数学物理方程资料6

数学物理方程考点一. 分离变量法：知识点见课本1618P P -1.已知初边值问题：20000,0,000,sin 2tt xxx x x l t t t u a u x l t u u x u u l π====⎧⎪-=<<>⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩（1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；（2） 求此初边值问题的解。

解：（1）令 (,)()()u x t X x T t =（1.1），其中(,)u x t 不恒零，将其代入方程得到： ''2''()()()()0X x T t a X x T t -=将该式分离变量并令比值为λ-有： ''''2()()()()T t X x a T t X x λ==- 则有：''2()()0T t a T t λ+= （1.2） ''()()0X x X x λ+= （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 '(0)0,()0X X l == （1.4） ()I 当0λ<时，方程（1.3）的通解为12()X x C C e =+，由边界条件（1.4）知：1200C C C C +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ⇒ 120C C =⎧⎨=⎩()0X x ∴= 由（1.1）知：(,)0u x t =，0λ<应舍去；()II 当0λ=时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C x =+，由边界条件（1.4）知：120C C =⎧⎨=⎩ 同理0λ=应舍去；()III 当λ>0时，则方程的通解为：12X()x C C =+由边界条件(0)0X =知：10C = 即2()X x C =又由'()0X l =知：0C = ，令20C ≠，则0=即2n ππ=+ ，所以固有值为 2(21),0,1,2n n n l πλ+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦将其代入通解中，得到固有函数：(21)()sin,0,1,2n n n X x C x n lπ+==（２）将固有值n λ代入方程（1.2），可得到此方程的通解： (21)(21)()cossin ,0,1,22n n n n a n aT t A t B t n l lππ++=+=则原初边值问题的形式解为 ：(21)(21)(21)(,)()()(cossin )sin ,0,1,222n n n n n n a n a n u x t X x T t a t b t x n l l lπππ+++==+= 则：(21)(21)(21)(,)(cossin )sin ,0,1,222n n n n a n a n u x t a t b t x n l l lπππ∞=+++=+=∑ 由初始条件 00t u==，0sin2tt xu lπ== 知： 0n a =0204(21)(21)s i n s i n (21)2201,2ln l n n x x n a b dx n a l l n ππππ⎧=+⎪+==⎨+⎪=⎩⎰ ∴ 原初边值问题的解为： 2(,)sin sin (21)22l a xu x t t n a l lπππ=+二. 特殊方程的边界齐次化：知识点见2122P P -2.已知初边值问题：20000,0,0,0,0tt xx x x l t t t u a u x l t u A u B u u ====⎧-=<<>⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩将此定解问题的边界齐次化。

解：令 (,)(,)()u x t v x t w x =+ （1），则tt tt u v =，''xx xx u v w =+，故原初边值问题等价于22000''(0),()(),0tt xx x x l t t t v a v a w xv A w v B w l v w x v ====⎧-=+⎪⎪=-=-⎨⎪=-=⎪⎩ （I ）将定解问题（I ）边界齐次化，即令2''0(0)()a w x w A w l B ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩3222()()66x B A l w x x A a l a-⇒=-+++将()w x 代入（I ），则可得到边界齐次化后的初边值问题为：23200220(),0660tt xx t tt x x l v a v x B A l v x A v a l a v v ====⎧-=⎪⎪-=-+-=⎨⎪⎪==⎩ （II ）然后用分离变量法求初边值问题（II ）得到(,)v x t ，将其代入（1）式即可求出(,)u x t 。

三. 能量不等式证明解的唯一性：知识点见9495P P -3.证明方程2tt xx t u a u cu f =-+的初边值问题解的唯一性。

证明：假设此方程有两个不同解1u ，2u ，令12u u u =-，则(,)u x t 满足的定解问题为：200000,0tt xx t x x l t t t u a u cu u u u u ====⎧=-⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩一维波动方程的能量公式为： 2220()()ltx E t ua u dx =+⎰ 则有：20'()2()lt t tx x t E t u u a u u d x =+⎰()()22l t t t x t txxx uu a u uu u d x⎡⎤=+-⎣⎦⎰ ()()220220lt tt xx x t lu u a u dx a u u =-+⎰202l t cu dx =-⎰由0c >知：'()E t ≤０，能量()E t 是时间t 的减函数，又知初始时刻2220(0)()0lt x t E u a u dx==+=⎰又有 ()(0)0E t E ≤=，且 ()0E t ≥ ，则()0E t ≡ ，即有 0x t u u ==u C ∴≡ ，其中C 为常数． 又初始条件为 (,0)0u x =(,)0u x t ∴= 即 12u u =，此与假设矛盾，故该方程初边值问题解具有唯一性。

四. 给出物理背景，列出定解问题：4.长度为l 的均匀细杆的初始温度为0C 。

，端点0x =保持常温0u ，而在x l =和侧面上，热量可以发散到周围的介质去，介质的温度为0C 。

，且此杆单位体积内单位时间吸收热量与温度函数(,)u x t 成正比，比例为k ，且k>0,求杆上温度函数(,)u x t 所满足的定解问题。

解：杆上温度函数(,)u x t 所满足的定解问题为：2000,0,()00t xx x x l t u a v ku k u u u u n u δ===⎧=->⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪=⎩五. 利用傅立叶变换求解柯西问题（初值问题）：5.见课本5658P P -中“热传导方程柯西问题的求解”，该部分实际上就是一个例题，课后习题没有合适的例子，弄懂此例即可。

六. 格林函数：6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。

解：（1）格林函数公式（三维）为：G （M ，M 0）=14MM r π— g （M ，M 0） M ∈Ω其中函数g 满足的条件为：01|4MM g M g rπΓΓ∆=∈Ω⎧⎪⎨=⎪⎩式中Γ为区域Ω的边界曲面（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面Γ内M 0点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M 处产生的电势为14MM r π（不考虑电介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M 0将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M 处的电势 — g （M ，M 0），并且导电面上的电势恒等于0，即有|g Γ=014MM r πΓ七. 调和方程的验证：7.已知极坐标表示的函数(,)cos n u r r n θθ=，验证其满足调和方程。

解：由(,)u r θ的表达式知：r u =n 1n r -cos n θ rr u =n(n-1) 2n r -cos n θ u θ= -n n r sinn θ u θθ= -2n n r cos n θ则有xx u +yy u =rr u +1r r u +21r u θθ=n(n-1) 2n r-cos n θ+1r n 1n r -cos n θ+21r( -2n nr cos n θ) =[n(n-1)+n-2n ]2n r -cos n θ=0即xx u +yy u =0， 所以u （r, θ）满足调和方程八. 特征方程的化简：只须掌握二元双曲型方程8.见课本100P 例1。

九. 求二阶特征方程的的特征方向：9.求方程112233tt x x x x x x u u u u =++的特征方向。

解：设特征方向为（0123,,,αααα），则有特征方程为222212300αααα++-= 又知222212301αααα+++=，则有：2002222221231232112()12αααααααα⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪⎩++=⎪⎩ 令参数,θϕ，其中0θπ≤≤, πϕπ-≤≤，则此方程的特征方向为：(cos ,sin ,)2222θϕθϕθ或(cos ,sin ,)2222θϕθϕθ十. 一维达朗贝尔公式：知识点见课本10P10.见课本11P 例子。

十一.二阶线性偏微分方程的解的渐进性：11.在三大类方程中，哪两类方程具有解衰减性，其衰减的速度如何？答：1.波动方程解的衰减性：（1）初边值问题解及一维柯西问题解不具有衰减性；（2）在初始条件有紧支集时，二维柯西问题解以12t-速度衰减；（3）在初始条件有紧支集时，三维柯西问题解以1t -速度衰减。

2.热传导方程解的衰减性：（1）初边值问题以负指数的速度衰减； （2）初值问题以2n t-速度衰减，其中n 为空间变量的维数。

3.调和方程解与时间无关，故其解不具有衰减性。