Borrhqw高一数学典型例题分析：等差数列的前n项和

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。

吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。

情也成空，且作“挥手袖底风”罢。

是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。

乃书于纸上。

毕而卧。

凄然入梦。

乙酉年七月初七。

-----啸之记。

等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋n N 213()N -若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)． 又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴ 两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ， ∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99 ∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) dS (n 1)2(d)n +1n +1()()n nn n++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n ndn nd ndnd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()()nd =511由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m +n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12解方程组得：d ＝－2，a 1＝9 ∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和． 【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和． 解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根 解方程可得x 1=－6，x 2＝2 ∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n=+231100100，则等于[ ]A 1BCD ．．．．23199299200301分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n1001002312=+解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n nn nn n=+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n=+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k ∴∴××a b S S T T n k n kn n k n n k n n n n a b n nn n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()]说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n=+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n nk 是常数，就不对了． 【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20； (4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值． 分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32 (2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n +21n +2n +2251故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．21111286112351223(3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21 ∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a(4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n nn nn∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165． 【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列． 证 设这个数列的第n 项为a n ，前n 项和为S n ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1∴a n ＝(4n 2＋3n)－[4(n －1)2＋3(n －1)] =8n －1当n=1时，a 1=S 1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n ，都有a n =8n －1 又a n+1－a n ＝[8(n ＋1)－1]－(8n －1)＝8 ∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明 这里使用了“a n =S n －S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n ≥2时成立．因为当n ＝1时，S n-1=S 0，而S 0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n ＝1时的情况．【例12】 证明：数列{a n }的前n 项之和S n ＝an 2＋bn(a 、b 为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证 ⇒由S n ＝an 2＋bn ，得 当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1 ＝an 2＋bn －a(n －1)2－b(n －1) =2na ＋b －a a 1＝S 1＝a ＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a 且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a ＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d=d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n nn n a d()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝．c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d 按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()()=－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd ∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27 nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等 差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n +1⎧⎨⎩∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27 ∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系． 由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。