4地基中的应力

4.1 土的自重应力
层状地基土层竖向自重应力
σ cz = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 h3 + ... + γ n hn = ∑ γ i hi
i =1
n
γ1 γ2 γ3 γi γn
4.2 基底压力
中心荷载作用 偏心荷载作用
e<b/6
F +G p= A
p
max min
F +G M = ± A W F +G 6e = (1 ± ) A L b
2)矩形均布荷载任意点下应力 2)矩形均布荷载任意点下应力 I II 原面积＝I+II
I II
III IV
原面积＝I+II+III+IV
σ z = (α cI + α cII ) po
σ z = (α cI + α cII + α cIII + α cIV ) po
①必须使角点成为所划分各矩形的公共角点； ②划分矩形的总面积等于原有的受荷面积
s
八、条形面积受三角形分布荷载作用
σ z = f ( x / b, z / b) Pt = at Pt
s
地基中的附加应力
1、地表受竖向集中力作用 2、矩形面积受竖向均布荷载作用
p σ z = f (r / z ) P = 2 a z
σ z = f (l / b, z / b) P = ac P0
3、矩形面积受三角形分布的竖向荷载 σ z = f (l / b, z / b) Pt = atc Pt 4、条形面积受均布荷载作用 5、条形面积受三角形分布荷载作用
A点总应力： 点总应力： h1 h2 A
σ＝h1γ w + h2γ sat
A点孔隙水压力： 点孔隙水压力：
u = (h1 + h2 )γ w
A点有效应力 ： σ ' = h1γ w + h2γ sat − (h1 + h2 )γ w = h2γ sat − h2γ w
= h2 (γ sat − γ w ) = h2γ '
4.4 有效应力原理 Principle of Effective Stress
一、 Terzaghi试验 Terzaghi试验 甲：砂层不变形。 砂层不变形。 乙：砂层变形
钢球的重量＝ 钢球的重量＝水的重量 甲量筒中砂上表面压应力＝ 甲量筒中砂上表面压应力＝ 乙量筒中砂上表面压应力＝ 乙量筒中砂上表面压应力＝
六、矩形面积受三角形分布的竖向荷载作用
与矩形面积上均布荷载相似
dσ z = 3 po ( x ) z 3 2π ( x + y + z )
2 2 2 5 2
dxdy
荷载为零的角点下附加应力
σ z = f (l / b, z / b) Pt = atc Pt
七、条形面积受均布荷载作用
σ z = f ( x / b, z / b) P = a z P
四、多个集中力及不规则分布荷载作用 多个集中力作用情况（ 个集中力） 1、多个集中力作用情况（n个集中力） ——应用叠加原理 应用叠加原理
Fn 1 n Fi F1 F2 σ z = α1 2 + α 2 2 + ⋯ + α n 2 = 22 ∑ α i Fi z i =1 z 2 z z z z
等代荷载法——不规则分布荷载 2、等代荷载法 不规则分布荷载
二、 有效应力原理 有效应力：土颗粒间的接触应力在截面积上的 有效应力： 平均值。 平均值。记为 σ 或 σ '
σ = σ '+ u
饱和土中总应力为有效应力与孔隙水压力之和 土的强度与变形只取决于有效应力的变化， 土的强度与变形只取决于有效应力的变化， 与孔隙压力无关。 与孔隙压力无关。
三、 简单实例1 简单实例1
下降之后A 下降之后A点的竖向有效应力
γ'
σ 1 ' = (h1 + ∆h)γ + (h2 − ∆h)γ ' = h1γ + h2γ '+ ∆h(γ − γ ') = σ 0 '+ ∆h(γ − γ ')
可见：1）地下水下降—有效应力增加； 地下水下降—有效应力增加； 可见： 2）表明有效应力引起土变形； 表明有效应力引起土变形；
σ
z
3 Pz 3 = = 5 2π R
3Pz 3 2π ( r 2 + z )
5 2 2
3P σz = 2π
1 r 2 z 2 1 + z
5 2
p = 2 ⋅α z
其中： α =
3 2π
1 r 1 + z
2

5 2
①必须使角点成为所划分各矩形的公共角点； ②划分矩形的总面积等于原有的受荷面积
I II
III IV
I II
III IV
原面积＝(I+III)+(II+IV)-III-IV σ Z = [αc(I +III) +αc(II +IV ) −αcIII −αcIV ] p0
原面积＝(I+II+III+IV)-(II+IV) -(III+IV)+IV σ Z = [αc(I +II +III+IV ) −αc(II +IV) −αc( III+IV ) +αcIV ] p0
例如： 例如：油罐 土坝
刚性基础: 马鞍形、抛物线形、 刚性基础:则不同 马鞍形、抛物线形、钟形
荷载
变形地面
反力
(刚性基础基底压力分布) 刚性基础基底压力分布 刚性基础基底压力分布
例如：箱形基础 混凝土坝 例如：箱形基础
(2)荷载的影响 钟型—大小 (2)荷载的影响—马鞍型 抛物线型 钟型 大小 荷载的影响 —非均匀 分布 非均匀—分布
举例 某矩形地基， 2.0m， 1.0m，均布荷载p=100kpa 某矩形地基，长2.0m，宽1.0m，均布荷载p=100kpa 计算A 点下深度z=1.0m处的附加压力 计算A、E、O、F和G点下深度z=1.0m处的附加压力
D
0.5
I
C
H
J
0.5
O
K B
1.0 0.5
F
A
1.0
E
G
1. 同一深度处，离中心线越远，附加应力越小； 同一深度处，离中心线越远，附加应力越小； 2. 在竖直方向，埋深z越深，附加应力越小。 在竖直方向，埋深z越深，附加应力越小。
σz =
∫∫
0
l
b 2
3 po z 3 2π ( x + y + z )
2 2 5 2
0
dxdy
l z σ z = f ( , ) p = α c po b b
αc
M
l z = f ( , ) ——矩形均布荷载角点下应力系数， 矩形均布荷载角点下应力系数 矩形均布荷载角点下应力系数， b b
制成表格
e>b/6
p max
2( F + G ) = b 3l ( − e ) 2
沉 降
4.1 土的自重应力
Geostatic Stress\Pressure Stress\
一、定义 土体因有效自重作用产生的竖向应力，用 σ cz 土体因有效自重作用产生的竖向应力， 表示。 属于侧限应力状态。 表示。 属于侧限应力状态。
z dx dy
p
w p
二、 单一水平土层自重应力计算 任取土中一点，深度为z，在此点上取微元体， 任取土中一点，深度为z 在此点上取微元体， 微元体上表面应力即为竖向自重应力。 微元体上表面应力即为竖向自重应力。
z dx 土柱自重 由平衡条件 dy p w p
W = V ⋅ γ = z ⋅ dx ⋅ dy ⋅ γ
W＝P
微元体上表面应力
σ cz
p z ⋅ dx ⋅ dy ⋅ γ = = =γ ⋅z dx ⋅ dy dx ⋅ dy
三、水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
其中，K0称侧压力系数，又称静止土压力系数 其中， 称侧压力系数，
(1)基础相对刚度的影响 柔性基础，刚性基础 (1)基础相对刚度的影响—柔性基础， 基础相对刚度的影响 柔性基础 柔性基础:基底压力大小、 柔性基础:基底压力大小、分布状况与上部荷载 大小、分布状况相同。 大小、分布状况相同。
荷载
反力 变形地面
(柔性基础基底压力分布) 柔性基础基底压力分布 柔性基础基底压力分布
二、工程简化计算 中心荷载作用 F +G p= A 偏心荷载作用
p
max min
F +G M = ± A W F +G 6e (1 ± ) = A L b
b
b
M e= F+G
讨论e的大小： 讨论e的大小：当e>b/6时，Pmin<0
Pmin＝0
1 pmax .3k .l = F + G 2
k = b/2−e
四、层状地基土层竖向自重应力
σ cz = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 h3 + ... + γ n hn = ∑ γ i hi
i =1
n
γ1 γ2 γ3 γi γn
举例: 举例: P135 3.2
4.2 基底压力 Contact Pressure
一、基底压力分布 1、定义：基础底面与地基接触面的应力。 定义：基础底面与地基接触面的应力。 2、影响基底压力分布的因素 (1)基础相对刚度 (1)基础相对刚度 (2)荷载 (2)荷载 (3)土性 (3)土性 (4)上部结构 (4)上部结构 (5)基础埋深 (5)基础埋深