线性代数的应用
线性代数的应用与发展
线性代数的应用与发展线性代数是数学的一个重要分支，它广泛应用于物理、工程学、计算机科学等各个领域。
它的应用范围越来越广泛，同时也在不断的发展中。
本文将主要介绍一些线性代数的应用和近年来的发展。
一、机器学习机器学习是近年来颇为热门的一个领域，而线性代数则是机器学习中不可或缺的基础。
机器学习通常需要处理大量的数据，而线性代数提供了处理高维数据的方法。
比如，在监督学习中，训练数据通常表示为一个矩阵，而线性代数提供了各种矩阵操作，如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵转置等，这些操作在机器学习中都扮演着重要的角色。
二、信号处理信号处理是一种将信号转换为有用信息的技术，它涉及到许多线性代数的概念和方法。
在信号处理中，缺的概念有：向量、矩阵、线性变换等。
例如，在数字信号处理中，经常需要对信号进行傅里叶变换，而傅里叶变换本身就是一种线性变换，可以用矩阵来表示。
除此之外，线性代数还提供了许多其他的工具，如奇异值分解、广义逆运算等，用于解决信号处理过程中遇到的各种问题。
三、控制工程控制工程是一种设计和分析控制系统的学科，同样也需要广泛使用线性代数的知识。
在控制系统设计中，通常需要建立一个数学模型来描述被控对象的行为，这个模型通常是由微分方程或差分方程组成的，其中线性方程组就是一个重要的例子。
通过使用线性代数的理论，可以对这些方程进行求解和分析，得到控制系统的稳定性、性能等相关指标。
四、应用举例除了上述三个领域之外，线性代数在各个领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，线性代数用于描述和操作3D物体的变换。
又如，在金融学中，线性代数用于建立投资组合模型，分析不同证券的风险和收益等。
总之，线性代数是一门广泛应用于各种学科领域的数学学科。
五、发展趋势近年来，随着数据科学、机器学习、人工智能等领域的发展，对线性代数的研究也日益加深。
一些新的分支和发展方向正在涌现。
例如，在非线性代数中，研究非线性系统的性质和特点；在随机线性代数中，研究包含随机矩阵的线性代数问题等等。
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
线性代数在日常生活中的应用
线性代数在日常生活中的应用
线性代数是数学中一门重要的分支，它研究向量空间和线性变换。
它在很多领域中都有广泛的应用，其中一些日常生活中的应用包括:
1.机器学习: 线性代数在机器学习中有着重要作用。
比如矩阵分解，特征值分解和奇异值分解等都是机器学习中常用的技巧。
2.图像处理: 在图像处理中，线性代数经常被用来表示图像的尺度、旋转和平移变换。
它还被用来处理图像的压缩和去噪。
3.数值分析: 线性代数在数值分析中被用来解决线性方程组。
矩阵乘法和矩阵分解是常用的求解方法。
4.统计学: 线性代数在统计学中被用来处理多元数据。
例如主成分分析就是使用线性代数方法来对高维数据进行降维处理。
5.游戏开发: 线性代数在游戏开发中被用来表示三维空间中的对象的位置和运动。
矩阵乘法用来进行平移、旋转、缩放变换。
6.工程学: 线性代数在工程学中被用来解决结构力学中的问题。
矩阵乘法可以用来计算结构的应力和应变。
矩阵分解技术可以用来对结构进行有限元分析，求解结构在不同荷载下的反应。
7.财务: 线性代数在财务中被用来处理股票收益率的数据。
矩阵乘法可以用来计算资产配置的最优解，帮助投资者制定最佳的投资策略。
8.电子商务: 线性代数在电子商务中被用来处理用户行为数据。
主成分分析可以用来对用户进行分类和聚类，有助于更好的推荐商品和广告。
线性代数是一门重要的数学学科，其理论和方法被广泛应用于许多不同领域。
线性代数在日常生活中随处可见，从机器学习到图像处理、从游戏开发到工程学, 帮助人们解决各种复杂的问题。
应用线性代数解决实际问题
应用线性代数解决实际问题线性代数作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等。
它不仅是数学家们研究的重要工具，更是解决实际问题的有效途径。
本文将通过具体案例，介绍线性代数在实际问题中的应用，从而展示其强大的解决能力。
案例一：网络流量优化现代社会离不开互联网，而网络流量的优化是提高互联网服务质量的重要问题之一。
假设我们有一组服务器，每个服务器的带宽和消耗成本有所不同，现在需要将用户的请求合理地分配到这些服务器上，以最大化带宽利用率并最小化消耗成本。
这就可以转化为一个线性代数中的线性规划问题。
首先，我们可以用一个向量表示服务器的带宽，用另一个向量表示服务器的消耗成本。
设请求到达的向量为x，那么我们的目标就是最大化带宽利用率和最小化消耗成本，可以构建如下优化模型：maximize cᵀx subject to Ax ≤ b其中，c是服务器的消耗成本向量，x是请求到达的向量，A是服务器带宽的矩阵，b是服务器的带宽上限。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最佳的请求分配方案，从而实现网络流量的优化。
案例二：图像处理线性代数在图像处理中有着广泛的应用。
以黑白图片为例，可以将其表示为一个矩阵，其中的元素代表每个像素点的灰度值。
通过矩阵的加减、乘除运算，以及线性变换等操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等处理效果。
举个例子，假设我们想要将一张黑白图片的亮度增加一倍。
我们可以将这张图片表示为一个矩阵A，然后构造一个倍增矩阵B，即每个元素都是2。
通过这两个矩阵的乘法运算，即可实现亮度的增加。
这个过程可以用下面的表达式表示：A' = BA其中，A'表示亮度增加后的图像矩阵。
通过线性代数的运算，我们可以方便地实现图像处理中的各种效果。
总结线性代数作为数学的重要分支，具有广泛的应用领域。
本文通过网络流量优化和图像处理两个具体案例，展示了线性代数在实际问题中的应用。
线性代数的强大解决能力不仅能帮助我们解决现实生活中的问题，同时也为我们提供了一种思维方式和方法论。
线性代数的应用与拓展
线性代数的应用与拓展线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，它不仅在数学领域具有重要地位，还在其他学科和实际应用中得到广泛应用。
本文将探讨线性代数在不同领域中的应用，并拓展其在现实生活中的实际用途。
一、图像处理中的线性代数应用图像处理是应用线性代数的重要领域之一。
在图像处理中，每个像素可以表示为一个向量，而整幅图像可以表示为一个矩阵。
通过矩阵运算和线性变换，可以实现图像的旋转、缩放、镜像等操作。
此外，线性代数还可以用于图像压缩和去噪处理，例如使用奇异值分解（SVD）对图像进行压缩和恢复。
二、数据分析和机器学习中的线性代数应用在数据分析和机器学习领域，线性代数是构建和优化模型的基础。
线性回归、主成分分析（PCA）和聚类分析等常用的数据分析方法都建立在线性代数的基础上。
矩阵和向量运算被用于定义损失函数、求解优化问题和进行参数估计。
此外，通过矩阵分解和特征值分解等方法，可以提取数据的主要特征和模式，进而实现模型的降维和分类。
三、网络分析中的线性代数应用网络分析是研究和分析复杂网络结构和关系的领域，线性代数在此领域中有着广泛的应用。
通过将网络表示为邻接矩阵或关联矩阵，可以利用矩阵运算和特征分解方法来研究和预测网络的特性和行为，例如识别社交网络中的重要节点、寻找网络的社区结构等。
矩阵代数还可以用于分析流体动力学、电路网络和量子力学等领域中的复杂系统。
四、密码学中的线性代数应用密码学是研究保护信息安全和实现加密通信的学科，线性代数在密码学中起着重要的作用。
矩阵乘法和向量空间是密码学中常用的运算和基本概念。
例如，利用矩阵乘法和模运算可以实现公钥密码算法中的加密和解密操作。
此外，矩阵和向量的线性相关性可以用于判断密码算法的安全性和强度。
总结起来，线性代数的应用领域广泛，不仅包括数学和工程学科，还渗透到了各个领域的实际问题中。
通过运用线性代数的知识和方法，可以解决复杂的问题、优化系统性能，并在现实生活中发挥重要作用。
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它的应用涵盖了各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
在现实生活中，我们经常会遇到很多与线性代数相关的问题，下面将介绍一些线性代数在实际应用中的案例。
1. 图像处理。
图像处理是线性代数的一个重要应用领域。
在图像处理中，我们常常需要对图像进行旋转、缩放、平移等操作。
这些操作都可以通过矩阵运算来实现。
例如，对一个二维图像进行旋转操作，可以通过矩阵乘法来实现。
另外，图像的压缩和解压缩也离不开线性代数的知识，通过矩阵的奇异值分解等方法可以实现图像的压缩和还原。
2. 机器学习。
机器学习是近年来发展迅猛的领域，而线性代数在机器学习中起着至关重要的作用。
在机器学习中，我们通常会遇到大量的数据，而这些数据往往可以表示为矩阵的形式。
通过对这些矩阵进行运算，可以实现对数据的分析、分类、预测等操作。
例如，在线性回归模型中，我们通常会使用矩阵的转置、逆等运算来求解模型的参数。
3. 电路分析。
在电路分析中，线性代数也有着重要的应用。
电路可以表示为一个由电阻、电容、电感等元件组成的网络，而这些元件之间的关系可以通过线性方程组来描述。
通过对这些线性方程组进行求解，可以得到电路中电流、电压等参数的值，从而实现对电路的分析和设计。
4. 三维动画。
在三维动画的制作过程中，线性代数也扮演着重要的角色。
在三维空间中，我们需要对物体进行平移、旋转、缩放等操作，而这些操作都可以通过矩阵来实现。
另外，在三维动画中，我们还需要对光照、阴影等效果进行处理，而这些效果的计算也离不开线性代数的知识。
5. 数据压缩。
数据压缩是线性代数的又一重要应用领域。
在现实生活中，我们经常会遇到大量的数据，而这些数据往往会占用大量的存储空间。
通过线性代数的方法，我们可以对这些数据进行压缩，从而节省存储空间。
例如，通过矩阵的奇异值分解等方法，可以实现对数据的压缩和还原，从而达到节省存储空间的目的。
总之，线性代数在各个领域都有着重要的应用，它不仅为我们解决了许多实际问题，也为我们提供了丰富的数学工具和方法。
线性代数在日常生活中的应用
线性代数在日常生活中的应用线性代数是数学中的一个分支，研究向量空间和线性映射的理论和方法。
虽然线性代数在数学领域中具有重要的地位，但它的应用不仅限于数学领域，而且在日常生活中也有广泛的应用。
本文将探讨线性代数在日常生活中的几个应用领域。
一、图像处理中的线性代数图像处理是现代生活中常见的应用领域之一。
在图像处理中，线性代数被广泛应用于图像的压缩、增强和恢复等方面。
首先，图像的压缩是通过线性代数中的矩阵运算来实现的。
例如，JPEG压缩算法中使用了离散余弦变换（DCT），将图像分解为一系列频域系数，然后通过量化和编码来实现图像的压缩。
DCT的计算过程涉及到矩阵的乘法和逆变换，这正是线性代数的核心内容。
其次，图像的增强也离不开线性代数的应用。
例如，通过调整图像的对比度和亮度，可以改善图像的视觉效果。
这可以通过线性代数中的矩阵变换来实现，如亮度矩阵和对比度矩阵的线性组合。
最后，图像的恢复是指通过处理失真或受损的图像，使其恢复到原始状态。
在图像恢复中，线性代数的技术可以用于估计和补偿图像中的噪声和失真。
例如，通过最小二乘法来拟合损坏图像中的缺失数据，从而恢复出完整的图像。
二、网络流量优化中的线性代数网络流量优化是指在网络通信中，通过优化数据传输的路径和带宽分配，以实现网络资源的最优利用和性能的最大化。
线性代数在网络流量优化中发挥了重要作用。
首先，线性代数的矩阵运算可以用于表示和计算网络中的连接矩阵。
连接矩阵描述了网络中节点之间的连接关系和传输通道的带宽情况。
通过对连接矩阵进行线性代数运算，可以确定网络中的最优路径和带宽分配，从而实现网络流量的优化。
其次，线性代数的特征值和特征向量可以用于分析网络中的节点和传输通道的稳定性和性能。
例如，通过计算连接矩阵的特征值和特征向量，可以评估网络中的瓶颈节点和瓶颈通道，从而采取相应的措施进行优化。
最后，线性代数的最优化方法可以用于解决网络流量优化中的优化问题。
例如，通过线性规划和凸优化等方法，可以确定网络中的最优路径和带宽分配，以最大化网络资源的利用率和性能的提升。
线性代数的应用
线性代数的应用线性代数是数学的一个分支，研究线性方程组、矩阵、向量空间等概念和性质。
它在许多领域中都有广泛的应用，如计算机图形学、机器学习、物理学等。
本文将介绍线性代数在这些领域中的应用，并探讨其重要性和影响。
1. 计算机图形学中的应用计算机图形学是通过计算机生成和处理图像的学科，它广泛应用于电影制作、游戏开发、虚拟现实等领域。
在计算机图形学中，线性代数被广泛应用于处理三维空间中的图像和对象。
例如，使用线性变换可以进行图像的平移、旋转、缩放等操作，而这些操作都可以通过矩阵运算来实现。
此外，线性代数还能够用于计算光线的折射、反射等特性，从而实现逼真的光影效果。
2. 机器学习中的应用机器学习是人工智能的一个重要分支，旨在通过对大量数据的学习和分析，使计算机能够具备自主学习和决策的能力。
在线性代数中，矩阵和向量的运算是机器学习算法的核心。
例如，在线性回归中，可以使用矩阵乘法来求解最优拟合直线；在聚类分析中，可以使用向量空间模型来度量文本之间的相似度。
因此，线性代数在机器学习领域中扮演着至关重要的角色。
3. 物理学中的应用物理学是研究物质、能量与宇宙的学科，它的发展离不开数学的支持。
线性代数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，哈密顿算子可以用一个厄米矩阵来表示，从而将物理问题转化为矩阵的本征值和本征向量的求解问题；在电磁学中，可以使用向量的叉乘和点乘运算来描述电磁场的性质和行为。
通过线性代数的应用，物理学家们能够更深入地理解和研究宇宙的奥秘。
线性代数的应用不仅仅局限于上述领域，它还被广泛运用于信号处理、金融数学、生物学等众多学科和领域中。
它的重要性在于它提供了一种抽象和统一的数学语言，能够简化和解决许多实际问题。
通过矩阵和向量的运算，我们能够对复杂的数据和系统进行建模、分析和优化，从而推动科学技术的发展和进步。
总结起来，线性代数作为一门重要的数学学科，在计算机图形学、机器学习、物理学等领域中都有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数的应用药学院 77-1K 药学五班 陈凯 10101502摘要 线性代数（Linear Algebra ）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。
尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。
我们在生活中会遇到很多问题都可以用线性代数的知识来解决。
关键字 线性代数、数学、应用、解决问题。
在线性代数课上，听到最多的一个词莫过于矩阵了。
何为矩阵？矩阵实质上就是一张长方形数表。
无论是在日常生活中还是在科学研究领域中，矩阵都是一种十分常见的数学现象，诸如学校里的课程表、成绩优异表；工厂里的生产进度表、销售统计表；车站里的时刻表、价目表；股市中的证劵价目表；科学研究领域的数据分析表等，它是表达或处理大量的生活、生产与科研问题的有力工具。
矩阵的重要作用首先在于它能把头绪纷繁的事物按一定的规则清晰的展现出来，使我们不至于被一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向；其次在于它能恰当的刻画事物之间的内在联系；最后在于它还是我们求解数学问题的一种特殊的“数形结合”的途径。
矩阵概念的应用十分广泛，某些逻辑判断问题的条件往往给的很多，看上去错综复杂，但如果我们能恰当的设计一些矩阵，这有助于我们把所给条件的头绪理清，在此基础上再进行推理，能达到化简问题的目的。
如以下问题：甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多，因此，五人总是同时交换书，经四次交换后，他们五人读完了这五本书，现已知：⑴甲最后读的书是乙读的第二本书；⑵丙最后读的书是乙读的第四本书；⑶丙读的第二本书甲在一开始就读了；⑷丁最后读的书是丙读的第三本书；⑸乙读的第四本书是戊读的第三本书；⑹丁第三次读的书是丙一开始读的那本书。
试根据以上情况下说出丁第二次读的书是谁最先读的书。
解：设甲、乙、丙、丁、戊最后读的书代号依次为A 、B 、C 、D 、E ，则根据条件可以列出下列初始矩阵:甲 乙 丙 丁 戊1 2 3 4 5 上述矩阵中X ，Y 表示尚未确定的书名代号，同一字母代表同一本书。
由题意知，经五次阅读后，乙将五本书全部阅读了，则从上述矩阵可以看出，乙第三次读的书不可能是A 、B 或C ，另外，由于丙在第三次读的书是D ，所以乙X YA XD Y CCA B C D E第三次读的书不可能是D ，因此，乙第三次读的书是E ，从而乙第一次读的书是D ，同理可推出甲第三次读的书是B ，因此上述矩阵中的Y 为A ，X 为E ，由此可得到各个人的阅读顺序，如下述矩阵所示：甲 乙 丙 丁 戊1 2 3 4 5由此矩阵可知，丁第二次读的书是戊一开始读的那一本书①。
利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，Matrix67就给出了一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：是否存在不全相等的2n+1个数x1,x2,⋯,x2n+1，使得任意删除一个数，剩下2n 个数可以均分为2组，每组n 个数的和都相等。
如果限定xi 是整数，这就是一个简单的高中（初中？）数学竞赛中的数论题，由于2n+1个数，任意去掉一个数剩下的数的和都是偶数，这意味着所有2n+1个数的奇偶性相同。
如果它们都是偶数，那么将它们都除以2，如果都是奇数，将它们减一再除2。
这样操作之后得到的数仍然满足上面的条件，这样经过若干步之后所有数都相等（等于0或者-1），这意味着原来的原来的2n+1个数必然全部相等。
很可惜，如果不要求xi 是整数，上面的证明就失效了。
但利用线性代数里的一些简单事实，我们很快就能得出同样的结论，这样的ai 必然全部相等。
记x 为列向量(x1,x2,⋯,x2n+1)，假设去掉xi 之后，剩下来的数可以分为和相等的两等分子集，那么存在行向量ai 使得aix=0，其中ai 的第i 个位置为0，其余2n 个元素恰好有n 个1和-1。
令矩阵A=[ai]，其中ai 是A 的第i 行。
那么Ax=0，我们证明x 的所有元素都必然相等。
令J 为同样大小的全1矩阵，那么A+J 除了对角线上都是1之外，其余位置都是偶数，这样矩阵行列式det(A+J)的表达式中有一个唯一的奇数，这意味着det(A+J)≠0，从而rank(A+J)=n ，所以rank(A)≥rank(A+J)−rank(J)=n −1。
故Ax=0至多一个非零解，可验证x=(1,1,⋯,1)就是它的唯一解②。
在当今信息社会里，网络将全世界联系了起来。
人们可以从网络上获得大量的信息，比如：要获得2010年上海世博会的相关信息，可以在Google 搜索栏里输入“世博会”三个字，这样便可以得到大约32000000个相关的网页，提问“这些网页是按怎样的顺序排列显示的呢？”当然，这里也牵扯到了线性代数的知识。
其实，Google 显示网页的顺序是通过PageRank 排序算法得到的。
PageRank 排序算法是由Sergey Brin 和Larry Page 于1998年在美国斯坦福大学创建的，他们认为衡量网页的重要性应基于两点：（1）得票数量：得票越多，重要性越高。
（2）得票质量：评估每个投票网页的重要性，重要性较高的网页投出的票被认为具有较高的价值。
网页的投票是通过超链接产生的，若有一个从A 到B 的超链接，可以认为网页A向网页B 投了一次票。
如果设矩阵的第i 行，表示第i 个网页的投票情况；矩阵的第j 列，表示第j 个网页的得票情况；并设每个网页所投出的票都为单位1。
则在Pajek 软件中，对于表1所示的超链接就可以构成一个简单的网络图1，A 、B 、C 分别表示三个网页。
并可以得到一个矩阵 。
若xk （xk ≥0，k ＝1，2，3）E D A C BC A E B DB E D A CD C BE AA B C D E分别表示网页A 、B 、C 的重要性，则从矩阵B 的列可以得到：在得票数量方面，网页A 得到了网页C 一半的投票；网页B 得到了网页A 一半和网页C 一半的投票；网页C 得到了网页A 一半和网页B 全部的投票；在每个网页的得票质量方面，PageRank 排序算法给出了一个界于［0，1］的阻尼系数λ。
这样，在综合了网页的得票数量和得票质量后便可得到衡量网页重要性的方程：即矩阵方程Ax ＝λx ，其中，A ＝BT ，x ＝（x1，x2，x3）T ③。
当然，线性代数在经济领域中也有很大的作用。
例如，某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？解：设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1）即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,000000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1. 表4.1 投入产出分析表 单位：元计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 正因为有了线性代数的帮助，才使得我们能更加认清经济效益，为经济的决策提供了一个有力的参考。
线性代数在各个领域都有很大的应用，甚至于和我们的生活息息相关，学习线性代数不仅是在学习知识，同时也在逐步培养我们具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还有培养我们具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。
所以，我们要好好学习线性代数，为将来的应用打下坚实的基础。
煤矿11c 12c 13c 1y 1x 电厂21c 22c 23c 2y 2x 铁路31c 32c 33c 3y 3x 总投入 1d 2d 3d 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02 总投入 51043.74 42122.27 18414.52①吴赣昌•线性代数（医药类）•中国人民大学出版社•2009.7②一个线性代数的应用实例/blog/scribble/a-simple-application-of-linear-algebra.html.2012.5.12③线性代数教学中M3+2教学模式的应用/science/mathematics/linear/201201 /65502.html.2012.5.13。