2.3变量间的相关关系

－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数 关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量 越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越 高．所以B、C、D是相关关系．故选A.
跟踪练习 1 如下图所示， 表示两个变量不具有相关关系 的有________．
[答案] ①④
[解析]
A．y 平均增加 1.2 个单位 B．y 平均增加 3 个单位 C．y 平均减少 1.2 个单位 D．y 平均减少 3 个单位
[答案] A
4．线性回归方程^ y＝bx＋a，过定点________．
[答案] (－ x ，－ y)
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造生产甲产品过程中 记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y( 吨标准煤) 的几组对照 数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
来计算回
归系数．有时为了方便常列表，对应列出xiyi、x 2 i ，以利于求 和．(2)获得线性回归方程后，取x＝10，即得所求．
[解析] i
(1)列表： 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36
2 2.2
3 3.8
4 5.5
5 6.5
6 7.0
若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求： ^x＋a ^的回归系数a ^、b ^； (1)线性回归方程^ y＝b (2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
[分析]
第一步，列表xi，yi，xiyi；
n n 2 2 第二步，计算－ x ，－ y ， xi ， yi ， xiyi； i＝1 i＝1 i＝1
马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多 大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述， 那么这究竟是一种什么样的关系？本节，我们共同研究．
请同学们认真阅读学习目标及重点难点，时间30秒
一、学习目标
请同学们认真阅读学习目标及重点难点，时间30秒
1.知道两个变量的相关关系的概念；
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关
[答案] C
[解析]
图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x
与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因 此u与v正相关.
请同学们认真独立完成例 3 及变式，然后讨论派代表回答， 时间 12 分钟
例3
随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿
车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限 的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非 常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计 得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y(万元)有如下的 数据资料：
使用年限x 总费用y
规律总结：求回归直线方程应给出线性回归系数公 式，在求解时为了使计算更准确可以先制表，这样使计算过 程更具条理性．
跟踪练习 3 某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位：万元) 之间有下列对应数据：由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系. x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
高一· 数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
统 计
第二章
2．3 变量间的相关关系
第二章
2．3.1 2．3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
课前自主预习
随堂应用练习
思路方法技巧
课后强化作业 方法警示探究
课前自主预习
新课引入
西方流传的一首民谣： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国．
78 87 98 108 115 120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
[解析]
(1)不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在
坐标平面内，不呈线形． (2)散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图 如图：
由图可见，具有线性相关关系．
跟踪练习 2 对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)， 得散点图(1)；对变量 u， v 有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)， 得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
例 1 下列变量之间的关系不是相关关系的是(
)
A．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a，c 是已知常数，取 b 为自变量，因变量是判别式 Δ＝b2－4ac B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
[答案] A
[解析]
在A中，若b确定，则a，b，c都是常数， Δ＝b2
2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关
系； 3.会求回归直线方程。 二、重点与难点
重点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程。 难点：建立回归思想，知道回归直线与观测数据的关系。
三、自主预习 请同学们认真阅读教材，填写要点，时间 8 分钟 1．相关关系 (1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一 个变量的取值带有一定的 随机性，那么这两个变量之间的关 系，叫做相关关系．
规律总结：函数关系是一种确定性关系，相关关系是 一种非确定性关系，判断两个变量间的关系是否为相关关系 的关键是看这个关系是否具有不确定性．
2．线性相关 (1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大 致在一条 直线 附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系，这条直线叫做 回归直线． ^ x＋ a ^ 时，使得 (2)最小二乘法：求线性回归直线方程 ^ y＝b 样本数据的点到它的 距离的平方和 最小的方法叫做最小二 乘法，其中a，b的值由以下公式给出：
①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一
条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的 分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
请同学们认真独立完成例 2 及变式，然后讨论派代表回答， 时间 8 分钟
[例 2] (1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断两 个变量之间是否具有相关关系？
(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄(岁) 身高(cm) 1 2 3 4 5 6
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x ^； 的回归方程^ y＝^ bx＋a
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生 产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
[解析]
(1)散点图如下：
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从
左下 角到 右上 角的区域，那么这两个变量的相关关系称
为正相关，如果散点图中点的分布是从 左上 角到 右下 角 的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．
[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类：一类是确定 性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变 量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性， 它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例 如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系， 我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没 有任何关系．
^ x＋ a ^ 中的 b ^＝ 根据上表提供的数据得到回归方程 ^ y＝b 6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
[答案] 15
2＋4＋5＋6＋8 － [解析] x ＝ ＝5， 5 30＋40＋60＋50＋70 － y＝ ＝50. 5 ^得a ^＝ ∵回归方程过样本中心(5,50)，代入 ^ y ＝6.5x＋ a 17.5， ∴^ y＝6.5x＋17.5，当^ y＝115时，x＝15.
(2)y＝0.7x＋0.35，过程略 (3)19.65吨标准煤
请同学们认真完成课堂小结，其他同学补充，时间 2分钟. 六、课堂小结：
作业：阳光课堂基础自主演练
xi yi xiyi xi2
5 2 － x ＝4，－ y ＝5， xi ＝90， xiyi＝112.3 i＝1 i＝1
Байду номын сангаас
5

112.3－5×4×5 12.3 ^ 于是b＝ ＝ ＝1.23； 10 90－5×42 ^＝－ a y －b－ x ＝5－1.23×4＝0.08. (2)线性回归直线方程是 ^ y ＝1.23x＋0.08，当x＝10(年) 时， ^ y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时， 支出总费用是12.38万元．
随堂应用练习
五、当堂检测（10 分钟） 1．下列关系中为相关关系的有( )
①学生的学习态度和学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④
[答案] A
2．下列图形中两个变量具有相关关系的是(
)
[答案] C
[解析]
A是一种函数关系，因为任给一个x都有惟一确
定的y和它对应；B也是一种函数关系；C中从散点图可看出 所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且 是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关 系，因此变量间是不相关的．
3．设一个回归方程为^ y＝3 ＋1.2x，则变量 x 增加一个单 位时( )
^是回归方程的 斜率 ，a ^是回归方程在y轴上的 其中，b
截距．
[破疑点]
线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上
的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直 线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信 息技术的应用．