北师大版数学必修二应用案巩固提升：第一章11.1 简单旋转体
北师大版数学高一必修二练习简单旋转体
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体一、基础过关1．下列说法正确的是() A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线2．下列说法正确的是() A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4 ) D．(1)(5) 4．下图是由哪个平面图形旋转得到的()5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．6．描述下列几何体的结构特征．7. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是()①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3 9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12. 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．答案1．C 2．D 3．D 4．D 5．圆锥6．解 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体．7．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A 9．B 10.π611．解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示． 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示． 12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OPA 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为2π×10 cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40(cm)，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π(cm)．所以扇形弧BB ′的长度20π为所在圆周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm.。
北师大版数学高一必修二 简单旋转体
关
形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫
作旋转体．
填一填·知识要点、记下疑难点
3．分别以 矩形 的一边、直角三角形的 一条直角边 、直角 梯形 垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴，其余各边
本
旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、
课 时
圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的 高 ，垂直
长是 3 cm，求圆台的母线长．
本 解 设圆台的母线长为 l，由题意可知截得圆台的上、下底面
课 时 栏 目
半径分别为 r,4r. 根据相似三角形的性质得，3＋3 l＝4rr，
开 关
解得 l＝9.
所以，圆台的母线长为 9 cm.
研一研·问题探究、课堂更高效
例 3 下列命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
圆台．
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本 小结 解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必
课 时
须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．
栏
目
开
关
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跟踪训练 3 如图，一个圆环面绕着过圆心的直
线 l 旋转 180°，所得几何体的结构特征如何？
本
课 解 由两个同心的大球和小球，大球里去掉小
和纬线中哪些是大圆？ 答 所有经线所在的圆和纬线中纬度为零度的纬线是大圆．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 6 什么叫作旋转面？什么叫作旋转体？球面及球体是
旋转面还是旋转体？
本 课
答 一个平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所
时 栏
形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转
北师大版数学必修二应用案巩固提升：第一章 立体几何初步章末复习提升课
章末复习提升课1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱台：是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．3．几何体的面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的面积和体积公式4.线面位置关系(1)线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(2)线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (3)面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．4．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念．7．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 8．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 9．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 10．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．11．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．三视图和直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．画直观图时，通常利用斜二测画法，即“横长不变，纵长减半，平行位置不改变，九十度画一半”．画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A. [★答案☆] A平行、垂直问题(1)立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以证明线面平行；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可以证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行．(2)立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判定线面垂直，由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直，由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积． [解](1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ═∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT平面P AB ，M N 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 折叠与展开问题(1)把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题．解决折叠问题，要注意折叠前后的变量与不变量，折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．(2)常见的几何体中，除了球的表面无法展开在一个平面内，其余几何体的表面展开后，均为一个平面图形，由此产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题，转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法．已知在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且CG ＝2，沿直线CG 将△CDG 翻折成△CD ′G .求证：(1)EF ∥平面AD ′B ； (2)平面CD ′G ⊥平面AD ′G .[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD′的中点，所以EF为△D′BC的中位线．所以EF∥D′B.又因为EF⊆/平面AD′B，D′B平面AD′B，所以EF∥平面AD′B.(2)在梯形ABCD中，因为G是AD的中点，BC＝12AD＝1，则AD＝2，所以DG＝1.又因为CD＝3，CG＝2，所以在△DGC中，DG2＋GC2＝DC2，所以DG⊥GC，即在四棱锥D′ABCG中，GC⊥D′G，GC⊥AG.因为AG∩D′G＝G，所以GC⊥平面AD′G.又因为GC平面CD′G，所以平面CD′G⊥平面AD′G.1．下列命题中，正确的是()A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确；B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①解析：选B.从所给的几何体的主视图，左视图可知其俯视图不可能是正方形和圆．3．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . 因为PB ＝PC ， 所以PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，所以OA ＝OB ，且P A ＝PB ，所以Rt △POB ≌Rt △POA ， 所以∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC ，而PO 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC . ★答案☆：垂直4．已知圆锥的底面周长为6π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为________． 解析：设圆锥的底面半径为R ，高为h ，由已知得2πR ＝6π，所以R ＝3. 于是12π＝13π·32·h ，解得h ＝4，于是母线l ＝42＋32＝5， 所以侧面积S ＝π×3×5＝15π. ★答案☆：15π 5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点．求证：(1)AC ⊥PB ；(2)PB ∥平面AEC . 证明：(1)因为P A ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以P A ⊥AC ，又因为AB ⊥AC ，而AB ∩P A ＝A ， 所以AC ⊥平面P AB ，所以AC ⊥PB .(2)如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以点O 是BD 的中点．又点E 是PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为PB ⊆/平面AEC ，EO 平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解：如图，作出轴截面，因为轴截面是正三角形，根据切线性质，当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为V ′＝13π⎝⎛⎭⎫33h 2h ＝19πh 3.由V ＝V ′得h ＝315r .。
北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章 立体几何初步章末复习提升课 含解析
章末复习提升课1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱台：是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．3．几何体的面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的面积和体积公式4.线面位置关系(1)线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(2)线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (3)面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．4．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念．7．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 8．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 9．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 10．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．11．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．三视图和直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．画直观图时，通常利用斜二测画法，即“横长不变，纵长减半，平行位置不改变，九十度画一半”．画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A. [答案] A平行、垂直问题(1)立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以证明线面平行；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可以证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行．(2)立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判定线面垂直，由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直，由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积． [解](1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ═∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT平面P AB ，M N 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 折叠与展开问题(1)把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题．解决折叠问题，要注意折叠前后的变量与不变量，折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．(2)常见的几何体中，除了球的表面无法展开在一个平面内，其余几何体的表面展开后，均为一个平面图形，由此产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题，转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法．已知在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且CG ＝2，沿直线CG 将△CDG 翻折成△CD ′G .求证：(1)EF ∥平面AD ′B ；(2)平面CD′G⊥平面AD′G.[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD′的中点，所以EF为△D′BC的中位线．所以EF∥D′B.又因为EF⊆/平面AD′B，D′B平面AD′B，所以EF∥平面AD′B.(2)在梯形ABCD中，因为G是AD的中点，BC＝12AD＝1，则AD＝2，所以DG＝1.又因为CD＝3，CG＝2，所以在△DGC中，DG2＋GC2＝DC2，所以DG⊥GC，即在四棱锥D′ABCG中，GC⊥D′G，GC⊥AG.因为AG∩D′G＝G，所以GC⊥平面AD′G.又因为GC平面CD′G，所以平面CD′G⊥平面AD′G.1．下列命题中，正确的是()A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确；B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①解析：选B.从所给的几何体的主视图，左视图可知其俯视图不可能是正方形和圆．3．在△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的关系是________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接AO，PO.因为PB＝PC，所以PO⊥BC.又△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，所以OA＝OB，且P A＝PB，所以Rt△POB≌Rt△POA，所以∠POA＝∠POB＝90°，即PO⊥OA，而OA∩BC＝O，所以PO⊥平面ABC，而PO平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.答案：垂直4．已知圆锥的底面周长为6π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为________．解析：设圆锥的底面半径为R，高为h，由已知得2πR＝6π，所以R＝3.于是12π＝1π·32·h，解得h＝4，3于是母线l＝42＋32＝5，所以侧面积S＝π×3×5＝15π.答案：15π5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．求证：(1)AC⊥PB；(2)PB∥平面AEC.证明：(1)因为P A⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以P A⊥AC，又因为AB⊥AC，而AB∩P A＝A，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)如图，连接BD，与AC相交于点O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是BD的中点．又点E是PD的中点，所以EO∥PB.因为PB⊆/平面AEC，EO平面AEC，所以PB∥平面AEC.6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解：如图，作出轴截面，因为轴截面是正三角形，根据切线性质，当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝1π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3.3将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V ′＝13π⎝⎛⎭⎫33h 2h ＝19πh 3.由V ＝V ′得h ＝315r .。
北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体
1．1简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．()[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[★答案☆]①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1]下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[★答案☆]C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[★答案☆]91．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[★答案☆]D2．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有()A．一条B．两条C．三条D．无数[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[★答案☆]D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[★答案☆]②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.[★答案☆] B2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[★答案☆] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[★答案☆] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[★答案☆] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[★答案☆] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[★答案☆]17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[★答案☆]228．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[★答案☆]①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.[★答案☆] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[★答案☆]C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[★答案☆]B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[★答案☆] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
北师大版高中数学必修二课后训练1.1.1简单旋转体.docx
课后训练1．关于下列几何体，说法正确的是( )．A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的( )．3．矩形ABCD(不是正方形)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．44．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是( )．5．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为( )．A．13 B．12C．5 D．246．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为__________．7．已知四边形ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB＞CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由________和________所构成的组合体．8．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是36π cm2，求球心与截面圆圆心的距离．9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．参考答案1答案：D 解析：图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2答案：A 解析：B 旋转后为两共底的圆锥；C 旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D 旋转后为两圆锥与一圆柱．3答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．4答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．5答案：C 解析：如图所示，d =.6答案：20 解析：圆柱的轴截面面积为l ×2r ＝5×2×2＝20.7答案：两个一样的圆锥 一个圆柱解析：根据旋转体的定义可知，该组合体是由两个一样的圆锥和一个圆柱拼接而成的． 8答案：解：设截面圆的半径为r cm ，球心与截面圆圆心的距离为d cm ，球的半径为Rcm.由已知得，πr 2＝36π，∴r ＝6(cm)．又∵R ＝10(cm)，∴d ==8(cm)．∴球心与截面圆圆心的距离为8 cm.9答案：解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．因为圆台上底面面积为4π cm 2，所以上底面半径为2 cm.又因为圆台下底面面积为25π cm 2，所以下底面半径为5 cm ，所以高为AM =．(2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，因为Rt△SAO 1∽Rt△SBO ， 所以1AO SA SB BO =，即1225l l -=， 解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。
高中数学必修二北师大版学案1.1 简单的旋转体(学生版)
课题：简单的旋转体☆学生版☆学习目标.能根据几何结构特征对空间物体进行分类.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.学习重点：感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.学习难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括..学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习问题：这些图形具有什么样的几何结构特征？你能对他们进行分类吗？问题；简单旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.（）球的旋转定义:（）球的集合定义:.注意! 球体与球面的区别：球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.球(即球体):球面所围成的几何体,它包括球面和球面所包围的空间问题；球的有关概念:①半圆的圆心叫做球心.一个球用它的球心字母来表示, 球.②连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的（线段).③连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的（线段).（）圆柱、圆锥、圆台的定义.三、合作探究★探究一：判断正误：（对的打√,错的打×.）.半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球. （）.在空间,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球.（）.球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面. （）.经过球面上不同的两点只能作一个大圆（）.球半径是,截面圆半径为,则球心到截面圆所在平面的距离为（）.★★探究二：已知一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为°，求该圆锥的高．四、课堂检测.给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )．．．．．下列几何体中，轴截面是圆面的是( )．圆柱．圆锥．球．圆台。
高中数学北师大版必修2 1.1 教学设计 《简单旋转体》(数学北师大必修二)
《简单旋转体》教学设计本课时编写：崇文门中学高巍巍教材分析:立体几何是认识我们生活的空间世界必须的常识性知识，是数学学科的重要分支。
本节是立体几何的起始课，最重要的是认识几何体，并了解柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征。
学生通过观察实物和图片，引导学生将观察到实物进行归纳、分类、抽象、概况，得出几何体的结构特征及其概念，构建空间想象能力。
这节课主要认识简单旋转体。
教学目标：【知识与能力目标】1、通过实物和图片，增强学生的直观感知。
2、能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3、会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
4、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
【过程与方法】1、学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
2、学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
【情感态度与价值观】1、学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
2、培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
教学重难点：【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
【教学难点】圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
课前准备：课件、学案、实物模型。
教学过程：一、课题引入：先请同学观察现实中的实物或建筑的图片，孩子了解认识到立体几何在生活中的应用。
它无处不在，与我们大家都息息相关.问题1：这些都是世界的知名建筑，是平面的还是立体的呢？那你觉得如果让你设计一个建筑你都应该学习哪些相关知识呢？问题2：小学与初中同学们研究过哪些几何图形,在空间范围内研究过哪些?问题3：下列实物图片都给你怎样几何体的形象？。
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§1简单几何体1．1简单旋转体1．旋转体(1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．2．球(1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心，如图中的O.连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，如图中的OA，OE等．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径，如图中的BC，EF等．(2)球的表示：用表示球心的字母表示球，如图中的球体表示为球O.3．圆柱、圆锥、圆台的比较名称定义相关概念图形表示圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在旋转轴上这条边的长度；圆锥以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线圆台以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()★答案☆：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列命题中正确的个数是()①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；②圆柱不是旋转体；③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．A．1B．2C．3 D．4解析：选B.①正确；②错误；③正确；④错误．故选B.3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形★答案☆：B4．给出下列命题：①球的半径是球面上任意一点与球心连成的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．正确命题的序号是________．解析：连接球心和球面上任意一点的线段，叫球的半径，显然①正确；球面上的两点连线经过球心时，这条线段才是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；④中的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．★答案☆：①1．剖析圆柱的结构特征(1)圆柱的底面是圆面而不是圆，且两个底面互相平行．(2)圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线相互平行且相等．(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面是全等的矩形．2．剖析圆锥的结构特征(1)底面是圆面．(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点．(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面是全等的等腰三角形．3．剖析圆台的结构特征(1)圆台的上、下底面互相平行且是不等的圆面．(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点．(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面是全等的等腰梯形．4．剖析球的结构特征球是旋转体，球面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．旋转体的概念及其结构特征判断下列说法是否正确，请说明理由：(1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；(2)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(3)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；(4)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．[解](1)正确．由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所以分别绕两条直角边旋转得到的两个圆锥的底面大小及母线长度、高等都相等，所以是两个相同的圆锥．(2)错误．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不能得到一个圆锥和一个圆台．(3)正确．由球的定义易知该说法正确．(4)正确．由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线．(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．1.(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()(2)一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解：(1)选B.这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆柱，故选B.(2)如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．旋转体中有关元素的计算问题(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为()A．2πB．πC．2 D．1(2)圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径分别为________、________.[解析](1)如图，轴截面ABCD的面积S＝AB×BC＝1×2＝2.故选C.(2)不妨设圆台上底面半径为r，下底面半径为2r，如图作出圆台的轴截面，并延长母线交于S，∠ASO＝30°.在Rt△SA′O′中，rSA′＝sin 30°，则SA′＝2r.在Rt△SAO中，2rSA＝sin 30°，则SA＝4r，有SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a，所以圆台的上、下底面半径分别为a，2a.[★答案☆](1)C(2)a2a在本例(2)条件不变的前提下，试求圆台的高．解：过A′作A′B⊥AO于B，则在Rt△A′BA中，A′A＝2a，由例题(2)解析中结论可知：AB＝2a－a＝a，解得A′B＝4a2－a2＝3a，即圆台的高是3a.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．2.(1)点O 1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过O 1与底面平行的截面面积是底面面积的( )A.13 B ．23C.14D ．19(2)将一个边长为a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积． 解：(1)选D.作出圆锥轴截面如图所示， 由题知SO 1∶SO ＝1∶3， 所以O 1B ∶OA ＝1∶3. 所以S ⊙O 1∶S ⊙O ＝1∶9.(2)设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝a ，r ＝a 2π，故轴截面的长为a ，宽为a π，面积为aπ·a＝a 2π.规范解答旋转体中的计算问题(本题满分12分)一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ； (2)当x 为何值时，S 最大？ [解](1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面半径为r cm ，则r 2＝6－x6，得r ＝6－x3，(3分) 所以S ＝－23x 2＋4x .(6分)(2)S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，(10分) 所以当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.(12分)处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高的关系是解题的关键点.处求S 最大值时容易失分，一是转化不对造成失分，二是不知如何求而失分.1．下列几何体是圆柱的是( )解析：选B.由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆面，可知选B. 2．下列说法正确的是( ) A ．圆锥的母线长等于底面圆直径 B ．圆柱的母线与轴垂直 C ．圆台的母线与轴平行 D ．球的直径必过球心 ★答案☆：D3．用一个平面截半径为5 cm 的球，球心与截面圆心之间的距离为4 cm ，则截面圆的周长为________cm.解析：设截面圆的半径为r cm ，依题意有r ＝ 52－42＝3，于是截面圆的周长为2π×3＝6π(cm)．★答案☆：6π4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线所在直线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm ，3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°， 则∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ， SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，所以x ＝7.所以圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长AA 1＝2OO 1＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm ，21 cm., [学生用书P85(单独成册)])[A 基础达标]1．关于下列几何体，说法正确的是( )A ．图①是圆柱B ．图②和图③是圆锥C ．图④和图⑤是圆台D ．图⑤是圆台解析：选D.图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( ) A ．圆柱 B ．圆台 C ．球体 D ．棱台★答案☆：D3．一条直线被一个半径为17的球截得的线段长为30，则球心到直线的距离为( ) A ．13 B ．12 C ．8D ．24 解析：选C.如图所示，所求距离d ＝172－152＝8.4．矩形ABCD (不是正方形)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．5．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线所在直线与旋转轴的夹角为30°，则圆锥的高为()A．10 3 cm B．20 3 cmC．20 cm D．10 cm解析：选A.圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h.这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.所以h＝20cos 30°＝10 3 cm.6．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为________．解析：圆柱的轴截面面积为5×2×2＝20.★答案☆：207．若把图(1)中的4个图形分别绕虚线旋转一周，能形成图(2)中的几何体，按顺序与1，2，3，4对应的几何体分别是图(2)中的________．★答案☆：a，d，b，c8.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm、最长80 cm，则斜截圆柱侧面展开图的面积S＝________cm2.解析：将侧面展开可得S＝12(50＋80)×40π＝2 600π(cm2)．★答案☆：2 600π9．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个几何体，试说明这个几何体的结构特征．解：如图所示，这个几何体是由一个圆锥和一个半球拼接而成．10．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长．解：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.[B能力提升]11．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确★答案☆为B.12．下图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．解析：几何体的上底面已经挖去，故②错．当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错．★答案☆：①⑤ 13.如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且P A ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．所以A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)． 过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．所以PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.14．(选做题)已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .因为△VA 1C 1∽△VMN ，所以2x 2r ＝h －x h， 所以2hx ＝2rh －2rx ，得x＝2rh2r＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.。