．已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A． B． C． D．9．设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（）A．4 B．5 C．9或10 D．4或510．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A． B． C． D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A．13 B．﹣76 C．46 D．7612．删除正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第xx项是（）A．2048 B．2049 C．2050 D．2051二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．3+5+7+…+（2n+7）=．14．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且asinAsinB+bcos2A=a，则=．=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．15．已知数列{a n}的首项a1=1，a n+116．判断下列命题，其中错误的序号是：①等差数列{a n}中，若a m+a n=a p+a q，则一定有m+n=p+q②等比数列{a n}中，s n是其前n项和，s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…成等比数列③三角形△ABC中，a＜b，则sinA＜sinB④三角形△ABC中，若acosA=b cosB，则△ABC是等腰直角三角形⑤等比数列{a n}中，a4=4，a12=16，则a8=8．三、解答题（共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．19．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．20．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．22．已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．xx学年山东省济南市平阴一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{a n}满足a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）+1A．﹣3 B．4 C．1 D．6【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，【解答】解：∵a n+1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．故选C．2．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（）A．120°B．60°C．150°D．30°【考点】余弦定理．【分析】由条件可得b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理可得cosA==，以及0°＜A＜180°，可得A的值．【解答】解：∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc．再由余弦定理可得cosA===，又0°＜A＜180°，可得A=60°，故选：B．3．已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A． B．﹣2 C．2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】把题目给出的条件直接代入等比数列的通项公式求公比．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴q=．∴等比数列{a n}的公比为．故选：D．4．在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A． B． C． D．【考点】解三角形；正弦定理．【分析】由A和B的度数分别求出sinA和sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：由正弦定理可知=，∴b=•sinB=×sin60°=×=4，故选C5．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解D．无解【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B6．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣5【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D7．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B． C． D．【考点】数列的求和．【分析】利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵，∴…+==．∴．故选B．8．已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A． B． C． D．【考点】数列的函数特性．【分析】利用公式可求出数列{a n}的通项a n．令n=3即可得到a3【解答】解：a3=S3﹣S2=﹣=．故选A．9．设a n =﹣n 2+9n +10，则数列{a n }前n 项和最大值n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9或10D ．4或5【考点】数列的函数特性．【分析】由题意可得S n ≥S n +1，解出不等式根据项的符号可作出判断【解答】解：解：a n =﹣n 2+9n +10=﹣（n ﹣10）（n +1），∵{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴S n ≥S n +1，得a n +1≤0，即﹣[（n +1）﹣10][（n +1）+1]≤0，解得n ≥9，易得a 8=18，a 9=10，a 10=0，a 11=﹣12，则S 9=S 10最大，此时n=9或10．故选C ．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB ，cosB ，然后利用平方关系式求出cosC 的值即可．【解答】解：因为在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b=5c ，C=2B ， 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB ，所以cosB=，B 为三角形内角，所以B ∈（0，）．C． 所以sinB==． 所以sinC=sin2B=2×=，cosC==．故选：A ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n =1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n ﹣1（4n ﹣3），则S 15+S 22﹣S 31的值是（ ）A ．13B ．﹣76C ．46D ．76【考点】数列的求和．【分析】利用数列相邻的两项结合和为定值﹣4，把数列的两项结合一组，根据n 的奇偶性来判断结合的组数，当n 为偶数时，结合成組，每组为﹣4；当为奇数时，结合成組，每组和为﹣4，剩余最后一个数为正数，再求和．【解答】解析：∵S n =1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n ﹣1（4n ﹣3）∴S 15=（1﹣5）+（9﹣13）+…（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29S 22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（81﹣85）=﹣4×11=﹣44S 31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…++121=﹣4×15+121=61∴S 15+S 22﹣S 31=29﹣44﹣61=﹣76故选：B ．12．删除正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第xx 项是（ ）A ．2048B ．2049C ．2050D ．2051【考点】数列的函数特性．【分析】由题意可得，这些数可以写为：12，2，3，22，5，6，7，8，32…，第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数，即可得出．【解答】解：由题意可得，这些数可以写为：12，2，3，22，5，6，7，8，32…，第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数，而数列12，2，3，22，5，6，7，8，32…452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数，所以去掉平方数后第xx 项应在2025后的第25个数，即是原来数列的第2050项，即为2050．故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．3+5+7+…+（2n +7）= n 2+8n +15 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：3+5+7+…+（2n +7）=3+5+7+（2+7）+…+（2n +7）==n 2+8n +15．故答案为：n 2+8n +15．14．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且asinAsinB +bcos 2A=a ，则= ． 【考点】正弦定理；解三角形．【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=sinA ，从而得到b=，可得答案．【解答】解：∵△ABC 中，，∴根据正弦定理，得，可得sinB （sin 2A +cos 2A ）=sinA ，∵sin 2A +cos 2A=1，∴sinB=sinA ，得b=，可得=．故答案为：15．已知数列{a n }的首项a 1=1，a n +1=3S n （n ≥1），则数列{a n }的通项公式为 ．【考点】数列的求和．【分析】先看n ≥2根据题设条件可知a n =3S n ﹣1，两式想减整理得a n +1=4a n ，判断出此时数列{a n }为等比数列，a 2=3a 1=3，公比为4求得n ≥2时的通项公式，最后综合可得答案．【解答】解：当n ≥2时，a n =3S n ﹣1，∴a n +1﹣a n =3S n ﹣3S n ﹣1=3a n ，即a n +1=4a n ，∴数列{a n }为等比数列，a 2=3a 1=3，公比为4∴a n =3•4n ﹣2，当n=1时，a 1=1∴数列{a n }的通项公式为故答案为：16．判断下列命题，其中错误的序号是：①②④①等差数列{a n}中，若a m+a n=a p+a q，则一定有m+n=p+q②等比数列{a n}中，s n是其前n项和，s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…成等比数列③三角形△ABC中，a＜b，则sinA＜sinB④三角形△ABC中，若acosA=b cosB，则△ABC是等腰直角三角形⑤等比数列{a n}中，a4=4，a12=16，则a8=8．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，常数列{a n}中，若a m+a n=a p+a q，不一定有m+n=p+q；②，等比数列{a n}中，s n是其前n项和，s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…成等比数列的前提是s n≠0；③，三角形△ABC中，a＜b，⇒2RsinA＜2R⇒sinB则sinA＜sinB，故正确；④，若acosA=b cosB⇒sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=π，则△ABC是等腰或直角三角形；⑤，等比数列{a n}中a8•a8=a4•a12=64，又因为a8=a4•q4＞0．【解答】解：对于①，常数列{a n}中，若a m+a n=a p+a q，不一定有m+n=p+q，故错；对于②，等比数列{a n}中，s n是其前n项和，s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…成等比数列的前提是s n≠0，故错；对于③，三角形△ABC中，a＜b，⇒2RsinA＜2R⇒sinB则sinA＜sinB，故正确；对于④，三角形△ABC中，若acosA=b cosB⇒sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=π，则△ABC是等腰或直角三角形，故错；对于⑤，等比数列{a n}中，a4=4，a12=16，则a8•a8=a4•a12=64，又因为a8=a4•q4＞0，故a8=8，正确．故答案为：①②④三、解答题（共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项a n可得．（2）把等差数列的求和公式代入S n=242进而求得n．【解答】解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2．所以a n=2n+10．（Ⅱ）由得方程．解得n=11或n=﹣22（舍去）．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．19．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．【分析】（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），∴．∴=++…+=．=﹣．20．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）原式第二项利用诱导公式化简，提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围．【解答】解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinCsinA=sinAcosC，∵A为三角形内角，∴sinA≠0，∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=；（2）sinA﹣cos（B+C）=sinA+cosA=2sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∵sin=sin=sin（﹣）=sincos﹣cossin=，∴＜sin（A+）＜1，即＜2sin（A+）＜2，则sinA﹣cos（B+C）的取值范围是（，2]．22．已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（I）由数列{a n}满足，变形为a n+1=2（a n+1），即可证明数列{a n+1}是等比数列，+1利用通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”即可得出．+1=2（a n+1），【解答】（I）证明：∵数列{a n}满足，∴a n+1∴数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．（II）解：由（I）可知：=n•2n﹣1．∴+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，2S n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1．∴．精品文档xx年1月11日23198 5A9E 媞21497 53F9 叹=T29087 719F 熟33999 84CF 蓏21050 523A 刺c40527 9E4F 鹏31150 79AE 禮y23645 5C5D 屝dK实用文档。
江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测(9月)数学试题含答案
2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（答案在最后）一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A.0︒B.45︒C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】由斜率定义可判断直线1l 与x 轴平行，再由直线12l l ⊥得解．【详解】因为直线1l 的斜率为0，所以直线1l 与x 轴平行，又直线12l l ⊥，故直线2l 的倾斜角为90 ．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230x y +-=和6410x y ++=之间的距离是（）A.4B.13C.26D.26【答案】D 【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410x y ++=可以转化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得7713226d ===.故选：D3.圆()2249x y -+=和圆()2234x y +-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C 【解析】【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249x y -+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234x y +-=的圆心为0,3，半径为2，523==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)--【答案】B 【解析】【分析】设(),Q a b ，根据,P Q 中点在对称直线上及PQ 与对称直线垂直列方程求解.【详解】设(),Q a b ，则110011022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩，解得2a =-，1b =.故选：B6.已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）A.8B.6+C.10D.8+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF △的周长为2a AB +，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194x y +=，则3a =，2b =，c ==，连接1AF ，1BF ，则由椭圆的中心对称性可知12OA OB OF OF ==，，可知12AF BF 为平行四边形，则21BF AF =，可得2ABF △的周长为22122AF BF AB AF AF AB a AB ++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，A 取最小值，最小值为24b =，所以周长为26410a AB +≥+=．故选：C.7.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P ，直线PA 的斜率31421PA k --==--，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象，可得直线l 的斜率k 的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．8.已知直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.33,33⎡-⎢⎣⎦B.30,3⎡⎢⎣⎦C.3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[3,3]-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，以及曲线221(0)x y y +=≥，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，又由曲线21y x =-221(0)x y y +=≥，作出曲线21y x =-(2)y k x =+的图象，如图所示，因为直线(2)y k x =+，可得20kx y k -+=，2221(1)kk =+-，解得33k =±，若直线(2)y k x =+与曲线21y x =-303k ≤≤，即实数k 的取值范围为30,3⎡⎢⎣⎦.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B.直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C.设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D.直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的横截距判断A ；解方程组求出k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C ，依题意，min222211OM-==+C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC10.已知M 是圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，()2,3Q -，则下列说法正确的是（）A.圆心C 的坐标为()2,7B.点Q 在圆C 内C.MQ 的最大值为62D.过()3,5P 的最短弦长是23【答案】ACD 【解析】【分析】由圆的标准方程可判断A ，由点和圆的位置关系可判断B ，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C ，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆C 的方程化为标准方程()()22278x y -+-=，圆心()2,7,C r =对于A ：圆心C 的坐标为()2,7，故A 正确；对于B ：因为()()2222378--+->，所以点Q 在圆C 外，故B 错误；对于C ：因为CQ ==，r =所以MQ ≤≤，即MQ ≤≤，故C 正确；对于D ：因为()()22325758CP =-+-=<，所以点()3,5P 在圆内，当弦垂直于CP 时弦长最短，又CP =，最短弦长为=D 正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，由离心率定义判断A ，由椭圆定义判断B ，由椭圆的几何性质判断C ，根据以线段12F F 为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164x y +=，4,2a b c ∴==⇒=，2c e a ∴==，故A 错误；由椭圆定义可知1228PF PF a +==，故B 正确；由椭圆的性质知1max ||4PF a c =+=+C 正确；易知以线段12F F 为直径的圆（因为b c a <<）与C 有4个交点，故满足12F PF ∠为直角的点P 有4个，故D 正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，则实数a 的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】 三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，AB AC k k ∴=，∴4613a =-，解得3a =.故答案为：3.13.已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若ABF △为等腰三角形，则C 的离心率为______．【答案】12-+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0a b c a b c >>>，则222a b c =+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以,AB AF a c BF a ==+=，显然若ABF △为等腰三角形，则只能有AB AF =，即()22222220a b a c a ac c +=+⇒--=，则21312202c c c e a a a -+⎛⎫--=⇒== ⎪⎝⎭.故答案为：132-+14.如果实数,x y 满足等式224240x y x y --++=，那么22x y +的最大值是________；2x y -的最大值是________．【答案】①.1465+6514②.355##535-+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240x y x y --++=，得2222(2)(1)9,x y x y ++-=+的几何意义为圆22(2)(1)9x y ++-=上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1-553+，则22x y +的最大值是253)1465=+令2x y t -=，则t -是直线2x y t -=在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2x y t -=在y 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1-到直线2x y t -=的距离4135td ---==，解得535t =-±，所以2x y -的最大值为355-．故答案为：1465+；355.四、解答题15.已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.（1）若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.【答案】（1）250x y --=（2）20x y +=和10x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l 的方程可知它的斜率为12-，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2.又直线1l 经过点(2,1)P -，所以直线1l 的方程为：12(2)y x +=-，即250x y --=；【小问2详解】若直线2l 经过原点，设直线方程为y kx =，代入(2,1)P -可得20x y +=，若直线2l 不经过原点，设直线方程为1x ya a+=，代入(2,1)P -可得1a =，故直线2l 方程为10x y +-=.综上，直线2l 的方程为20x y +=和10x y +-=.16.（1）椭圆C 与椭圆C 1:2212x y +=有相同的焦点，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆22126x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120F M F M ⋅= ，求点M 到x 轴的距离.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,a b ，即得答案；（2）设(,)M x y ，可得1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅= 得2240x y +-=，结合椭圆方程求出||y =，即得答案.【详解】（1）椭圆C 1：2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，所以椭圆C 的焦点坐标也为(1,0)±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点M 3(1,2，∴24a =+=，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设(,)M x y ，则1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅=得：2240x y +-=（1）；又点M 在椭圆上，可得22126x y +=（2）；（1）（2）联立消去2x 得，23y =，即||y =；故点M 到x 17.（1）已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程；（2）如图，已知圆22:1O x y +=和定点()4,0A ，P 为圆O 外一点，直线PQ 与圆O 相切于点Q ，若PQ =，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）221633x y x +-+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),x y ，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设s ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-，()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.（2）设s ，依题意2PQ =，则222PQ PA =，即2222OP OQ PA -=，即()2222124x y x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，整理得2216330x y x +-+=.18.（1）求圆心在直线1:2l y x =-上，与直线2:1l x y +=相切于点(2,1)A -的圆C 的方程.（2）若过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)2D x y -++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）23-±【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA 的方程，进而求出圆心C 的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CA l ⊥，则直线CA 的斜率为1，方程为12y x +=-，即3y x =-，由23y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆C 的圆心(1,2)C -，22(21)(12)2||CA -=-++=所以所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=.（2）圆22:(1)(2)2D x y -++=的圆心(1,2)D -，半径r =当切线l 的斜率不存在时，:1l x =-，点D 到切线l 的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=，=，解得2k =-±，所以切线的斜率为2-±19.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得222229112a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得434333m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.。
广东省佛山市南海区桂城中学2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题(含答案解析)
广东省佛山市南海区桂城中学2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为60 ，则直线l 的一个方向向量为（）A ．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．1⎛ ⎝⎭C ．)D ．(2．已知()(),P A P B 分别表示随机事件,A B 发生的概率，那么()1P A B -⋃是下列哪个事件的概率（）A ．事件,AB 同时发生B ．事件,A B 至少有一个发生C ．事件,A B 都不发生D ．事件,A B 至多有一个发生3．若直线1l 过点(1,1),(2,1)-，直线2l 过点(),2,1(),3x ，且12l l ⊥，则x 等于（）A ．1B ．2-C ．6D ．14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11AD b =，1A A c = ，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++ a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c5．已知空间中非零向量a ，b ，且2= a ，3b = ，120a b =，，则23a b - 的值为（）A B ．133C D ．616．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m ＞n ．则m n +=（）A ．12B ．23C ．34D ．5128．二面角l αβ--的平面角为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC l ⊥，BD l ⊥且AB =AC =1，BD =2，则CD 的长为（）AB ．CD ．2二、多选题9．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =r，平面α的一个法向量为()2,,1b n =-r ，则（）A ．若l ∥α，则2m -n =3B ．若l α⊥，则2m -n =3C ．若l ∥α，则mn +2=3D ．若l α⊥，则mn +2=010．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A ．若向量a ，b ，c 满足a //b ，b //c ，则有a //cB ．若向量a ，c共线，对于任意向量b ，均满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r C ．若OA ，OB ，OC是空间的一组基底，且311488OD OA OB OC =++ ，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．已知向量()1,1,a x = ，()3,,9b x =- ，若310x >，则,a b 为锐角11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．已知集合{}2,3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,9B =，集合A B ⋃中任取一个元素，则该元素是集合A B ⋂中的元素的概率为35C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2912．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 是侧面11AA B B 内的动点，且满足1D M CP ⊥，下列选项正确的是（）A ．动点M 的运动路径长度是B ．三角形11A D M 在正方体内运动形成几何体的体积是323C ．直线1D M 与BC 所成的角为α，则tan αD ．存在某个位置M ，使得直线1BD 与平面11A D M 所成的角为π4三、填空题13．如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B 的概率是_____________________．14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 上的中点，点M 满足12FM FC =，则点M 到直线AE 的距离为________________．15．已知向量)a =，(),2,0b k = ，若a 与b夹角为23π，则k 的值为________．16．已知球O 内切于正四面体A BCD -，且正四面体的棱长为MN 是球O 的一条动直径（M ，N 是直径的两端点），点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点，则PM PN ⋅的最大值是__．四、解答题17．已知坐标平面内三点A (-1，1)，B (1，1)，()21C ．(1)求直线BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率和倾斜角α的取值范围．18．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[)2,4，[)4,6，[)6,8，[]8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在[]8,10内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.19．如图，已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，2AB =，1BC =，SA M 、N 分别为SB 、SC 的中点.(1)证明：//BC 平面AMN ；(2)求点M 到平面ABN 的距离.20．如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒．求：（1）直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）直线AD 与平面BCD 所成角的大小；（3）平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．21．射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．箭靶区域环外黑环蓝环红环黄圈区域颜色白色黑色蓝色红色黄色环数1-2环|3-4环5环6环7环8环9环10环甲成绩（频数）0012363624乙成绩（频数）1246113612(1)估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；(3)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．22．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，将BCD ∆沿对角线BD 折起到B C D ''∆的位置，使平面BC D '⊥平面ABD ，E 是BD 的中点，FA ⊥平面ABD ，且FA =如图2．（1）求证：//FA 平面BC D '；（2）求平面ABD 与平面FBC '所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点M ，使得C M '⊥平面FBC ？若存在，求AMAD的值；若不存在，说明理由．参考答案：1．D【分析】利用直线倾斜角与斜率、直线的方向向量与直线的向量方程的关系即可求解.【详解】依题意，若直线的斜率为k ，则直线的一个方向向量为()1k ，tan60=∴直线l 的一个方向向量为(．故选：D.2．C【分析】()P A B 表示事件,A B 至少有一个发生的概率，据此得到答案.【详解】()(),P A P B 分别表示随机事件,A B 发生的概率，()P A B 表示事件,A B 至少有一个发生的概率，故()1P A B -⋃表示事件,A B 都不发生的概率.故选：C.3．C【分析】求出直线的斜率，根据12l l ⊥可得121k k ×=-，列方程，即可求得答案.【详解】由题意可知直线1l 的斜率为111221k --==--，直线2l 的斜率为231222k x x -==--，12l l ⊥ ，()122212k k x ∴⋅=-⨯=--，解得6x =，故选：C 4．A【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()1111111222B B M D ==-=- ，所以()1111111111111211211222B M B B a b c BM A A A D A B B A D A A =+=+-=-++=+ .故选：A.5．A【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．【详解】因为2a = ，3b = ，,120a b ︒=，所以23a b -==故选：A ．6．B【详解】试题分析：当2παπ<<时，0k <，当k >时，32ππα<<，所以“3πα>”是“k >的必要而不充分条件，故选B ．考点：充分必要条件．7．C【分析】根据题中条件求出m n ⨯的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出m n +.【详解】由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=，又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=，即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=.故选：C.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.8．D【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题【详解】∵二面角l αβ--的平面角为60°，,A B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，60AC BD ∴= ，，0AC BA ⋅= ，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD=++∴CD ==2222CA AB BD CA BD=+++⋅ 222112212cos120=+++⨯⨯⨯ 2=故选：D.9．AD【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量判定空间中线面的垂直、平行关系.【详解】若l α，则a b ⊥，即0a b ⋅= ，即-2m +n +3=0，可得2m -n =3，无法得到20mn +=，故A 正确，C 错误；若l α⊥，则a b，即1321m n ==-，解得16,3m n =-=，则3723,203m n mn -=-≠+=，故B 错误，D 正确．故选：AD.10．BCD【分析】0b =可判断A ；根据数量积的运算可判断B ；根据空间向量的基本定理可判断C ；根据空间向量的夹角公式及共线向量的坐标运算可判断D.【详解】对于A ．若0b = ，则a 与c不一定共线，故A 错误；对于B ，因为向量a ，c是共线向量，因此()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 一定成立，故B 正确；对于C ，因为OA ，OB ，OC是空间的一组基底，所以A ，B ，C 三点不共线.又因为311488OD OA OB OC =++ ，且3111488++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ，若310x >，则22cos ,0290a b x x =+⋅+ ，若()0b a λλ=> ，则()1,1,a x = ，()3,,9b x =- ，则39x x λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故无解.所以若310x >，则,a b 为锐角，故D 正确.故选:BCD.11．AC【分析】利用独立事件的概率乘法公式可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断C 选项；利用独立事件的概率乘法公式可得出()P A 、()P B 的等式，解出()P A 、()P B 的值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，由题意可得{}2,3,4,5,6,7,9A B = ，{}2,4,6A B = ，因此，集合A B ⋃中任取一个元素，则该元素是集合A B ⋂中的元素的概率为37，B 错；对于C 选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为86461121212122⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，由独立事件的概率公式可得()()()()()()()()11191101,01P A P B P A P B P B P A P A P B ⎧⎡⎤⎡⎤-⋅-=⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤⋅-=⋅-⎨⎣⎦⎣⎦⎪≤≤≤≤⎪⎪⎩，解得()()23P A P B ==，D 错.故选：AC.12．BC【分析】对A ：根据空间中的线面垂直关系分析可得动点M 运动路径长度为线段1B F ，运算求解即可；对B ：根据三棱锥的体积运算求解；对C ：根据异面直线夹角分析运算；对D ：利用空间向量求线面夹角，结合导数求最值，分析运算.【详解】如图，取AD 、AB 的中点E 、F ，连接PD 、1D E 、EF 、1A F 、1B F 、11B D 、111、、、BD AC A B C D ，∵11tan ,tan 22PDE DED ∠=∠=，即1tan tan 1PDE DED ∠∠=，且1,PDE DED ∠∠均为锐角，∴1D E PD ⊥，又∵DC ⊥平面11ADD A ，1D E ⊂平面11ADD A ，∴1D E DC ⊥，PD DC D ⋂=，,PD DC ⊂平面PCD ，∴1D E ⊥平面PCD ，则1D E PC ⊥，∵,AC BD BD ⊥ EF ，则EF AC ⊥，又∵1AA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，∴1AA EF ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴EF ⊥平面11ACC A ，PC ⊂平面11ACC A ，故EF PC ⊥，11////EF BD B D ，1D E EF E ⋂=，1,D E EF ⊂平面11D EFB ，则PC ⊥平面11D EFB ，而1D M CP ⊥，则M ∈平面11D EFB ，又M ∈平面11ABB A ，平面11D EFB I 平面111ABB A B F =，∴点1M B F ∈，即动点M 运动路径长度为线段1B F=A 错误，三角形11A D M 在正方体内运动形成几何体是三棱锥111F A B D -，其体积为1132444323V =⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；∵BC 11A D ，则直线1D M 与BC 所成的角即直线1D M 与11A D 所成的角，即11A D M ∠α=，又∵11A D ⊥平面11AA B B ，1A M ⊂平面11AA B B ，∴111A D A M ⊥，则11A D M △为直角三角形，故11111tan 4A M A M A D α==，当11A M FB ⊥时，1A M 最小，此时111111122A M B F AA A B ⨯=⨯，即111115AA A B A M B F ⨯==，故tan α的最小值是114A M =C 正确；如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()114,4,0,4,00,0,4,4,B A D ，设()()()4,,2224M a a a -≤≤，直线1BD 与平面11A D M 所成的角为β，则有()()()11114,0,0,0,,28,4,4,4D A A M a a D B ==-=-uuuu r uuuu r uuu r，设平面11A D M 的法向量为(),,n x y z = ，则有()11140280n D A x n A M ay a z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令82y a =-，则0,x z a ==，即()0,82,n a a =-r，∵111sin cos ,n D B n D B n D Bβ⋅===r uuu r r uuu rr uuu r ，设()()[]()22832,453264a f a a a a -=∈-+，则()()()()221683853264a a f a a a --'=-+，当82,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f a '<，当8,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f a '>，故()f a 在82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在8,43⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()()12,415f f ==，∵()()24f f <，则()f a 在[]2,4上的最大值为()41f=，即sin 32β≤<，∴当点M 与1B 重合时，直线1BD 与平面11AD M 所成的角最大，则π4β<，故D 错误．故选：BC.13．23【分析】画树状图表示出所有可能的取法，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】由图可知，B 桶不可能第一个被取到，故画树状图表示所有可能的取法如图：共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B 的结果有2种，∴最后一个取到B 的概率为23，故答案为：2314【分析】利用点到直线的距离与两条平行线间的距离、空间向量的坐标运算．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()1111,0,0,0,0,,1,1,,0,1,122A E F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1111,0,,1,0,22AE FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1AE FC = ，则有1AE FC ∥，又12FM = ，即M 在上1FC ，所以点M 到直线AE 的距离即等于点F 到直线AE 的距离，又因为055AE u AE ⎛==- ⎪ ⎪⎝⎭，，1012AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，所以254AF =，10AF u ⋅= ，所以点M 到直线AE．故答案为：5．15．【分析】根据空间向量的坐标运算以及空间向量的数量积运算可得答案.【详解】2= a ，b = 所以1cos 2a b a b a b ⋅⋅==-⋅ ，可知0k <，解得：k =故答案为：16．8【分析】先算出内切球的半径，r =（a 为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．【详解】解：由正四面体棱长为1，由题意，M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON += ，1OM ON ⋅=-，则()()()222011PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+-=- ，当点P 在正四面体顶点时，2PO最大，且最大值为9，则21PO - 的最大值为8，故答案为：8．17．(1)直线BC π3；直线AC π6(2)ππ63⎡⎤⎢⎣⎦，【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．【详解】（1）由斜率公式得：BC k =112(1)3BC k +-==--因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是[)0,π，∴直线BC 的倾斜角为π3，直线AC 的倾斜角为π6；（2）如图，当直线CD 由CA 逆时针旋转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由AC k 增大到BC k ，∴k 的取值范围为3⎢⎢⎣⎦，倾斜角α的取值范围为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．18．(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有1000.1220⨯⨯=件，乙生产线的样品中优等品有1000.05210⨯⨯=件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F .从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率815P =.19．(1)证明见解析10【分析】（1）利用中位线的性质可得出//MN BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面ABN 的距离.【详解】（1）证明：因为M 、N 分别为SB 、SC 的中点，则//MN BC ，BC ⊄ 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，因此，//BC 平面AMN .（2）解：过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，因为SA ⊥平面ABC ，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0B、5,02C ⎫⎪⎪⎝⎭、(S、M ⎛ ⎝⎭、54N ⎝⎭，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，()0,2,0AB =，54AN =⎝⎭，则20504n AB y n AN x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅+=⎪⎩，取2x =，可得()2,0,1n =-，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭ ，所以，点M 到平面ABN的距离为210AM nd n⋅=== .20．（1）90°（2）45︒（3【分析】（1）作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；（2）显然平面BCD 的一个法向量为()10,0,1n = ，利用空间向量法求出线面角；（3）求出平面CBD 的一个法向量为1n u r 以及平面ABD 的一个法向量为2n u u r，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【详解】解：设1AB =，作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，得下列坐标：()0,0,0O，,0,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2A ⎛⎝⎭（1）22AD ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0BC =()0,1,00AD BC ==⎝⎭ ，所以AD 与BC 所成角等于90°．（2）AD =⎝⎭，显然()10,0,1n = 为平面BCD的一个法向量1cos ,2AD n <>=∴，直线AD 与平面BCD 所成角的大小45︒（3）设平面ABD 的法向量为()2,,n x y z =则102AB ⎛= ⎝⎭ ，所以22·0·0n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即102022y x z ⎧=⎪⎪-=⎩，令1z =，则1x =，y =则()2n =设平面ABD 和平面BDC 的夹角为θ，则1212||cos 5||n n n n θ⋅===⨯因此平面ABD 和平面BDC21．(1)甲运动员一箭命中10环的概率为13，乙运动员一箭命中黄圈的概率为23(2)49(3)3581【分析】（1）设A ＝“甲运动员一箭命中10环”，B ＝“乙运动员一箭命中黄圈”，根据古典概型即可求出甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；（2）设C ＝“乙运动员一箭命中10环”，D ＝“有人命中10环”，利用古典概型和事件的并概率计算公式即可求出甲乙各射出一支箭，有人命中10环的概率；（3）设i A ＝“甲运动员第i 箭命中黄圈”，i B ＝“乙运动员第i 箭命中黄圈”，利用相互独立事件概率乘法公式即可求出甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率.【详解】（1）设A ＝“甲运动员一箭命中10环”，B ＝“乙运动员一箭命中黄圈”，则()241723P A ==，()12362723P B +==，∴甲运动员一箭命中10环的概率为13，乙运动员一箭命中黄圈的概率为23．（2）设C ＝“乙运动员一箭命中10环”，D ＝“有人命中10环”，则()121==726P C ，()13P A =，()1=6P C ，事件A ，C 相互独立，D =A +C ，()()()()()P D P A C P A P C P AC =+=+-()()()()1111436369P A P C P A P C =+-⋅=+-⨯=，∴甲乙各射出一支箭，有人命中10环的概率为49．（3）设i A ＝“甲运动员第i 箭命中黄圈”，i B ＝“乙运动员第i 箭命中黄圈”，()i 36245726P A +∴==，()36122723i P B +==，设E ＝“共有3支箭命中黄圈”，1212121212121212E A A B B A A B B A A B B A B B =+++1A ，2A ，1B ，2B ，相互独立，1212A A B B ，1212A A B B ，1212A A B ，1212A A B B 互斥∴甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为：()()1212121212121212P E P A A B B A A B B A A B B A A B B =+++552155125122152235663366336633663381=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=22．（1）证明见解析（23）不存在，理由见解析【分析】(1)由题设可得C E BD '⊥，结合平面BC D '⊥平面ABD ，利用面面垂直的性质定理可得C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，再利用线面垂直的性质定理，即可得//FA C E '，再由线面平行的判定定理，即可证得//FA 平面BC D '；(2)以{,,}EB AE EC '正交基底建系，写出所需的点的坐标，分别求出平面ABD 与平面FBC '的法向量，代入向量夹角公式，即可求出法向量夹角的余弦值，再结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，即可得到结果；(3)假设线段AD 上存点(,,)M x y z ,使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=，可得x λ=-，1)y λ=-，0z =，只需判断C M' 与平面FBC 的法向量m共线得到关于λ的方程是否有解，若有解则存在，无解的则不存在．【详解】(1)证明：因为BC C D ''=，E 为BD 的中点，所以C E BD '⊥，又C E '⊂平面BC D '，平面BC D '⊥平面ABD ，平面BC D '⊥平面ABD BD =，所以C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，所以//FA C E '，而C E '⊂平面BC D '，FA ⊄平面BC D '，所以//FA 平面BC D '；(2)以DB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，EC '所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B，(0,A ，(1,0,0)D -，(0,F，C '，所以(1,BF =-，(BC '=- ．设平面FBC '的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m BF x m BC x ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩' ，，取1z =，则m = ，又平面ABD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以cos m n m n m n⋅==⋅,则平面ABD 与平面FBC '(3)线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ．假设在线段AD 上存在(,,)M x y z ，使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=，则(,)(x y z λ=-，即(,)(,0)x y z λ+=-，所以x λ=-，1)y λ=-，0z =，由(1),C M λλ'=--，答案第15页，共15页由//m C M '1)11λ-==，此方程无解．所以线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，同时考查二面角的求法及逆向求解“点”的存在问题．本题第(1)问也可用求平面BC D '的法向量，利用法向量与FA 的数量积为零来证明.对于第(3)问对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．。
高二数学上册第一次段考测试题
uuuur uuuur
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MF1 MF2 0 ， | MF1 | | MF 2 | 2 ，则该双曲线的方程是 （ ）
A． x2 9
y2 1 B ． x2
y2
x2
1 C．
9
3
y2
x2
1 D．
7
7y2 13Fra bibliotek9．过定点（ 1，2）能作两直线与圆 x2 y2 kx 2 y k 2 15 0 相切，则 k 的取值范围是 ( )
珠海二中 10-11 学年高二上学期第一次阶段考试
一、选择题 （每小题只有一个选项正确，每题 5 分，共 50 分）
x2
1．椭圆
y 2 1 的长轴长为
(
)
4
A．16
B． 2
C． 8
D． 4
2．若直线 ax 2y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于（
）
A． 1
1
B．
3
2
C．
3
(2)由命题 “p 或 q”为真，且 “p 且 q”为假，得命题 p 、 q 一真一假
a1
① 当 p 真 q 假时，则
，无解； ……………………………8…分……
a1
a1
② 当 p 假 q 真时，则
，得 1 a 1，
a1
∴ 实数 a 的取值范围是 [ 1,1] . ……………………………………2…分……１
y
x
e 的切线，则切线的斜率为
.
a
a
1
14.△ ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B(－ ,0),C( ,0)，其中 a>0 且满足条件 sinC－sin B= sinA,
四川省成都2023-2024学年高二上学期阶段性考试(一)数学试题含解析
2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2022级数学（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某中学高三年级共有学生600人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.285B.270C.315D.330【答案】B 【解析】【分析】设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()600n -人，利用分层抽样可得出关于n 的等式，解之即可.【详解】设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()600n -人，由分层抽样可得6001160020n -=，解得270n =.故选：B.2.如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（）A.“至少有一个黑球”与“都是红球”B.“至少有一个黑球”与“都是黑球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【答案】D 【解析】【分析】写出各选项中两个事件所包含的基本情况，进而判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，“至少有一个黑球”包含：1黑1红、2黑，所以，“至少有一个黑球”与“都是红球”为对立事件，A 选项不满足条件；对于B 选项，“至少有一个黑球”包含：1黑1红、2黑，所以，“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，B 选项错误；对于C 选项，“至少有一个黑球”包含：1黑1红、2黑，“至少有一个红球”包含：1黑1红、2红，所以，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”有交事件，C 选项不满足条件；对于D 选项，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”互斥且不对立，D 选项满足条件.故选：D.3.如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（）A.2℃B.1℃C.0℃D.1.5℃【答案】C 【解析】【分析】根据第50百分位数的定义即可得出答案.【详解】由统计图可知，这10天最低气温数据从低到高为：3,2,1,1,0,0,1,2,2,2----，所以10个数据第50百分位数是0002+=，即这10天的最低气温的第50百分位数是0C .故选：C4.一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为21s ．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A.2212s s = B.2212s s > C.2212s s < D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．【详解】设班级人数为n ，因为113120118115+=+，所以更正前后平均分不变，且2222(113110)(120110)(118110)(115110)-+->-+-，所以2212s s >.故选：B5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A C 的中点，若1AE xAA y AB zBD =++，则（）A.111,,22x y z ===- B.111,,22x y z ===C.11,1,2x y z ===- D.11,1,2x y z ===【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题意可知()1111111111222AE AA A E AA A C AA AC AA AB AD =+=+=+=++()111122AA AB AB BD AA AB BD =+++=++ ，所以11,1,2x y z ===.故选：D6.甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）A.0.504 B.0.648C.0.712D.0.746【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，依次求出前两局甲获胜、前两局甲胜一局，第三局甲获胜的概率，并求和，即可求解.【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.60.60.36⨯=，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为20.60.40.60.288⨯⨯⨯=，而这两种事件是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.360.2880.648+=.故选：B7.正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CD 的中点，则异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.2【答案】C 【解析】【分析】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ，则可得EO ∥AF，所以可得OEC ∠异面有线CE 和AF 所成角，然后利用余弦定理求解即可【详解】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ，因为E 为AB 的中点，所以EO ∥AF，所以OEC ∠为异面有线CE 和AF 所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则2AB BC AC CD AD BD ======，AF CE BF ===,所以2OE OB OF ===，2OC ===所以在OCE △中，由余弦定理得222373244cos 23OE CE OC OEC OE CE +-+-∠==⋅,所以异面有线CE 和AF 所成角的余弦值为23，故选：C8.如图，元件123,,A A A 失效的概率均为12，元件45,A A 失效的概率均为13，元件6A 失效的概率为14，则闭合开关时，灯泡L 亮的概率为（）A.724B.712C.524D.512【答案】D 【解析】【分析】分别求出123,,A A A 、45,A A 和6A 着三段不失效的概率，再根据相互独立事件的概率公式即可得解.【详解】依题意，得23,A A 这段失效的概率为113111224⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123,,A A A 这段不失效的概率为1351248-⨯=，45,A A 这一段不失效的概率为9118133-⨯=，6A 不失效的概率为13144-=，所以灯泡L 亮的概率为583589412⨯⨯=.故选：D .【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设,A B 是两个随机事件，且()()0,0P A P B >>，则()()()P A B P A P B =+B.若()()()121,,933P AB P A P B ===，则事件A 与事件B 相互独立C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件可判断A ；由相互独立事件可判断B ；由对立事件可判断C ；由古典概率可判断D .【详解】对于A ，,A B 是两个随机事件，且()()0,0P A P B >>，当,A B 互斥时，则()()()P A B P A P B =+ ，故A 错误；对于B ，若()()()121,,933P AB P A P B ===，则()()113P A P A =-=，()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与事件B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C 错误；对于D ，从1,2,3,4中任取2个不同的数，可能的情况有：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：()()1,3,2,4，所以其概率为：2163=，故D 正确.故选：BD .10.抛掷两枚质地均匀的骰子，落地向上的点数记为,m n ，则（）A.m n >的概率为512B.9m n +>的概率为518C.||3m n -≥的概率为13D.m n +能被3整除的概率为13【答案】ACD 【解析】【分析】先确定()36n Ω=，再分别确定各事件包含的样本点个数，由古典概型求出概率.【详解】用数组(),m n 表示这个试验的一个样本点，因此该实验的样本空间(){}}{Ω,,1,2,3,4,5,6m n m n =∈，其中共有6636⨯=个样本点.因为()()()()()()()()()()()(){2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,3,2,4,2,5,2,6,2,4,3,5,3,6,3,A =()()()}5,4,6,4,6,5，所以()15n A =，从而()1553612P A ==，A 正确；因为()()()()()}{4,6,5,6,6,5,6,4,6,6B =，所以()5n B =，从而()536P A =，B 错误；因为()()()()()(){()()()()()()}4,1,5,1,6,1,5,2,6,2,6,3,1,4,1,5,1,6,2,5,2,6,3,6C =，所以()12n C =，从而()121363P C ==，C 正确；因为()()()()()()()()()()(){()}1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6D =，所以()12n D =，从而()121363P D ==，D 正确.故选：ACD11.A ，B 两组各有2名男生、2名女生，从A ，B 两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A 组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B 组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A ，B 两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A ，B 两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.甲与乙相互独立D.乙与丁相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式可判断各选项中的两个事件是否独立，从而可得正确的选项.【详解】记“从A 组中选出的是男生小明”为事件M ，“从B 组中选出的是1名男生”为事件N ，“从A ，B 两组中选出的是2名男生”为事件S ，从A ，B 两组中选出的是1名男生和1名女生”为事件T ，则()14P M =，()2142P N ==，()111224P S =⨯=，()111111122222P T ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()111428P MS =⨯=，而()()11()44P M P S P MS =⨯≠，故甲与丙不相互独立.()111428P MT =⨯=，而()()1()8P M P T P MT ==，故甲与丁相互独立.()111()()428P MN P M P N =⨯==，故甲与乙相互独立.()111224P NT =⨯=，()()11()22P N P T P NT =⨯=，故甲与丁相互独立，故选：BCD.12.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角ABC 沿BC 向上翻折，得三棱锥A BCD -，设2CD =，点,E F 分别为棱,BC BD 的中点，M 为线段AE 上的动点，下列说法正确的是（）A.在翻折过程中，不存在某个位置使得AC CD⊥B.若AB CD ⊥，则AD 与平面BCD 所成角的正切值为217C.当三棱锥A BCD -体积取得最大值时，AD 与平面ABC 成角的正弦值为105D.当AB AD =时，CM FM +432+【答案】BC 【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断A ，连接,AD DE ，证明⊥AE 平面BCD ，则ADE ∠即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，即可判断B ，由三棱锥A BCD -体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角判断C ，再由侧面展开图及余弦定理可判断D.【详解】对于A ，当平面ABC 与平面BCD 垂直时，CD BC ⊥ ，平面ABC 与平面BCD 的交线为BC ，CD ⊂平面BCD ,CD \^平面ABC ，又,AB AC ⊂平面ABC ，CD AB ∴⊥，CD AC ⊥，故A 错误；对于B ，连接,AD DE ，因为,,,,AB CD BC CD AB BC B AB BC ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为,AB AC E =为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又,,BC CD C BC CD =⊂ 平面BCD ，所以⊥AE 平面BCD ，则ADE ∠即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，在Rt BCD 中，2,60CD BDC =∠=︒，则23BC =，12DE AE BC====，所以tan7AEADEDE∠==，即AD与平面BCD所成角的正切值为7，故B正确；对于C，当三棱锥A BCD-体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，即平面ABC与平面BCD垂直时，由A选项可知，CD⊥平面ABC，故AD与平面ABC成角为CAD∠，因为2CD=，所以BC=，4BD=，AB AC==，则AD==10sin5DCCADAD∴∠==，即AD与平面ABC成角的正弦值为5，故C正确；对于D，当AB AD=时，因为F为BD的中点，所以AF BD⊥，则AF==，又因E为BC的中点，所以112EF CD==，又AE=222EF AF AE+=，所以AF EF⊥，如图将AEF△沿AE旋转，使其与ACF△在同一平面内，则当,,C M F三点共线时，CM FM+最小，即CM FM+的最小值为CF，在Rt AEF 中，sin 3AF AEF AE ∠==，则()cos cos sin 3CEF AEF AEC AEF ∠=∠+∠=-∠=-，所以CF =所以CM FM +D 错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量()2,1,3a =- ，()1,,2b x =- ，且a b ⊥，则b = _____.【答案】【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.【详解】由题意可知2604a b x x ⋅=--=⇒=- ，所以b ==.14.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则,,a b c 大小关系为______________（从大写到小）．【答案】c b a >>【解析】【分析】根据定义分别求出这组数的平均数、中位数、众数，比较大小即可.【详解】总和为147,14.7a =；样本数据17分布最广，众数=17c ；从小到大排列，中间二位的平均数，即15b =∴c b a>>【点睛】本题主要考查了统计中一组数据的平均数，中位数，众数的概念，属于中档题.15.已知2,4,6,8,x 这5个数的标准差为2，若在2,0,5,21,2x x ---中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是_____．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据标准差公式求出x ，再根据中位数的定义结合古典概型即可得解.【详解】2,4,6,8,x 这5个数的平均数为24682055x x+++++=，因为2,4,6,8,x 这5个数的标准差为2，2，解得5x =，则2,0,5,21,2x x ---，即为2,0,5,9,3-，按照从小到大的顺序为2,0,3,5,9-，从2,0,3,5,9-随机取出3个不同的数，有()()()()()()()()2,0,3,2,0,5,2,0,9,2,3,5,2,3,9,2,5,9,0,3,5,0,3,9------，()()0,5,9,3,5,9共10种，其中5为这3个数的中位数有()()()2,5,9,0,5,9,3,5,9-共3种，所以5为这3个数的中位数的概率是310.故答案为：310.16.三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ==，底面ABC 是边长为3的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，且CE EF ⊥，若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为_______.【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接,OP OB ，证明AC ⊥平面OPB ，再证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；【详解】,PA PB PC ABC == △为边长为3的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，取AC 的中点O ，连接,OP OB ，则,OP AC OB AC ⊥⊥，又,,OP OB O OP OB =⊂ 平面OPB ，∴AC ⊥平面OPB ，又PB ⊂平面OPB ，PB AC ∴⊥，又,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又,,,EF CE CE AC C CE AC ⊥⋂=⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面,PAC PB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PB PA ⊥，322PA PB PC ∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，∵M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，∴当M 位于正方体的如图所示的顶点处，点M 到平面ABC 距离最大，设为h ，∴可求得此时三棱锥M ABC -的体积为3232113232924232224⎛⎫⎛-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，ABC 2=，则13224ABC S =⨯⨯=△，∴19392344h ⨯⋅=，解得：h =，即点M 到平面ABC 距离的.6.【点睛】思路点睛：求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm 和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm 和17.56．（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；（2）求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：221122,,,,n x s n y s ．记总样本的平均数为ω，样本方差为2s ，则{}222221122121(()s n s x n s y n n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+）【答案】（1）60；40（2）平均数为14cm ，16．【解析】【分析】（1）根据样本与总体可确定抽样比，根据抽样比可确定抽取男生60人，女生40人；（2）利用公式求抽取的总样本的平均数和方差，从而估计总体的方差.【小问1详解】设在男生､女生中分别抽取m 名和n 名，则1001200200012002000m n ==-，解得60,40m n ==．【小问2详解】记抽取的总样本的平均数为ω，可得604013.215.214(cm)100100ω=⨯+⨯=，所以抽取的总样本的平均数为14cm ．男生样本的平均数为13.2x =，样本方差为2113.36s =；女生样本的平均数为15.2y =，样本方差为2217.56s =；记总样本的样本方差为2s ，则{}22216013.36(13.214)4017.56(15.214)16100s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．18.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．【答案】（1）36125；（2）1325.【解析】【分析】(1)把该选手进入第三轮才被淘汰的事件视为三个相互独立事件的积，再用概率的乘法公式计算即可；(2)把该选手至多进入第二轮考核的事件拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式计算即得.【详解】记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件(1,2,3)i A i =，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，(1)该选手进入第三轮才被淘汰的事件为123A A A ，其概率为123123()()()()P A A A P A P A P A ==43236(1555125⨯⨯-=；(2)该选手至多进入第二轮考核的事件为112A A A +，其概率为11211244313()()()()(1(1)55525P A A A P A P A P A +=+=-+⨯-=.19.已知A ，B 两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.（1）若甲从A 盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；（2）若甲从A 盒中，乙从B 盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.【答案】（1）815（2）13【解析】【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可.（2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果.【小问1详解】设A 盒中的4个红球分别为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别为1b ，2b ，则甲从A 盒中抽取2个球的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，14()a a ,，11()a b ,，12()a b ,，23(,)a a ，24()a a ,，21()a b ,，22()a b ,，34()a a ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共15个，两个球颜色不同的基本事件有11()a b ,，12()a b ,，21()a b ,，22()a b ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,共8个，所以甲从A 盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为815P =.【小问2详解】由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为42221664418P =⨯⨯⨯=，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为24221664418P =⨯⨯⨯=，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为4422166449P =⨯⨯⨯=，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为4422166449P =⨯⨯⨯=，所以甲、乙共抽到3个红球的概率为111111818993P =+++=.20.在三棱锥P −ABC 中，AB=BC ，BC ⊥平面PAB ，平面PAC ⊥平面ABC .（1）证明：PA ⊥平面ABC ；（2）若D 为PC 的中点，且2PA =，求平面DAB 与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）取AC 中点O ，先证明BO PA ⊥，再说明BC PA ⊥，即可根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABC ；（2）方法一，作辅助线，根据二面角的定义找到平面DAB 与平面ABC 所成二面角的平面角，然后解直角三角形求得答案;方法二：建立空间直角坐标系，求得相关各点的坐标，求出平面DAB 与平面ABC 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：取AC 中点O ，由AB BC =得BO AC ⊥,平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面,ABC AC BO =⊂平面ABC ，BO ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面,PAC BO PA ∴⊥.BC ⊥ 平面,PAB PA ⊂平面,PAB BC PA ∴⊥.,,BC BO B BC BO ∴⋂=⊂平面ABC ，PA ∴⊥平面ABC .【小问2详解】方法一：取AB 的中点E ，连接,DE OE .因为BC ⊥平面,PAB BC AB ∴⊥，因为,OE BC OE AB ∴⊥∥,连接DO ，则DO PA ∥,结合（1）可知DO ⊥平面,ABC EO ⊂平面ABC ,∴⊥DO EO ，由（1）知AB BC ⊥,故12OB AC AO ==,则AD BD ==,,AD BD DE AB ∴=∴⊥，又,OE AB DEO ∠⊥∴为二面角D AB C --的平面角.在DAB 中，设AB =，则42PA AC ===，,DB DA ∴===DE =又11,cos 232OE OE BC DEO DE ∠==∴==.即平面DAB 与平面ABC 所成二面角的余弦值为13.方法二：设O 为AC 的中点，D 为PC 的中点，DO PA ∴∥.由（1）知，PA ⊥平面,ABC DO ∴⊥平面,,ABC BO AO ⊂平面ABC ，,DO BO DO AO ∴⊥⊥，,AB BC OB OA =∴⊥ ，∴以O 为原点，以,,OA OB OD方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设AB BC ==2,4AC PA ==，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,4,0,0,2O A B P D ，()()1,1,0,1,0,2AB AD =-=-，设平面ABD 的法向量为()1111,,x n y z =，11,n AB n AD ∴⊥⊥ ，110,0n AB n AD ∴⋅=⋅=，1111020x y x z -+=⎧∴⎨-+=⎩，令11z =，得()1112,2,2,2,1x y n ==∴=.又平面ABC 的法向量是()20,0,1n =u u r，1212121cos ,3n n n n n n ⋅∴==⋅，平面DAB 与平面ABC 所成二面角为锐角，故其余弦值为13.21.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计1000名学生每日阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值），若学生甲的阅读时长排在第600名，估计该生的阅读时长；（2）若采用分层抽样的方法，从样本在[)[]60,80,80,100内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率；（3）从全市所有中学生中随机抽取4人进行进一步调查，求4人中恰有两人课外阅读时长均不超过60分钟的概率.【答案】（1）0.0125a =，平均数为58分钟，学生甲阅读时长52分钟；（2）35（3）38【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的特点计算先求a ，再计算平均数及百分位数即可；（2）根据分层抽样的方法得出两组各取的人数，再由古典概型计算即可；（3）由二项分布计算概率即可.【小问1详解】由()0.00250.01000.01500.0100201a ++++⨯=可得0.0125a =；这1000名学生每日的平均阅读时间，()100.0025300.01500.0125700.015900.012058⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分钟；由频率分布直方图可知后两组占全部的()0.010.015200.5+⨯=，后三组占全部的()0.010.0150.0125200.75++⨯=，因为该生阅读时长在1000人中排第600名，所以该生阅读时长位于第三组[)40,60内，设其阅读时长为x ，则400.750.652600.60.5x x x --=⇒=--，即该生的阅读时长约为52分钟.【小问2详解】由频率分布直方图可知阅读时长在区间[)[]60,80,80,100的人数之比为：0.01530.012=，因此，可设[)[]60,80,80,100分别抽取了3人,,a b c ，[]80,100抽取了2人,d e ，则再从中抽取2人共有{},,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 10种不同的抽取方法，抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为35P =.【小问3详解】由（1）可知阅读时长不超过60分钟的占全部的()10.00250.010.0125202++⨯=，故随机抽取4人，恰有两人不超过60分钟的概率为：2224113C 1228P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB ，AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点．（1）是否存在一点G ，使得1//BC 面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若直线EG 与平面11DCC D 所成的角为60︒，求三棱锥C EFG -的体积；（3）求三棱锥1B ACG -的外接球半径的最小值．【答案】（1）存在点G 为1DD 的中点，证明见解析（2）36（3）424【解析】【分析】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，连接1AD ，利用三角形中位线和平行线的传递性得到11//AD BC ，再利用线面平行的判定即可证明结论；（2）首先根据题意得到33DG =，再求出CEF S △，根据C EFG G CEF V V --=计算即可；（3）建立空间直角坐标系，首先确定球心在1BD 上，设外接球球心为1O ，设11BO BD λ=，[0,1]λ∈，得出1O 的坐标，设(0,0,)([0,2])G m m ∈，由11O G O A =，得出2484m mλ+=+，求出λ的范围，再由222(2)(22)(2)r λλλ=-+-+即可求出r 的最小值．【小问1详解】存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1//BC 面EFG ，连接1AD ，如图所示：∵点,F G 分别是1,AD DD 的中点，1//FG AD ∴，又11//AB D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ∴，1//FG BC ∴，又∵1BC ⊄平面EFG ，且FG ⊂平面EFG ，∴1//BC 平面EFG ．【小问2详解】取CD 的中点O ，连接OE ，OG ，由题意可知，OE ⊥平面11DCC D ，且2OE AD ==，OGE ∴∠是直线EF 与平面11DCC D 所成的角，即60OGE ∠=︒，在Rt OEG △中，223tan tan 603OE OG OGE ===∠︒，∴在Rt ODG 中，2222233133DG OG OD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，又CEF ABCD AEF BEC CDFS S S S S =--- 2113211212222=-⨯⨯-⨯⨯⨯=，1133333236C EFG G CEF CEF V V S DG --∴==⋅=⨯⨯= ．【小问3详解】以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2)A B C B D ，所以1(0,2,2),(2,2,0)AB AC ==- ，1(2,2,2)BD =-- ，因为11440AB BD ⋅=-+= ，1440AC BD ⋅=-= ，所以111,AB BD AC BD ⊥⊥ ，即111,AB BD AC BD ⊥⊥，因为1AB ⊂平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1BA BB BC ==，所以三棱锥1B ACG -的外接球的球心在1BD 上，设外接球球心为1O ，设11(2,2,2)BO BD λλλλ==-- ，[0,1]λ∈，则1O 的坐标为(22,22,2)λλλ--，设(0,0,)([0,2])G m m ∈，则11O G O A =，即=，所以2484m mλ+=+，设84[8,16]m t +=∈，则84t m -=，则228(41664648411616t t t t t t tλ-+-++===+-，而811116t t +-≥=，当且仅当816t t =，即t =时，等号成立，因为[8,16]t ∈，所以11,]2λ∈-，三棱锥1B ACG -的外接球的半径1r O A ====因为11,2λ∈，所以21812([4833λ-+∈-，所以r ∈-，三棱锥1B ACG -的外接球半径的最小值为4-．。
2021年高二上学期第一次段考数学试题 含答案
2021年高二上学期第一次段考数学试题含答案一、选择题（每小题5分共50分）1.若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )A. B. C. D.2．在△ABC中，若，则AC=（）A. B.C. D.3. 与，两数的等比中项是( )A. B. C. D.4.在△ABC中，，则（）A. B.C. D.5.在△ABC中，，则等于（）A．B．C．D．6.在△ABC中, ,则三角形的面积为（）A. B.C. D.7.记等差数列的前n项和为，若则该数列的公差为（）A .7 B. 6 C.3 D. 28.已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（）项A．B．C．D．9.两个等差数列则= ( )A. B.7 C. D.10.在等差数列中，是方程的两个根，则是( )A. 15B. -15C. 50D.二、填空题（每小题5分，共20分）11．在△ABC 中，若_________。
12．等比数列中, 则的公比的值为_____________。
13．等比数列的各项均为正数，且，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ______ 。
14．________。
xx ～xx 学年上学期第一次段考高二数学答卷二、填空题（每小题5分，共20分）11．_________ 。
12．_____________。
13．______ 。
14．_____ ___。
三、解答题（共6小题）15.三个数成等差数列，这三个数的和为，三数之积为，求这三个数。
（本题12分）16.在△ABC中，，解这个三角形。
（本题12分）17．海中小岛A周围20海里内有暗礁，船沿正南方向航行，在B处测得小岛A 在船的南偏东30°；航行30海里到达C，在C处测得小岛A在船的南偏东60°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（本题14分）18．已知｛｝为等差数列，且（1）求｛｝的通项公式；（2）若等比数列｛｝满足，，求｛｝的前n项和公式。
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江西省吉安一中2014-2015学年上学期高二第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A.6π B.3π C.65πD.32π 2. 已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平行线的方程是（ ） A. 4x+2y=5 B. 4x-2y=5 C. x+2y=5D. x-2y=53. 空间直角坐标系中，点A （-3，4，0）与点B （x ，-1，6）的距离为86，则x 等于（ ）A. 2B. -8C. 2或-8D. 8或24. 设m 、n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m ∥α, n ∥α,则m ∥n ④若α⊥γ， β⊥γ， 则α∥β 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④5. 在下图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A. 30°B. 45°C. 90°D. 60°6. 如图2所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）A. 直线AC 上B. 直线AB 上C. 直线BC 上D. △ABC 内部7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A. π2324-B. 324π-C. π-24D. 224π-8. 当x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 时，则y x z 42+=的最小值为（ ）A. 5B. 6-C. 10D. 10-9. 已知点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为)1,1(-+'a b P ，则圆C ：02622=--+y x y x 关于直线l 对称的圆C '的方程为（ ）A. 10)2()2(22=-+-y xB. 10)2()2(22=+++y xC. 10)2()2(22=++-y xD. 10)2()2(22=-++y x10. 若直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A. （0，]34 B. []34,31 C. [21,0] D. [0，1]二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分）11. 已知直线0343=-+y x 与直线0116=++my x 平行，则实数m 的值是______。
12. 一个平面截一球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则该球的体积是_________________。
13. 圆心在直线072=--y x 上的圆C 与y 轴交于两点A （0，4-），B （0，2-），则圆心的方程为__________________________。
14. 已知点P 的坐标（y x ,）满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P 的直线l 与圆C ：1422=+y x 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为______________。
15. 正三棱锥ABC P -的底面边长为1，E ，F ，G ，H 分别是PA ，AC ，BC ，PB 的中点，四边形EFGH 的面积为S ，则S 的取值范围是_________________。
三、解答题（共6大题，75分）16.（满分12分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在的直线方程为022=--y x ，点C （2，0）。
（1）求直线CD 的方程；（2）求AB 边上的高CE 所在的直线方程。
17.（满分12分）如图所示，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且∠BCD=∠BCE=2π，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2AD=2BG=2。
求证：（Ⅰ）EC ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AG ∥平面BDE ；18.（满分12分）已知点M （1，m ），圆C ：422=+y x 。
（1）若过点M 的圆C 的切线只有一条，求m 的值及切线方程；（2）若过点M 且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C 截得的弦长为23，求m 的值。
19. （满分12分）如图所示，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，AB=2，BC=1，DC=3，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC 。
（1）求三棱锥C ABE -的体积； （2）证明：平面ACD ⊥平面ADE ；（3）在CD 上是否存在一点M ，使得MO ∥平面ADE ？证明你的结论。
20.（满分13分）已知点P （x, y ）为圆C ：03422=+-+x y x 上一点，C 为圆心， （1）求22y x +的取值范围； （2）求xy的最大值； （3）求PO PC ⋅（O 为坐标原点）的取值范围。
21.（满分14分）已知P 是直线l ：0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆C ：012222=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点。
（1）求四边形PACB 面积的最小值；（2）直线l 上是否存在点P ，使∠BPA=60°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
二、填空题（5×5=25分） 11. 812. 336cm π 13. 5)3()2(22=++-y x 14. 415. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+,123三、解答题（75分） 16. （12分）解：（1） ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥CD. ∴k CD =k AB =2.∴直线CD 的方程为y=2（x －2），即2x －y －4=0。
（2）∵CE ⊥AB ， ∴k CE =211-=-ABk ，∴直线CE 的方程为y= 21-（x －2），即 x+2y —2=0。
17. （12分）解：（Ⅰ）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD∩平面BCEG=BC ，CE ⊥BC ，CE ⊂平面BCEG ， ∴EC ⊥平面ABCD ， （3分） 又CD ⊂平面BCDA ，故EC ⊥CD （6分）（Ⅱ）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连结DM ，则由已知知；MG=MN ，MN ∥BC ∥DA ，且MN=AD=BC 21∴MG ∥AD ，MG=AD ，故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM∵DM ⊆平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，∴AG ∥平面BDE （12分） 18. 解：（1）由于过点M 的圆的切线只有一条，故点M 在圆C 上， ∴412=+m ， ∴=m 3±， 所求切线方程为043=-±y x 。
（2）由于圆C 的直径为324>，故所求直线不过圆心，即不过原点。
设所求直线的方程为)0(1≠=+a aya x ，即0=-+a y x ， ∴该直线被圆截得的弦长为23，∴圆心到直线的距离为1， ∴12=a ， ∴2±=a ，∴所求直线的方程为02=±+y x ，∴21±-=m 。
19.（12分）解：（1）∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ， ∵AB 是圆O 的直径， ∴BC ⊥AC ，∴AC=322=-BC AB ，∴S△ABC =2321=⋅BC AC 又BE=DC=3， ∴V C-ABE =V E-ABC =31S △ABC ·BE31=21323=⨯⨯。
（2）∵DC ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴DC ⊥BC ，∵BC ⊥AC 且DC AC=C ，∴BC ⊥平面ADC 。
∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC 。
又∵DE平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE 。
（3）在CD 上存在点M ，使得MO ∥平面ADE ，该点M 为DC 的中点。
证明如下：取BE 的中点N ，连结MO ，MN ，NO ， ∴M ，N ，O 分别为CD ，BE ，AB 的中点， ∴MN ∥DE ，∵DE平面ADE ，MN平面ADE ，∴MN ∥平面ADE ，同理可得NO ∥平面ADE 。
∵MN NO=N ，∴平面MNO ∥平面ADE 。
∵MO平面MNO ，∴MO ∥平面ADE 。
20.（13分） 解：（1）[1，9] （2）33（3）[3,1-] 21. （14分）解：（1）如图所示，△PAC ≌△PBC ，则有S PACB =2S △PAC 。
圆心C （1，1），半径1=r 。
由切线性质得AC ⊥PA ，则22AC PC PA -=，又1=AC ，∴S △PAC =121212-=⋅PC PA AC ，又P 在直线l 上，则PC 的最小值是C 到直线l 的距离3169843=+++=d ，∴S △PAC 的最小值为213212=-， ∴四边形PACB 面积的最小值是22。
（2）假设直线l 上存在点P 满足题意 ∵∠APB=60°，∴33==AC AP ，2=PC ，设P （y x ,），则有⎩⎨⎧=++=-+-,0843,4)1()1(22y x y x整理可得09640252=++x x ， ∵⊿=400962542<⨯⨯-， ∴这样的点P 是不存在的。