北京市四中2007—2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷(理科)
2008-2009学年北京四中第一学期高三年级期中测检理
2008-2009学年度北京四中第一学期高三年级期中测检数学试卷（理科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每题5分，共40分）1．若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =A ．[1,0]-B ．[0,)+∞C ． [1,)+∞D ．(,1]-∞-2．已知函数1()1x f x x+=-，则1(2)f -的值为A ．13-B ．13C ．3-D ．3 3．函数1)4(cos )4(sin )(22--++=ππx x x f 是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4．在三角形ABC 中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为 A ．58B ．85C ．35 D ．535．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-6．若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．()(),01,-∞+∞C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞-+∞8．已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，若421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负二、填空题（每题5分，共30分）9．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = .10．若奇函数()(0)y f x x =≠在(0,)x ∈+∞时()1f x x =-，则使(1)0f x -<成立的x 的范围是 . 11．下列函数①x x f 1)(=；②x x f 2sin )(=；③||2)(x x f -=；④xx f cot 1)(=中，满足“存在与x 无关的正常数M ，使得M x f ≤|)(|对定义域内的一切实数x 都成立”的有 .（把满足条件的函数序号都填上）12．定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，1(10)()1(01)x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则f （3）= .13．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2a ，2b ，2c 成等差数列，则cos B = .14．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足 2*(1)()n f n a n =∈N ，则数列{}n a 的通项n a 等于 .三、解答题（共6题，共80分）15．(13分)已知函数.1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f（1）求)(x f 的最小正周期； （2）若[0,]3x π∈，求函数()f x 的最大值和最小值.16．（13分）已知集合{}22|log (2)log (23)a a A x x x x x =-->-++，且94A ∈.求A . 17．（13分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对于任意的2()n n *≥∈N ，34n S -，n a ，1322n S --总成等差数列.（1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）求通项n a ； （3）计算lim n n S →∞.18．（13分）设1a >，函数1()2x f x a+=-.（1）求()f x 的反函数1()f x -；（2）若1()f x -在[0,1]上的最小值和最大值互为相反数，求a 的值； （3）若1()fx -的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.19．（14分）已知函数321()3f x x bx cx =++，,b c ∈R ，且函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减. （1）若2b =-，求c 的值； （2）求证：3c ≥；（3）设函数()()g x f x '=，当[1,3]x ∈-时，()g x 的最小值是1-，求,b c 的值. 20．（14分）已知函数1()2f x x=+，数列{}n a 中, 11, ()n n a a a f a +==()n *∈N .当a 取不同的值时,得到不同的数列{}n a ,如当1a =时, 得到无穷数列7171, 3, , ,37；当12a =-时, 得到有穷数列. 0,21-（1）求a 的值，使得30a =；（2）设数列{}n b 满足111,()()2n n b b f b n *+=-=∈N ，求证：不论a 取{}n b 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列{}n a ；（3）求a 的取值范围, 使得当2n ≥时, 都有733n a <<.。
北京四中2007—2008年高三年级第一学期期中测试数学文科
北京四中2007—2008年高三年级第一学期期中测试数学文科试卷满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合====N M N M N x M 则若},1{},2,1{},,0{A ．{0,x,1,2}B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．无法确定2．方程1cos 2=x 的解集为 A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k∈-+=ππ3．函数]2,1[3--=在x x y 的最小值为A ．2B ．0C ．－4D ．－24．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于A ．21B ．19C ．17D ．155．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是 A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y6．等差数列}{n a 中，a 3、a 8是方程0532=--x x 的两个根，则S 10是A ．15B ．25C ．30D ．507．函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，xx f x )21()(,21=≤≤-时又，则有A ．1(1)(4)2f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭B ．1(4)(1)2f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．)4(21)1(f f f <⎪⎭⎫⎝⎛-<D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<<21)4()1(f f f 8．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有 A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题（每小题5分共30分）9．函数x y 2cos 3=的最小正周期为 . 10．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 . 11．已知数列}{n a 的前n 项和,92n n S n -=则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .12．函数)(x f y =在定义域（0,∞-）内存在反函数，若,2)1(2x x x f -=-)3(f 则= ， 则=-)3(1f.13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 14．给出下列命题：①函数)10(≠>=a a a y x且与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且 的定义域相同； ②函数xy x y 33==与函数值域相同； ③使函数),2(21+∞-++=在区间x ax y 上为增函数的a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21， 其中错误命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题13分）已知：a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对. （1）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a 、b 的值； （2）若,cos cos B b A a =试判断△ABC 的形状，证明你的结论.已知：)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,1)(2--=x x x f （1）求函数)(x f 在R 上的解析式； （2）解不等式.1)(<x f17．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++= （1）若,x R ∈求()f x 的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值.18．（本小题满分13分）已知：13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0.求： （1）常数a 、b 的值； （2）)(x f 的单调区间.已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .20．（本小题14分）已知：函数),,(1)(2R c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(==f f . （1）求：a 、b 、c 的值；（2）当,),0(时+∞∈x 讨论函数)(x f 的单调性，并写出证明过程.数学文参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题（每小题5分共30分） 9．π 10．43π11． 102-n 8 12．8 －2 13．14 14．②③ 三、解答题 15．（1）由已知得,60sin sin 2123︒==b A bc ,1=∴b 由余弦定理,3cos 2222=-++A b c b a3=∴a .……………………5分（2）由正弦定理得：,sin 2,sin 2b B R a A R ==,cos sin 2cos sin 2B B R A A R =∴即,2cos 2sin B A =由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.……………………12分16．（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f ；（2）)2,0[)1,(Y --∞ 17．（1）.1)62sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++=+++=π解不等式.226222πππππ+≤+≤-k x k得),(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ)(x f ∴的单调区间为).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）],2,0[π∈x .67626πππ≤+≤∴x∴当.3)(,6262max a x f x x +===+时即πππ,43=+a 1=∴a ，此时6π=x .18．（1）,63)(2b ax x x f ++=' 由题知：2360(1)0(1)0130a b f f a b a -+='-=⎧⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩⎩联立上式有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9231b a b a 或……………………4分 当a=1,b=3时，0)1(3963)(22≥+=++='x x x x f 这说明此时)(x f 为增函数，无极值，舍去………………6分 当)1)(3(39123)(,9,22++=++='==x x x x x f b a 时 故方程130)(-=-=='x x x f 或有根由表可见，当1-=x 时，)(x f 有极小值0，故⎩⎨⎧==92b a 符合题意………………9分 （2）由上表可知：)(x f 的减函数区间为（－3，－1）)(x f 的增函数区间为（－∞，－3）或（－，+∞）………………12分19．（1）,333313221n a a a a n n =++++- ),2(31333123221≥-=++++--n n a a a a n n),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a nn验证n=1时也满足上式：*)(31N n a nn ∈= （2）n n n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅= 143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S 12311332333333,13n nn n n S n n +++--=+++-⋅=-⋅-.433413211+⋅-⋅=++n n n n S 20．（1） )(x f 为奇函数，)()(x f x f -=-∴，即,1122cbx ax c bx ax --+=+-+ 比较分母的系数，得c=0，又f （1）=2，f （2）=3.得.23,2.3214,21==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b a ba ba 解得0,23,2===∴cb a 为所求. （2）.22)0(24,3243243242312)(222=>==≥+=+=x x x x x x x x x x f 得由 21211212122212321)4(324324)()(x x x x x x x x x x x f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+=-当0,021,0)(,22021211221><⎪⎭⎫ ⎝⎛->-≤<<x x x x x x x x 时 ⎥⎦⎤⎝⎛<∴22,0)(),()(12在x f x f x f 上是减函数.当2122x x <≤时，.0,021,0212112>>->-x x x x x x⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞>∴,22)(),()(12在x f x f x f 上是增函数.。
北京市东城区2007—2008学年度高三综合练习数学理科(一)
北京市东城区2007—2008学年度高三综合练习（一）数学试题（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或2．已知等比数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 3=7a 1，则数列{n a }的公比q 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．2或－3D ．2或33．“0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 （ ）A ．1010B ．1030 C ．1060 D ．10103 5．实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为（ ）A ．—1B ．0C ．2D ．46．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种7．已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．△ABC 中，AB =22，AC=2，BC =2，设P 为线段BC 上一点，且,2321≤≤PB 则一定有（ ）A ．AB ·AC >P A 2，AB ·AC >PB ·PC B ．P A 2>AB ·AC ，P A 2>PB ·PCC ．PB ·PC > AB ·AC ，PB ·PC >P A 2D ．AB ·AC > PB ·PC ，P A 2 >PB ·PC第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．=--+-→)131(lim 21x x x x x .10．函数)12(log 31-=x y 的定义域是 .11．函数x x x y 2cos 3cos sin 2+=的最小正周期为 ；最大值为 .12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 13．在三棱锥P —ABC 中，△ABC 是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=34，则点P到平面ABC 的距离为 ；若P ，A ，B ，C 四点在某个球面上，则球的半径为 . 14．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈；②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC成30°角.（I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值； （III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 17．（本小题满分13分）已知定圆,16)1(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C . （I ）求曲线C 的方程；（II ）若点),(00y x P 为曲线C 上一点，求证：直线01243:00=-+y y x x l 与曲线C 有且只有一个交点.18．（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率. 19．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在x =1处连续.（I ）求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调减区间；（III ）若不等式R ∈+≤x c x x f 对一切)(恒成立，求c 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知集合)(),2,1(},,,,,{1321A l n n i a a a a a A n >≤≤∈=R 其中Λ表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数.（I ）已知集合)(),(},16,8,4,2{},8,6,4,2{Q l P l Q P 分别求==； （II ）若集合2)1()(:},2,,8,4,2{-==n n A l A n求证Λ； （III ）求)(A l 的最小值.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．2 10．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 11．2,π 12．21≤<e 13．6，4 14．5，3 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分） （I ）解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a…………13分16．（本小题满分14分）解法一：（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1.…………4分（II ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ， ∴A 1M ⊥平面B 1AC.∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N 做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ，由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ， ∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin…………14分解法二：（I ）证明：同解法一. …………4分（II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A C A B A C A B A AC B B A B A 又的一个法向量是平面易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量，.33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,11111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BB BC n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分17．（本小题满分13分）（I ）解：圆A 的圆心为4),0,1(1=-r A 半径，设动圆M 的圆心.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为由|AB|=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA|=r 1—r 2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+b y a x ，由.3,4,22,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.13422=+y x …………6分（II ）解：当2,134,002400±==+=x y x y 可得由时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠--==-====.134,4312:,4312,0).0,2(,2,0,2).0,2(,2,0,22200000000000y x y x x y y xx y l y C l x l y x C l x l y x 联立方程组的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当消去.0164824)34(,20023020=-+-+y x x x x y y 得 ①由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.1234.13420202020=+=+x y y x 可得得于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =，),,(,4312000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-==综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为),(00y x P . …………13分18．（本小题满分13分）（I ）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：.251254531=⨯=P …………4分（II ）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：.25185********=⨯+⨯=P…………8分（III ）解：甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙，甲胜丙，则概率为25125453=⨯； 若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为6252753535153=⨯⨯⨯； 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为.6254853545252=⨯⨯⨯所以，甲获胜的概率为.5362548625272512=++…………13分 19．（本小题满分13分）（I ）解：由1)(=x x f 在处连续，可得1ln 11=+-a ，故.0=a…………2分（II ）解：由（I ）得⎩⎨⎧>≤-=.1,ln ,1,)(23x x x x x x f.0)(,1)(,1.320,0)(,23)(,12>'='><<<'-='<x f xx f x x x f x x x f x 故时当可得令时当所以函数).32,0()(的单调减区间为x f…………7分（III ）解：设⎩⎨⎧>-≤--=-=.1,ln ,1,)()(23x x x x x x x x x f x g,)(,2753191271)31()().,31(),31,()(,1)(,)(),1(.0)(,1,11)(,1.)()1,31(,)()31,(.131,0)(;31,131,0)(,123)(,12恒成立对一切要使不等式的最大值为所以函数单调减区间为的单调增区间为于是函数处连续在又函数的单调减区间为函数可得时故当时当的单调减区间为函数的单调增区间为函数可得可得令即或可得令时当R ∈+≤=+--=-+∞---∞=+∞<'>-='>---∞<<-<'-<>-<>'--='<x c x x f g x g x g x x g x g x g x xx g x x g x g x x g x x x x g x x x g x,275)(,)(≤∈≤x g x c x g 又恒成立对一切即R 故c 的取值范围为.275≥c …………13分20．（本小题满分14分）（I ）解：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得5)(=P l ，由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24， 得.6)(=Q l…………4分（II ）证明：因为.2)1()(,2)1()1(2-≤-=≤<≤+n n A l n n C n j i a a n j i 所以项共有,)1(,,,,.,,,22,,),1,1(,},2,,8,4,2{1的值两两不同即所有时当且仅当因此时当即则不妨设时当任取又集合n j i a a a a a a l j k i a a a a k i l j a a a a a a a a a a l j l j n l k n j i a a a a A j i l k j i l k j i l k j i l k i i j j i l k j i n ≤<≤++=+==+≠+≠=+≠++<≤=<+<≠≤<≤≤<≤++=+Λ因此.2)1()(-=n n A l …………9分（III ）解：不妨设n a a a a <<<<Λ321，可得.)12(,)2()1(;,;,,),1(,,,,,,,32)(,32)1(,1113211213121中的一个或者等于中的一个等于因此每个和时当时当根据等差数列的性质考虑成等差数列设事实上即个不同的数中至少有故-≤≤+≤≤+≤<≤++=+>++=+≤+≤<≤+-≥-≤<≤++<<+<+<<+<+-+-+-n l a a n k a a n j i a a a a a a n j i a a a a n j i n j i a a a a a a n A l n n j i a a a a a a a a a a a a n l k j i n n j i j i j i j i j i n j i n n n n ΛΛΛ故对这样的集合.32)(,32)(,--=n A l n A l A 的最小值为所以…………14分。
~北京四中上高三数学学期期中考试(理)
2008~2009学年北京四中上高三数学学期期中考试（理）（满分150分，时间为120分钟）一、选择题（每题5分，共40分）1、若集合}0x x |x {B },x |x ||x {A 2≥+===，则=B A （ ） A. ]0,1[- B. ),0[+∞ C. ),1[+∞ D. ]1,(--∞2、已知函数x1x1)x (f -+=，则)2(f 1-的值为（ ） A. 31- B. 31C. －3D. 33、函数14x cos 4x sin )x (f 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数4、在三角形ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则Csin Bsin 的值为（ ）A. 58B. 85C. 35D. 535、已知数列}a {n 对任意的p ，*N q ∈满足q p q p a a a +=+，且6a 2-=，那么10a 等于（ ） A. －165B. －33C. －30D. －21 6、若集合}1|a x ||x {B },04x 5x |x {A 2<-=<+-=，则“)3,2(a ∈”是“A B ⊆”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件7、已知等比数列}a {n 中1a 2=，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A. ]1,(--∞B. ),1()0,(+∞-∞C. ),3[+∞D. ),3[]1,(+∞--∞8、已知定义域为R 的函数y ＝f(x)满足)4x (f )x (f +-=-，当2x >时，f(x)单调递增，若4x x 21<+且0)2x )(2x (21<--，则)x (f )x (f 21+的值（ ） A. 恒大于0B. 恒小于0C. 可能等于0D. 可正可负二、填空题（每题5分，共30分）9、已知等差数列}a {n 的公差为2，若431a ,a ,a 成等比数列，则=2a ___________。
北京四中2011届高三上学期期中考试理科数学试题
北京四中高三数学测试卷(理) 试卷满分共计150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．若，，则（）A． B． C． D．2．等比数列中，，前3项之和，则数列的公比为（）A．1 B． C．1或 D．或3．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．4．对任意复数（），为虚数单位，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．若偶函数满足当时，，则（）A．B．C． D．6．已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于轴对称 D．函数是奇函数7．设，若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．给出下列三个命题： ①若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数； ②若函数,，则函数与的图象关于直线对称; ③函数与是同一函数。
其中真命题的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．=__________。
10．若为第三象限角，且，则__________。
11．若二次函数满足，且，则实数的取值范围是___。
12．函数的单调减区间是__________，极小值是__________。
13．、是等腰直角斜边上的三等分点，则__________。
14．已知：数列满足，（），。
②，则该数列前10项和为__________； ②若前100项中恰好含有30项为0，则的值为__________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分15．（本小题满分13分） 已知：函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。
（1）求：的解析式； （2）当，求：的值域。
16．（本小题满分13分） 已知：函数。
（1）求：的单调区间；（2）若时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，求：的取值范围。
17．（本小题满分13分） 已知：对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（），（1）若数列的通项公式（），求：的通项公式；（2）若数列的首项是1，且满足，①设，求：数列的通项公式； ②求：的前n项和。
北京市第四中学20062007学年度第一学期
北京市第四中学2006—2007学年度第一学期初三数学第一次月考试卷答案成绩一、填空题(每题4分)1．化简11()m nm n n++÷的结果是 . [解析] 1m n n mn m n m+=⨯=+原式[点评] 分式的基本计算法则，注意除法的规则。
容易。
2．如图是地球表面积统计图的一部分，扇形A 表示地球陆地面积， 则此扇形的圆心角为 度． [解析]2240%36040%144360r r αππα=⋅⇒=⨯=[点评] 扇形面积与实际问题相联系的应用，考查了扇形面积公式和统计图表的识别。
答题时容易将144写成144 ，注意审题。
容易。
3．如图，∠C ＝∠E=90︒，AC ＝3，BC=4， AE=2，则AD ＝ .[解析]222229034255,::521033C AB AC BC AB C E BAC DAE ABC ADE AB AC AD AE AB AE AD AC ∠=∴=+=+=∴=∠=∠∠=∠∴∴=⋅⨯∴===[点评] 勾股定理和三角形相似的综合应用，要求对比较常见的勾股数（如3,4,5）熟悉，会利用相似得到比例线段进而求解线段长度。
一般。
4．如图4，往⊙O 中．∠ACB=∠D=60︒，AC=3，则△AB C 的周长为 ． [解析],603339ABC A D BCA D ABC AB BC AC C ∠∠∴∠=∠=∴∴==∴=++=均为所对圆周角为等边三角形[点评] 考查了圆周角定理和等边三角形的特殊性质。
容易。
5．如图5，AB 是⊙O 的切线，OB=20A ，则∠B 的度数是 ．[解析]12sin 230AB O A OA AB OA OB OA Rt OAB B OB B ∴⊥=∴==∴∠=与相切于在中, [点评] 切线性质和特殊三角函数的综合应用。
对于一些特殊的角度的三角函数值要熟悉，并且能从三角函数值反求角度。
注意结果要带角度符号（与第2题不同）。
一般。
6.已知：点M 为圆内的一点，且过点M 的最长的弦为10cm,最短的弦长为6cm,则OM= . [解析] 设最长弦端点为A 、B ，最短弦端点为C 、D ，且AB 过圆心（是直径）。
北京市西城区2007—2008学年度第一学期高三年级期末抽样测试——数学(理)
北京市西城区2008年高三抽样测试高三数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合2{|40}A x x x =->，{||1|2}B x x =-≤，那么集合A B 等于（ ）A. {|10}x x -≤<B. {|34}x x ≤<C. {|03}x x <≤D. {|10,34}x x x -≤<≤<或2. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，那么2sin 2cos αα的值等于（ ） A. 34- B. 32- C.34D.323. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，，4. 设函数2 2()2 2.3x x f x x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，，， 若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）A.(0,2)(3,)+∞B. (3,)+∞C.(0,1)(2,)+∞D. (0,2)5. 设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ）A.1B. 2C. 3D. 46. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（ ）A. 40种B. 30种C. 20种D. 10种 7. 经过椭圆2212xy +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB等于（ ）A. 3-B. 13-C. 13-或3- D. 13±8. 某水库建有10个泄洪闸. 现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加.为了防洪，需调节泄洪速度 .假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线 .根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 10. 已知双曲线22221 (0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程为43y x =，那么双曲线的离心率为_____ .11. 在A B C ∆中，已知2A C =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ .12. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______，最小值等于__________ .13. 已知点(0,0)A，0)B ，(0,1)C .设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .14. 对于任意实数a ，b ，定义, ,m i n {,}, .a a b a b b ab ≤⎧=⎨>⎩ 设函数2()3, ()lo g f x x g x x =-+=，则函数()m in {(),()}h x f x g x =的最大值是__________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos 2cos 1f x a x x x =-+的图象经过点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若[0,)x π∈，且()1f x =，求x 的值.16. （本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35. 假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率. 17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11//AC CDB 平面； （Ⅱ）求点B 到1CDB 平面的距离； （Ⅲ）求二面角1B B C D --的大小.18.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）写出()f x 的单调区间； （Ⅱ）解不等式()3f x <；（Ⅲ）设0a >，求()f x 在[0]a ，上的最大值.19.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形A C B D 面积的最小值 .20.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a a =，156n n na a a +-=，1,2,3,.n =（Ⅰ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +=成立，求a 的值；（Ⅱ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +>成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）请你构造一个无穷数列{}n b ，使其满足下列两个条件，并加以证明： ① 1, 1,2,3,n n b b n +<= ；ABCDA 1B 1C 1② 当a 为{}n b 中的任意一项时，{}n a 中必有某一项的值为1.北京市西城区2008年高三抽样测试高三数学（理科）答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7. B8. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 416； 10.5311.813213.1414. 1注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：2()sin cos 2cos 1sin 2cos 22a f x a x x x x x =-+=-. ………….. 3分依题意得08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即sin cos 0244a ππ-=， 解得2a =. ………….. 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin 2cos 22.4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭依题意得sin 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. …………..9分 因为0,x π≤< 所以72444x πππ-≤-<， 所以32.444x πππ-=或解得.42x ππ=或 ………….. 12分16. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 6分 （Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 9分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-=………….. 12分17.（本小题满分14分）解法一： （Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结D E .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 1 //.DE AC ∴ ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11B BCD B B CD V V --= ， 且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=， ，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3………….. 9分（Ⅲ）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影， 根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分ABCDA 1B 1C 1EFG222在R t D FG ∆中， tan D F D G F G F==，∴ 二面角1B B C D --的大小是 ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2D E AC D E AC D E AC =-=-∴=∴，，， ，，， ， ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11B BCD B B CD V V --= ， 且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B BS h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S SCD B D ∆∆==⋅=， ，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3………….. 9分（Ⅲ）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影， 根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110，，-，1，，-，cos G F G D G F G D G F G D ∴〈〉==，3∴ 二面角1B B C D --的大小是3………….. 14分18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和 ，； 单调递减区间是[1 2]，. ………….. 3分（Ⅱ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 8分（Ⅲ）解：（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 9分 （2）当21≤<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值 是(1)1f =； ………….. 10分 （3）当2a >时，令2()(1)(2)1210f a f a a a a -=--=-->，解得1a >+ ………….. 11分 ①当21a <≤+()(1)f a f ≤，()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；②当1a >+()(1)f a f >，()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-. …..….. 13分综上，当01a <<时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -；当11a ≤≤+()f x 在[0]a ，上的最大值是1；当1a >+()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -. ………….. 14分 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：过点P 作P N 垂直直线32y =-于点.N依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分 即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分 （Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0， 设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =， 化简得2690x k x --=. (8)分设1122() () A x y B x y ，，，， 则12126 9.x x k x x +==-，2||6(1)AB k ∴===+，………….. 10分 同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+⎪⎝⎭………….. 11分 ∴四边形A C B D 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当 221k k=， 即1k =±时，min 72.S =故四边形A C B D 面积的最小值是72. ………….. 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，1n n a a a +==，1,2,3,.n =所以56a a a-=，解得2a =，或3a =，符合题意. ………….. 3分（Ⅱ）解： 解不等式1n n a a +>，即56n n na a a ->， 得02 3.n n a a <<<，或所以，要使21a a >成立，则1102 3.a a <<<，或 ………….. 4分 （1）当10a <时，12111566()55a a f a a a -===->，而222322222256(2)(3)()0a a a a a f a a a a a ----=-=-=-<，即32a a <，不满足题意. ………….. 6分 （2）当123a <<时，12111566()5(2 3)a a f a a a -===-∈，，3265(2 3)a a =-∈，， ，满足题意.综上，(2 3)a ∈，. ………….. 8分 （Ⅲ）解： 构造数列{}n b ：132b =，165n nb b +=- *()n ∈N . ………….. 10分那么 165n n b b +=-. 不妨设a 取n b ，那么2116655n na b a b -=-=-=，32216655n n a b a b --=-=-=， ，112663552n n a b a b -=-=-==，1166551n na ab +=-=-=. ………….. 12分由1322b =<，可得1625n n b b -=<-， （1n >，*n ∈N ）.因为16(2)(3)055n n n n n nnb b b b b b b +---=-=>--，所以1, 1,2,3,n n b b n +<= .又25n b <≠，所以数列{}n b 是无穷数列，因此构造的数列{}n b 符合题意. ………….. 14分。
北京市.第四中学.高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版) 【全国百强校高考预测真题】
2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A ．B ．C ．D ．3．函数（）的大致图象是A ．B ．C ．D ． 4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B ．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D ．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。
10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。
12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。
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四中2007—2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．若})21(|{},log |{2xy y B x y y A ====，则B A =（ ）A ．}210{<<<y yB ．}0|{>y yC ．D ．R 2．方程1cos 2=x 的解集为（ ）A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k∈-+=ππ3．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于 （ ）A ．21B ．19C ．17D ．15 4．下列求导正确的是 （ ） A ．211)1(xx x +='+B ．x x x x sin 2)cos (2-='C ．e x x 3log 3)3(='D ．2ln 1)(log 2x x =' 5．函数x x y ln 82-=在区间)1,21()41,0(和内分别为（ ） A ．单调递减，单调递增 B ．单调递增，单调递增C ．单调递增，单调递减D ．单调递减，单调递减6．等差数列}{n a 的公差d 不为0，a 1=9d ，若a k 是a 1与a k 的等比中项，则k = （ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真8．定义在R 上的周期函数)(x f ，其周期T=2，直线x=2是它的图象的上的一条对称轴，且]2,3[)(--在x f 上是减函数，如果A 、B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．)(cos )(sinB f A f > B ．)(sin )(cos A f B f >C ．)(sin )(sin B f A f >D ．)(cos )(cos A f B f >二、填空题（每小题5分共30分） 9．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 . 10．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 11．已知函数)32cos()62sin()(ππ-+=x x x f 的最小正周期为 .12．已知)(x f 是定义在（+∞∞-,）上的减函数，其图象经过)1,4(-A ，B （0，－1）两点，)(x f 的反函数是)1(),(11f x f 则-的值是 ；不等式1|)2(|<-x f 的解集为 .13．已知数列}{n a 的前n 项和,192+-=n n S n 则其通项a n = ；若它的第k 项满足=<<k a k 则,85 . 14．对于函数)1lg()(22+++=x x x x f 有以下四个结论：①)(x f 的定义域为R ；②),0()(+∞在x f 上是增函数； ③)(x f 是偶函数；④若已知a ,.2)(,)(,2m a a f m a f R m -=-=∈则且其中正确的命题序号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++= （1）若)(:,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求：a 的值，并指出这时x 的值.16．（本小题满分13分）已知：函数.3)(23x ax x x f --=（1）若)(x f 在),1[+∞∈x 上是增函数，求：实数a 的取值范围；（2）若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在],1[a x ∈上的最小值和最大值.17．（本小题13分）已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n . 18．（本小题13分）已知：△ABC 中，角A 、B 、C 所对的三边a ，b ，c 成等比数列. （1）求证：30π≤<B ；（2）求：函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.19．（本小题14分）已知：二次函数c bx ax x f ++=2)(满足条件：①);()3(x f x f =-②;0)1(=f ③对任意实数2141)(,-≥a x f x 恒成立. （1）求：)(x f y =的表达式；（2）数列}{},{n n b a ，若对任意的实数x 都满足*)(,)()(1N n x b x a x f x g n n n ∈=++⋅+)(x g 其中是定义在实数集R 上的一个函数.求：数列}{}{n n b a 与的通项公式.20．（本小题14分）已知：定义在（－1，1）上的函数)(x f 满足：对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+.（1）求证：函数)(x f 是奇函数；（2）如果当,0)(,)0,1(>-∈x f x 有时求证：)(x f 在（－1，1）上是单调递减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：.0)11()21(>-++xf x f北京市四中2007—2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 二、填空题（每小题5分共30分） 9．43π 10．14 11． 2π12．4 （－2，2） 13．⎩⎨⎧≥-=-=)2(102)1(7n n n a n ，8 14．①②④三、解答题 15．解析：（1）.1)62sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++=+++=π解不等式.226222πππππ+≤+≤-k x k得),(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ)(x f ∴的单调区间为).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）],2,0[π∈x .67626πππ≤+≤∴x ∴当.3)(,6262max a x f x x +===+时即πππ,43=+a 1=∴a ，此时6π=x .16．解析：（1）0323)(2≥--='ax x x f 1≥∴x),1(23xx a -≤∴ 当x ≥1时，)1(23x x -是增函数，其最小值为0)11(23=-.0≤∴a（2）,03627,0)3(=--='a f 即 4=∴a .,383)(,34)(223--='--=∴x x x f x x x x f令.31,0383)(2=-==--='x x x x x f 或则∴)(x f 在],1[a x ∈上的最小值是18)3(-=f ，最大值是6)1(-=f17．（Ⅰ）,333313221na a a a n n =++++- ),2(31333123221≥-=++++--n n a a a a n n),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a n n 验证n=1时也满足上式：*)(31N n a n n ∈= （Ⅱ）n n n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅= 143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ,333332132+⋅-+++=-n n n n S ,33133211++⋅-----n n n n S.433413211+⋅-⋅=++n n n n S 18．因为a 、b 、c 成等比数列，所以ac b =2，由余弦定理得：,21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B 又因为),0(π∈∠B ，所以.30π≤∠<B（2）由),4sin(2sin cos cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12π+=+=++=++=B B B B B B B B B B y 又因为,2)4sin(21,12744,30≤+<≤+<≤∠<πππππB B B 所以所以即原函数的值域是]2,1(19．解：（1）由条件得⎩⎨⎧=--=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=++a b a c a b a b c b a 232320………………2分 由02141232141)(2≥+-+--≥a a ax ax a x f 得恒成立 10)1(0)21412(49022=⇒⎩⎨⎧≤->⇒⎪⎩⎪⎨⎧+--=∆>∴a a a a a a a a ………………4分 23)(2+-=∴x x x f ………………5分（2）0)2(0)1(==Θf f又1)()(+=++⋅Θn n n x b x a x f x g 恒成立 令122211+=+==+=n n n n n b a x b a x 得令得………………7分1122,12++-=-=∴n n n n b a ………………10分20．（1）证明：令0)0(),0()0()0(,0==+==f f f f y x 故则………………2分令,0)0()1()()(,2==--=-+-=f xxx f x f x f x y 则 )()(x f x f -=-∴，即函数)(x f 是奇函数.………………4分（2）证明：设)1()()()()(),1,1(2121212121x x x x f x f x f x f x f x x --=-+=--∈<则),1,1(21-∈<x x .11,02112<<->-∴x x x x因此0)1(2121<--x x x x ， ∴).()(,0)1(212121x f x f x x x x f >>--即∴函数)1,1()(-在x f 上是减函数.……………………9分 （3）解：不等式).11()21(,0)11()21(->+>-++x f x f x f x f 化为 ∵函数)1,1()(-在x f 上是减函数，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<-<-<+<-∴.1121,1111,1211x x x x ……………………11分解得：,123-<<-x ∴原不等式的解集为}123|{-<<-x x ………………14分。