黑龙江省龙东地区中考数学试卷

合集下载

2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题试题及答案

2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题试题及答案黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列运算中，计算正确的是（）A ．()222b a b a -=-B ．326a a a ⋅=C ．()224x x -=D ．623a a a ÷=2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A ．181B ．175C ．176D ．175.54．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A ．7B ．8C ．9D ．105．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．96．已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠7．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A ．5B ．6C ．7D ．88．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-9．如图，ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC △的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．310．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．12．在函数y =x 的取值范围是________．13．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌△△．14．在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．15．若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -<⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则a 的取值范围是________． 16．如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm ．17．若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．18．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．19．在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE △是直角三角形，则BP 的长为________．20．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，422OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B △，22OA B △，13OA B △，14OA B △的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……则2022S =________．三、解答题（满分60分）21．（本题满分5分）先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．22．（本题满分6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC △先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23．（本题满分6分）如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC △的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．24．（本题满分7分）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x <B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤< E组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了________名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25．（本题满分8分）为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是________km/h ，乙车出发时速度是________km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．26．（本题满分8分）ABC △和ADE △都是等边三角形．（I ）将ADE △绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立（不需证明）；（2）将ADE △绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE △绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27．（本题满分10分）学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．（1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．（1）求点C 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP △是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，满分30分）1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．B二、填空题（每小题3分，满分30分）11．81.8910⨯ 12．32x ≥ 13．OB OD =（符合题意即可）14．1315．2a ≥ 16． 17．53 1819．313或154或6 20．2三、解答题21．（本题满分5分）解：原式22222211121111211211a a a a a a a a a a a a ⎛⎫--+-+=-⋅=⋅= ⎪------⎝⎭当2cos3011a =︒+=时原式==22．（本题满分6分）（1）画出正确的图形()15,3A -（2）画出正确的图形()22,4A（3）解：∵115AC ==∴点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802⨯=23．（本题满分6分）解：（1）∵抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -，点()2,3B - ∴10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--（2）存在()11P ，()21P24．（本题满分7分）解：（1）100（2）补全统计图如图所示（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100⨯︒=︒ （4）5201500375100+⨯=（人）答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人25．（本题满分8分）解：（1）100 60（2）设()0y kx b k =+≠根据题意，得9300120k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1001200k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+（3）3，6.3，9.126．（本题满分8分）（2）图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF∵ABC △和ADE △都是等边三角形∴AB AC =，AD AE = 60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠∴BAD CAE ∠=∠∴BAD CAE ≌△△ ∴ABD ACE ∠=∠∴CAP BAF ≌△△∴CAP BAF ∠=∠ AF AP =∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠∴60FAP BAC ∠=∠=︒∴AFP △是等边三角形∴PF AP =∴PA PC PF BF PB +=+=（3）图③结论：PA PB PC +=27．（本题满分10分）解：（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1015x y =⎧⎨=⎩ 答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元．（2）根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩解得2325.4m ≤≤ ∵m 为整数∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根（3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+ ∵50-<∴w 随m 的增大而减小∴当25m =时525675550=-⨯+=（元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．28．（本题满分10分）解：（1）27120x x -+=解得13x =，24x =∵OA OB <∴3OA =，4OB =∵4tan 3DAB ∠=∴43OD OA =∴4OD = ∵四边形ABCD 是平行四边形∴347DC AB ==+= DC AB ∥∴90ODC AOD ∠=∠=︒∴点C 坐标为()7,4（2）①当07t <时()117414222S CP OD t t =⋅=-⋅=- （2）当712t <时过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F5AD ===第11页（共11页） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴5BC AD ==∵BC AF AB OD ⋅=⋅∴574AF ⋅=⨯∴285AF = ()11281498722555S CP AF t t =⋅=-⋅=- ∴()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩（3）存在()14,4p ，29,42p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，359,412p ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

黑龙江省龙东地区中考数学试卷

黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为吨．2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．4．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球个．5．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．6．（3分）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费元．7．（3分）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．8．（3分）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为cm．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．10．（3分）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2017坐标为．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b212．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．13．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或714．（3分）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，1315．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．16．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y217．（3分）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤118．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE +PD 的最小值是（）A ．2B ．2C ．4D ．19．（3分）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种20．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=FD ，连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（）①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标．（2）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标．（3）画出△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出A 3的坐标．23．（6分）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．24．（7分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．25．（8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？26．（8分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．27．（10分）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？28．（10分）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x 轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）（2017•黑龙江）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为8×1010吨．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：800亿=8×1010．故答案为：8×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2017•黑龙江）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可），使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（3分）（2017•黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球5个．【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5．（3分）（2017•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1．【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a的取值范围．【解答】解：由x﹣a＞0得，x＞a；由1﹣x＞x﹣1得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）（2017•黑龙江）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费39.5元．【分析】先根据单价×数量=总价求出10吨的水费，再根据单价×数量=总价加上超过10吨的部分的水费，再把它们相加即可解答．【解答】解：2.2×10+（2.2+1.3）×（15﹣10）=22+3.5×5=22+17.5=39.5（元）．答：应交水费39.5元．故答案为：39.5．【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出算式，再求解．7．（3分）（2017•黑龙江）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O 交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．【分析】由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COA﹣S△COA可求得答案．【解答】解：如图，过O作OE⊥CA于点E，∵DB为⊙O的切线，∴∠DBA=90°，∵∠D=30°，∴∠BOC=60°，∴∠COA=120°，∵OC=OA=4，∴∠OAE=30°，∴OE=2，CA=2AE=4∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA=﹣×2×4=π﹣4，故答案为：π﹣4．【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA 的面积是解题的关键．8．（3分）（2017•黑龙江）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为2+4πcm．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥周长=弧长+2母线长．【解答】解：∵圆锥的底面半径是2，高是3，∴圆锥的母线长为：=，∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2×+2π×2=2+4π．故答案为2+4π．【点评】本题考查圆锥的计算，明确圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，并熟练掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形．9．（3分）（2017•黑龙江）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．10．（3分）（2017•黑龙江）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2017坐标为（（）2016，0）．【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A2016在x 轴的正半轴上，再规律得到OA2016=（）2015，然后表示出点A2017坐标．【解答】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A2016在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，OA4=（）3，…OA2016=（）2015，∴点A2017坐标为（（）2016，0）．故答案为（（）2016，0）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各点到原点的距离和点的位置的循环规律．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（2017•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6b3，不符合题意；B、原式=27a6，符合题意；C、原式=x4，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选B【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2017•黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】利用中心对称图形与轴对称图形性质判断即可．【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选A【点评】此题考查了中心对称图形，以及轴对称图形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．13．（3分）（2017•黑龙江）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．14．（3分）（2017•黑龙江）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据中，13出现了10次，出现次数最多，所以众数为13，第15个数和第16个数都是14，所以中位数是14．故选C．【点评】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．也考查了条形统计图．15．（3分）（2017•黑龙江）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化；当甲池中水到达连接的地方，乙水池中水面上升比较快；当两水池水面持平时，乙水池的水面持续增长较慢，最后两池水面持平后继续快速上升，故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16．（3分）（2017•黑龙江）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）（2017•黑龙江）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3∴x=，由于该分式方程有解，令x=代入x﹣3≠0，∴a≠9，∵该方程的解是非负数解，∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9，故选（C）【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．18．（3分）（2017•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E 分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD=，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2，故选B．【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．19．（3分）（2017•黑龙江）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因为x 是正整数，所以当x=2时，y=7．当x=5时，y=5．当x=8时，y=3．当x=11时，y=1．即有4种购买方案．故选：A ．【点评】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．20．（3分）（2017•黑龙江）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=FD ，连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（）①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】首先证明△ABE ≌△DCF ，△ADG ≌△CDG （SAS ），△AGB ≌△CGB ，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD ，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE 和△DCF 中，，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠ABE=∠DCF ，在△ADG 和△CDG 中，，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠DAG=∠DCF ，∴∠ABE=∠DAG ，∵∠DAG +∠BAH=90°，∴∠BAE +∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG ⊥BE ，故③正确，同法可证：△AGB ≌△CGB ，∵DF ∥CB ，∴△CBG ∽△FDG ，∴△ABG ∽△FDG ，故①正确，∵S △HDG ：S △HBG =DG ：BG=DF ：BC=DF ：CD=tan ∠FCD ，又∵∠DAG=∠FCD ，∴S △HDG ：S △HBG =tan ∠FCD ，tan ∠DAG ，故④正确取AB 的中点O ，连接OD 、OH ，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2 ，由三角形的三边关系得，O 、D 、H 三点共线时，DH 最小，DH 最小=2 ﹣2．无法证明DH 平分∠EHG ，故②错误，故①③④⑤正确，故选C ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH最小时的情况．三、解答题（满分60分）21．（5分）（2017•黑龙江）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．【解答】解：÷﹣===，当a=1+2cos60°=1+2×=1+1=2时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（6分）（2017•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．23．（6分）（2017•黑龙江）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．【分析】（1）由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；（2）由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．【解答】解：（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1、OA=OC=2，则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+；（2）如图，∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，∴点Q坐标为（，），设直线OP解析式为y=kx，将点Q坐标代入，得：k=，解得：k=3，∴直线OP的解析式为y=3x，代入y=﹣x2+x+，得：﹣x2+x+=3x，解得：x=1或x=﹣4，当x=1时，y=3，当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．24．（7分）（2017•黑龙江）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了200名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是36度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）求得喜爱《挑战不可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．【解答】解：（1）30÷15%=200名，答：本次调查中共抽取了200名学生；故答案为：200；（2）喜爱《挑战不可能》节目的人数=200﹣20﹣60﹣40﹣30=50名，补全条形统计图如图所示；（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×=36度；故答案为：36；（4）2000×=600名，答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．【点评】此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．25．（8分）（2017•黑龙江）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距480千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；（2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等．【解答】解：（1）360+120=480（千米）故答案为：480；（2）设3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，由图象可得，货车的速度为：120÷3=40千米/时，则点B的横坐标为：3+360÷40=12，∴点P的坐标为（12，360），，得，即3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x ﹣120；=360÷6=60千米/时，（3）v客v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，40t+60t=480解得t=4.8，综上所述，经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了时间、路程、速度三者之间的关系，准确识图理解两车的行驶过程是解题的关键．26．（8分）（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．。

2022年黑龙江省龙东地区中考数学试题及答案解析

2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列运算中，计算正确的是( )A. (b−a)2=b2−a2B. 3a⋅2a=6aC. (−x2)2=x4D. a6÷a2=a32.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.3.学校举办跳绳比赛，九年(2)班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是( )A. 181B. 175C. 176D. 175.54.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是( )A. 7B. 8C. 9D. 105.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？( )A. 8B. 10C. 7D. 96.已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是( )A. m>4B. m<4C. m>4且m≠5D. m<4且m≠17.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋(两种都购买)共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？( )A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=3x 的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是( )A. 2B. 1C. −1D. −29.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是( )A. 2.5B. 2C. 3.5D. 310.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=√2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14.其中正确的结论是( )A. ①②④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①③④⑤二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.我国南水北调东线北延工程2021−2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为______．12.在函数y=√2x−3中，自变量x的取值范围是______．13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件______，使△AOB≌△COD．14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是______．15.若关于x的一元一次不等式组{2x−1<3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是______．16.如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm.C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为______cm．17.若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为______cm．18.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是______．19.在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为______．20.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y=√3x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022=______．三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）21.先化简，再求值：(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−1)，B(2,−5)，C(5,−4)．(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；(3)在(2)的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保留π)．23.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(2,−3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x<8.5B组：8.5≤x<9C组：9≤x<9.5D组：9.5≤x<10E组：x≥10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了______名学生；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25.为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(ℎ)之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是______km/ℎ，乙车出发时速度是______km/ℎ；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(ℎ)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．26.△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明)；(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折个根(OA<OB)，tan∠DAB=43线DC−CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1.【答案】C【解析】解：A.(b−a)2=b2−2ab+a2，故A不正确；B.3a⋅2a=6a2，故B不正确；C.(−x2)2=x4，故C正确；D.a6÷a2=a4，故D不符合题意；故选：C．利用完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2.【答案】C【解析】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3.【答案】D【解析】解：将这组数据从小到大排列为：169，172，175，176，180，182，=175.5，中位数=175+1762故选：D．将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案．本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：从俯视图课看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，中间最高是2层，要是最多就都是2层，最前面的最高是1层，所以最多的为：2+2×2+1×2=8．故选：B．由左视图和俯视图可以猜想到主视图的可能情况，从而得到答案．本题考查了三视图的知识，由两个识图想象几何体是解题的关键，5.【答案】B【解析】解：设共有x支队伍参加比赛，=45，根据题意，可得x(x−1)2解得x=10或x=−9(舍)，∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．设共有x支队伍参加比赛，根据“循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：方程两边同时乘以x−1得，2x−m+3=x−1，解得x=m−4．∵x为正数，∴m−4>0，解得m>4，∵x≠1，∴m−4≠1，即m≠5，∴m的取值范围是m>4且m≠5．故选：C．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意，得15x+20y=360，∴y=18−34x，∵两种都买，∴18−34x>0，x、y都是正整数，解得x<24，故x是4的倍数且x<24，∴x=4，y=15或x=8，y=12或x=12，y=9或x=16，y=6或x=20，y=3；∴共有5种购买方案，故选：A．设购买毛笔x支，围棋y副，根据“购买毛笔和围棋(两种都购买)共花费360元”列二元一次方程，再由x和y分别取正整数，即可确定购买方案．本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立二元一次方程是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设B(a,3a)，∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB//DO，∴A(ak3,3a )，∴AB=a−ak3，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴3a (a−ak3)=5，解得k=−2，故选：D．设B(a,3a)，根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB//DO，表示出A点的坐标，求出AB=a−ak3，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠PDF=∠EGP=90°，EG//BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，BD，∴EG=12∵F是CD的中点，CD，∴DF=12∴EG=DF，∵∠EPG=∠DPF，∴△EGP≌△FDP(AAS)，∴PG=PD=1.5，∴AD=2DG=6，∵△ABC的面积是24，⋅BC⋅AD=24，∴12∴BC=48÷6=8，BC=2，∴DF=14∴EG=DF=2，由勾股定理得：PE=√22+1．52=2.5．故选：A．如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG=PD=1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．10.【答案】B【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．∴∠BOE+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC=90°．∴∠BOE=∠COF．在△BOE和△COF中，{∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴BE=CF．在△BAE和△CBF中，{AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，∴△BAE≌△CBF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF．∵∠ABP+∠CBF=90°，∴∠ABP+∠BAE=90°，∴∠APB=90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO=∠ABO=45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO=45°，OH⊥OP，∴OH=OP=√22HP，∴HP=√2OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB=90°．∴∠AOH=∠BOP．∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，，∠BAE=∠CBF，∴∠OAH=∠OBP．在△AOH和△BOP中，{∠OAH=∠OBP OA=OB∠AOH=∠BOP，∴△AOH≌△BOP(ASA)，∴AH=BP．∴AP−BP=AP−AH=HP=√2OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE=2：3，∴设BE=2x，则CE=3x，∴AB=BC=5x，∴AE=√AB2+BE2=√29x.过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB=45°，∴EG=GC=√22EC=3√22x，∴AG=√AE2−GE2=7√22x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE=EGAG，∴tan∠CAE==3√22x7√22=37．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．∴S△OBC=14S正方形ABCD．∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE=S△OFC，∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．11.【答案】1.89×108【解析】解：1.89亿=189000000=1.89×108．故答案为：1.89×108．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．12.【答案】x≥32【解析】解：根据题意得，2x−3≥0，解得x≥32．故答案为：x≥32．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13.【答案】OB=OD(答案不唯一)【解析】解：添加的条件是OB=OD，理由是：在△AOB和△COD中，{AO=CO∠AOB=∠COD BO=DO，∴△AOB≌△COD(SAS)，故答案为：OB=OD(答案不唯一)．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．14.【答案】13【解析】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，∴摸到红球的概率是：22+4=13．故答案为：13．直接利用概率公式，进而计算得出答案．此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．15.【答案】a ≥2【解析】解：不等式组整理得：{x <2x <a， ∵不等式组的解集为x <2，∴a ≥2．故答案为：a ≥2．不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a 的范围．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．16.【答案】3√3【解析】解：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠ACB =60°，∴∠ADB =∠ACB =60°，在Rt △ABD 中，AD =6cm ，∴AB =AD ⋅sin60°=6×√32=3√3(cm)，故答案为：3√3．连接AO 并延长交⊙O 于点D ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB =90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ADB =60°，然后在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17.【答案】53【解析】解：c长为：120°×π×5180∘=103π，设圆锥的底面半径为r，则2πr=103π，∴r=53cm．故答案为：53．先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用侧面展开图与底面圆的关系的关系列方程即可求出圆锥的底面半径．本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．18.【答案】32√6【解析】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F=OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，∴AP是OO′的垂直平分线，∴OP=O′P，∴OP+PE=O′P+PE=O′E，此时，OP+PE的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=3，∠BAC=12∠BAD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，∠AOD=90°，∵∠BAD=60°，∴△ADB 是等边三角形，∴BD =AD =3，∴OD =12BD =32，∴AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3， ∴AC =2OA =3√3，∵CE ⊥AH ，∴∠AEC =90°，∴OE =OA =12AC =32√3，∴∠OAE =∠OEA ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠OAE =∠EAB ，∴∠OEA =∠EAB ，∴OE//AB ，∴∠EOF =∠AFO =90°，在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB =30°，∴OF =12OA =34√3， ∴OO′=2OF =32√3，在Rt △EOO′中，O′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6， ∴OE +PE =32√6，∴OP +PE 的最小值为32√6，故答案为：32√6．连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O′，使O′F =OF ，连接O′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，从而可得OP =O′P ，此时OP +PE 的值最小，先利用菱形的性质可得AD =AB =3，∠BAC =12∠BAD ，OA =OC =12AC ，OD =OB =12BD ，∠AOD =90°，从而可得△ADB 是等边三角形，进而求出AD =3，然后在Rt △ADO 中，利用勾股定理求出AO 的长，从而求出AC 的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE =OA =12AC =32√3，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE//AB ，从而求出∠EOF =90°，进而在Rt △AOF 中，利用锐角三角函数的定义求出OF 的长，即可求出OO′的长，最后在Rt △EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19.【答案】313或154或6【解析】解：若△APE 是直角三角形，有以下三种情况：①如图1，∠AEP =90°，∴∠AED +∠CEP =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C =∠D =90°，∴∠CEP +∠CPE =90°，∴∠AED =∠CPE ，∴△ADE∽△ECP ，∴ADCE =DE CP，即124=9−4CP ， ∴CP =53， ∵BC =AD =12，∴BP =12−53=313；②如图2，∠PAE =90°，∵∠DAE +∠BAE =∠BAE +∠BAP =90°，∴∠DAE =∠BAP ，∵∠D =∠ABP =90°，∴△ADE∽△ABP ， ∴AD AB =DE PB ，即129=5BP ， ∴BP =154；③如图3，∠APE =90°，设BP =x ，则PC =12−x ，同理得：△ABP∽△PCE ，∴ABPC =BP CE ，即912−x =x4， ∴x 1=x 2=6，∴BP =6，综上，BP 的长是313或154或6．故答案为：313或154或6．若△APE 是直角三角形，有三种情况：①如图1，∠AEP =90°，②如图2，∠PAE =90°，③如图3，∠APE =90°，分别证明三角形相似可解答．本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．20.【答案】【解析】解：∵OA 1=1，OA 2=2OA 1，∴OA 2=2，∵OA 3=2OA 2，∴OA 3=4，∵OA 4=2OA 3，∴OA 4=8，把x =1代入直线y =√3x 中可得：y =√3，∴A 1B 1=√3，把x =2代入直线y =√3x 中可得：y =2√3，∴A2B2=2√3，把x=4代入直线y=√3x中可得：y=4√3，∴A3B3=4√3，把x=8代入直线y=√3x中可得：y=8√3，∴A4B4=8√3，∴S1=12OA1⋅A1B1=12×1×√3=12×20×(20×√3)，S2=12OA2⋅A2B2=12×2×2√3=12×21×(21×√3)，S3=12OA3⋅A3B3=12×4×4√3=12×22×(22×√3)，S4=12OA4⋅A4B4=12×8×8√3=12×23×(23×√3)，...∴S2022=12×22021×(22021×√3)=24041×√3，故答案为：24041×√3．根据已知先求出OA2，OA3，OA4的长，再代入直线y=√3x中，分别求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分别计算出S1，S2，S3，S4，再从数字上找规律进行计算即可解答．本题考查了规律型：点的坐标，含30度角的直角三角形，根据已知分别求出S1，S2，S3，S4的值，然后从数字上找规律是解题的关键．21.【答案】解：(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)÷2a−1a+1=1−2a(a+1)(a−1)×a+12a−1=11−a，当a=2cos30°+1=2×√32+1=√3+1时，原式=1−√3−1=−√33．【解析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标(−5,,3)；(2)如图，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标(2,4)；(3)∵A1C1=√32+42=5，∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长=90π×5180=5π2．【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可；(3)利用勾股定理求出A1C1，再利用弧长公式求解．本题考查作图−平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(2,−3)，∴{1−b+c=04+2b+c=−3，解得b=−2，c=−3，∴抛物线的解析式：y=x2−2x−3；(2)存在，理由如下：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴D点坐标为(1,4)，令x=0，则y=x2−2x−3=−3，∴C点坐标为(0,−3)，又∵B点坐标为(2,−3)，∴BC//x轴，∴S△BCD=12×2×1=1，设抛物线上的点P坐标为(m,m2−2m−3)，∴S△PBC=1×2×|m2−2m−3−(−3)|=|m2−2m|，2当|m2−2m|=4×1时，解得m=1±√5，当m=1+√5时，m2−2m−3=1，当m=1−√5时，m2−2m−3=1，综上，P点坐标为(1+√5,1)或(1−√5,1)．【解析】(1)待定系数法求解析式即可；(2)设抛物线上的点P坐标为(m,m2−2m−3)，结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．24.【答案】100【解析】解：(1)20÷20%=100(名)，即本次共调查了100名学生，故答案为：100；(2)选择E的学生有：100×15%=15(人)，选择A的学生有：100−20−40−20−15=5(人)，补全的条形统计图如右图所示；=72°，(3)360°×20100即D组所对应的扇形圆心角的度数是72°；=375(人)，(4)1500×5+20100答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．(1)根据B组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；(2)根据(1)中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出A组和E 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据D组的人数和调查的总人数，可以计算出D组所对应的扇形圆心角的度数；(4)根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利25.【答案】100 60【解析】解：(1)由图象可得，甲车的速度为：500÷5=100(km/ℎ)，乙车出发时速度是：300÷5=60(km/ℎ)，故答案为：100，60；(2)乙车返回过程中，设乙车离A 市的距离y(km)与乙车所用时间x(ℎ)的函数解析式是y =kx +b ，∵点(9,300)，(12,0)在该函数图象上，∴{9k +b =30012k +b =0，解得{k =−100b =1200，即乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y(km)与乙车所用时间x(ℎ)的函数解析式是y =−100x +1200；(3)设乙车出发m 小时，两车之间的距离是120km ，当0<m <5时，100m −60m =120，解得m =3；当5.5<m <8时，100(m −5.5)+120+300=500，解得m =6.3；当9<m <12时，乙车返回的速度为：300÷(12−9)=100(km/ℎ)，(100+100)×(m −9)=120，解得m =9.6；答：乙车出发3小时或6.3小时或9.6小时，两车之间的距离是120km ．(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y(km)与乙车所用时间x(ℎ)的函数解析式；(3)根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用26.【答案】解：(2)PB=PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF=PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BF=CP，∴△BAF≌△CAP(SAS)，∴AF=AP，∠BAF=∠CAP，∴∠BAC=∠PAF=90°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA，∴PB=BF+PF=PC+PA；(3)PC=PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM=PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，PB =CM ，∴△AMC≌△APB(SAS)，∴AM =AP ，∠BAP =∠CAM ，∴∠BAC =∠PAM =60°，∴△AMP 是等边三角形，∴PM =PA ，∴PC =PM +CM =PA +PB ．【解析】(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)和△BAF≌△CAP(SAS)，得AF =AP ，∠BAF =∠CAP ，再证明△AFP 是等边三角形，最后由线段的和可得结论；(3)如图③，在PC 上截取CM =PB ，连接AM ，同理可得结论．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABD≌△ACE 是解题的关键，属于中考常考题型．27.【答案】解：(1)设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，依题意得：{10x +5y =17515x +10y =300，解得：{x =10y =15．答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元．(2)∵该班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，且购买A 种跳绳m 根，∴购买B 种跳绳(45−m)根．依题意得：{10m +15(45−m)≤56010m +15(45−m)≥548，解得：23≤m ≤25.4，又∵m 为整数，∴m 可以取23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买23根A 种跳绳，22根B 种跳绳；方案2：购买24根A 种跳绳，21根B 种跳绳；方案3：购买25根A 种跳绳，20根B 种跳绳．(3)设购买跳绳所需总费用为w 元，则w =10m +15(45−m)=−5m +675． ∵−5<0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m=25时，w取得最小值，最小值=−5×25+675=500．答：在(2)的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是500元．【解析】(1)设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据“购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳(45−m)根，利用总价=单价×数量，结合总价不少于548元且不多于560元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案；(3)设购买跳绳所需总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．28.【答案】解：(1)方程x2−7x+12=0，解得：x1=3，x2=4，∵OA<OB，∴OA=3，OB=4，∵tan∠DAB=ODOA =43，∴OD=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=3+4=7，DC//AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，∴点C的坐标为(7,4)；(2)：①当0≤t≤7时，由题意得：PC=7−t，∴△APC的面积为S=12PC⋅OD=12(7−t)×4=14−2t；②当7<t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，∵AD =√OA 2+OD 2=√32+42=5，四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC =AD =5，∵S △ABC =12AB ⋅OD =12CB ⋅AF ， ∴AB ⋅OD =CB ⋅AF ，∴7×4=5AF ，∴AF =285，∴△APC 的面积为S =12PC ⋅AF =12(t −7)×285=145t −985；综上，S ={14−2t(0≤t ≤7)145t −985(7<t ≤12)；(3)∵BC =AD =5，M 为BC 的中点，C(7,4)，B(4,0)， ∴CM =52，M(112,2)， ①当CM =CP 时，∵CM =52，∴CM =CP =52，∵CD =7，∴DP=7−52=92，∴点P的坐标为(92,4)；②当CM=MP时，过点M作ME⊥CD于E，∴PE=CE，∵M(112,2)，C(7,4)，∴E(112,4)，CE=7−112=32，∴PE=CE=32，∴DP=DE−PE=112−32=4，∴点P的坐标为(4,4)；③当CP=MP时，过点P作PF⊥BC于F，∴MF=CF=12CM=54，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠DAB，∴cos∠BCD=cos∠DAB=OAAD =35，∴CFPC =35，即54PC=35，∴PC=2512，∴DP=DC−PC=7−2512=5912，∴点P的坐标为(5912,4)；综上，点P的坐标为(4,4)或(92,4)或(5912,4)．【解析】(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度，可得出A、B的坐标，即可求解；(2)分0≤t≤7和7<t≤12两种情况考虑：①当0≤t≤7时，利用三角形的面积公式可得出S关于t的函数关系式；②当7<t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，利用三角形的面积求出AF，即可得△APC的面积为S=12PC⋅AF=12(t−7)×285=14 5t−985；(3)要使△CMP是等腰三角形，点P一定在CD上，需分情况讨论：①当CM=CP时；②当CM=MP时；③当CP=MP时，根据等腰三角形的性质即可求解．本题是四边形综合题目，考查了一元二次方程的解法，平行四边形的性质，三角形面积的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．第31页，共31页。

(中考精品卷)黑龙江省省龙东地区中考数学真题(原卷版)

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题一、选择题（每题3分，满分30分）1. 下列运算中，计算正确的是（）A. ()222b a b a -=-B. 326a a a ⋅=C. ()224x x -=D. 623a a a ÷= 2. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A 181 B. 175 C. 176 D. 175.5 4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 7B. 8C. 9D. 105. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A. 8B. 10C. 7D. 9 6. 已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（） A. 4m >B. 4m <C. 4m >且5m ≠D. 4m <且1m ≠7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A. 5B. 6C. 7D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B在反比例的.函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 9. 如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（）A. 2.5B. 2C. 3.5D. 3 10. 如图，正方形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A. ①②④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①③④⑤的二、填空题（每题3分，满分30分）11. 我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．12.函数y =中自变量x 的取值范围是______．13. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．15. 若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．16. 如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm ．17. 若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．18. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．19. 在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．20. 如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322O A O A =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 23. 如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．24. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x <B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：的（1）本次共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 25. 为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．26. ABC 和ADE 都是等边三角形．（1）将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．（2）将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27. 学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．（1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．（1）求点C 的坐标；的（2）求S关于t函数关系式，并写出自变量t的取值范围；!是等腰三角形？若存在，请直接写出（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使CMP点P的坐标；若不存在，请说明理由。

黑龙江省龙东地区2022年中考数学试题含答案

黑龙江省龙东地区2022年中考数学试题含答案一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算中，计算正确的是（）A.222b a b a B.326a a a C.224x x D.623a a a 【答案】C 【解析】【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．【详解】 2222b b b a a a ，故A 选项错误，不符合题意；2326a a a ，故B 选项错误，不符合题意；224x x ，故C 选项正确，符合题意；624a a a ，，故D 选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A.181B.175C.176D.175.5【答案】D【解析】【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，∴这6个数据的中位数为175176175.52，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538 个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8B.10C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x ，解方程即可．【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x ，解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．6.已知关于x 的分式方程23111x m x x的解是正数，则m 的取值范围是（）A.4m B.4m C.4m 且5m D.4m 且1m 【答案】C 【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m 且410m ，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x ，得231x m x ，解得4x m ，∵关于x 的分式方程23111x m x x的解是正数，0x ，且10x ，即40m 且410m ，4m 且5m ，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-34x ．又∵x，y均为正整数，∴415xy或812xy或129xy或166xy或203xy，∴班长有5种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数3yx的图象上，顶点A在反比例函数kyx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A.2B.1C.1D.2 【答案】D【解析】【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得1522 AOB OBADS S，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∵四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，∴1522AOB OBAD S S，AB ∥OD ，∴AB ⊥y 轴，∵点B 在反比例函数3y x 的图象上，顶点A 在反比例函数k y x的图象上，∴3,22COB COA kS S，∴35222AOB COB COA k S S S ，解得：2k ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．9.如图，ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD ，则PE 的长是（）A .2.5B.2C.3.5D.3【答案】A 【解析】【分析】连接DE ，取AD 的中点G ，连接EG ，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD ⊥BC ，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分BAC与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=112422ABCS=12，∵E是AB的中点，∴S△AED=1112 22ABDS=6，∵G是AD的中点，∴S△EGD=116 22AEDS=3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=12CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=12GD EG=3，即1332EG ，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE =2.5，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．10.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF 交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ；②45OPA ；③2AP BP OP；④若:2:3BE CE ，则4tan 7CAE；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤【答案】B 【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明 DOF COE ASA ≌ 得到EC =FD ，再证明 EAC FBD SAS ≌ 得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP，利用合比性质变形得到CE BPAP BP BE ，再通过证明AOP AEC ∽ 得到OP AE CE AO，代入前式得OP AE BPAP BP AO BE，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EGCAE AG AC CG，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用 DOF COE ASA ≌ ，可证明S 四边形OECF=S △COE +S △COF =S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC 在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC∴ DOF COE ASA ≌ ∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD∴ EAC FBD SAS ≌ ∴∠EAC =∠FBD 又∵∠BQP =∠AQO ∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF 所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA 所以②正确；③∵tan BE BPBAE AB AP∴AB APBE BP∴AB BE AP BPBE BP ∴AP BP CEBP BE∴CE BPAP BP BE∵,45EAC OAP OPA ACE ∴AOP AEC ∽ ∴OP AOCE AE∴OP AE CE AO∴OP AE BP AP BP AO BE∵1122ABE AE BP AB BE S ∴AE BP AB BE∴OP AB BE ABAP BP OP AO BE AO所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ，∴EG CE CGOB BC OC设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC =2a ，若:2:3BE CE ，则23BE CE ，∴233BE CE CE ∴35CE BC∴3522CE EG OB BC∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG=2a∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG所以④错误；⑤∵ DOF COE ASA ≌ ，S 四边形OECF =S △COE +S △COF ∴S 四边形OECF =S △DOF +S △COF =S △COD ∵S △COD =14ABCDS 正方形∴S 四边形OECF =14ABCDS 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．【答案】81.8910 【解析】【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a 的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910 ，故答案为：81.8910 ．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．12.函数y 中自变量x 的取值范围是______．【答案】 1.5x 【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x ，∴ 1.5x ；故答案为： 1.5x ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC ，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．【答案】OB =OD （答案不唯一）【解析】【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在△AOB 和△COD 中，AO CO AOB COD OB OD，∴AOB COD ≌（SAS ）故答案为OB =OD （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．【答案】13【解析】【分析】利用概率公式计算即可．【详解】∵不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，∴摸到红球的概率是21243 ，故答案为：13．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15.若关于x 的一元一次不等式组2130x x a＜的解集为2x ，则a 的取值范围是________．【答案】2a ##2a【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a＜①②，解不等式①得：2x ＜，解不等式②得：x a ＜，∵关于x 的不等式组2130x x a＜的解集为2x ＜，2a ．故答案为：2a ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16.如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ，则AB 的长为________cm ．【答案】【解析】【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由垂径定理和圆周角定理可得12AD BD AB ，120AOB ，再根据等腰三角形的性质可得30OAB OBA ∠∠，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，12AD BD AB ，90ODA ∠°，∵60ACB ，120AOB ，OA OB ∵，30OAB OBA ，3cm OA ∵，3cm 2OD ，33cm 2AD ，AB ，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．17.若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．【答案】53【解析】【分析】由于圆锥的母线长为5cm ，侧面展开图是圆心角为120°扇形，设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2πr cm ，所以侧面展开图的弧长为2πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于r 的方程，解方程即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r cm ，则圆锥底面周长为：2r cm ，∴侧面展开图的弧长为：2r cm ，∴12052=180r ，解得：r =53，故答案为：53．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ，3AD ，AH 是BAC的平分线，CE AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE 的最小值是________．【答案】2【解析】【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=3 2，∴OA 33 2∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA 33 2∴∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA 33 2，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°，∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF222233336222 OF OE,∴PO +PE 最小值=2．故答案为：2．【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 是解题的关键．19.在矩形ABCD 中，9AB ，12AD ，点E 在边CD 上，且4CE ，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．【答案】313或154或6【解析】【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ，12AD BC ，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB BP PC CE，即9124BP BP ，解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴AD DECE PC，即12944PC，解得：53 PC ，∴313 BP BC PC；如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四边形ABPF为矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，∴AF PFDE AD，即99412AF，解得：154AF，即154PB ；综上所述，BP的长为313或154或6．故答案为：313或154或6【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA ，212OA OA ，322OA OA ，432OA OA ……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y 交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S ______．【答案】2【解析】【分析】先求出11A B ，可得112OA B S ，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S = 2222231:2:2:2:2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y∴点 1B ，∴11A B∴111122OA B S ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =OA 12∶OA 22∶OA 32……∶OA n 2，∵11OA ，212OA OA ，322OA OA ，432OA OA ……，∴22OA ，2342OA ，3482OA ……12n n OA ，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S = 2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2n n ，∴11222n n n OA B OA B S S ，∴2202222022222S故答案为：2．【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22221111a a a a a，其中2cos301a ．【答案】11a ，3【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a 值，然后把a 值代入化简式计算即可．【详解】解：原式22222112111a a a a a a a 2121211a a a a11a，当2cos3011a 时，原式3【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 1,1A ， 2,5B ， 5,4C ．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；15,3A （2）见解析；22,4A （3）点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【解析】【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，15,3A ；【小问2详解】如图所示△A 2B 2C 2即为所求， 22,4A ；【小问3详解】∵115A C ∴点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802．【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．23.如图，抛物线2y x bx c 经过点 1,0A ，点 2,3B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x（2）存在， 11P ，21P 【解析】【分析】（1）将点 1,0A ，点 2,3B ，代入抛物线得10423b c b c，求出b c ，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得 222314y x x x ，可得D 点坐标，将0x 代入得，3y ，可得C 点坐标，求出1BCD S △的值，根据4PBC BCD S S 可得4PBC S ，设 2,23P m m m ，则 21223342PBC S m m ，求出m 的值，进而可得P 点坐标．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c 过点 1,0A ，点 2,3B ，∴10423b c b c，解得23b c，∴抛物线的解析式为：223y x x ．【小问2详解】解：存在．∵ 222314y x x x ，∴ 1,4D ，将0x 代入得，3y ，∴ 0,3C ，∴D 到线段BC 的距离为1，2BC ，∴12112BCD SV ，∴44PBC BCD S S ，设 2,23P m m m ，则 21223342PBC S m m ，整理得，224m m ，解得11m ，或21m ，∴ 11P ， 21P ，∴存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，点P 的坐标为 11P ，21P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x B 组：8.59x C 组：99.5x D 组：9.510x E 组：10x 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为72（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人【解析】【分析】（1）根据统计图中B 组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E 组人数占比为15％，求出E 组人数为10015 ％人，然后作差求出A 组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D 组人数的占比乘以360 计算求解即可；（4）根据A B ，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．【小问1详解】解：由统计图可知，本次共调查了2020100 ％（人），故答案为：100．【小问2详解】解：由统计图可知，E 组人数占比为15％，∴E 组人数为1001515 ％（人），∴A 组人数为100204020155 （人），∴补全统计图如图所示【小问3详解】解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100 ，∴D 组所对应的扇形圆心角度数为72 ．【小问4详解】解：由题意知，5201500375100（人）∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．25.为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【答案】（1）10060（2）1001200y x （3）3，6.3，9.1【解析】【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h 的路程为500km ，乙车5h 的路程为300km ，即可确定各自的速度；（2）设 0y kx b k ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．【小问1详解】解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ，∴甲的速度为：500÷5=100km/h ；乙车5h 的路程为300km ，∴乙的速度为：300÷5=60km/h ；故答案为：100；60；【小问2详解】设 0y kx b k ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9300120k b k b，解得1001200k b ∴y 与x 的函数解析式为1001200y x ；【小问3详解】解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象可得，当0<t <5时，100t -60t =120，解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件；当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120，解得：t =6.3；当8<t <9时，100（t -8）=120，解得：t =9.2，不符合题意，舍去；当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120，解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时，两车之间的距离为120km ．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．26.ABC 和ADE 都是等边三角形．（1）将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC （或PA PC PB ）成立；请证明．（2）将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】（1）证明见解析（2）图②结论：PB PA PC ，证明见解析（3）图③结论：PA PB PC【解析】【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP ，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ，AF AP ，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP ，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP ，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ，AP AF ，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP ，即可得出结论：PA PB PF CF PC ．【小问1详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC 或PA PC PB ；【小问2详解】解：图②结论：PB PA PC证明：在BP 上截取BF CP ，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC ，AD AE ，60BAC DAE∴BAC CAD DAE CAD ，∴BAD CAE ，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ，AF AP ，∴CAP CAF BAF CAF ，∴60FAP BAC ，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP ，∴PA PC PF BF PB ；【小问3详解】解：图③结论：PA PB PC ，理由：在CP 上截取CF BP ，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC ，AD AE ，60BAC DAE∴BAC BAE DAE BAE ，∴BAD CAE ，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ，AP AF ，∴BAF BAP BAF CAF ，∴60FAP BAC ，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP ，∴PA PB PF CF PC ，即PA PB PC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．27.学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．（1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】（1）购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元（2）有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元【解析】【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y ，解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组 101545560101545548m m m m，解得：2325.4m ，由此即可确定方案；（3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得 1015455675w m m m ，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m 时525675550 ．【小问1详解】解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y ，解得1015x y ，答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元；【小问2详解】根据题意，得 101545560101545548m m m m ，解得2325.4m ，∵m 为整数，∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根；【小问3详解】设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得 1015455675w m m m ∵50 ，∴w 随m 的增大而减小，∴当25m 时，w 有最小值，即w 525675550 （元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x 的两个根 OA OB ，4tan 3DAB ，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB 向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S．（1）求点C 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP !是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为7,4（2）14207149871255t t S t t （3）存在点P 4,4或9,42 或59,412，使CMP !是等腰三角形【解析】【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA ，4OB ，再由4tan 3DAB，可得4OD ，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当07t 时，当712t 时，过点A 作AF BC 交CB 的延长线于点F ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ；当52PC CM 时；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，即可求解．【小问1详解】解：27120x x ，解得13x ，24x ，∵OA OB ，∴3OA ，4OB ，。

2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案解析

2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）5＝a7C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．34．（3分）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A．1B．0.8C．0.6D．0.55．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4B．m≥4C．m≥﹣4且m≠2D．m≤4且m≠26．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（）A．k＝2或k＝﹣1B．k＝﹣2C．k＝2或k＝1D．k＝﹣17．（3分）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A．5B．4C．3D．28．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（）A．4.5B．3.5C．3D．2.59．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（）A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形．14．（3分）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．15．（3分）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝°．17．（3分）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是．19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为．20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O →M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．24．（7分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合图解答下列问题：（1）频数分布表中m＝，扇形统计图中n＝；（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别；（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？组别分组（cm）频数A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤300525．（8分）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是km/h，乙货车的速度是km/h；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N 在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM ＝90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，则有BM2+NC2＝MN2．（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27．（10分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝6时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】利用同底数幂乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，平方差公式逐项判断即可．【解答】解：a3•a2＝a5，则A不符合题意；（a2）5＝a10，则B不符合题意；（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3，则C符合题意；（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：则组成该几何体所需小正方体的个数最少是1+2+1＝4（个）．故选：C．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．4．【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（2+3+3+4）÷4＝3，则这组数据的方差为：[（2﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝0.5．故选：D．【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5．【分析】由根的判别式可得Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．【解答】解：根据题意得，解得m≤4且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．6．【分析】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：，kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，kx﹣2x+6＝﹣3（k﹣2）x＝﹣9，x＝，∵关于x的分式方程无解，∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3，∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，解得：k＝﹣1或2，故选：A．【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式方程无解的条件．7．【分析】设购买笔记本x 件，笔y 支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的数量．【解答】解：设购买笔记本x 件，笔y 支，根据题意得：3x +2y ＝28，∴y ＝14﹣x ，又∵x ，y 均为正整数，∴或或或，∴共有4种购买方案．故选：B ．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费28元”列出二元一次方程是解题的关键．8．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义以及三角形中位线定理、相似三角形的性质进行计算即可．【解答】解：如图，过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为M ，连接OB ，则S △AOM ＝S △OBD ＝|k |＝×12＝6，∵E 是OA 的中点，即OE ＝AE ，而DE ∥AM ，∴DE ＝AM ，OD ＝OM ，∵S △AOM ＝S △OBD ＝6，即AM •OM ＝OD •BD ＝6，∴AM •OD ＝BD •OD ，∴BD ＝2AM ，∴DE ＝AM ＝BD ，∴DE ＝BE ，∵S △ODE ＝S △AOM ＝×6＝，∴S △ABE ＝3S △ODE ＝3×＝4.5，故选：A ．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质是正确解答的关键．9．【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝AC sin∠MAC＝，MN＝BM tan∠OBC＝．【解答】解：连接AC，如图，∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，又∵点O是BD的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴OA＝OC，∵OM＝2，AM⊥BC，∴OA＝OC＝OM＝2，∵BD＝8，∴OB＝OD＝BD＝4，∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，∴∠MAC＝∠OBC∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝，∴MC＝AC sin∠MAC＝，∴BM＝BC−MC＝2−＝，∴MN＝BM tan∠OBC＝×＝，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键．10．【分析】连接DG，可得，AC垂直平分BD，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据AC垂直平分BD，结合互余可证明DG＝FG，即有DG＝FG＝BG，则可判断②正确；证明△ABM∽△DBN，即有，可判断④；根据相似有，根据可得3AH ＝AD，再证明△AHM﹣△CBM，可得，即可判断⑤；根据点H是AD的中点，设AD＝2，即求出，同理可证明△AHM∽△CBM，可得，即可得，进而可判断③．【解答】解：连接DG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC 垂直平分BD，∴∠CDP＝90°，∵DF平分∠CDP，∴，∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，∴点B、H、D、F四点共圆，∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正确，∵AC垂直平分BD，∴BG＝DG，∴∠BDG＝∠DBG，∵∠BDF＝90°，∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝FG，∴DG＝FG＝BG，∴点G是BF的中点，故②正确，∵∠BHF＝90°＝∠BAH，∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，∴∠DHF＝∠ABH，∵∠DHF＝∠DBF，∴∠ABH＝∠DBF，又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，AD∥BC，∴△ABM∽△DBN，∴，∴，故④正确，∴，若，则，∴3AH＝AD，∴，即，∵AD∥DC，∴△AHM∽△CBM，∴，∵，＝3S△AHM，∴S△ABM∴，＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤错误，∴S△BND如图，③若点H是AD的中点，设AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，∴，∴，同理可证明△AHM∽△CBM，∴，，∵，∴，∵BC＝2，在Rt△BNC中，，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，△ABM∽△DBN，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：13908亿＝1390800000000＝1.3908×1012，故答案为：1.3908×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得x的取值范围即可．【解答】解：由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得：x≥3，故答案为：x≥3．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的不等式是解题的关键．13．【分析】根据正方形的判定定理得到结论．【解答】解：添加AC＝BD，∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，∴菱形ABCD为正方形．故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．14．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种，∴所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法、，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．【解答】解：解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，∵不等式组恰有3个整数解，∴﹣1≤2a＜0，即﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．16．【分析】连接CD，先根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D＝25°，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．【解答】解：连接CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，故答案为：65．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．【分析】根据圆锥的侧面积公式S＝πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角是n°，∵侧面积为36π，∴π×3×l＝36π，解得：l＝12，∴扇形面积为36π＝，解得：n＝90，∴圆锥侧面展开图的圆心角是90度．故答案为：90．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．18．【分析】作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．PQ是△ACD的中位线，PQ＝．点P是圆Q上的点，可求BP的最大值．【解答】解：作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．∵P是CD的中点，Q是AC的中点，∴PQ是△ACD的中位线，∴PQ＝AD＝．∴线段AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心PQ为半径的圆上移动，∴当BP经过点Q时BP的值最大．∵BC＝2，tan∠BAC＝，∴AC＝4，∴AQ＝CQ＝2．∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，∴BQ＝2（负数不合题意舍去）．∴BP的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了图形旋转的性质，点和圆的位置关系，勾股定理．关键是得到点P所在的圆，利用点和圆的位置关系可以得到BP的最大值．19．【分析】先根据点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC即可．【解答】解：①点B的对称点落在矩形对角线BD上，如图，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，由折叠性质可知BB'⊥AP，∴∠BAP+∠BPA＝∠BPA+∠CBD，∴∠BAP＝∠CBD，∴tan∠BAP＝tan∠CBD＝＝，∴BP＝AB tan∠BAP＝3×＝，∴PC＝BC﹣BP＝4﹣＝；②点B的对称点B′落在矩形对角线AC上，如图∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，∴PC＝＝2÷＝；③点B的对称点B′落在矩形对角线CA延长线上，如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝√＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC+AB'＝5+3＝8，∴PC＝＝8÷＝10，综上所述：、或10．故答案为：、或10．【点评】本题考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．20．【分析】根据所给滚动方式，依次求出点A n（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为（2，0），点A3的坐标为（），点A4的坐标为（3，2），点A5的坐标为（3，2），点A6的坐标为（），点A7的坐标为（1，3），点A8的坐标为（1，3），点A9的坐标为（），点A10的坐标为（0，1），点A11的坐标为（0，1），点A12的坐标为（），点A13的坐标为（2，0），…，由此可见，点A n的坐标每12个循环一次，因为2024÷12＝168余8，所以点A2024的坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点A n的坐标每12个循环一次是解题的关键．三、解答题（满分60分）21．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值得出m的值，代入计算可得．【解答】解：原式＝＝＝1﹣m，当m＝cos60°＝时，原式＝1﹣＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB＝，再由旋转角等于90°，利用弧长公式即可求出．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，B1的坐标为（2，3）；（2）△AB2C2如图所示，B2的坐标为（﹣3，0）；（3）∵AB＝＝，∠BAB2＝90°，∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长为：＝．【点评】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图，弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．【分析】（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，即可得出答案；＝S△APE+S梯形PCOE （2）过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，根据S△APC可得二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可得出答案．﹣S△AOC【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），∴OA＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，∴OE＝﹣x，AE＝3+x，＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC∴S△APC＝AE×PE（OC+PE）×OE﹣×OA×OC＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）×3×3＝（x+）2+∵＜0，∴S有最大值，∴当x＝时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求解析式等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．24．【分析】（1）根据A组的频数和百分比求出抽取总数，用总数减其他的频数可得求出m的值，求出C 组所占百分比，即可求解；（2）根据中位数的定义即可求解；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可得，3÷6%＝50，m＝50﹣3﹣20﹣14﹣5＝8，扇形统计图中C组所在的百分比＝＝40%，∴n＝40，故答案为：50，40；（2）被抽取的50名学生立定跳远成绩按从小到大的顺序排列第25个和第26个的平均数，3+8＜25，3+8+20＝31＞25被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；（3）600×＝228（名），答：估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人．【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．25．【分析】（1）分别根据“速度＝路程÷时间”求出甲货车到达配货站之前的速度及乙货车的速度即可；（2）根据题意分别求出点E、F的横坐标，从而写出其坐标，利用待定系数法求解即可；（3）根据“路程＝速度×时间”分别写出线段CM、MN、OD对应的函数关系式，讨论3种情况：当0≤x≤3、3＜x≤3.5时，分别写出甲、乙两货车与配货站的距离，二者相等列方程并求解；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与A地距离相等，列方程并求解即可．【解答】解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙货车的速度是（225﹣105）×2÷6＝40（km/h）．故答案为：30，40．（2）∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴点E（4，105），F（5.5，225）．设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），线段OD对应的函数表达式为y＝30x（0≤x≤3.5）．当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x＝；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x＝；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；∴出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数表达式是解题的关键．26．【分析】类比（1）中示例方法在图②③中构造辅助线，先证△ACN≌△ABQ（SAS），再证△AQM≌△ANM，最后利用勾股定理转化等线段即可．【解答】解：图②的结论是BM2+NC2+BM•NC＝MN2．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝30°，∴∠BAM+∠QAB＝30°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM；∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，∴HM＝BM+BH＝BM+BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM+BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2+BM•BQ＝QM2．∴BM2+NC2+BM•NC＝MN2．图③的结论是：BM2+NC2﹣BM•NC＝MN2．证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝60°，∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM，在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，HM＝BM﹣BH＝BM﹣BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM﹣BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2﹣BM•BQ＝QM2．∴BM2+NC2﹣BM•NC＝MN2．【点评】本题主要考查全等三角形得判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．27．【分析】（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据“购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买（100﹣m）个乙种品牌毽子，根据购买甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m，（100﹣m）均为正整数，即可得出各购买方案；（3）利用商家获得的总利润＝每个甲种品牌毽子的利润×购进甲种品牌毽子的数量+每个乙种品牌毽子的利润×购进乙种品牌毽子的数量，可分别求出学校选择各方案商家可获得的总利润，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据题意得：，解得：．答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元；（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买＝（100﹣m）个乙种品牌毽子，根据题意得：，解得：≤m≤64，又∵m，（100﹣m）均为正整数，∴m可以为60，62，64，∴学校共有3种购买方案，方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子；（3）学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60+4×10＝340（元）；学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62+4×7＝338（元）；学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64+4×4＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出学校选择各方案商家可获得的总利润．28．【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA的长，根据等边三角形的性质得出OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，求出AC的长即可；（2）分0＜t≤2，2＜t≤3和3＜t＜3.6三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（3）当t2＝60时求出t＝2，得OP＝4，分OP为边和对角线两种情况可得点M的坐标；当﹣t2+6t＝6，﹣t+27＝6时，不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∵OA的长度是x2﹣5x﹣6＝0的根，∴OA＝6，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝×6＝3，∴AC＝＝＝3，∴点A的坐标为A（3，3）；（2）当0＜t≤2时，过P作PD⊥x轴，垂足为点D，∴OP＝2t，OQ＝3t，∠OPD＝30°，∴OD＝t，。

黑龙江省龙东地区五市2022年中考数学试卷(附解析)

黑龙江省龙东地区五市2022年中考数学试卷（附解析）一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）（2013•黑龙江）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，2012年全省粮食总产量到达1152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食保险的大粮仓，1152亿斤用科学记数法表现为 1.152×1011斤．考点：科学记数法—表现较大的数．分析：科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将1152亿用科学记数法表现为1.152×1011．故答案为：1.152×1011．点评：此题考查科学记数法的表现方法．科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表现时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2013•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：此题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x≠0解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表白式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表白式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表白式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）（2013•黑龙江）如下图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，试添加一个条件：AD=DC，使得平行四边形ABCD为菱形．考点：平行四边形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．4．（3分）（2013•黑龙江）风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，少女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．考点：概率公式．分析：由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，少女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，少女生3人，∴选出一人担任班长，则组长是男生的为：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2013•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=﹣2．考点：一元二次方程的解．分析：先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．解答：解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；故答案为：﹣2．点评：此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．6．（3分）（2013•黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．考点：二次函数的性质分析：因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标．解答：解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，∴顶点坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．点评：此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．（3分）（2013•黑龙江）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为2cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．解答：解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的高是：=2cm．故答案是：2．点评：此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（3分）（2013•黑龙江）李明组织大学同学一起去看电影《致青春》，票价每张60元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1200元，他们共买了20或25张电影票．考点：一元一次方程的应用．专题：分类讨论．分析：此题分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论，根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．解答：解：①1200÷60=20（张）；②1200÷（60×0.8）1200÷48=25（张）．答：他们共买了20或25张电影票．故答案为：20或25．点评：考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．．9．（3分）（2013•黑龙江）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若=2，则=或．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：分类讨论．分析：根据已知分别根据F在线段AB上后在AB的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出的值．解答：解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题关键．10．（3分）（2013•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC 边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n 的面积为（）n．考等边三角形的性质点：专题：规律型．分析：由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n 的面积为（）n．故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（2013•黑龙江）以下运算中，计算正确的选项是（）A．（x3）2=x5B．x2+x2=2x4C．（﹣2）﹣1=﹣D．（a﹣b）2=a2﹣b2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、（x3）2=x6，本选项错误；B、x2+x2=2x2，本选项错误；C、（﹣2）﹣1=﹣，本选项正确；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误，应选C点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解此题的关键．12．（3分）（2013•黑龙江）以下汽车标记中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．应选D．点评：此题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．13．（3分）（2013•黑龙江）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如下图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A．4B．5C．6D．7考点：由三视图判断几何体．分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．解答：解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2=6个．应选C．点评：考查学生对三视图的掌握水平和灵活运用能力，同时也表白了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．14．（3分）（2013•黑龙江）下表是我市某中学九年级（1）班右眼视力的检查结果：视力人数1 2 5 4 3 6 1 1 5 9 6根据表中提供的信息，这43名同学右眼视力的众数和中位数分别是（）A．B．C．D．考点：众数；中位数．分析：根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：视力为4.9的学生人数最多，故众数为4.9；共43为学生，中位数落在第22为学生处，故中位数为4.6．应选A．点评：此题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，解答此题的关键是掌握众数及中位数的定义．15．（3分）（2013•黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则以下图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧BA上运动时，距离不变；在BO上运动时，越来越近，即可得出答案．解答：解：利用图象可得出：当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧AB上运动时，距离不变；在OB上运动时，越来越近．应选：C．点评：此题考查了函数随自变量的变更而变更的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变更关系，从而正确选择对应的图象．16．（3分）（2013•黑龙江）已知关于x 的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1考点：分式方程的解．分先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”析：建立不等式求a的取值范围．解答：解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠﹣1，∴a≤﹣1且a≠﹣2，∴a≤﹣1且a≠﹣2．应选B．点评：此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是此题最容易出错的地方．17．（3分）（2013•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3B．2C．3D．2考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．分首先根据AB=BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据析：圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．解答：解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=∠C=30°，∵AD为直径，AD=6，∴∠ABD=90°，∵∠D=30°，∴AB=AD=3．应选A．点评：此题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．18．（3分）（2013•黑龙江）如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y=的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠ACO=60°，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2考点：反比例函数综合题．分析：根据三角形外角性质得∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，易得OA=OC=4，然后再Rt△AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OC=2，AB=OB=2，则可确定C点坐标为（﹣2，2），最后把C点坐标代入反比例函数解析式y=中即可得到k的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ACO=60°，∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC=4，在△AOB中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，∴∠OAB=30°，∴OB=OC=2，∴AB=OB=2，∴C点坐标为（﹣2，2），把C（﹣2，2）代入y=得k=﹣2×2=﹣4．应选B．点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．19．（3分）（2013•黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏竞赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购置甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购置笔记本的方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种考点：二元一次方程的应用．分析：设甲种笔记本购置了x本，乙种笔记本y本，就可以得出7x+5y≤50，x≥3，y≥3，根据解不定方程的方法求出其解即可．解答：解：设甲种笔记本购置了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤50，∵x≥3，y≥3，∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜50，当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜50，当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜50，当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞50舍去，当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜50，当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜50，当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞50舍去，当x=5，y=3时，7×5+5×3=50=50，综上所述，共有6种购置方案．应选D．点评：此题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点．20．（3分）（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则以下结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．应选D．点评：此题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．三、简答题（满分60分）21．（5分）（2013•黑龙江）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x=2sin45°+1．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．分析：先通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后求出x的值，再把它代入原式，进行计算即可．解答：解：（1﹣）÷=•=，当x=2sin45°+1=2×+1=+1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值，关键是把分式化到最简，然后代值计算．22．（6分）（2013•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保存x）考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．解答：解：（1）如下图：A1的坐标为：（﹣3，6）；（2）如下图：∵BO==，∴==π．点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．23．（6分）（2013•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）根据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），∴EF=4，过点D作DM⊥y轴于点M．∴S△DEF =EF•DM=8．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．24．（7分）（2013•黑龙江）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学1分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数．（3）若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成就为优秀？（4）请你根据以上信息，对我市开展的学生跳绳活动谈谈自己的看法或建议．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用95≤x＜115的人数是8+16=24人，所占的比例是12%即可求解；（2）求得范围是115≤x＜145的人数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的比例即可求解；（3）首先求得所占的比例，然后乘以总人数8000即可求解；（4）根据实际情况，提出自己的见解即可，答案不唯一．解答：解：（1）抽查的总人数：（8+16）÷12%=200（人）；（2）范围是115≤x＜145的人数是：200﹣8﹣16﹣71﹣60﹣16=29（人），则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360×=81°．；（3）优秀的比例是：×100%=52.5%，则估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成就为优秀人数是：8000×52.5%=4200（人）；（4）全市到达优秀的人数有一半以上，反映了我市学生锻炼情况很好．点评：此题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．25．（8分）（2013•黑龙江）2012年秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面．兴华农场积极想方法，决定采用机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收，工作了4天，由于雨雪过大，机械收割被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的，第8天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6天，完成了兴化农场合有的收割任务．图1是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图2是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x天之间的函数图象，请结合图象答复以下问题．（1）请直接写出：A 点的纵坐标600．（2）求直线BC的解析式．（3）第几天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意可知a=8，再根据图2求出4到8天时的人工收割量，然后求出前4天的人工收割的量即可得到点A的纵坐标；（2）先求出点B、C的坐标，再设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后列出方程求解，再求出直线EF的解析式，根据10倍关系列出方程求解，从而最后得解．解答：解：（1）由题意可知，a=8，所以，第4到8的人工收割作物：26200﹣25800=400（亩），所以，前4天人工收割作物：400÷=600（亩），故点A的纵坐标为600；（2）∵600+400=1000，∴点B的坐标为（8，1000），∵34800﹣32000=2800，∴点C的坐标为（14，2800），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC的解析式为y=300x﹣1400；（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，∵A（4，600），B（8，1000），∴，解得，所以，y=100x+200，由题意得，10（100x+200）=8000，解得x=6；设直线EF的解析式为y=k2x+b2，∵E（8，8000），F（14，32000），∴，解得，所以，直线EF的解析式为y=4000x﹣24000，由题意得，4000x﹣24000=10（300x﹣1400），解得x=10．答：第6天和第10天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍．点评：此题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，题目信息量较大，理解两个图象并准确获取信息，确定出题目中的数量关系是解题的关键．26．（8分）（2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B 作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜测，并选择一种情况给予证明．考点：正方形的性质；矩形的性质；旋转的性质专题：证明题．分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解答：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：AF﹣BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若选图3，其证明方法同上．点评：此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是此题的难点．27．（10分）（2013•黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年方案开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A 型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元．（1）请问有几种开发建设方案？（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据投入资金不超过200万元，又不低于198万元列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x是正整数解答；（2）设总投资W元，建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据总投资等于A、B两个型号的投资之和列式函数关系式，再根据一次函数的增减性解答；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，根据再建设的两种户型的资金等于（2）中方案节省的资金列出二元一次方程，再根据a、b都是正整数求解即可．解答：解：（1）设建设A型x套，则B型（40﹣x）套，根据题意得，，解不等式①得，x≥15，解不等式②得，x≤20，所以，不等式组的解集是15≤x≤20，∵x为正整数，∴x=15、16、17、18、19、20，答：共有6种方案；（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40﹣x）套，W=5.2x+4.8×（40﹣x）=0.4x+192，∵0.4＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，则（5.2﹣0.7）a+（4.8﹣0.3）b=15×0.7+（40﹣15）×0.3，整理得，a+b=4，a=1时，b=3，a=2时，b=2，a=3时，b=1，所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；②A型住房2套，B型住房2套；③A型住房3套，B型住房1套．点评：此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键，（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围．28．（10分）（2013•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点C的坐标．（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）证△AOC∽△COB，推出OC2=OA•OB，即可得出答案．（2）求出OA=9，OC=12，OB=16，AC=15，BC=20，证△ACD≌△AED，推出AE=AC=15，证△BDE∽△BAC，求出DE=，D（6，），设直线AD的解析式是y=kx+b，过A（﹣9，0）和D 点，代入得出，求出k=，b=即可．（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，理由是：①以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符。

中考龙东地区数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. πD. √02. 已知a、b是实数，且a + b = 0，则下列等式中正确的是（）A. a^2 = b^2B. a = bC. a^2 = -b^2D. a^2 = b^2 且 a = b3. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于x轴的对称点是（）A.（-1，-2）B.（1，-2）C.（-1，2）D.（1，2）4. 下列函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（）A. y = √xB. y = 1/xC. y = |x|D. y = x^2 - 15. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形6. 在下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，3，5，7，9B. 2，4，6，8，10C. 1，4，7，10，13D. 3，6，9，12，157. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直B. 直角三角形的斜边中点到顶点的距离等于斜边的一半C. 对顶角相等D. 直线与平面垂直，则直线上的任意一点都在平面上8. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 259. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = x^2D. y = -x^210. 已知函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点（2，3），则下列选项中正确的是（）A. k > 0，b > 0B. k < 0，b < 0C. k > 0，b < 0D. k < 0，b > 0二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。

12. 在直角坐标系中，点B（3，-4）到原点的距离是______。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为吨．2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．4．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球个．5．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．6．（3分）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费元．7．（3分）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．8．（3分）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为cm．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．10．（3分）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A坐标为．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b212．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．13．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或714．（3分）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，1315．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．16．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y217．（3分）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤118．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．19．（3分）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种20．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．23．（6分）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．24．（7分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．25．（8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？26．（8分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．27．（10分）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？28．（10分）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）（•黑龙江）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为8×1010吨．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：800亿=8×1010．故答案为：8×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（•黑龙江）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≠1 ．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）（•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE （只需添加一个即可），使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF 根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（3分）（•黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5．（3分）（•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1 ．【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a的取值范围．【解答】解：由x﹣a＞0得，x＞a；由1﹣x＞x﹣1得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）（•黑龙江）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费39.5 元．【分析】先根据单价×数量=总价求出10吨的水费，再根据单价×数量=总价加上超过10吨的部分的水费，再把它们相加即可解答．【解答】解：2.2×10+（2.2+1.3）×（15﹣10）=22+3.5×5=22+17.5=39.5（元）．答：应交水费39.5元．故答案为：39.5．【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出算式，再求解．7．（3分）（•黑龙江）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．【分析】由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COA﹣S△COA可求得答案．【解答】解：如图，过O作OE⊥CA于点E，∵DB为⊙O的切线，∴∠DBA=90°，∵∠D=30°，∴∠BOC=60°，∴∠COA=120°，∵OC=OA=4，∴∠OAE=30°，∴OE=2，CA=2AE=4∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA=﹣×2×4=π﹣4，故答案为：π﹣4．【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA的面积是解题的关键．8．（3分）（•黑龙江）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为2+4πcm．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥周长=弧长+2母线长．【解答】解：∵圆锥的底面半径是2，高是3，∴圆锥的母线长为：=，∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2×+2π×2=2+4π．故答案为2+4π．【点评】本题考查圆锥的计算，明确圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，并熟练掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形．9．（3分）（•黑龙江）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4 ．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．10．（3分）（•黑龙江）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y 轴于点A4…，则点A坐标为（（），0）．【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于=168×12+1，则可判定点A在x轴的正半轴上，再规律得到OA=（），然后表示出点A坐标．【解答】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵=168×12+1，∴点A在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，OA4=（）3，…OA=（），∴点A坐标为（（），0）．故答案为（（），0）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各点到原点的距离和点的位置的循环规律．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6b3，不符合题意；B、原式=27a6，符合题意；C、原式=x4，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选B【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（•黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】利用中心对称图形与轴对称图形性质判断即可．【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选A【点评】此题考查了中心对称图形，以及轴对称图形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．13．（3分）（•黑龙江）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．14．（3分）（•黑龙江）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据中，13出现了10次，出现次数最多，所以众数为13，第15个数和第16个数都是14，所以中位数是14．故选C．【点评】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．也考查了条形统计图．15．（3分）（•黑龙江）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化；当甲池中水到达连接的地方，乙水池中水面上升比较快；当两水池水面持平时，乙水池的水面持续增长较慢，最后两池水面持平后继续快速上升，故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16．（3分）（•黑龙江）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）（•黑龙江）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3∴x=，由于该分式方程有解，令x=代入x﹣3≠0，∴a≠9，∵该方程的解是非负数解，∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9，故选（C）【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．18．（3分）（•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD=，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2，故选B．【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．19．（3分）（•黑龙江）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因为x是正整数，所以当x=2时，y=7．当x=5时，y=5．当x=8时，y=3．当x=11时，y=1．即有4种购买方案．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．20．（3分）（•黑龙江）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2 ，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2 ﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH最小时的情况．三、解答题（满分60分）21．（5分）（•黑龙江）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．【解答】解：÷﹣===，当a=1+2cos60°=1+2×=1+1=2时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（6分）（•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．23．（6分）（•黑龙江）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．【分析】（1）由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；（2）由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．【解答】解：（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1、OA=OC=2，则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+；（2）如图，∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，∴点Q坐标为（，），设直线OP解析式为y=kx，将点Q坐标代入，得：k=，解得：k=3，∴直线OP的解析式为y=3x，代入y=﹣x2+x+，得：﹣x2+x+=3x，解得：x=1或x=﹣4，当x=1时，y=3，当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．24．（7分）（•黑龙江）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了200 名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是36 度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）求得喜爱《挑战不可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．【解答】解：（1）30÷15%=200名，答：本次调查中共抽取了200名学生；故答案为：200；（2）喜爱《挑战不可能》节目的人数=200﹣20﹣60﹣40﹣30=50名，补全条形统计图如图所示；（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×=36度；故答案为：36；（4）2000×=600名，答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．【点评】此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．25．（8分）（•黑龙江）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距480 千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；（2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等．【解答】解：（1）360+120=480（千米）故答案为：480；（2）设3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，由图象可得，货车的速度为：120÷3=40千米/时，则点B的横坐标为：3+360÷40=12，∴点P的坐标为（12，360），，得，即3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x﹣120；（3）v客=360÷6=60千米/时，v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，40t+60t=480解得t=4.8，综上所述，经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了时间、路程、速度三者之间的关系，准确识图理解两车的行驶过程是解题的关键．26．（8分）（•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．。