人教版九年级上册数学切线长定理练习题与答案及解析
人教版九年级数学上切线长定理和三角形的内切圆含答案
切线长定理和三角形的内切圆知识点1切线长定理1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()图24-2-36A.1B.2C.3D.42.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是()图24-2-37A.6√3B.3√3C.6D.33.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是()图24-2-38A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()A.50°B.62°C.66°D.70°图24-2-39图24-2-405.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为()A.9B.7C.11D.86.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC.求证:AC=BC.图24-2-417.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.(2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.图24-2-42知识点2三角形的内切圆与内心8.三角形的内心是 ()A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是()图24-2-43A.h=R+rB.R=2rC.r=√34a D.R=√33a10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何.”其意思是:“如图24-2-44,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少.”其结果为()图24-2-44A.3步B.5步C.6步D.8步11.如图24-2-45,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°,求∠A 的度数.图24-2-4512.如图24-2-46,在△ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,点O是△BDC的内心,E,F分别为☉O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.(1)求证:①AE⊥EF;②AE∥DO.(2)若AC=6,☉O的半径为1,求AE的长.图24-2-46能力拓展提升13.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.举例:如图24-2-47①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.应用:如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC BP.求证:点P是△ABC的内心.于点E,且PF=12图24-2-4714.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:如图24-2-48①,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.AB,连接AP,BP,求∠APB (1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=12的度数;(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA 的长.图24-2-48典题讲评与答案详析1.B2.A3.D4.D[解析] ∵∠P=40°,∴∠PCD+∠PDC=140°.∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,∴AC=CE,DE=DB,∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°, ∴∠PAE+∠PBE=70°.5.C6.证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,∴AC=BC. 7.解:(1)∠APB=2∠BAC.理由:∵PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴∠PAB=∠PBA.∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,∴∠APO+∠PAB=90°.∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,即∠PAB+∠BAC=90°,∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.(2)存在.∵PA,PB为☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.又∵OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,∴PO=√2OA=4√2.这样的点P 有无数个,当点P 在以点O 为圆心,4√2为半径的圆上时,四边形PAOB 为正方形. 8.B9.C [解析] 如图.∵△ABC 是等边三角形,∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆,设圆心为O.过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD 过点O ,且D 为△ABC 的内切圆与边BC 的切点,设△ABC 的内切圆与边AC 的切点为E ,连接OE ,则OE ⊥AC. 由题意,得OE=r ,AO=R ,AD=h ,∴h=R+r ,故A 正确; ∵AD ⊥BC ,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt △AOE 中,AO=2OE ,∴R=2r ,故B 正确; ∵AB=AC=BC=a , ∴AE=12AC=12a.在Rt △AOE 中,由勾股定理,得AE 2+OE 2=AO 2, 即12a 2+r 2=(2r )2,12a 2+12R 2=R 2,∴r=√3a 6,R=√33a ,故C 错误,D 正确.故选C .10.C [解析] 如图,设BC=8,AC=15, 则AB=√82+152=17.∵S △ABC =12AC ·BC=12AB ·r+12AC ·r+12BC ·r=12r (AB+AC+BC ),∴r=AC ·BCAB+AC+BC =8×158+15+17=3.故该直角三角形能容纳的圆形的直径是6步. 11.解:连接ID ,IF ,如图.∵∠DEF=50°,∵∠DIF=2∠DEF=100°.∵☉I 是△ABC 的内切圆,与AB ,CA 分别相切于点D ,F ,∴ID ⊥AB ,IF ⊥AC ,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A+∠DIF=180°, ∴∠A=180°-100°=80°.12.解:(1)证明:①如图,连接OB ,OF.∵点O 是△BDC 的内心,∴BO 平分∠DBC. ∵BD=BC ,∴OB ⊥CD.∵CD 与☉O 相切于点F ,∴OF ⊥CD , ∴B ,O ,F 三点共线,∴DF=CF.又∵CD=2AD ,∴AD=DF.∵BD 与☉O 相切,∴由切线长定理可知DE=DF , ∴AD=DE=DF ,∴∠DAE=∠DEA ,∠DEF=∠DFE. ∵∠DAE+∠DEA+∠DEF+∠DFE=180°, ∴∠DEA+∠DEF=90°, ∴∠AEF=90°,∴AE ⊥EF.②∵点O 是△BDC 的内心,∴DO 平分∠BDC ,∴∠EDF=2∠EDO.由①知∠DAE=∠DEA. 又∵∠EDF=∠DAE+∠DEA ,∴2∠EDO=2∠DEA ,∴∠EDO=∠DEA , ∴AE ∥DO.(2)如图,设DO 与EF 相交于点G. 由(1)可知DE=DF ,DO 平分∠EDF ,∴DO ⊥EF ,∴EF=2FG. ∵AD=DF=CF ,AC=6,∴DF=2. ∵OF=1,∴由勾股定理可求得OD=√5. ∵12DF ·OF=12OD ·FG ,即12×2×1=12×√5FG ,∴FG=2√55,∴EF=2FG=4√55. ∵AF=2DF=4,∠AEF=90°, ∴由勾股定理可求得AE=√AF 2-EF 2=√42-(4√55)2=8√55.13.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵BF 为△ABC 的角平分线, ∴∠PBE=30°,∴PE=12BP.∵BF 是等边三角形ABC 的角平分线, ∴BF ⊥AC.∵点P 是△ABC 的准内心,PD ⊥AB ,PE ⊥BC ,PF=12BP , ∴PE=PD=PF ,∴点P 是△ABC 的内心.14.解:(1)①若PB=PC ,则∠PCB=∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高, ∴AD=BD ,∠PCB=30°, ∴∠PBD=∠PBC=∠PCB=30°,∴PD=√33BD=√36AB ,与已知PD=12AB 矛盾,∴PB ≠PC ;②若PA=PC ,同理可推出矛盾,∴PA ≠PC ; ③若PA=PB ,由PD=12AB ,得PD=BD=AD.∵∠ADP=∠BDP=90°,∴∠PAB=∠APD=∠PBA=∠BPD=45°, ∴∠APB=90°.综上可得,∠APB=90°. (2)①若PB=PA ,连接PB. 设PA=x ,则PB=x.∵∠C=90°,AB=13,BC=5, ∴AC=12,∴PC=12-x.在Rt △BCP 中,有x 2=(12-x )2+52,解得x=16924,即PA=16924.②若PA=PC,则PA=6.③若PC=PB,由图知,此种情况不存在.综上可得,PA的长为16924或6.。
人教版数学九年级上册 《切线长定理的相关计算》必考题型专项分类专题练习(专题分类练习 详细答案)
《切线长定理的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：切线长定理与三角形问题1. 如图所示,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是( )A.PA=PBB.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°2. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为( )A.2.5B.1.6C.1.5D.13. 如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB 上,若BG=√2-1,则△ABC的周长为 .4.如图,PA,PB分别切圆O于点A,B,并与圆O的切线CD,分别相交于点D,C,已知△PCD的周长等于10cm,求PA.1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.382. 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DC⊥AD,DC⊥BC,以CD为直径的半圆O与AD,BC 以及AB均相切,切点分别是点D,C,E.若半圆O的半径为2,AB长为5,则该四边形的周长是( )A.9B.10C.12D.143. 如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.(1)求证:BO⊥CO.(2)求BE和CG的长.1. 在直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-2x+√5与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定2. 如图,在平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2√3.若将☉P向左平移,则☉P与y轴相切时点P的坐标为 _.3. (1)已知,如图1,△ABC的周长为l,面积为S,其内切圆圆心为O,半径为r,求.证:r=2Sl(2)已知,如图2,△ABC中,A,B,C三点的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),C(0,4).若△ABC内心为D.求点D的坐标.(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标.1. 如图,一个钢管放在V 形架内,点O 为钢管的圆心.如果MP=10cm,∠MON=120°,则钢管的半径OM 的值为 ( )A.10√33cm B.10√3cm C.50√33cm D.5√3cm2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )A.3步B.5步C.6步D.8步3.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.4. 等腰Rt△ABC和☉O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,☉O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,☉O不动,则经过多长时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,☉O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?《切线长定理的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：切线长定理与三角形问题1. 如图所示,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是( )A.PA=PBB.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°【解析】选C.∵PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,∴PA=PB,∠APO=∠BPO=20°,∠PAO=∠PBO=90°, ∴∠BOP=∠AOP=70°,∴C 是错误的.2. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC,BC 相切于点D,E.则AD 为 ( )A.2.5B.1.6C.1.5D.1【解析】选B.连接OD,OE,OC,设OD=r,∵AC,BC 切☉O 于D,E, ∴∠ODC=∠OEC=90°,OD=OE, ∵S △AOC +S △BOC =S △ABC ,即12OD ·AC+12OE ·BC=12BC ·AC,12r ·4+12r ·6=12×6×4, r=2.4,AD=AC-r=1.6.3. 如图,半圆O 与等腰直角三角形两腰CA,CB 分别切于D,E 两点,直径FG 在AB 上,若BG=√2-1,则△ABC 的周长为 .【解析】如图,连接OD,OE,∵半圆O 与等腰直角三角形两腰CA,CB 分别切于D,E 两点,∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°,∴四边形ODCE是矩形.∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形,∴CD=CE=OE.∵∠A=∠B=45°,∴△OEB是等腰直角三角形.设OE=r,则BE=r,∴OB=OG+BG=√2-1+r,∵OB=√2OE=√2r,∴√2-1+r=√2r,解得r=1.∴AC=BC=2r=2,AB=2OB=2×(1+√2-1)=2√2.∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=4+2√2.4.如图,PA,PB分别切圆O于点A,B,并与圆O的切线CD,分别相交于点D,C,已知△PCD的周长等于10cm,求PA.【解析】设DC与☉O的切点为E.∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,∴PA=PB.同理,可得:DE=DA,CE=CB,则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10cm.∴PA=PB=5cm.题型二：切线长定理与多边形问题1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.38【解析】选B.如图,根据切线长定理可知,AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.所以AE+DG=AH+DH=AD,BE+CG=BF+CF=BC,所以AB+BC+CD+DA=AE+BE+BC+CG+DG+DA=2AD+2BC=2×7+2×10=34.2. 如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,DC ⊥AD,DC ⊥BC,以CD 为直径的半圆O 与AD,BC 以及AB 均相切,切点分别是点D,C,E.若半圆O 的半径为2,AB 长为5,则该四边形的周长是( )A.9B.10C.12D.14【解析】选D.根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以四边形ABCD 的周长是5×2+4=14.3. 如图,AB,BC,CD 分别与☉O 相切于E,F,G,且AB ∥CD,BO=6cm,CO=8cm. (1)求证:BO ⊥CO. (2)求BE 和CG 的长.【解析】(1)∵AB ∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°.∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点E,F,G, ∴BO 平分∠ABC,CO 平分∠DCB, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠DCB,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=12×180°=90°, ∴∠BOC=90°,∴BO ⊥CO. (2)连接OF,则OF ⊥BC, ∴Rt △BOF ∽Rt △BCO, ∴BF BO =BOBC . ∵在Rt △BOC 中, BO=6cm,CO=8cm, ∴BC=√62+82=10(cm), ∴BF 6=610, ∴BF=3.6cm,∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切, ∴BE=BF=3.6cm,CG=CF, ∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm). ∴CG=CF=6.4cm.题型三：切线长定理与坐标问题1. 在直角坐标系中,☉O 的半径为1,则直线y=-2x+√5与☉O 的位置关系 是 ( ) A.相离B.相交C.相切D.无法确定【解析】选C.如图所示,过O 作OC ⊥直线AB,垂足为C, 直线AB 为y=-2x+√5. 令x=0,解得:y=√5; 令y=0,解得:x=√52, ∴A (√52,0),B(0,√5), 即OA=√52,OB=√5.在Rt △AOB 中,根据勾股定理得:AB=2+OB 2=52, 又S △AOB =12AB ·OC=12OA ·OB, ∴OC=OA·OB AB =√52×√552=1,又圆O 的半径为1,则直线y=-2x+√5与圆O 的位置关系是相切.2. 如图,在平面直角坐标系中,☉P 与x 轴分别交于A,B 两点,点P 的坐标为(3,-1),AB=2√3.若将☉P 向左平移,则☉P 与y 轴相切时点P 的坐标为 _.【解析】(2,-1)或(-2,-1)3. (1)已知,如图1,△ABC 的周长为l ,面积为S,其内切圆圆心为O,半径为r,求证:r=2Sl .(2)已知,如图2,△ABC 中,A,B,C 三点的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),C(0,4).若△ABC 内心为D.求点D 的坐标.(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC 位于第一象限的旁心的坐标.【解析】(1)连接OA,OB,OC,设△ABC 的三边分别为a,b,c 则: S=S △OAB +S △OBC +S △OAC =12(a+b+c)r=12l r. ∴r=(2)∵A(-3,0),B(3,0),C(0,4),∴AB=6,AC=BC=5.l =AB+AC+BC=16,S=12AB ·OC=12.由条件(1)得:r==2×1216=32,得D (0,32). (3)如图,设∠B 和∠C 的外角平分线交于点P,则点P 为旁心.∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA,∴∠PCB=∠CBA,∴CP ∥AB.过点P 分别作PE ⊥x 轴于E,PF ⊥CB 于F,则PF=PE=OC=4.在Rt △PFC 中,PC=PF sin∠PCF =PF sin∠CBO =445=5.∴P 点坐标为(5,4).即条件(2)中的△ABC 位于第一象限的旁心的坐标为(5,4).题型四：切线长定理与实际问题1. 如图,一个钢管放在V 形架内,点O 为钢管的圆心.如果MP=10cm,∠MON=120°,则钢管的半径OM 的值为 ( )A.10√33cmB.10√3cmC.50√33cmD.5√3cm【解析】选A.由题意可得OM ⊥MP,ON ⊥NP.∵∠MON=120°,∴∠MOP=60°,设OM=xcm,则OP=2xcm,在Rt △OPM 中,OM 2+MP 2=OP 2,即x 2+102=(2x)2,解得x=10√33,∴OM 的值为10√33cm. 2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )A.3步B.5步C.6步D.8步【解析】选A.3.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.【解析】连接OD,OE.解方程x 2-25x+150=0,得x 1=10,x 2=15,∴设AD=10,BE=15,半径为r,∴AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB 2,即(10+r)2+(15+r)2=252,解得:r=5.答案:54. 等腰Rt △ABC 和☉O 如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,☉O 的半径为1,圆心O 与直线AB 的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,☉O不动,则经过多长时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,☉O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?【解析】(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与☉O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.设☉O与直线l切于点D,连OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l.由切线长定理可知C′E=C′D;设C′D=x,则C′E=x,易知C′F=√2x,∴√2x+x=1,则x=√2-1,∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-(√2-1)=5-√2;∴△ABC运动的时间为5−√2秒.2(2)设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切,设经过t秒△ABC的边与☉O第一次相切时,△ABC移至△A″B″C″处,☉O与BC所在直线的切点D移至D′处,A″C″与☉O切于点E,连OE并延长,交B″C″于F.∵CC″=2t,DD′=t,∴C″D′=CD+DD′-CC″=4+t-2t=4-t.由切线长定理得C″E=C″D′=4-t;又∵FC″=√2C″E=√2C″D′,而FC″+C″D′=FD′=1,∴(√2+1)C″D′=(√2+1)(4-t)=1,解得:t=5-√2.答:经过5-√2秒△ABC的边与圆第一次相切.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
九年级数学切线长定理同步练习含答案
第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。
2023学年九年级数学上册重要考点题(人教版)切线的判定与性质及切线长定理(10大题型(解析版)
切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。
【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。
【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。
人教版九年级数学上册24.2.2 第3课时 切线长定理同步测试题及答案
第3课时切线长定理一、选择题1.下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．184.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．P BAO6题图 7题图 8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC 的周长．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．11.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．12．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．13．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°． (1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且ο60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．参考答案◆随堂检测 1. C2. B (提示：②④错误)3. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150) ◆课下作业 ●拓展提高1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA =）4. ∠P=600。
九年级数学 切线长定理 专题练习(含解析)
∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16． 故选：D． 分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切 线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选 C． 分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（ ） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8， 故选 B． 分析： 根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 根据切线长定理得 PA=PB， 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70°． 故选 D． 分析： 根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如 图 ， AB、 AC 是 ⊙O 的 两 条 切 线 ， B、 C 是 切 点 ， 若 ∠A=70°， 则 ∠BOC 的 度 数 为 （ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
2021年人教版数学九年级上册《切线长定理》同步专项练习卷(含答案)
2021年人教版数学九年级上册《切线长定理》同步专项练习卷一、选择题1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A.4B.8C.4 3D.8 33.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°4.把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是( )A.12 cmB.24 cmC.6 3 cmD.12 3 cm5.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A.50°B.60°C.70°D.70°6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=50°，则∠ACB的度数为( )A．60° B．75° C．70° D．65°7.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA 的长为( )A．2 B． C． D．8.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是（）A.55°B.60°C.65°D.70°9.如图，等边三角形ABC边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O半径为（）A.2B.3C.4D.4﹣10.如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△CMN），则剪下的△CMN的周长是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm11.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F.给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.312.如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于点E，DE 的最小值是（）A.1B.C.D.2二、填空题13.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为．14.已知三角形的三边分别是5、12、13，则其内切圆的直径与外接圆的直径之比是．15.如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= ．16.如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P= .17.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于8cm，则PA= cm；已知⊙O的直径是6cm，PO= cm．18.如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC=124°，则∠A= ______ .三、解答题19.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数.20.如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积.21.如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长．22.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．23.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.答案为：B2.答案为：B.3.答案为：D.4.答案为：D.5.答案为：B6.答案为：D ．7.答案为：B.8.答案为：C9.答案为：D.10.答案为：B11.答案为：C.12.答案为：B13.答案为：5．14.答案为：4：13．15.答案是：20°．16.答案为：50°.17.答案为：4，5.18.答案为：68°.19.解：(1)∵CA ，CE 都是⊙O 的切线，∴CA=CE.同理DE=DB ，PA=PB ，∴△PCD 的周长=PD ＋CD ＋PC=PD ＋BD ＋PC ＋CA=PB ＋PA=2PA=12，∴PA=6， 即PA 的长为6.(2)∵∠P=60°，∴∠PCE ＋∠PDE=120°，∴∠ACD ＋∠CDB=360°－120°=240°.∵CA ，CE ，DB ，DE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=∠OCA=12∠ACD. ∠ODE=∠ODB=12∠CDB ， ∴∠OCE ＋∠ODE=12(∠ACD ＋∠CDB)=120°，∴∠COD=180°－120°=60°.20.解：设DE=x cm ，则CE=(4－x)cm.∵CD ，AE ，AB 均为⊙O 的切线，∴EF=CE=(4－x)cm ，AF=AB=4 cm ，∴AE=AF ＋EF=(8－x)cm.在Rt △ADE 中，AE 2=AD 2＋DE 2，即(8－x)2=42＋x 2，解得x=3.∴S △ADE =12AD ·DE=12×4×3=6(cm 2). 21.解：(1)连接OC ，证∠DAC=∠CAO=∠ACO ，∴PA ∥CO ，又∵CD ⊥PA ，∴CO ⊥CD ，∴CD 为⊙O 的切线(2)过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，∴四边形OCDF 为矩形．∵DC ＋DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6－x ，AF=5－x ，在Rt △AOF 中，有AF 2＋OF 2=OA 2，即(5－x)2＋(6－x)2=25， 解得x 1=2，x 2=9，由AD ＜DF 知0＜x ＜5，故x=2，从而AD=2，AF=5－2=3，由垂径定理得AB=2AF=6.22.解：（1）如图，连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB ，∴∠ABD=∠ODB ，∴∠A=∠BDC ；（2）∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM=∠ACM ，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．23.（1）证明：（1）如图，连接OE.∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH.（3）证明：如图，连结DE.∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH.∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，。