高一数学人教A版必修一预习案：3.1.2用二分法求方程的近似解(总第36课时)
高中数学人教A版必修1导学案：3.1.2用二分法求方程的近似解
§3.1.2 用二分法求方程的近似解班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P89-P90,用红色笔对重点内容及有疑问的地方进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2、能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备；3、体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
【学习重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【学习难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解【知识链接】1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数，我们把使 的实数x 叫做函数的零点。
方程有实数根函数的图象与x 轴 函数。
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点.2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？【预习探究案】【自主探究】1、思考：一条高压电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何可以尽快找到故障接点？2、试用计算器完成课本89页求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2,3)上近似解的过程，体会用二分法的思想，并试着对二分法下一个定义。
()y f x =()y f x =()0f x =⇔()y f x =⇔()y f x =()y f x =[,]a b ()y f x =(,)ab3、写出给定精度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤。
【合作交流】1、借助计算器或计算机用二分法求方程 732=+x x 的近似解（精确到1.0）．2、借助计算机或计算器求函数4.19.01.1)(23--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．【巩固练习】1、下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）（D ）（A ） （B ） （C ）2、)1.0((2,3)3lg 精确到上的近似解在区间利用计算器，求方程=+x x【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题） 今天我学会了什么？【训练案】（时间：10分钟）1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.()f x [],a b ()f x [],a b x3. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D.4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 。
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解导学案 新人教A版必修1
课题：3.1.2用二分法求方程的近似解一、三维目标：知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。
过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学习的兴趣。
二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。
三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。
四、知识链接：1函数零点的概念：2．等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)3．函数零点存在定理：4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）五、学习过程：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lg x=3-x；（3）x3-3x-1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。
认真阅读P89—90页，回答下面问题：1、什么叫做二分法：2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？A例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：(1)确定 ，验证 ，给定 ； (2)求区间 ；(3)计算 ；①若 ，则c 就是函数的零点；②若 ，则令 (此时零点x 0∈(a ，c ))；③若 ，则令 (此时零点x 0∈(c ，b ))。
人教A版高中数学必修一导学案用二分法求方程的近似解
§3.1.2 用二分法求方程的近似解1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.8991复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数()=的零点.y f xy f x=，我们把使的实数x叫做函数()方程()0f x=有实数根⇔函数()=.y f xy f x=的图象与x轴⇔函数()如果函数()a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，y f x=在区间[,]那么，函数()a b内有零点.y f x=在区间(,)复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？二、新课导学※学习探究探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln26y x x=+-的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间[,]=，通过不断的把函y f xg<0的函数()a b上连续不断且()()f a f b数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x的零点近似值的步骤如何呢？①确定区间[,]g，给定精度ε；f a f b<a b，验证()()0②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．※ 典型例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式：求方程237x x +=的根大致所在区间.※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）练3. .三、总结提升※学习小结①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若函数()f x在[],a b上（）.f x在区间[],a b上为减函数，则()A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.3. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）.A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D. (5,6)4. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5)5.625f =，那么下一个有根区间为 .5. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 .课后作业1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.。
高中数学人教A版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案(含答案)
3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例1】证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.∵f(1)=1-3+1=-1＜0,f(2)=8-6+1=3＞0,∴f(1)·f(2)＜0,∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-0.125.因为f(1.5)·f(2)＜0,所以x0∈(1.5,2).再取(1.5,2)的中点x2=1.75，用计算器算得f(1.75)=1.109 375.因为f(1.5)·f(1.75)＜0，所以x0∈（1.5,1.75）.又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625.因为f(1.5)·f(1.625)＜0,所以x0∈(1.5,1.625).取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5,用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.5,1.562 5).取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时，用计算器算得f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.562 5).取（1.531 25,1.562 5）的中点x6=1.546 875时，用计算器算得f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,所以x0∈(1.531 25,1.546 875).同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时，f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0， 即x 0∈(1.531 25,1.533 203 125).由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53. 二、对二分法再理解【例2】有一块边长为30 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少厘米（精确到0.1 cm ）？解析：盒子的体积y 和以x 为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.如果要做成一个容积是1 200 cm 3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x ＜15＝.令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1，2）的中点x 1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0. 因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x 0∈(1.5,2). 同理可得x 0∈(1.5,1.75)，x 0∈(1.625,1.75),x 0∈(1.687 5,1.75),x 0∈(1.687 5,1.718 75),x 0∈(1.687 5,1.703 125),x 0∈(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.故如果要做成一个容积是1 200cm 3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm 或9.4 cm. 温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到. 三、“精确度为ε”与“精确到ε” 【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内的零点：（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0, 由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x 0，即x 0∈(2,3). 下面用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内零点的近似值： 取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).同理可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375).(*)（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；（2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.各个击破类题演练1求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.解析：列表：由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.变式提升1用二分法求33的近似值（精确到0.01）.解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.取（1，2）的中点x1=1.5,f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).再取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,f(1.375)=-0.400 390 625＜0,∴x0∈(1.375,1.5).这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375).∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，∴y=x3-3的一个零点为1.44.即33精确到0.01的近似值为1.44.温馨提示1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x 0)在［a,b ］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b ］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.类题演练2一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x 3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01) 解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0,∴函数f(x)=2x 3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x 3+3x-3=0在(0,2)内有解. 取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.又f(0)<0,∴2x 3+3x-3=0在(0,1)内有解.如此继续下去，得到方程2x 3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01.∴方程2x 3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74. 变式提升2 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1), (1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数; （2）求证当a=3时，f(x)=a x+12+-x x 在（0，1）内必有零点； (3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01) 解析：（1）可设g(x)=a x,h(x)=12+-x x ， 由指数函数的性质可知：当a ＞1时，y=a x在（-1，+∞）上单调递增. 下面证明h(x)=12+-x x 在（-1，+∞）上单调递增.设x 1、x 2∈(-1,+∞)且x 1＜x 2， 则h(x 1)-h(x 2)=1211+-x x -1222+-x x =131+x -132+x =)1)(1()(32121++-x x x x .∵-1＜x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，x 1+1＞0,x 2+1＞0， ∴h(x 1)＜h(x 2),∴h(x)在（-1，+∞）上单调递增.∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上单调递增.（2）由（1）可知：函数f(x)在（-1，+∞）上是增函数. 又f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-21=25＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个. （3）由二分法可求得，当a=3时，f(x)=0的正根为0.28. 类题演练3函数f(x)=x 2-5的零点的近似值为（精确到0.1）（ ）A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3解析：∵f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在（2，3）内必有一零点.可用二分法求得近似解为2.1. 变式提升3用二分法求2x=x+2负的近似解（精确到0.1）. 解析：设f(x)=2x-x-2,由于f(-2)=41, f(-1)=-21,f(-2)·f(-1)＜0. 故f(x)在（-2，-1）上必有一零点. 可用二分法求得近似解为-1.7. 温馨提示1.按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|＜ε，则［a,b ］上任何一个实数值x 0均可作为所求的近似值.2.按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的，即判断区间（a,b ）两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同，则该值x 0即为所求的近似值.如例3（2）中(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3，故2.3即为所求.。
高中数学人教A版必修1学案3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案
用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例】证明方程在区间（，）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到）. 证明：令()，则()在区间［，］上的图象是一条连续不断的曲线.∵()＜,()＞,∴()·()＜,∴函数()在区间（，）内必有一零点，∴方程在区间（，）内必有一根.取区间()的中点，用计算器算得().因为()·()＜,所以∈().再取()的中点，用计算器算得() .因为()·()＜，所以∈（）.又取（）的中点.用计算器算得() .因为()·()＜,所以∈().取（）的中点 ,用计算器算得( ) .因为()·( )＜,所以∈( ).取（）的中点时，用计算器算得( ) .因为( )·( )＜,所以∈( ).取（）的中点时，用计算器算得( ) .因为( )·( )＜,所以∈( ).同理，可算得 ( )·( )＜，∈( )( )·( )＜∈( ).又当取（）的中点时，( )·( )＜，即∈( ).由于＜,此时区间（）的两个端点精确到的近似值都是，所以原方程精确到的近似值为.二、对二分法再理解【例】有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米（精确到）？解析：盒子的体积和以为自变量的函数解析式为().如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么有方程() ,其定义域为{＜＜＝.令()() ，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数()分别在区间（，）和（，）内各有一个零点，即方程() 分别在区间（，）和（，）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（，）的中点，用计算器算得()＜.因为()·()＜，所以∈().同理可得∈()，∈()∈( )∈( )∈( )∈( ).由于＜，此时区间（）的两个端点精确至的近似值都是，所以方程在区间（，）内精确到的近似解为.同理可得方程在区间（，）内精确到的解为.故如果要做成一个容积是的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是或 .温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：.计算量大；.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.三、“精确度为ε”与“精确到ε”【例】借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数()在区间（，）内的零点：（）精确度为；（）精确到.解析：可证得函数在区间（，）上为增函数，由题设有()≈＜()≈＞,由于()·()＜，故函数()在区间（，）内有一个零点，即∈().下面用二分法求函数()在区间（，）内零点的近似值：取区间（，）的中点，用计算器算得()≈＞，由于()·()＜,所以∈();再取区间（，）的中点，用计算器算得()≈＜,由于()·()＜，所以∈().同理可得∈()，∈( ).(*)（）由于＜，所以区间［］上任意一个实数′均可作为()在区间（，）内且精确度为的零点的近似值（比如，可取′等）；（）接（*），同理可得，∈( )∈( ),∈( )∈( ).。
高一数学人教A版必修一精品教案：3.1.2用二分法求方程的近似解 Word版含答案
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
初步应用二分法解
1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2．追寻阿贝尔和伽罗瓦．。
3.1.2 用二分法求方程的近似解教案-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修一
用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点与方程根的关系，初步掌握函数与方程的转化思想，对于高次方程和超越方程的根，只能用函数判断零点所在区间。
三、设计思想倡导学生积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式，注重培养学生的数学思维能力，引导学生的数学应用意识。
四、教学目标：1.知识与技能：理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
2.过程与方法：通过价格竞猜体会二分法的思想；通过学生的自主探究，借助计算器用二分法求方程的近似解，体现逼近思想，为学习算法做准备；体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一五、教学重点和难点：教学重点：用二分法求方程的近似解，是学生体会函数零点和方程根的关系。
教学难点：用二分法求给定精确度的方程的近似解。
六、教学过程：（一）情境导入：（猜价格）书的价格在0—80元之间的整数，每次猜后，观众会给出多了还是少了的提示，当误差不超过2元时算猜中。
问题1：给出多了还是少了的提示有什么作用？生：缩小价格范围问题2：误差不超过2元，怎么理解？生：手机价格多或少不超过2元都算猜中问题3：应当如何猜才能最快猜出手机的价格？生：每次取价格的中点进行猜想。
【2020秋备课】高中数学教案新人教A版必修1 3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让同学体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让同学学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热忱和学习的爱好.重点难点用二分法求方程的近似解.课时支配1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)假如让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，假如高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，假如高了每隔100元降低报价.假如低了，每50元上升；假如再高了，每隔20元降低报价；假如低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，假如高了，再报一个价格；假如低了，就报两个价格和的一半；假如高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；假如低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也经常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是依据生1那样每隔10米或者依据生2那样每隔100米来检测,还是依据生3那样来检测呢？生：(齐答)依据生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来呈现一下(呈现多媒体课件，区间靠近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的方法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端确定有重球.其次次，两端各放三个球，低的那一端确定有重球.第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推动新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0. ④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样推断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.争辩结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=2-,x=2,x=1,x=2.⑤假如能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在确定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了便利，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=2ba称为区间(a,b)的中点〕⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,由于f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧由于函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) -4-1.3061.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.945912.079414.1972由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，由于f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3) 2.5 -0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066(2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009(2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029(2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010(2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围的确越来越小了.假如重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在确定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特殊地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.4°推断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计确定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：①师生共同探讨沟通，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并依据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引发同学思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导同学探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深同学对上述方法的理解；⑤引发同学思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.同学简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x 0 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273图3-1-2-2观看图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.由于f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.由于f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．活动：老师挂念同学分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发觉，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.依据图象，我们发觉f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f(232+)=41>0，发觉x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.由于f(2)=-1<0，f(3)=2>0，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，由于f(2.5)=0.25>0，所以2<x1<2.5.再取2与2.5的平均数2.25，由于f(2.25)=-0.437 5<0，所以2.25<x1<2.5.如此连续下去，得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3),f(2)<0,f(2.5)>0⇒x1∈(2,2.5),f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375,2.437 5).由于2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).活动：同学先思考或争辩后再回答，老师点拨、提示并准时评价同学.分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发觉，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.。
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§3.1.2用二分法求方程的近似解(总第36课时)
【教学目标】
1．知识与技能
了解“二分法”是求方程近似解的常用方法,能根据具体函数，借助计算器用二分法求方程的近似解;体会程序化解决问题的思想方法,为算法的学习作准备.
2．过程与方法
通过具体例子感知”二分法”的思想方法. 认识到在零点存在条件下，每一次取中点、近似、逼近的思想是理解二分法的核心；.
3. 情感、态度、价值观
体会“二分法” 程序化解决问题的思想,认识“二分法”的价值所在；
【预习任务】
阅读课本P89-90页，理解用“二分法”求函数零点近似值的思想方法,并完成下列任务:
1.理解二分法
（1）二分法找零点的依据是什么？
（2）“找零点”的过程实质就是缩小零点所在区间的过程,教材中通过什么方法缩小零点所在区间?
（3）区间的中点怎么求?举例说明.
（4）如何判断是否满足已经给定的精确度了？
（5）写出用“二分法”求函数零点近似值的格式步骤：
（6写出课本例2的解题过程：
【自主检测】
1.①区间[-1,3]的中点为.
②求方程x3-2x-5=0在区间（2, 3）内的实根，取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是.
③用二分法求函数f(x)在区间[a, b]上的零点的函数f(x)需满足条件.
2.有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好.
3.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的几个命题：①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a,b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.
那么以上叙述中，正确命题的序号为.
【组内互检】
1.“二分法”求函数零点近似值的格式步骤；
2. 区间的中点的求法。