第二章 平面问题的基本理论
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2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)
当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。
由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
平面问题的基本理论
y
y
dy
说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
—— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关 （钢、石料、混凝土等）；
（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
1) 2
时，τN为最大、最小值：
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
px l x m yx py m y l xy
（2-3） （2-4）
N l 2 x m2 y 2lm xy （2-5） N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy（2-6）
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y 的函数。
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： x , y , xy x , y , xy u, v
第二章 平面问题的基本理论
要点 —— 1）两类平面问题
2）建立平面问题的基本方程 3）一点应力状态的分析 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
弹性力学是已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。
弹性力学 第二章平面问题的基本理论
体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件：
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论
第2章 平面问题的基本理论
u = u ( x, y ) ,v = v ( x, y )
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
弹性力学第二章平面问题的基本理论
圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论
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第二章 平面问题的基本理论
本章要点：建立平面问题的基本方程 主要包括以下主要内容：
1. 平衡微分方程； 2. 几何方程； 3. 物理方程； 4. 变形协调方程； 5. 边界条件的描述； 6. 方程的求解方法等
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
yB
斜面外法线 N 关于坐标轴的方向余弦为：
cos(N, x) l
dx ds m
dy
dx ds
YN
yx
A XN
s
N
cos(N, y) m
dy ds l
由微元体平衡知： Fx 0,
则有： xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0 xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
2.平面应变问题 (1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大
得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化， 近似认为无限长。
(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，
且沿长度 z 方向不变化。约束沿长度 z 方向 不变化。
(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y 0yy dy
两边同时除以dx,dy整理得： x yx X 0
由
Fy 0
x y
则有
(
y
y
y
dy)dx 1
ydx 1
( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
45°夹角
第二章 平面问题的基本理论
O
u
dx
x u u dx x
§2-4 几何方程，刚体位移 v
(1) 几何方程
dy
A
v v dx x
平面问题中应变与位移的关系
B
A
—— 几何方程。 一点的变形包括： 线段的伸长与缩短和
y
v v dy y
B
u u dy y
线段间的相对转动
求解得： m x
m yx
l
yx
l y
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
该式即为平面应
(2-7) 力1 状 态2主应力x 的 y
计算公式
第二章 平面问题的基本理论
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(4) 应力主向
主应力 所在的平面 —— 称为主平面；
m yx l y
主应力 所在平面的法线方向
m x
—— 称为应力主向；
l
yx
设 1与 x 轴的夹角为 1， 1与坐标轴正向的方向余弦
为 l1, m1 ，则
tan1
zx xz 0; zy yz 0
结论：平面应力问题只有3个应力分量，
y
且仅与X，Y有关：
yx
x
x (x,
y)
y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
x x
xy
xy
y yx
第二章 平面问题的基本理论
任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，xy的函数。
水坝 滚柱
厚壁圆筒
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
(4) 应力应变特征
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w 0所有各点的位移矢量都平行于 x y
水坝
平面。即为平面位移问题。则有：
yx
y
dy
注：体力为：X,Y；且计算时使 用了小变形假定，以变形前的尺 寸代替变形后尺寸。
第二章 平面问题的基本理论
x
(
xy
§2-2 平衡微分方程
O
由微元体PACB平衡，得
MD 0
y
则有
yx
xy
x
dx)dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
x
yx
两边同时除以dx,dy整理得：
y
y
xy
x
Y
0
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由上述可得平面问题的 平衡微分方程：
x yx X 0
x y
(2-1)
xy y Y 0 (2-2)
x y
y
yx
x
yx
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y)
y y (x, y)
平面应变问题
xy yx xy (x, y)
注： (1)平面应变问题中 z 0，但是 z 0 z ( x y )
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
如图斜面上的应力状态投影得：
N lX N mYN
y
N lYN mX N
xy N
B YN
N sN
将式(2-3)、(2-4)代入，并整理得：
N l 2 x m2 y 2lm xy (2-5) —任意斜截面上
N lm( y x ) (l2 m2 ) xy (2-6) 应力计算公式
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
说明：(1) 两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
为超静定问题，需找补充方程才能求解。
(2) 对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(3) 主应力
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
若某一斜面上 N=0，则该斜面上的
正应力称为 N 该点一个主应力 ； y
当 N=0时，有 N s
xy N
B YN
N sN
则 YXNNml
l x m yx l X N l x m yx m y l xy m YN m y l xy
(3) 平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关；
(4) 平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
第二章 平面问题的基本理论
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
P
(1) 斜面上应力在坐标方向上的分量 x
设P点应力为： x , y , xy yx
已知斜面上的应力矢量为：S
xy
N
B
则变形为
l
2
2
(
2
1
)
x
A
N sN
显然当
则：
1 l 2 0(l 2
1) 2
时，
N
有最大最小值。
max 1 2 由l
min
2
1知 2
max 、 min 的
方向与1 ( 2)成
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由
Fx 0
则有
( x
x
x
dx)dy 1
xdy
1
(
yx
yx
y
dy)dx 1 yxdx 1
y x
yx
yx
y
Xdx
y
P D
xy
B
dy
dy 1
yxA
X
x
x
1 2!
2 x
x2
(dx)2
y
x
yxA x
C xy
y
y
y
dy
x dx
x
xy dx
x
xyxxxydxxx
dx
1 2!
2
x
xy 2
(dx)2
xy
xy
x
dx
BC面：
y
y
y
dy
yx
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-2 平衡微分方程
O
P
在P点附近取微元体PACB,
PA dx PB dy
x xy B
Z方向取单位长度，设Ｐ点应力
为： x , y , xy yx
yx
y yx
y
dy
则AC面：
x
x
x
dx
N的方向规定：将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针 的，则该 N 为正；反之为负。
本章要点：建立平面问题的基本方程 主要包括以下主要内容：
1. 平衡微分方程； 2. 几何方程； 3. 物理方程； 4. 变形协调方程； 5. 边界条件的描述； 6. 方程的求解方法等
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
yB
斜面外法线 N 关于坐标轴的方向余弦为：
cos(N, x) l
dx ds m
dy
dx ds
YN
yx
A XN
s
N
cos(N, y) m
dy ds l
由微元体平衡知： Fx 0,
则有： xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0 xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
2.平面应变问题 (1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大
得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化， 近似认为无限长。
(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，
且沿长度 z 方向不变化。约束沿长度 z 方向 不变化。
(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y 0yy dy
两边同时除以dx,dy整理得： x yx X 0
由
Fy 0
x y
则有
(
y
y
y
dy)dx 1
ydx 1
( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
45°夹角
第二章 平面问题的基本理论
O
u
dx
x u u dx x
§2-4 几何方程，刚体位移 v
(1) 几何方程
dy
A
v v dx x
平面问题中应变与位移的关系
B
A
—— 几何方程。 一点的变形包括： 线段的伸长与缩短和
y
v v dy y
B
u u dy y
线段间的相对转动
求解得： m x
m yx
l
yx
l y
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
该式即为平面应
(2-7) 力1 状 态2主应力x 的 y
计算公式
第二章 平面问题的基本理论
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(4) 应力主向
主应力 所在的平面 —— 称为主平面；
m yx l y
主应力 所在平面的法线方向
m x
—— 称为应力主向；
l
yx
设 1与 x 轴的夹角为 1， 1与坐标轴正向的方向余弦
为 l1, m1 ，则
tan1
zx xz 0; zy yz 0
结论：平面应力问题只有3个应力分量，
y
且仅与X，Y有关：
yx
x
x (x,
y)
y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
x x
xy
xy
y yx
第二章 平面问题的基本理论
任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，xy的函数。
水坝 滚柱
厚壁圆筒
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
(4) 应力应变特征
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w 0所有各点的位移矢量都平行于 x y
水坝
平面。即为平面位移问题。则有：
yx
y
dy
注：体力为：X,Y；且计算时使 用了小变形假定，以变形前的尺 寸代替变形后尺寸。
第二章 平面问题的基本理论
x
(
xy
§2-2 平衡微分方程
O
由微元体PACB平衡，得
MD 0
y
则有
yx
xy
x
dx)dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
x
yx
两边同时除以dx,dy整理得：
y
y
xy
x
Y
0
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由上述可得平面问题的 平衡微分方程：
x yx X 0
x y
(2-1)
xy y Y 0 (2-2)
x y
y
yx
x
yx
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y)
y y (x, y)
平面应变问题
xy yx xy (x, y)
注： (1)平面应变问题中 z 0，但是 z 0 z ( x y )
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
如图斜面上的应力状态投影得：
N lX N mYN
y
N lYN mX N
xy N
B YN
N sN
将式(2-3)、(2-4)代入，并整理得：
N l 2 x m2 y 2lm xy (2-5) —任意斜截面上
N lm( y x ) (l2 m2 ) xy (2-6) 应力计算公式
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
说明：(1) 两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
为超静定问题，需找补充方程才能求解。
(2) 对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(3) 主应力
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
若某一斜面上 N=0，则该斜面上的
正应力称为 N 该点一个主应力 ； y
当 N=0时，有 N s
xy N
B YN
N sN
则 YXNNml
l x m yx l X N l x m yx m y l xy m YN m y l xy
(3) 平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关；
(4) 平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
第二章 平面问题的基本理论
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
P
(1) 斜面上应力在坐标方向上的分量 x
设P点应力为： x , y , xy yx
已知斜面上的应力矢量为：S
xy
N
B
则变形为
l
2
2
(
2
1
)
x
A
N sN
显然当
则：
1 l 2 0(l 2
1) 2
时，
N
有最大最小值。
max 1 2 由l
min
2
1知 2
max 、 min 的
方向与1 ( 2)成
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由
Fx 0
则有
( x
x
x
dx)dy 1
xdy
1
(
yx
yx
y
dy)dx 1 yxdx 1
y x
yx
yx
y
Xdx
y
P D
xy
B
dy
dy 1
yxA
X
x
x
1 2!
2 x
x2
(dx)2
y
x
yxA x
C xy
y
y
y
dy
x dx
x
xy dx
x
xyxxxydxxx
dx
1 2!
2
x
xy 2
(dx)2
xy
xy
x
dx
BC面：
y
y
y
dy
yx
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-2 平衡微分方程
O
P
在P点附近取微元体PACB,
PA dx PB dy
x xy B
Z方向取单位长度，设Ｐ点应力
为： x , y , xy yx
yx
y yx
y
dy
则AC面：
x
x
x
dx
N的方向规定：将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针 的，则该 N 为正；反之为负。