2017年春季新版浙教版八年级数学下学期2.2、一元二次方程的解法同步练习3

配方法
1．用配方法解方程2x 2－7x ＋5＝0时，下列配方结果正确的是 ( A )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝916
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722
＝916 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝298 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722
＝298 【解析】 ∵2x 2－7x ＋5＝0，∴x 2－72x ＝－52
， ∴x 2
－72x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742
， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝916
，故选A. 2．方程3x 2＋2x －6＝0左边配成一个完全平方式所得的方程是
( B ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋262＝－1718 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3518 D.⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋262＝376 【解析】 方程两边同时除以3，得x 2＋23
x －2＝0， ∴x 2
＋23x ＝2，∴x 2＋23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫262
， ∴⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋262＝3718.故选B. 3．若关于x 的方程25x 2
－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为 ( A )
A ．－9或11
B ．－7或8
C ．－8或9
D ．－6或7
【解析】 根据题意知，－(k －1)＝±2×5×1，
∴k －1＝±10，即k －1＝10或k －1＝－10，
∴k ＝11或k ＝－9.
4．下列方程解法正确的是 ( D )
A ．4x 2＝36，所以x ＝3
B ．x 2＋4x ＋3＝0，可化为(x ＋1)2＝7
C ．3x 2－6x ＋15＝0，可化为(x －1)2
＝16 D ．2y 2－7y －4＝0，可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742
＝8116 【解析】 A 不正确，原方程可化为x 2＝9，∴x 1＝3，x 2＝－3；B 不正确，原方程可化为x
2
＋4x ＝－3，∴x 2＋4x ＋4＝－3＋4，∴(x ＋2)2＝1；C 不正确，原方程可化为x 2－2x ＋5＝0，
∴x 2－2x ＋1＝－5＋1，∴(x －1)2＝－4；D 正确．
5．代数式2x 2－x ＋3的值 ( A )
A ．总为正
B ．总为负
C ．可能为0
D ．都有可能 【解析】 2x 2－x ＋3 ＝2⎣
⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3 ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－116＋3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－18
＋3 ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －142
＋278＞0，故选A. 6．若2x 2－3x －7＝2(x －m )2＋n ，则m ＝__34__，n ＝__－658
__． 【解析】 2x 2－3x －7 ＝2⎣⎢⎡x 2－32x ＋ ⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342－7 ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－916－7＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－98－7 ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342
－658， ∴m ＝34，n ＝－658
. 7．解方程：2x 2－4x －3＝0.
移项，得2x 2－4x ＝__3__，
方程两边同除以2，得x 2－2x ＝__32
__． 配方，得x 2－2x ＋__1__＝__52__，
即(x －__1__)2＝52
. ∴x __－1__＝±
102， ∴x 1＝__1＋2，x 2＝__1－2
． 8．用配方法解方程：
(1)2x 2－7x ＋6＝0；
(2)4x 2－6x －3＝0；
(3)2x 2＋6x ＋1＝0.
解：(1)方程两边同时除以2，得 x 2－72x ＋3＝0，∴x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742
＝116，∴x －74＝±14， ∴x 1＝2，x 2＝32. (2)方程两边同时除以4，得x 2－32x ＝34
， ∴x 2－32x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342
， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＝2116
， ∴x －34＝±214
， ∴x 1＝21＋34，x 2＝3－214
. (3)∵2x 2＋6x ＋1＝0，
∴2x 2＋6x ＝－1，
∴x 2＋3x ＝－12
， ∴x 2＋3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322
， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝－12＋94， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322
＝74，
∴x ＋32＝±72
， ∴x 1＝－3＋72，x 2＝－3－72
. 9．[2013·自贡]用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.
解：∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，∴a ≠0，∴由原方程，得x 2＋b
a
x ＝－c a
， 等式的两边都加上⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2a 2
，得 x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2
， 配方，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝－4ac －b 2
4a 2， 当b 2－4ac ≥0时，开方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a ， 解得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2
－4ac 2a
. 当b 2－4ac <0时，原方程无实数根．
10．有一根20 m 长的绳子，怎样用它恰好围成一个面积为24 m 2的长方形？
解：设围成的长方形长为x m ，则宽为(10－x )m ，依题意，得x (10－x )＝24，
解得x 1＝4，x 2＝6，
∴10－x ＝6或4.
答：围成的长方形长为6 m ，宽为4 m.
11．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配成
( B )
A ．(x －p )2＝5
B ．(x －p )2＝9
C ．(x －p ＋2)2＝9
D ．(x －p ＋2)2＝5
【解析】 ∵x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，∴x 2－6x ＋q ＝0可以化为(x －p )
2－7＝0的形式，∴x 2－6x ＋q ＝2可以化为(x －p )2－7＝2的形式，即(x －p )2＝9，故选B.
12．不论x ，y 取任何实数，式子x 2＋y 2－2x ＋4y ＋9的值 ( B ) A ．总小于9
B ．总不小于4
C ．可为任何实数
D ．可能为负实数
【解析】 x 2＋y 2－2x ＋4y ＋9＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋4y ＋4)＋4＝(x －1)2＋(y ＋2)2＋4≥4，
故选B.
13．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c
d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝
ad －bc ，上述式子就叫做2阶行列式，若⎪⎪
⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，则x ＝． 【解析】 依题意，得(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6，
∴x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＋1＝6，∴2x 2＝4，∴x 2＝2，
∴x ＝± 2.
14. 若关于x 的一元二次方程x 2＋3(m ＋1)x ＋9＝0的左边是完全平方式，则m ＝__1或－3__．
【解析】 x 2＋3(m ＋1)x ＋9＝0，即x 2＋3(m ＋1)x ＋32＝0，∵方程左边是完全平方式，∴3(m ＋1)＝6或3(m ＋1)＝－6，解得m ＝1或m ＝－3.
15．一个直角三角形的两条直角边长相差5 cm ，面积是7 cm 2，求斜边长．
解：设直角三角形中较长直角边长为x cm ，则另一条直角边长为(x －5)cm ，依题意，得 12
x (x －5)＝7， 解得x 1＝7，x 2＝－2(舍去)，
∴x －5＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为2 cm ，7 cm ，
∴直角三角形的斜边长为22＋72
＝53(cm)．
16．[2013·达州]选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配
方．例如：
①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；
②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；
③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.
根据上述材料，解决下面问题：
(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；
(2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．
解：(1)(x －4)2－12或(x ＋2)2－12x 或(x －2)2－4x 或(2x －2)2－3x 2
(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0， 配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋34
(y －2)2＝0， ∴x ＋12
y ＝0，y －2＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝1.。