高中数学 对数的概念教学案

3. 2.1 对数的概念
教学目标
1．理解对数的概念；
2．能够说明对数与指数的关系；
3．掌握对数式与指数式的相互转化；
4．了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法；
5．了解对数恒等式．
教学重点与难点
本节课的重点是对数的概念，对数式与指数式的相互转化；难点是对数概念的理解．
教学过程
一、创设情境
(对数的起源)介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；
二、学生活动、建构数学
探究：在第2.2.2节的例4中，我们研究了一种放射性物质不断变化为其他物质的过程．设该物质最初的质量是1，则经过x年后，该物质的残留量0.84x
y=，由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的残留量y；反过来，知道了该物质的残留量y，怎样求出所经过的时间x呢？特别地，经过多少年这种物质的残留量为原来的一半？三、数学理论、数学运用
1．对数的概念
上述问题也就是求满足0.840.5
x=中的x，此时问题就转化为已知底数和幂的指求指数的问题．
一般地，若(0,1)
a a a
>≠的b次幂等于N，即b a N
=，则就称b是以a为底N的对
数(logarithm)，记作log
a N b
=，其中，a叫做对数的底数(base of logarithm)，N
叫做真数(proper number)．
log a N 的意义：a 的多少次方是N ？
说明：①．注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
②．x N N a a x =⇔=log ；
③．注意对数的书写格式．
思考：①为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；
②是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．
2．对数的性质
⑴．零和负数没有对数，即N a log 中N 必须大于零；
⑵．1的对数为0，即log 10a =;
⑶．底数的对数为1，即1log =a a ．
3. 常用对数：通常将以10为底的对数称为常用对数(common logarithm)
如2121010log ，log 等，为了方便起见，对数N 10log 简记为N lg ，如lg2，lg12等．
自然对数：在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，称之为自然对数(natural
logarithm)，e =2.71828…是一个无理数．正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，
如log 2e ，log 15e 分别记为ln 2，ln15等．
1．对数的概念
【例1】将下列指数式改写成对数式：
⑴．4216=； ⑵．31327-=； ⑶．520a =； ⑷．1()0.452b =． 【练习1】将下列对数式改写成指数式：
⑴．5log 1253=；
⑵．log 32=-； ⑶．lg 1.699a =-； ⑷．ln 5a =．
【例2】求下列各式的值：
⑴．2log 64； ⑵．9log 27； ⑶．1lg
100． 【练习2】⑴．填空：
⑵．①．已知0,1,0,a a N b R >≠>∈．则2log a a =_______________，5log a a =_______________，3log a a -=_______________，15
log a a =_______________，…，一般地，log b a a =_______________，请证明这个结论；
②．证明：log a N a N =．
2．对数式的化简与求值
【例3】求值：⑴．若2log (log 9)1x =，则x =_______________；
⑵．已知234log [log (log )]0x =，且42log (log )1y =，求34y
【练习3】已知log log (0,1,0,1)a b b a a a b b =>≠>≠，求证：a b =或1a b =
．
四、 回顾反思
本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，了解了对数恒等式，通过阅读材料，
了解对数的发展历史及其对简化运算的作用．
课后作业
课本P58练习
1． 3． 4． 5．
【例4】若2log 13a
<，则a 的取值范围为_______________．203
a <<或1a >
3．2．1 对数的运算性质
教学目标
6．能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算；
7．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简和证明．
教学重点与难点
本节课的重点是对数的运算性质及用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；难点是对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程
一．问题情境
我们知道，指数幂运算有以下性质：
⑴．m n m n a a a +=； ⑵．m
m n n a a a -=；
⑶．()m n mn a a =；
⑷．()m m m ab a b =； ⑸．()m
m m a a b b
=． 根据对数的定义，有log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>，那么，对数运算也有
相应的性质吗？ 二． 数学理论、数学运用
2． 对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
证明：设log a M p =，log a N q =，由对数的定义得，p M a =，q N a =，故
p q p q MN a a a +==，则log ()log log a a a MN p q M N =+=+，即log ()log log a a a MN M N =+．
仿照性质①的证明方法证明性质②，③(引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性
质)
例1．求下列各式的值：
⑴．352log (24)⨯； ⑵．5log 125．
【练习1】已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
⑴．lg12； ⑵．27lg 16
． 1．已知函数23()log log 3f x a x b x =-+，若1()42009f =，则(2009)f 的值为 ．2
【例2】求值：⑴．2(lg5)lg 2lg50+⋅；⑵．2lg 2lg32lg 0.362lg 2
+++． 【练习2】设a
表示
的小数部分，则2log (21)a a +=______________． 解方程： ⑴．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则x y
=______________． ⑵．求方程lg lg(3)1x x ++=的解．
【例2】试用常用对数表示3log 5．
说明：由例3引入对数的换底公式．
3． 换底公式 一般地，我们有log log log c a c N N a
=，其中0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠这个公式称为对数的换底公式(change of base formula)．
说明：通常换成常用对数或自然对数．
【练习2】求83log 9log 32⨯的值．
2．⑴．已知2510a b ==，求11a b
+的值；⑵．已知2510x y z ==，求证：111x y z +=． 3．已知2log 3a =，37b =，试用a ，b 表示12log 56．
已知284log log 5a b +=，284log log 7b a +=，0a >，0b >，求2log ()ab 的值．
2、（2009淮安3月调研）已知函数)2009(.4)2009
1(,2log log )(32f f b a x f x x 则若=+-=的值为 0
例5：2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元．如果我国GDP 年均增长7．8%左
右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？
课内练习（课本P62练习1、3）
三．回顾反思
1．对数的运算性质；
2．换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会．
课后作业
课本P60练习3、5
课本P62练习2、4。