高三数学难题及答案
高考最难的数学题及答案
高考最难的数学题及答案高考数学最难的题目及答案(1)1、利用数学归纳法证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足如下不等式:a1/b1 + a2/b2 > 0答案：设a=(a1, a2), b=(b1, b2)，由数学归纳法，令n∈N，先给出基本情形：当n=1时：a1/b1 + a2/b2 = (a1 + a2)/(b1 + b2)，由a1 + a2 > 0, b1 + b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0进行归纳：假设n时成立，即a1/b1 + a2/b2 > 0，当n+1时，a1/b1 + a2/b2 > 0，根据a1/b1 + a2/b2 = [a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2]，有[a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2] > 0，由a1 + (n+1)a2 > 0, b1 + (n+1)b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0，因此，证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足a1/b1 + a2/b2 > 0。
2、求x的集合：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 }答案：界说明：x∈R分析：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2，表述：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 } 等价于A={x| (x + 3)^2 ≠ 0 }，即A={x| x ≠ -3 }答案：A={x| x ≠ -3 }3、求一元二次方程ax^2+bx+c=0中，b^2-4ac < 0时实根的取值范围答案：界说明：x∈R分析：b^2 - 4ac < 0⇒Δ= b^2 - 4ac < 0，表述：b^2-4ac < 0时实根没有解，取值范围为空集，即实根的取值范围为：空集。
答案：实根的取值范围为：空集。
4、设弦AB=12，角A=30°，则角C的度数为多少？答案：界说明：C∈[0,360]（度）分析：弦AB=12，角A=30°，表述：根据余弦定理可得：cosC=12^2/2/2^2=12/4，即cosC=3/2，由cosC=3/2可以求出角C的度数。
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
2023年全国高中生数学奥赛高难题目
2023年全国高中生数学奥赛高难题目难题一：立体几何
已知一个右方金字塔的顶点A位于平面xOy上，A的坐标为(5,6,0)，底面是一个边长为10的正方形，且底面中心O的坐标为(5,6,0)。
金字
塔的高度为12，求：
1. 金字塔底面四个顶点的坐标；
2. 金字塔的体积。
难题二：复数运算
若复数z满足z^4 + 15z^2 + 36 = 0，则求z的所有可能值。
难题三：概率与统计
已知A、B两个事件的发生概率分别为P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，且
P(A∪B) = 0.7。
求：
1. P(A∩B)的值；
2. 若事件A和事件B相互独立，求P(A|B)和P(B|A)的值。
难题四：数列
已知数列{an}满足a1 = a2 = 1，且an+2 = an+1 + 2an对于n≥1成立。
求：
1. a5的值；
2. 数列{an}的通项公式；
3. 求该数列的前10项和。
难题五：函数与导数
已知函数f(x) = (x+1)e^x，在定义域上是递增函数。
求：
1. f'(x)的值；
2. 函数f(x)在定义域上的最小值点；
3. 函数f(x)的图像在x轴和y轴上与坐标轴围成的面积。
注意：以上题目均为高难度题目，需要运用数学知识和思维能力进行解答。
考生可以根据自己的实际情况选择解答题目，建议合理分配时间，不要卡在某一道题目上耽误整体答题进度。
祝各位考生取得优异成绩！。
高三数学试卷特别难题
一、填空题（每空5分，共20分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，若$f(x)$的图像与x轴相切于点$A$，则$A$点的坐标为______。
2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_4 = 14$，若$a_{10} + a_{15} =50$，则该数列的公差$d$为______。
3. 已知向量$\vec{a} = (1, -2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta$的值为______。
4. 若圆$C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的圆心到直线$3x - 4y + 5 = 0$的距离为$\sqrt{5}$，则该圆的半径$r$为______。
二、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，定义域为$\mathbb{R}$的是（）A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$C. $f(x) = \ln(x^2 + 1)$D. $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$2. 已知函数$f(x) = 2^x - 3$在区间$[0, +\infty)$上的最大值为______。
A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$3. 在$\triangle ABC$中，若$\cos A = \frac{1}{3}$，$\cos B = \frac{2}{3}$，则$\sin C$的值为______。
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，若$f(x)$的图像关于点$(2, 0)$对称，则$f(x)$的图像的对称轴方程为______。
高三数学难题及答案
1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）下面先求出最值，由图1——r²+d²=1d=r±1/2(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)于是r²+(r±1/2)²=1整理得8r²±4r-3=0解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4|OA|=√7/2段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是|OA|>√7/2.综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。
高三数学选择填空难题突破 立体几何中最值问题
高三数学选择填空难题突破立体几何中最值问题高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题。
此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练。
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面，此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合。
解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。
二、解题策略类型一：距离最值问题例1：如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）解：建立空间直角坐标系，设CG长度为a及点P的坐标，求BP与GP的坐标，得到函数关系式，利用函数求其最值。
举一反三：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A中，点E、F分别是棱BC、CC'的中点，P是侧面BCC'B内一点，若A'P⊥平面AEF，则线段A'P长度的取值范围是_____。
二、改写后的文章高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目。
而几何问题中的最值与范围类问题，不仅可以考查学生的空间想象能力，还可以考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此这类问题将是有中等难度的考题。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编——平面向量
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________.2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.8．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.9．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 10．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________.11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=；②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 15．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________16．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______17．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2Cπ=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．18．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.19．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________22．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.24．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________.26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FM FQ FM A F FPFQ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________29．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．1433．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54 C ．56D ．122021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________. 【答案】6-2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.【答案】2⎡⎣3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________ 【答案】14-5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 【答案】A6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】258．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.【答案】179．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 【答案】1010．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________. 【答案】[2,1]-11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________【答案】10-13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=； ②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.【答案】①②④14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 【答案】1215．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________【答案】116．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______【答案】617．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2C π=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:118．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】319．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______【答案】1,3]20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.【答案】⎣⎦21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3422．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.【答案】[]1,324．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________. 【答案】18-,（） 26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】11⎤⎦，. 27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB ===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FMFQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________【答案】3429．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．【答案】B30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 【答案】D31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+【答案】B32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．14 【答案】C33．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54C ．56D ．12 【答案】A。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题专题练习汇编一、第一部分 集合1．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）设集合S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：()i {}(),T y y f x x S ==∈， ()ii 对任意1x ，2x S ∈，当12xx <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（ ） ①A N *=，B N =②{}{}13,8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 ③{}05,A x x B R =<<= ④,A N B Q == A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A2．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①②④【答案】D3．（2021·上海交大附中高一期中）已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C4．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *，其中a 和b 是不同的数字，则A 中所有元素的和为（ ）. A ．44 B ．110C ．132D ．143【答案】D5．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D6．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12x x R ∈、，存在3x R ∈使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．无穷个【答案】B7．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.10．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________； 【答案】1011．（2021·上海交大附中高一期中）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___． 【答案】2±12．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是_________． 51+或3. 13．（2021·上海交大附中高二期末）对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4）14．（2022·上海交大附中高一期末）设函数3()22,||1x x f x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ） A ．12p p ､中仅1p 是q 的充分条件 B ．12p p ､中仅2p 是q 的充分条件 C ．12p p ､都不是q 的充分条件 D ．12p p ､都是q 的充分条件15．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________． 【答案】{}1-16．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合,,,,,S T S N T N S T ⊆⊆中，至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.若S 有4个元素，则S T 有___________个元素.【答案】717．（2020·上海中学高一期中）若集合{}2(2)20,x x a x a x N -++-<∈中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦18．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集{}(,)1D P d P C =≤所表示的图形的面积为________________． 【答案】5433π+-19．（2020·上海·高一专题练习）{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q +=_____． 【答案】-1或520．（2021·上海·复旦附中高二期中）设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】10521．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是集合{0s t e e t s -<<，且},s t N ∈(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若2lg 10m a <，则m 的最大值为___________.二、函数22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____. 【答案】152- 23．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A24．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=.下列说法正确的是（ ）①函数3y x =是圆O 的一个“太极函数”； ②函数1sin 2y x π=是圆O 的一个“太极函数”；③函数()f x 的图像关于原点中心对称是()f x 为圆O 的“太极函数”的充要条件； ④圆O 的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数. A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②④【答案】A25．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-m 的取值范围为（ ） A ．135,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．(1,3)C ．135,224⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．(3,2)【答案】C26．（2022·上海·高三专题练习）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A27．（2021·上海市向明中学高三阶段练习）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论： ①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A28．（2021·上海金山·二模）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．212-D ．2 【答案】D29．（2022·上海·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++存在实数0x ，且有0||3x ≥，使得0()0f x =，则224a b +的最小值是________.【答案】3243730．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）已知22,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程22()21|()21240f x x f x x ax +-+----=有三个实根123x x x <<，若32212()x x x x -=-，则实数=aA ．173a +=B ．173a -=C ．1a =-D ．1a =【答案】B31．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________． 【答案】()6,1032．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()21f x x x =++；②()f x x =③()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C33．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数()2f x x ax b =++在[]2,2-上存在零点，且 022b a ≤-≤， 则 b 的取值范围是_____.【答案】(,426-∞-34．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C35．（2022·上海静安·二模）已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若对任意1a ≤-，当1b m -<≤时，总有()()1a f b b -≥成立，则实数m 的最大值为__________. 【答案】136．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）函数f （x ）=3|x +4|﹣2|x +2|，数列a 1，a 2，…，an …，满足an +1=f （an ），n ∈N *，若要使a 1，a 2，…an ，…成等差数列．则a 1的取值范围______．【答案】{8}[2,)--+∞37．（2022·上海虹口·二模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1x =对称，当[]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，对于闭区间I ，用I M 表示()y f x =在I 上的最大值.若正数k 满足[][]0,,22k k k M M =，则k 的值可以是_________.（写出一个即可）. 22+102-38．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________． 【答案】3(,)32-∞ 39．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数()()2,log xa f x g x x ==，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在()g x 的图像上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且OP OQ =，则实数=a ___________.【答案】12##0.540．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆2212x y +=，过左焦点F 任作一条斜率为k 的直线交椭圆于不同的两点M ，N ，点M '为点M 关于x 轴的对称点，若1[,1]3k ∈，则FM N '△面积的取值范围是_____．【答案】3[112 41．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知0x >，0y >，a x y =+，22b x xy y ++c m xy =若a ，b ，c 构成三角形的三边，则m 的取值范围是_______.【答案】(233，42．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a cbc ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t ++的最小值是_______.【答案】2243．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数()()10,0f x mx m n nx=+>>的定义域为()0,+∞，若1x =时，()f x 取得最小值，则22221122m n n m +++++的取值范围是___________． 【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭44．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(4]7,-∞45．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D 的函数f (x )，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得()()()2212122f x f x f x x ==+，则称函数f (x )具有性质M ，若函数()2log 1g x x =-，(]0,x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为__．22+246．（2022·上海·高三专题练习）设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.【答案】54π47．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________ 【答案】15548．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()1g x x =-图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________． 3249．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C50．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B51．（2021·上海交大附中高三期末）已知函数22()6131029f x x x x x =-+-+，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B52．（2021·上海市延安中学高三期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D53．（2021·上海黄浦·一模）已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A54．（2021·上海普陀·模拟预测）已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x f x a x=-(x ≠0)有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．45(,56] B ． 4554(,,)564][3⋃C ．34(,45] D ． 3443(,,)453][2⋃【答案】B55．（2022·上海·高三阶段练习）已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]1,5- C ．[]2,3- D ．[]2,1-【答案】A56．（2021·上海普陀·一模）设函数()()2,10.5log 2,1a x x a x f x x x ⎧-+<-⎪=⎨++≥-⎪⎩（0a >且1a ≠）在区间(),-∞+∞上是单调函数，若函数()()12g x f x ax =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,84⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D57．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）1a 、2a 与1b 、2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程1212x a x a x b x b -+-=-+-的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}2 D ．{}1,2【答案】B58．（2022·上海徐汇·三模）已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+，对于不相等的实数1x 、2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =； ②对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =-，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】D59．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，若前2022项和小于零，则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负【答案】B60．（2021·上海普陀·模拟预测）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足44sin(1)250a a -+-=，88sin(1)210a a -++=，则下列结论正确的是( )A ．1111S =，48a a <B ．1122S =，48a a <C ．1122S =，48a a >D ．1111S =，48a a > 【答案】D三、三角函数61．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________． 【答案】262．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π 【答案】A63．（2021·上海奉贤·一模）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C64．（2022·上海·高三开学考试）ABC 中，()sin sin sin A B A B ++的最大值为（ ）A 323+ B 43+C 15+ D ．32【答案】C65．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy（ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D66．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在ABC 中，若2sin A =则cos 2B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对【答案】B67．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ； ③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D68．（2021·上海·模拟预测）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 【答案】25π 69．（2021·上海青浦·一模）若数列：cos cos2,cos4,,cos2n αααα､､中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为__________.【答案】22,3k k Z πααπ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭70．（2021·上海·高三专题练习）已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a x -=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a x -=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210f x a x -=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C71．（2021·上海虹口·一模）已知函数()cos f x x =，若对任意实数1x ，2x ，方程()()()()()12f x f x f x f x m m R -+-=∈有解，方程()()()()()12f x f x f x f x n n R ---=∈也有解，则m n +的值的集合为______.【答案】{}272．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 73．（2021·上海市进才中学高三期中）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭74．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________． 【答案】11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 75．（2021·上海奉贤·二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________. 【答案】10±，11±76．（2021·上海闵行·二模）已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭77．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭78．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________． 【答案】1312π 79．（2021·上海市建平中学模拟预测）设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________． 【答案】(1)2n n π- 80．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]81．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中a 、b 、c 成等比数列，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+________．5282．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ． 【答案】[0，6π]∪[56π，π] 83．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数sin 1,0()2log ,0ax x f x x x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对,则实数a 的取值范围_________.【答案】2117⎝⎭， 84．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________【答案】14-##0.25-85．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________. 【答案】9π 86．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或87．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n k παϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π##1939π 88．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________. 【答案】{}189．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3490．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】211⎡⎤⎣⎦，. 91．（2022·上海·高三专题练习）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________【答案】4π 92．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C93．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（ ）A．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．4323⎛⎝⎭C．43⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．8,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D。
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1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是
解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.
令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则
考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）
下面先求出最值，由图1——
r²+d²=1
d=r±1/2
(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)
于是r²+(r±1/2)²=1
整理得8r²±4r-3=0
解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）
于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——
【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】
先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)
由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是
|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)
a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.
r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.
再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).
在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是
cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)
|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)
|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)
|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)
|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4
|OA|=√7/2
段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是
|OA|>√7/2.
综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。