高三数学一轮复习 第三节 两角和与差及倍角公式(1)教案 新人教版
高三数学一轮复习 第3课时 两角和与差的三角函数学案(1)
湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习第3课时两角和与差的三角函数学案【学习目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦预习案【课本导读】1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝ .(2)cos(α＋β)＝ . (3)t an(α＋β)＝ .2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝ (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝．(3)tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3．常用公式的变化形式(1)a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝ .(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(3)1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)．(4)1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)【教材回归】1．sin119°sin181°－sin91°sin29°的值为______2．下列各式中，值为32的是( )A．2si n15°cos15° B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°3．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为( )A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β) C．cosα D．cosβ4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( )A.18B．－18C.47D．－47探究案题型一：知角求值例1 (1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值．(2)化简：sin50°(1＋3tan10°)．(3)求tan20°＋4sin20°的值．思考题1 4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 题型二：知值求值 例2 (1)已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π2)，求sin α的值． (2)已知π2<β<α<3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213，求cos2α的值．思考题2 (1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3(2)已知α，β为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值(3)若c os α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝13，求cos(α－β)的值．题型三：知值求角例3 (1)已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思考题3 (1)已知tan α＝3(1＋m )，tan(－β)＝3(tan αtan β＋m )(m ∈R )，若α，β都是钝角，求α＋β的值．(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.①求ta n2α的值；②求β.题型四：三角函数的化简 例4 化简下列各式： (1)α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β；(2)11－tan θ－11＋tan θ；(3)315sin x ＋35cos x思考题4 化简下列各式： (1)sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)－3cos(2π3－x )；(2)α＋βsin α－2cos(α＋β)．训练案1．cos4π8－sin4π8等于( )A．0 B.22C．1 D．－222．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．在△ABC中，“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的( )A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件4．已知过点(0,1)的直线l：x tanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A．－73B.73C.57D．15．tan70°cos10°＋3sin10°·tan70°－2cos40°的值________6．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cosα的值。
高三数学一轮复习讲义 两角和与差的正弦、余弦和正切
两角和与差的正弦、余弦和正切知识梳理:1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝ . cos(α±β)＝ .tan(α±β)＝ . (α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z ) 其变形为：tan α＋tan β＝ ,tan α－tan β＝ ． (1) sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β (2) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan(α－β)(1＋tan αtan β) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝ .cos 2α＝ ＝ ＝ . tan 2α＝ ..2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝ ， sin 2α＝ ； 配方变形：1±sin α＝,1＋cos α＝ ， 1－cos α＝1＋cos 2α2 1－cos 2α2 ⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α2 2 2cos 2α2 2sin 2α2.3．辅助角公式(利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．a a 2＋b 2ba 2＋b 2热身练习:1．计算sin119 °s in181 °－sin 91°sin 29°的结果等于 ( ) A. －12 B.22 C.32 D.33解：sin119 °s in181 °－sin 91°sin 29°=cos29°(－sin 1°) －cos 1°sin 29° =－(sin 1°cos29°+cos 1°sin 29°) －cos 1°sin 29°=－sin 30°=－122．已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为 （ ）A 、725B 、1825C 、725-D 、1825-3．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin 2θ的值为 ( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D.2425解析：∵sin θcos θ<0，sin θ＝45，∴cos θ＝－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×45×(－35)＝－2425.4．已知α∈(0，π2)，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α的值为____．解析：∵ α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos αcos α＝45，tan α＝34.1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝sin x ＋cos αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝7.5．已知cos α＝－45，且α∈(π2，π)，则tan (π4－α)等于________．解析：∵cos α＝－45，且α∈(π2，π)，∴sin α＝35.tan α＝－34，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝7.6．已知α∈(π2，π)，sin α＝55，则tan 2α＝____.解析：依题意得cos α＝－1－sin 2α＝－255，tan α＝sin αcos α＝－12， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－－122＝－43.7.已知5sin 2sin 2α=o，则tan(1)tan(1)αα+-oo 的值是（ ） A 12- B 32-C 32 D 2典例探究[例1] 化简下列各式：(1)(1+sin +cos )(sincos )222+2cos θθθθθ- (0<θ<π)；解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2 ＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)2＋2cos 8＋21－sin 8.(2)原式＝4cos 24＋21－2sin 4cos4＝2|cos4|＋2sin 4－cos42＝2|cos4|＋2|sin 4－cos4| ∵5π4<4<3π2.∴cos4<0，sin 4<cos4<0. ∴sin 4－cos4<0. 从而原式＝－2cos4－2sin 4＋2cos4＝－2sin 4.（3）.sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．解:原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°] ＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0(4)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.变式训练一：（1）若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) Asin 2α Bcos 2α C －sin 2α D －cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1 ∴cos α＝2cos 22α－1∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180° ∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ （2）tan2A ·tan （30°－A ）＋tan2A tan （60°－A ）＋tan （30°－A ）tan （60°－A ）＝（3）(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)……(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝ 232（4）化简：θ-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 解：cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin cosθθθθθθθθθθθθ--=+--222222222222222222222222原式cos (cos sin )sin (sin cos )sin (sin cos )cos (cos sin )θθθθθθθθθθθθ--=+--2222222222222222θ-=θ-=θθ-+θθ+-=θ+θ-=csc 2sin 2)sin cos 1sin cos 1()2tan 2(cot1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．2.对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．[例2] (1)．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 ( )A.12B.32 C.3 D. 2解 (1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2). sin50(1+3tan10)cos 20cos801cos 20--o o ooo解：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos80°1－cos 20°＝1－cos20°2sin 210°＝ 2.考点二 三角函数的给值求值问题 [例3]若0<α<π2，－π2<β<0， cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝ ( ) A.33 B ．－33 C .539 D ．－69 解: ∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<3π4. 又cos(π4＋α)＝13，∴sin(π4＋α)＝1－132＝223.同理可求得sin(π4－β2)＝1－332＝63， ∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.本例条件不变，求cos α的值．解：cos α＝cos[(π4＋α)－π4]＝cos(π4＋α)cos π4＋sin (π4＋α) sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.1．解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”．(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余,互补”关系． (3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：α＝2·α2＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－(π4－α)． 2．对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角． 变式训练二：1．若sin(π3＋α)＝14，则cos(π3－2α)＝( )A.14B ．－14C ．－78D.78解析：∵cos(π3－2α)＝－cos[π－(π3－2α)]＝－cos(23π＋2α)＝－cos2(π3＋α) ＝－[1－2sin 2(π3＋α)]＝2sin 2(π3＋α)－1＝2×(14)2－1＝－78.2．已知cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)的值为( ) A ．－a B ．a C ．－a 2 D.a2解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β)2－(cos αsin β)2＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a3．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于 ( )A.1＋m2B ．－1＋m2C.1－m2D ．－1－m2解析：由题意知，cos θ＝－m ，θ2在第二象限． 所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－m24．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)．求cos A 的值；解：因为π4<A <π2，且sin(A ＋π4)＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos(A ＋π4)＝－210.因为cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210·22＋7210·22＝35，所以cos A ＝35.5.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为_____49________.【解析】 由tan(x ＋π4)＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝49.6.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.考点三 三角函数的给值求角问题[例4] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值；(2)求β.解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.1.解决给值求角问题的一般步骤是：(1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出要求的角． 2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．变式训练三：1．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12， tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13，∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.2.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．解：由f (α2)＝2cos 2α，得tan(α＋π4)＝2cos 2α，sin α＋π4cos α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.∴1＝2(cos α－sin α) 2．∴1=2(cos 2α-2sin αcos α+ sin 2α) ,1=2(1-sin 2 α) ∵α∈(0，π4)，∴sin 2 α=12∴2α＝6π. 即α＝π12.3．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 3 －23π考点四 构造辅助角逆用和角公式解题例五：已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值.解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.例六 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.变式训练四：1.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值.解 由题意，得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6.又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32.故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值分别为1与－32.2.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值.(1) 2 (2)16653.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π4＋k π (k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.4.已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，∵0<β<π4<α<3π4，∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665.5.已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12， AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010，由cos B ＝35，得sin B ＝45. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010.练习一一、选择题1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A .12 B.33 C.22 D.322.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C .322D.163.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A .12B.－12C.22D.－224．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 35．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．96．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是 ( )A ．－233 B.233 C ．－23 D .23二、填空题7.化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°＝_________________________. 8.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为__713______.9.化简：sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝)x π++224_______.10.函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是____1________.11sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝__π2__________.三、解答题12. [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2 sin 80°＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10° ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10°＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60°＝22×32＝ 6.13已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4.14 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值．解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13.(2)sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝－sin α－βcos α－β＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.15.求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2s in 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°. ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.练 习 二一、选择题1．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于 ( )A ．－34B ．－14 C.34 D.142．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值为( )A.13B.－13C.79D .－793. 设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A .－79B.－19C.19D.794.若将函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为( )A.2B.3C.4D .55. 设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π C .⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，3π26. 在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A .π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23π 二、填空题7.＝___－43_________.8.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝___.1013_________.9．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝__-211______.10．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ， 各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α13·sin α2＋α33＝___-12_____.11.化简: ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2；2sin α12. 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．解 (1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π13.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,10 （1）求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
高三：高中数学第1轮全套高效复习导学案第三课时 两角和与差的三角函数
第3课时 两角和与差的三角函数【学习目标】1. 掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式，了解它们的内在联系。
2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换。
3. 以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】三角公式的灵活运用【学习难点】三角公式的灵活运用[自主学习]1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝_____________________cos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtanβ) 1－tan α tan β＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)；)4()4(x x ++-ππ＝2π[典型例析]例1.求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．变式训练：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π;(2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.[当堂检测]⒈ ︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为___________.⒉ 若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三象限角，则βcos 的值为_________________________3如果21)4tan(,43)tan(=-=+πββα，那么)4tan(πα+的值等于_____________________4.=︒+︒15cos 15sin _____________.[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________。
3.3两角和与差及倍角公式(一)
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sin )(cos sin )(1 tan tan ) ____1___． 2 2 2 2 2 6.给出下列四个命题：
5.化简： (cos
①存在这样的 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ②不存在无穷多个 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ③对于任意的 ， ，都有 cos( ) cos cos sin sin ； ④不存在这样的 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ． 其中假命题的序号有______②_______． 【范例解析】
2
2
2
1 解法一：原式= sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (2 cos 2 1)(2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (4 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 1 (sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2 2 1 1 sin 2 cos 2 ． 2 2 分析二：从“名”入手，同化余弦式． 1 解法二：原式= sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) 2 1 1 cos 2 cos 2 2 2 分析三：从“形”入手，平方和关系． 1 解法三：原式= (sin sin cos cos ) 2 2sin sin cos cos cos 2 cos 2 2 1 1 cos 2 ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 1 cos 2 ( ) cos(2 2 ) 2 1 1 1 [cos 2( ) 1] cos(2 2 ) 2 2 2 分析四：从幂入手，降次扩角． 1 1 1 解法四：原式= (1 cos 2 )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )(1 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 2 2
高三数学一轮复习 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数教案 人教大纲版
高三数学一轮复习 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数教案 人教大纲版★知 识 梳理1两角和与差的三角函数公式sin()αβ±=sin sin cos sin αβαβ+±cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβ tan()αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±2.二倍角公式sin 2α=2sin cos ααcos2α=22cos sin αα-= 22cos1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα- 3.半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 4.同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ问题1。
不查表求值：sin cos sin cos sin sin 71587158+⋅-⋅=_______________考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切 题型1: 顺用公式例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）例2.sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________.1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．2.若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()4παα--= ． 例3．已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值.1. （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=_____． 2.不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒= ．题型2: 逆用公式例4．sin105cos105的值为（ ）例5．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量(3,1)a =-，(sin 2,b x =cos 2)x ，函数()f x a b =⋅，若()0f x =且0x π<<，求x 的值；例6．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A AA A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.求f (A )的最大值；基础巩固训练1.求oo15tan 115tan 1-+的值.2．(华南师大附中2009届高三综合测试（二）)设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．163．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
2020届高三数学一轮复习 第3讲 两角和与差及二倍角的
第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数★知 识 梳理1两角和与差的三角函数公式sin()αβ±=sin sin cos sin αβαβ+±cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβm tan()αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±m2.二倍角公式sin 2α=2sin cos αα cos2α=22cossin αα-= 22cos 1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα-3.半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 4.同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ问题1。
不查表求值：=_______________考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切题型1: 顺用公式例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）例2.sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________.1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．2.若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()cos 42παα--= ． 例3．已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值.1. （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=g _____． 2.不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒= ．题型2: 逆用公式例4．sin105cos105o o 的值为（ ）例5．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量1)a =-r，(sin 2,b x =r cos 2)x ，函数()f x a b =⋅r r，若()0f x =且0x π<<，求x 的值；例6．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A AA A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.求f (A )的最大值；基础巩固训练1.求oo15tan 115tan 1-+的值.2．(华南师大附中2020届高三综合测试（二）)设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．163．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
2019-2020年人教A版高中数学 高三一轮(文) 第三章 3-5两角和与差的三角函数值《教案》
2019-2020年人教A 版高中数学 高三一轮（文） 第三章 3-5两角和与差的三角函数值《教案》1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))； tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))．2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(xx·浙江改编)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝ . 答案 －34解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3．(xx·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝ . 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. 4．(xx·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为 ． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为 ． (2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝ .答案 (1)－3 (2)539解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.(2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝ .答案 (1)35 (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝ .(3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22 (2)12cos 2x (3) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin (π4－x )cos (π4－x )·cos 2(π4－x )＝(2cos 2x －1)24sin (π4－x )cos (π4－x )＝cos 22x 2sin (π2－2x )＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝ .(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为 ．答案 (1)cos α (2) 3 解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cosα2＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝ ，cos β＝ .(2)(xx·课标全国Ⅱ改编)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 (1)－1010 95010 (2)16解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝ .(2)(xx·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝ .(3)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝ . (4)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝ .思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. (4)原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)π2 (3)－53 (4)12温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为 ． 答案 654解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(xx·重庆)4cos 50°－tan 40°＝ .答案 3 解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 －1解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1. 6．sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ .答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解 因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝(1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α ＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α| ＝2sin α|cos α|， 所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin 2θ的值是 ．答案 1665解析 由周期公式可知函数周期为2，∴AB ＝2.过P 作PD ⊥AB 于D ，由函数的最大值为1，知PD＝1，根据函数的图象，可得AD ＝12，BD ＝32.在Rt △APD 和Rt △BPD 中，sin ∠APD ＝15，cos ∠APD ＝25，sin ∠BPD ＝313，cos ∠BPD ＝213.所以sin θ＝sin(∠APD ＋∠BPD )＝865，cos θ＝cos(∠APD ＋∠BPD )＝165，故sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×865×165＝1665. 2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值为 ． 答案 3解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 3．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45， 两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 5．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围． 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
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第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．
【基础练习】 1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．
2.
x x =
．
3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ．
4.化简：sin sin 21cos cos 2αα
αα+=++___________ ．
5.化简：(cos sin )(cos sin )(1tan tan )22222θθθθθ
θ+-+=____1___．
6.给出下列四个命题：
①存在这样的α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+；
②不存在无穷多个α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+；
③对于任意的α，β，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
④不存在这样的α，β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-．
其中假命题的序号有______②_______．
【范例解析】
例1.化简：（1）
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44x x x x ππ-+-+；
（2(1sin cos )(sin cos )
)θθ
θθθπ++-<<．
（1）分析一：降次，切化弦．
1
2 3＋cos2x )3x π+ tan α
解法一：原式=2221(2cos 1)2
2sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-1cos 22
x =． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二：原式221(2cos 1)(1tan 22
x x -=+22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin x x x x x x x =-⋅++1cos 22x =． （2）原式
2(2sin cos 2cos )(sin cos )θθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅== 0θπ<<，022∴<<，cos 02
>，∴原式=cos θ-． 点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．
例2.化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ+-． 分析一：从“角”入手，“复角”变“单角”． 解法一：原式=2222
221sin sin cos cos (2cos 1)(2cos 1)2αβαβαβ+--- 222222221sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2
αβαβαβαβ=+---+ 2222221sin sin cos cos cos cos 2
αβαβαβ=-++- 222221sin sin cos (1cos )cos 2
αβαββ=+-+- 222221sin sin cos (1cos )cos 2
αβαββ=+-+- 222221sin sin cos sin cos 2
αβαββ=++- 22221(sin cos )sin cos 2
ααββ=++- 221sin cos 2ββ=+-12
=． 分析二：从“名”入手，同化余弦式．
解法二：原式=22221sin sin (1sin )cos cos 2cos 22
αβαβαβ+-- 222221sin sin cos sin cos cos 2cos 22
αββαβαβ=+-- 22221cos sin (sin cos )cos 2cos 22
βαββαβ=---
221cos sin cos 2cos 2cos 22
βαβαβ=-- 221cos cos 2(sin cos 2)2
ββαα=-+ 211cos cos 222
ββ=-= 分析三：从“形”入手，平方和关系．
解法三：原式=21(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβαβαβ-+- 211cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222
αβαβαβ=++- 21cos ()cos(22)2
αβαβ=+-+ 111[cos 2()1]cos(22)222
αβαβ=++-+= 分析四：从幂入手，降次扩角．
解法四：原式=111(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)cos 2cos 2442
αβαβαβ--+++- 111(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2442
αβαβαβαβαβ=--+++++- 111(1cos 2cos 2)cos 2cos 2222
αβαβ=+-= 点评：三角函数的化简，要认真分析式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口． 例3.求证：
21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-． 分析：左右同时化简． 证明：原式等价于
21sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan θθθθθθ
+-=++-． 左边=222sin 2cos 22sin 2sin 2tan 22sin 2cos 22cos 2cos 2θθθθθθθθθ+===+右边． 点评：恒等式的证明，一般由繁到简或左右同时化简，左右归一．
例4.已知tan()2tan αββ+=．求证：3sin sin(2)ααβ=+．
分析：切化弦，变角．
证明：要证3sin sin(2)ααβ=+
只要证3sin[()]sin[()]αββαββ+-=++
即证3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin αββαββαββαββ+-+=+++
只需证sin()cos 2cos()sin αββαββ+=+ 由已知得：sin()sin 2cos()cos αββαββ
+=⋅+．sin()cos 2cos()sin αββαββ∴+=+ 故原命题得证．
点评：证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证．
【反馈演练】
1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα
tan 2α． 2．若sin tan 0x x ⋅<
=
．
3．若0＜α＜β＜
4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________． 4．若sin cos tan (0)2
παααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．若22sin 12()2tan sin cos 22f ααααα-=-，则()12f π=___8___． 6．化简：tan()tan tan tan tan()
αβαβααβ+--=⋅+________． 7．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .
8．化简：(sin cos 1)(sin cos 1)sin 2x x x x x
+--+=_________． 9．对任意的锐角α，β，下列不等关系中
①sin(α+β)>sin α+sin β； ②sin(α+β)>cos α+cos β；
③cos(α+β)<sin α＋sin β； ④cos(α+β)<cos α＋cos β．
其中正确结论的序号是____④______．
10．化简：222cos 1
2tan()sin ()44αππαα--⋅+．
解：原式=222cos 1
2sin()4cos ()4cos()4
απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==． 11．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．
证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．
12．化简：22sin
sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++． 解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-
2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++-
)3,4(ππ x tan β tan 2x a b <
2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+
2sin ()αβ=+．。