37东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间几何体的三视图与直观图学生版
《空间几何体的三视图和直观图》导学案.docx
1.2《空间几何体的三视图和直观图》导学案【学习目标】通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空I'可图形的不同表示形式；掌握画三视图的基本技能.【重点难点】简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如：纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.【学法指导】主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用.【知识链接】空间图形的模具【学习过程】情境导入1、如何画出上节所学习的儿何体？工程师如何制作工程设计图纸？2._______________________________________________________________ 从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，________________________________________________ ；”对于我们所学儿何体，常用三视图和直观图来画在纸上.—、自主学习1、三视图：观察者从_____________ 观察同一个空间几何体，画出的空间几何体的图形;直观图：观察者站在____________ 观察一个空间几何体，画出的空间几何体的图形.2、中心投影；___________________________________________________________________3、平行投影：___________________________________________________________________正投影：__________________________________________________________________斜投彫：__________________________________________________________________我们可以用平行投影的方法，画出空间几何体的______________ 和___________ .4、_______________________________________________________________________________ 正视图：侧视图：________________________________________________________________________俯视图：________________________________________________________________________几何体的正视图、俯视图、侧视图、统称为几何体的______________________ .5、斜二测画法的步骤：(1)___________________________________________________________________(2)___________________________________________________________________(3)___________________________________________________________________二.典型例题合作探究题型一：平行投影的概念例1.正方体ABCD-ADCQ]中，分别是A f A, C/C 的中点，则下列判断正确的有 _____________________（1） 四边形BFD/E 在底Ifij" ABCD 内的投影是正方形；（2） 四边形BFD]E 在面AQQA 内的投影是菱形；（3） 四边形BFD 】E 在面A I D I DA 内的投影与在面ABB J A J 内的投影是 全等的平行四边形.题型二:常见多面体的三视图的画法 例2.画出下列图形的三视图.题型四：由三视图画出相应的几何体例4.根据下列图屮所给的三视图，试画出该物体的形状.总结：正视图反映了物体上下、左右的位置关系, 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系, 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系, 题型三：简单组合体的三视图例3.画出如图所示的组合体的三视图 即反映了物体的 即反映了物体的 即反映了物体的侧视图例e 耐一测画法画出边长为2厘米的正方形 的直观图.放置的平面图形的直观图侧视图正视图 俯视图题型六：空间几何体的直观图例6.用斜二测画法画出正四棱锥的直观图题型七：平面直观图与原图形的关系例7.己知△ABC 的平面直观图是边长为a 的正三角形，则AABC 的面积是 _________________ ・ 三•课堂检测1. 如果一个空间儿何体的正视图和侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那 么这个几何体为（）A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱2. —图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 ________________（1）线段 （2）直线 （3）圆 （4）梯形 （5）长方体3. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为丄。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 空间位置关系-垂直导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习空间位置关系-垂直导学案文一、知识梳理1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
2．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二、题型探究[题型探究1]：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
[题型探究2]：线面垂直问题例2．（1）（2006北京文，17）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
变式2、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE[题型探究3]：面面垂直问题例3．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。
三、方法提升：1、证明线线垂直：如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直。
（线面垂直⇒线线垂直）2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
东北师大附属中学高三一轮导学案：空间位置关系—平行【B】
空间位置关系—平行(学案)B一、知识梳理：（必修2教材第48页-第61页）1、空间的直线与平面的位置关系：:符号表示:证明线面平行的方法:3.直线与平面平行的性质定理:符号表示:证明线线平行的方法::符号表示:证明面面平行的方法:6.两个平面平行的性质定理:符号表示:二、题型探究探究一：直线与平面的位置关系：例1：空间四边形ABCD中,M,N分别是三角形ABC与ACD的重心,求证:MN∥面BCD .例2：已知平面=a，b//，b//，求证：b//a。
探究二：平面与平面的位置关系：例3:(1)如果两条直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;(2)如果两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;(3)如果一个平面内的列数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行.其中正确A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)例4:已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,求证:平面AB1D1//平面C1BD三、方法提升1、在直线与平面平行的判定定理中,要注意易忽视的条件“线在面外”，否则可能与平面平行，也可能在平面内；利用判定定理证线面平行，关键是找面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
2、在平面与平面的判定定理中，“两条相交直线”中的相交两字不能忽略，否则两个平面可能相交；若则两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要做出来。
在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．3、用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。
北师大版数学高一学案 空间几何体的三视图
学案：空间几何体的三视图学案学习目标：（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力学习过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
学习重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体学习流程1、三视图的定义是什么？从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视图（主视图）。
从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的侧视图（左视图）。
从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的俯视图。
2、正视图、主视图、俯视图之间的规律是什么？通过多媒体观察长方体的三视图，并给出三视图之间的投影规律。
虽然在画三视图时取消了投影轴和投影间的连线，但三视图间的投影规律和相对位置关系仍应保持。
三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。
按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不标注视图的名称。
对应上图还可以看出：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
由此可得出三视图之间的投影规律为：主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等4、基本几何体的三视图1、球的三视图2、圆柱的三视图3、圆锥的三视图作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
4、简单组合体的三视图桌面上摆放几个简单组合体，画出它们的三视图画组合体的三视图的步骤：应认清组合体的结构，把组合体分解成几个简单的基本几何体，再按简单几何体画三视图。
5、三视图与几何体之间的相互转化。
图中的三视图表示的几何体是什么？圆台图中的三视图表示的几何体是什么？四棱柱3．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件81空间几何体的结构及其三视图直观图
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考点1
考点2
考点3
思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?
解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面
地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据
条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系
线段AB,AD,AC,则( C )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
-19-
考点1
考点2
考点3
(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所
示的一个正方形,则原来的图形是( A )
-20-
考点1
考点2
原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点
后,用平滑的曲线连接而画出.
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考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)利用斜二测画法画平面内一个△ABC的直观图得
到的图形是△A'B'C',那么△A'B'C'的面积与△ABC的面积的比是
( A )
2
A. 4
3
B. 4
2
C. 2
3
D. 2
(2)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图
④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.
-17个个个个
考点1
考点2
考点3
解析: (1)①显然错;②正确,因两个过相对侧棱的截面都垂直于底
面可得到侧棱垂直于底面;③错,可以是斜四棱柱;④正确,对角线两
高考数学统考一轮复习 第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图(教师文档)教案
学习资料第一节空间几何体的结构、三视图和直观图授课提示:对应学生用书第119页［基础梳理]1．空间几何体的结构特征（1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圆侧面展开图矩形扇形扇环（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．简记为：横同竖半，平行性不变．3．三视图（1）几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．（2)三视图的画法①基本要求:长对正,高平齐,宽相等．②画法规则：主左一样高,主俯一样长，左俯一样宽；看到的线画实线,看不到的线画虚线．1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝错误!S原图，S原图＝2错误!S直观图．2．球心到截面的距离d＝错误!（其中R为球的半径，r为截面半径）．［四基自测]1．（基础点:三视图的画法规则)若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，2错误!B．2错误!,2C．4，2D．2，4答案:D2．（易错点：三视图的识别)将正方体(如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图(2）所示的几何体,则该几何体的左视图为()答案：B3。
(基础点：直观图的画法规则）如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案：矩形8授课提示：对应学生用书第120页考点一空间几何体的结构特征［例]（1）下列结论正确的是（)A．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台［解析］∵这条腰必须是垂直于两底的腰，∴A错；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形,∴C错；必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台，D错．故选B.［答案] B(2）下列结论正确的是（)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[解析］A错误．如图（1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥．图(1）B错误．如图（2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．图（2）C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．［答案] D(3）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．［解析]①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD。
2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：8.1 空间几何体的结构及其三视图、直观图
第八章 立体几何8.1 空间几何体的结构及其三视图、直观图必备知识预案自诊知识梳理1.空间几何体的结构特征2.空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括 ,分别是从几何体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求: , , .②画法规则: 一样高, 一样长, 一样宽;看不到的轮廓线画 线.3.空间几何体的直观图(1)画法:常用 画法.(2)规则①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为 ,z'轴与x'轴 .②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中 ,平行于y 轴的线段长度在直观图中 .1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)底面与水平面平行放置的圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形.(3)底面与水平面平行放置的圆台的主视图和左视图为全等的等腰梯形.(4)底面与水平面平行放置的圆柱的主视图和左视图为全等的矩形.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()(5)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.()2.一个多边形沿着垂直于它所在的平面的方向平移一段距离,可以形成的几何体是()A.棱锥B.棱柱C.圆柱D.长方体3.(2020河北邢台模拟,理4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,几何体ABCDEC1的左视图与俯视图如图所示,则该几何体的主视图为()4.(2020北京海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()A.√5B.2√2C.2√3D.√135.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是.关键能力学案突破考点空间几何体的结构特征【例1】(1)(2020山东日照模拟)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)以下命题:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()B.1C.2D.3?解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.对点训练1(1)下面是关于四棱柱的四个命题:①若有一个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是.(2)(2020广东佛山模拟)下列结论正确的是()A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台考点平面图形与其直观图的关系【例2】(2020河北衡水中学调研)如图所示,直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是.?解题心得1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=√24S原图形.2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.对点训练2(1)利用斜二测画法画平面内一个△ABC的直观图得到的图形是△A'B'C',那么△A'B'C'的面积与△ABC的面积的比是()A.√24B.√34C.√22D.√32(2)(2020黑龙江哈尔滨三中期末)已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形,则原四边形ABCD的面积为()A.2B.√22C.2√2D.4√2考点空间几何体的三视图(多考向探究)考向1由空间几何体的直观图识别三视图【例3】(1)(2020湖北武汉模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的主视图、俯视图是(注:选项中的上图为主视图,下图为俯视图) ()(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的主视图(也称正视图)是()?2由空间几何体的三视图还原直观图【例4】(1)(2020北京西城一模)某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则()A.2√2∉S,且2√3∉SB.2√2∉S,且2√3∈SC.2√2∈S,且2√3∉SD.2√2∈S,且2√3∈S(2)(2020全国2,理7)右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在主视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在左视图中对应的点为()B.FC.GD.H?3由三视图的两视图推测另一视图【例5】已知一三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为()?解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意主视图、左视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,看看给出的部分三视图是否符合.对点训练3(1)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为()(2)(2020安徽高三联考)某多面体的三视图如图所示,该多面体的各个面中有若干个三角形,这些三角形的面积之和为()A.16B.12C.8+4√2D.8+4√6(3)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为()A.1B.√2C.2D.1(4)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是()1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状.3.三视图的画法(1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易混淆实虚线.易错警示——三视图识图中的易误辨析在直观想象核心素养的形成过程中,辨析三视图识图中的易错、易混点,能够进一步发展学生几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.【例1】如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是(),容易错选为D,误认为点B在主视图中的位置落在线段AO上,而事实上三棱锥的底面是一个直角三角形,即∠AOB=90°,所以点B在主视图中的位置落在点O上.,其主视图是一个直角三角形,水平的直角边长为3,与其垂直的直角边长为4,点B在主视图中的位置落在点O上,所以选B.反思提升画几何体的三视图,要注意分析几何体中的垂直关系,找线段的投影先找线段的两个端点的投影,两端点的投影的连线即为线段的投影.【例2】某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥最长的棱长为()√5 B.2√2 C.3 D.3√2,学生容易把几何体的直观图画成四棱锥.从而把题目做错.仔细观察三视图中的俯视图,四边形内有一虚线,若是四棱锥就不会出现这条虚线了.,该几何体为三棱锥P-ABC.过点P作PO⊥平面ABC,垂足为O点,连接OB,OC,则四边形ABOC为平行四边形.OA⊥OB.则最长棱为PC=√PO2+OA2+AC2=√22+22+123.故选C.反思提升俯视图之所以是四边形,是因为从上往下投影时,三棱锥顶点P的投影O落在了△ABC的外面,棱PC,PB的投影当然为OC,OB了.【例3】将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为()不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C 不平行,投影为相交线,故应选B.反思提升1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A.2.因对三视图的画法要求不明而误选C或D,在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画.3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求.第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图、直观图必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)①平行且相等全等②任意多边形有一个公共顶点的三角形③相似(2)①矩形②直角边③圆锥④半圆面或圆面2.(1)主视图、左视图、俯视图正前正左正上(2)①长对正高平齐宽相等②主左主俯左俯虚3.(1)斜二测(2)①45°(或135°)垂直②保持原长度不变变为原来的一半考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2.B一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离后,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行,各边在平移过程中形成的面均为平行四边形,故形成的几何体为棱柱.故选B.3.A该几何体为图中AED-BC1C,正投影为EDCC1,ABE与EBC1不在同一平面,所以主视图为A选项的图形.故选A.4.C由三视图知,四棱锥底面是直角梯形,EA⊥底面ABCD,EA=AB=BC=2,最长棱是EC,在Rt△ABC中,AC=2√2,在Rt△EAC中,EC=√AC2+AE2=√8+4=2√3,故选D. 5.1由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;④错误,而菱形的直观图也不一定是菱形.关键能力·学案突破例1(1)D(2)A(1)A错误,如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.(2)命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.对点训练1(1)②④(2)B(1)①显然错;②正确,两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;③错,可以是斜四棱柱;④正确,体对角线两两相等,则其中两条体对角线所在的平行四边形为矩形.故填②④.(2)底面是等边三角形,且各侧面三角形全等,这样的三棱锥才是正三棱锥,所以A错;斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形,所以C错;截面平行于底面时,底面与截面之间的部分才叫圆台,所以D错.例22+√2把直观图还原,原平面图形如图所示,在直角梯形ABCD×(2+√2)×2=2+√2.中,AB=2,BC=√2+1,AD=1,所以面积为12对点训练2 (1)A(2)D(1)将△A'B'C'放入锐角为45°的斜角坐标系x'O'y'内,如图(1)所示,过C'作C'D'⊥A'B',垂足为D',将其还原为真实图形,得到图(2)的△ABC ,其中OA=O'A',AB=A'B',OC=2O'C',在△O'C'D'中,O'C'=C 'D 'sin45°=√2C'D',即C'D'=√22O'C'=√24OC ,∴△ABC 的高等于OC ,由此可得△ABC 的面积S=12AB·OC ,∵直观图中△A'B'C'的面积为S=12AB·√24OC ,∴直观图和真实图形的面积的比值等于√24,故选A .(2)因四边形ABCD 的直观图是面积为2的正方形,所以其边长为√2,所以直观图的底边长为√2,高为4,所以面积为4√2,故选D.例3(1)A (2)A (1)主视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见,故为虚线,易知选A.(2)由题意,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,过点A ,E ,C 1的平面截正方体的直观图如右图,则该几何体的主视图为图中粗线部分.故选A .例4(1)D (2)A (1)如图所示,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,四棱锥C 1-ABCD 满足条件.故AB=BC=CD=AD=CC 1=2,BC 1=DC 1=2√2,AC 1=2√3.则集合S={2,2√2,2√3},故2√2∈S ,2√3∈S.故选D .(2)根据三视图,画出多面体立体图形,D 1D 4上的点在主视图中都对应点M ,直线B 3C 4上的点在俯视图中对应的点为N ,所以在主视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D 4,线段D 3D 4,上的所有点在左视图中都对应E ,则点D 4在左视图中对应的点为E.故选A.例5C 由已知条件得直观图如图所示,主视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA 形成的投影,应为虚线.故选C .对点训练3(1)A (2)D (3)C (4)C (1)如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz 的图像为下图:则它在平面zOx 的投影即主视图为,故选A .(2)由三视图还原几何体,如图所示,该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.由题可得,S △ABC =12×42=8,又EF=√42+22=2√5,GF=4√2,故S △EFG =12×4√2×√(2√5)2-(2√2)2=4√6,因此三角形的面积之和为8+4√6,故选D.(3)由几何体的三视图转换为几何体的直观图如右:根据三视图中的线段长度,得AB=2√2,BE=AE=DE=2,由勾股定理得CE=√5,从而得AC=√4+(√5)2=3,所以直线AC 和底面的夹角最小,sin ∠ACE=23.(4)若俯视图为选项C,左视图的宽应为俯视图中三角形的高√32,所以俯视图不可能是选项C.。
吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案--空间角和距离
一、知识梳理1．异面直线,a b 所成的角：（1）定义：过空间上一点P （注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就叫做异面直线,a b 所成的角范围。
（2）范围：(0,]2π（3）求法： 平移法：向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。
2．直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线PA 在平面α内的射影AO ，则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
若//a α或a α⊂，则直线a 与平面α所成的角为0；若a α⊥，则直线a 与平面α所成的角为2π； （2）范围：[0,]2π（3）求法： 定义法； 向量法：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则|cos ,|||||||n a sin n a n a θ⋅=<>=⋅.3．二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（注意二面角的五个条件）（2）、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题（5）、异面直线距离法：EF2=m2+n2+d2－2mnθcos构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.4．空间的距离（A ）点到平面的距离求法：（1）直接法：过点P 作平面α的垂线，垂足A ，则PA 是点P 到平面α的距离； （2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。
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①矩形；②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四 面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 9． （2012 新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为 （A）6 (B)9 (C)12 (D)18 二、填空题 10．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，正视图和俯视图如图(2)(3)所示， 则其侧视图的面积为 .
2、一个等腰直角三角形在一个平面内的正投影可能是 ⑴、等腰直角三角形 （2） 、直角非等腰三角形 （3）钝角三角形 （4） 、锐角三角形 3、 （2013 青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是 边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形， 则其体积是 （C）
2 2 2 2 侧视图 2
11.(2009· 温州模拟)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 C
－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为
.
12． （北京理 7）某四面体的三 视图如图所示，该四面体四个 面的面积中，最大的是 13.（安徽理 6）一个空间几何 体的三视图如图所示，则该几 何体的表面积为
5
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习 某高速公路收费站入 口处的安全标识墩如图 1 所示.墩的上半 部分是正四 棱锥 P－EFGH，下半部分 是长方体 ABCD－EFGH.图 2、 图 3 分别 是该标识墩的正视图和俯视图 . (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积.
X 'O'Y ' =450（或 1350） ，它们确定的平面表示水平平面； ‘ ③画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X 轴， ‘ 且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y 轴，且 长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线） 。 二、题型探究： 探究一：空间几何体的三视图 例 1 一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下 图所示，则这个组合体包含的小正方体个数是 （ ）
主视图 A、7 B、6 C、5
左视图 D、4
俯视图
1
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 037B
探究二:空间几何体的直观图: 例 2：已知 ABC 的平面直观图 A' B'C ' 是边长为 a 的正三角形，那么原 ABC 的面 积为（ （A） ）
3 2 a 2
6
6.（2012 枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则 该几何体外接球的表面积为（ ）
A． 3
B． 2
16 C． 3
D．以上都不对
7.（2012 番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其 中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形， 俯视图为正六边形， 那么该几何体的侧视图的面积为（ A．12 B．
3 A． 6
4 2 B. 3
4 3 C． 3
8 D. 3
2 正视图
俯视图
4. （2013 上海闸北区） 右图是一个几何体的三视图， 根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ A． 10π B． 11π ） D． 13
2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
C． 12π
5.（2012 泰安一模）一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的 体积等于 （ ） (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12
2 3
） ． D．6
C．
3 2
8．(2012·广州 模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧 视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4 个 顶点，它们可能是如 下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结 论的编号) .
3
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空间几何的三视图与直观图(学案)B
一、 知识梳理： （必修 2 教材第 11 页-第 18 页） 1、 中心投影与平行投影： 投影是光线通过物体 ,向选定的面投射,并在该在由得到图形的方法;平行投影的投影 线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点. 2、三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 它具体包括： （1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的 ； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的 ； （3） 俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的 ； 三视图的排列规则：主在前，俯在下，左在右 画三视图的原则：主、左一样 ，主、俯一样 ，俯、左一样 。 3、直观图:斜二测画法 ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立 直角坐标系； ’ ’ ’ ’ ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O X ,O Y , 使
五、课时作业 （一）选择题 1、如图 E、F 分别为正方体的面 ADB1A1，面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正 方体的面上的摄影可能是 （要求把可能的图的序号都填上） D1 C1 A1 E D A B C ① ② B1 F
（3）
（4）
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三、解答题 14.已知正三棱锥 V－ABC 的正视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的侧视图和直观图. (2)求出侧视图的面积.
15.如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图， 并求该平 面图形的面积； (3)求出该几何体的体积.
（B）
3 2 6 2 a （C） a （D） 6a 2 4 2
三、方法提升 1、三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法，画几何体的三视图要 注意：一个几何体的侧视图与正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与 俯视图宽度一样，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边，能看见的轮廓线 或棱有实线表示，不能看见的轮廓线或棱用虚线表示。 2、运用斜二测画法画图时应注意：在画图过程中要注意已知图形和直观图中变量和 不变量，会直观图与立体图之间的转化. 四、反思感悟