2017届九年级数学下册2.2切线长定理同步练习浙教版

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二、填空题 9. 如图，P A，P B 分别与 ⊙O 相切于点 A，B ，连接 AB ．∠AP B = 60◦ ，AB = 5，则 P A 的长是 ．
10. 一走廊拐角的横截面积如图，已知 AB ⊥ BC ，AB DE ，BC F G，且两组平行墙壁间的走 ˜ 的圆心为 O，半径为 1 m，且 ∠EOF = 90◦ ，DE 、F G 分别与 O 相 廊宽度都是 1 m，EF 切于 E ，F 两点．若水平放置的木棒 M N 的两个端点 M ，N 分别在 AB 和 BC 上，且 M N ˜ 的中点，则木棒 M N 的长度为 与 O 相切于点 P ，P 是 EF m．
2. 如图所示，在 Rt△OBC 中，OC = 5，则斜边即半径 r > 5． 3. 如图所示，连接 AO．
∵ 直线 AB 切 ⊙O 于点 A， ∴ ∠BAO = 90◦ ． ∴ ∠CAO = 33◦ ． ∴ ∠AOD = 66◦ ． 4. 连接 OA，则 ∠OAC = 90◦ ．
∵ OA = OB ， ∴ ∠AOC = ∠B + ∠OAB = 2∠B = 40◦ ， ∴ ∠C = 90◦ − 40◦ = 50◦ ．
．
13. 如图， 已知 AB 为 ⊙O 的直径， AB = 2， AD 和 BE 是圆 O 的两条切线， A， B 为切点， 过圆上 一点 C 作 ⊙O 的切线 CF ，分别交 AD 、BE 于点 M 、N ，连接 AC 、CB ，若 ∠ABC = 30◦ ， 则 AM = ．
14. 如图，P Q 为 ⊙O 的直径，点 B 在线段 P Q 的延长线上，OQ = QB = 1，动点 A 在 ⊙O 的上半圆运动（含 P ，Q 两点） ，连接 AB ，设 ∠AOB = α．有以下结论：x当线段 √ A 点时， AB 所在的直线与 ⊙O 切时，AB = 3；y当线段 AB 与 ⊙O 只有一个公共点 √ 15 ；{当线段 AB α 的范围是 0◦ ⩽ α ⩽ 60◦ ；z当 △OAB 是等腰三角形时，tan α = 2 √ 与 ⊙O 有两个公共点 A 、M 时，若 AO ⊥ P M ，则 AB = 6．其中正确结论的编号 ． 是 三、解答题 15. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，AD 与过 C 点的切线互相垂直，垂 足为 E 点，问：AC 是否平分 ∠BAE ，为什么?
5. 连接 OD，OE ，如图． ∵ 半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA 、CB 分别切于 D 、E 两点， ∴ ∠C = ∠OEB = ∠OEC = ∠ODC = 90◦ ， ∴ 四边形 ODCE 是矩形．∵ OD = OE ， ∴ 四边形 ODCE 是正方形，∴ CD = CE = OE ． ∵ ∠A = ∠B = 45◦ ，∴ △OEB 是等腰直角三角形． 设 OE = r，∴ BE = OG √ = r， 1 + r． ∴ OB = OG = 2 −√ √ + BG√ √ ∵ OB = 2OE = 2r，∴ 2 − 1 + r = ( 2r，∴ ， √ √ r = 1) ∴ AC = BC = 2r = 2，AB = 2OB = 2 × 1 + 2 − 1 = 2 2． √ ∴ △ABC 的周长为 AC + BC + AB = 4 + 2 2． 6. ∵ P D 切 O 于点 C ， ∴ OC ⊥ P D ． 又 ∵ OC = CD ， ∴ ∠COD = 45◦ ． ∵ AO = CO ， 1 ∴ ∠ACO = ∠OAC = ∠COD = 22.5◦ ， 2 ◦ ◦ ∴ ∠P CA = 90 − 22.5 = 67.5◦ ．
4. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，AC 是 ⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若 ∠B = 20◦ ，则 ∠C 的大小等于( ) ◦ A. 20 B. 25◦ C. 40◦ D. 50◦ 5. 如图，半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA，CB 分别切于 D，E 两点，直径 F G 在 AB 上， √ 若 BG = 2 − 1，则 △ABC 的周长为( ) √ √ A. 4 + 2 2 B. 6 C. 2 + 2 2 D. 4 6. 如图所示，AB 为 O 的直径，P D 切 O 于点 C ，交 AB 的延长线于 D，且 CO = CD，则 ∠ACP = ( ) ◦ A. 30 B. 45◦ C. 60◦ D. 67.5◦
∵ DE ，F G 分别与 O 相切于 E ，F 两点， ∴ OE ⊥ ED，OF ⊥ F G， ∵ AB DE ，BC F G， ∴ OG ⊥ AB ，OH ⊥ BC ， ∵ ∠EOF = 90◦ ， ∴ 四边形 BGOH 是矩形， ∵ 两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1 m，O 半径为 1 m， ∴ OG = OH = 2， ∴ 矩形 BGOH 是正方形， ∴ ∠BOG = ∠BOH = 45◦ ， ˆ ∵P 是E F 的中点， ∴ OB 经过 P 点， 在正方形 BGOH 中，边长为 2， √ ∴ OB = 2 2， ∵ OP = 1， √ ∴ BP = 2 2 − 1， ∵ p 是 M N 与 O 的切点， ∴ OB ⊥ M N ， ∵ OB 是正方形 BGOH 的对角线， ∴ ∠OBG = ∠OBH = 45◦ ， 在 △BP M 与 △BP N 中 ∠OBG = ∠OBH = 45◦ ， BP = BP ， ∠BP M = ∠BP N ， ∴ △BP M △BP N （ASA） ∴ MP = NP ， ∴ MN = 2 BP ， √ ∵ BP = 2 ( 2− √ √ 1， ) ∴ M N = 2 2 2 − 1 = 4 21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A (−4，0)，B (0，4)，O 的半径为 1 （O 为坐标原点） ，点 P 在直线 AB 上，过点 P 作 O 的一条切线 P Q，Q 为切点，则切 线长 P Q 的最小值为 ．
12. 如图所示，P A，P B 是 O 的切线，AC 是 O 的直径，∠P = 40◦ ，则 ∠BAC =
7. 如图，连接 OA，OB ． ∵ O 是 △ABC 的内心，
√ 11. 7 解析： 如图，连接 OP ，OQ． ∵ P Q 是 O 的切线， ∴ OQ ⊥ P Q．根据勾股定理知 P Q2 = OP 2 − OQ2 ， ∴ 当 P O ⊥ AB 时，线段 P Q 最短． 又 A (−4，0)，B (0，4)，
7. 如图，O 是 △ABC 的内心，过点 O 作 EF AB ，与 AC ，BC 分别交于点 E ，F ， 则( ) A. EF > AE + BF B. EF < AE + BF C. EF = AE + BF D. EF ⩽ AE + BF
8. 如图所示，P A，P B 是 O 的切线，且 ∠AP B = 40◦ ，则下列结论不正确的是( A. P A = P B B. ∠AP O = 20◦ C. ∠OBP = 70◦ D. ∠AOP = 70◦
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19. 如图甲所示，在面积为 S 的 △ABC 中，BC = a，AC = b，AB = c，内切圆 ⊙O 的 半径为 r．连接 OA，OB ，OC ，△ABC 被划分为 3 个小三角形． 1 1 1 1 因为 S△OBC + S△OAC + S△OAB = BC · r + AC · r + AB · r = (a + b + c) r．所 2 2 2 2 2S 以r= ． a+b+c (1) 类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与 各边都相切的圆） ，如图乙所示，各边长分别为 AB = a， BC = b，CD = c，AD = d，求四边形的内切圆的半径 r ;
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2.2 切线长定理—答案
一、选择题 1 B 2 A 3 D 4 D 5 A 6 D 7 C 8 C 1. ∵ d < r， ∴ 直线 l 与圆相交． ∴ OA，OB 分别是 ∠CAB 及 ∠ABC 的平分线， ∴ ∠EAO = ∠OAB ，∠ABO = ∠F BO ． ∵ EF AB ， ∴ ∠AOE = ∠OAB ，∠BOF = ∠ABO， ∴ ∠EAO = ∠AOE ，∠F BO = ∠BOF ， ∴ AE = OE ，OF = BF ， ∴ EF = AE + BF ． 8. 由切线长定理得：P A = P B ，故 A 项正确；P O 平分 ∠AP B ， 1 1 所以 ∠AP O = ∠AP B = × 40◦ = 20◦ ，故 B 项正确； 2 2 因为 P B 切 O 于点 B ，则 ∠OBP = 90◦ ，所以选项 C 是错误的； 1 1 ∠AOP = ∠AOB = (180◦ − ∠AP B ) = 70◦ ，故 D 项正确． 2 2 二、填空题 9. 5 解析：提示：根据切线长定理，知 P A = P B ． ∴ △ABP 是等边三角形． 10. 解析：连接 OB ，延长 OF ，OE 分别交 BC 于 H ，交 AB 于 G，
16. 如图，P A P B 是 ⊙O 的切线，A B 是切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠ACB = 70◦ ．求 ∠P 的度数．
17. 如图，AC 是圆 O 的直径，AC = 10 厘米，P A，P B 是圆 O 的切线，A，B 为切点，过 A 作 AD ⊥ BP ，交 BP 于 D 点，连接 AB 、BC ． (1) 求证 △ABC △ADB ； (2) 若切线 AP 的长为 12 厘米，求弦 AB 的长． √ 18. 如图所示，O 的直径 AB = 4，∠ABC = 30◦ ，BC = 4 3，点 D 是线段 BC 的中点，过 点 D 作 DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．求证：直线 DE 是 O 的切线．
答案
∴ OA = OB √ = 4， ∴ AB = 4 2， √ 1 ∴ OP = AB = 2 2， 2 √ ∴ P Q = 7． ◦ 12. 20 解析：∵ P A，P B 是 O 的切线， ∴ P A = P B （切线长定理） ，∠P AC = 90◦ （切线性质定理） ， 180◦ − ∠P ∴ ∠P AB = ∠P BA = = 70◦ ， 2 ∴ ∠BAC = ∠P AC − ∠P AB = 90◦ − 70◦ = 20◦ ．