浅论《集合》教学中的创新能力的培养

浅论《集合》教学中的创新能力的培养《新数学课程标准》强调数学教学过程，应以突出培养学生的创新精神和实践能力为目标，以课堂教学为主要渠道，从创设观察、想象、求异、合作交流情境入手，培养学生发现问题、提出、分析问题并用数学知识解决实际问题的创新能力。

当前，数学教学改革和发展的总趋势就是发展思维，培养能力。

创新是教与学的灵魂，是实施素质教育的核心；数学教学蕴含着丰富的创新教育素材，数学教师要根据数学的规律和特点，认真研究，把创新教育渗透到课堂教学中，激发和培养学生的思维品质。

现结合《集合与简易逻辑》一章的教学，谈谈怎样培养学生的创新思维。

所谓创新思维，是指“在客观需要的推动下以所获得的信息和已贮存的知识为基础，综合地运用各种思维形态或思维方法，克服思维定势，经过对各种信息、知识的匹配、组织或者从中选出解决问题的最优方案，或者系统的加以综合，或者借助类比、直觉、灵感等创造出新方法、新形象、新观点，从而使认识或实践取得突破性进展的思维活动。

”创新不是凭空想象，它建立在已有的牢固的基础知识之上。

一、重视教材，打好基础，为创新铺平道路集合是高中数学的重要基础知识，它贯串于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的应用。

例如：集合}{=y|y=M2∈xxR,N2=y|x{∈=则=-3NxM?x,R}{(P==y|)y,x求=∈P?,xM}xR学生在练习过程中,尤其求交集很容易出错，错因在于对集合概念，集合的描述法中的元素没有正确认识。

通过此题的设计，学生对知识点加以区别，认识到数集与点集的交集是空集，加深了对概念的认识和理解。

《逻辑联结词》教学中，“或”意义是难点。

所以我设计教学时从生活中的实例出发，以“今天上午我去打蓝球或去图书馆”为例，说明生活中的“或”一般指或“此”或“彼”，必居其一，但不兼有，两部分不可同时成立。

在数学中，“12可以被3或4整除”，这里的“或”指“或此或彼或兼有”三种形式，运用数学语言和解数学问题时，都要注意“可兼有”并不意味着“一定兼有”。

数学来源于生产、生活、实践，因此从数学与现实世界的联系出发，学生感觉亲切，易于接受。

二、在牢固掌握基础知识后，注重培养学生思维的广阔性、深刻性，加强知识间的联系与综合，从而培养学生的创新思维。

集合相等的概念练习中，我设计了一题：已知集合A＝｛2，a，b｝，B=｛2a，2，b2｝，且A＝B，求a、b的值。

这题涉及两点：元素相等的匹配和元素的互异性，我事先估计学生会在集合元素的互异性上忘记讨论而出问题，但是并非如此。

学生经过几分钟的思考，开始相互议论，一位学生说他的思路： B A =⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧====∴a 2b b a b b a 2a 22或 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴21b 41a 1b 0a 0b 0a 或或 而⎩⎨⎧==0b 0a 不符合集合元素的互异性 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==∴21b 41a 1b 0a 。

题目完成的很漂亮，我充分肯定他思维的严密和深刻，他满怀喜悦。

另一同学说，由集合相等可知，两集合中元素个数和元素都相等，两集合中元素之积应相等，∴ 2ab ＝2a·2·b 2∴ab(2b-1)=0∴a=0或 b=0或 b=21，再分别讨论两集合中的元素。

片刻安静，同学们对这个克服思维定势颇具新意的想法给予了热烈掌声，我也非常赞赏这一创新意味的收获。

又一同学站起说，如果再列出一个方程，把两集合元素分别作和，即a+b=2a+b 2②,与○1联立方程组求解也可以。

又是一阵掌声。

教学过程中，学生是潜力无穷的个体，教师不是权威，在与学生的积极探讨交流中教师也能学到学生蕴藏的闪光点，教学相长。

把创新教育渗透到课堂教学中，精心创设求异情境，把学生引入一个广阔的思维空间，开发智能，提高数学素质，切实让学生成为课堂的主人，焕发出生命活力。

三、注重数学思想方法的教学，为创新思维提供有力保证数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，有意识地挖掘数学问题本身所蕴含的数学思想方法，并能恰当地调用它们解决问题，思维将会得到进一步发展，潜能将会得到有效的开发，数学素质将会得到极大的提高，创新意识、创新精神、创新能力将会得到很好的培养。

1．数学教育不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，从中体会数学思想方法，诱导学生创新。

绝对值不等式解法一节，涉及到数形结合、分类讨论、化归思想，内容丰富，特别利于培养学生创新思维。

在明确⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a |x |和绝对值的几何意义后，我让学生去构造含绝对值的不等式，去发现不同类型，加深头脑中对这块知识的印象。

大家的智慧聚在一起，发现了|x|>a 和|x|<a, (a>0), |ax+b|>c 和|ax+b|<c, n<|ax+b|<m, |ax+b|>mx+n (m, n 为常数且m≠0)等类型的不等式。

还有的学生想到了c a |x |>，我首先肯定了他的想法，然后启发大家能否把它归为以上类型，a >0，可得a c |x |>，因为a ，c 为常数，所以它可划在|x|>a 一类。

有的学生受到这个例子启发，想到了c x 2>，有的学生说这题中不含绝对值号，不能算是含绝对值的不等式。

有的学生马上说根据|x |x 2=，它可转化为含绝对值的不等式。

其中运用化归和转化的思想，说的多好。

看着学生们积极地发表见解，我感觉到了他们活跃跳动的思维。

这样，学生的主体性才真正得到了发挥，学会了用头脑、用智慧去体验知识形成的过程，用数学思维去学数学，做数学。

2．在数学思想指导下，展现思维全过程，帮助学生创新学起于思，思源于疑，疑则诱发创新。

创设求异的情境，鼓励学生多思、多问、多变，在探索和求异中有所发现和创新。

新课进入解法阶段，我引导学生一一去解决总结出的以上各类型不等式。

从绝对值的几何意义出发，解决完第一类不等式后，学生很自然地把第二类化归为第一类去做，这样体现了化归思想，“会解”的要求达到了。

那么有没有更新更好的方法呢？结合具体的例题：| x-2 | >1，有学生根据绝对值几何意义，画了一条数轴，说与2的距离大于1的点在3的右侧或1的左侧，从而得出x<1 或 x>3。

我评价他的想法很正确，反问若题目变为较复杂的 | 1-2x | >2时该如何处理？片刻沉默后，有人说那也可以用上述方法，即为1与2x 的距离大于2，把2x 看成整体去解，说的也非常好。

然后学生们各自思考，我又启发大家能否在坐标系中画出函数y= |x-2|它的图象，用数形结合的思想。

大家一起动笔，在纸上画起来，2分钟后，两个班102人中37人画出了y= |x-2| 的图象，另外58人画出了 y=x-2的图象，在画图象时有个关键，在于图象的翻折，这在初中函数部分没接触过，所以在这成了难点，一旦把难点突破，问题也就得到了解决。

令 y=1，它是一条平行于x 轴的直线，结合图象，可得出解集是两部分的并集。

此题也可以分类讨论。

在讨论 | ax+b | > mx+n (m, n 为常数,且m≠0)时，例如：解不等式 | x+1| > 2-x ，经统计，两班91人选择将原不等式化归为x+1 >2－x 或x+1< x －2，在至少用一种方法正确求出解集后，学生继续探寻其他的解法。

一个学生要讨论 2-x 的情况：若 2-x <0时，则原不等式显然成立，所以 x>2 是原不等式的解；2-x≥0时，两端平方，得 x 2+2x+1 > x 2-4x+4，∴21x >，又 2-x≥0，即x≤2，∴2x 21≤<是原不等式的解。

又有的同学说不用讨论 2-x ，只需讨论 x+1，当 x+1 ≥0 时，原不等式可化为 x+1≥2-x ；当 x+1<0时，原不等式化为 –(x+1) > 2-x 。

有的同学说画图象，用数形结合的方法，结果在102人中能正确画出图象的有68人，有了明显的进步，说明学生对数形结合有了更进一步的认识，剩下一部分学生还是对图象陌生，说明数形结合思想的教学还要大力加强，让学生循序渐进地理解掌握这一思想。

在解决含两个或两个以上绝对值号的不等式时，数形结合的思想方法更简捷直观，更能显出它的优越性。

如： |x+1|+|x-1|<m 的解集为非空数集，求m 的取值范围。

⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-=)1x (x 2)1x 1(2)1x (x 2y据题意可知，m>2。

又如： 已知关于x 的不等式ax 2+4ax+3>0 对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

分析这道问题时，我吸取以往教训，没有直接作出如下解答：当a ＝0时，显然 3>0 符合条件；当a≠0时，⊿＝16a 2－12a<0，即0<a<43时，不等式ax 2+4ax+3>0对一切实数x 都成立。

故所求实数a 的取值范围是a ＝0或0<a<43，即0≤a<43。

而是引导学生观察函数y ＝ax 2+4ax+3的图像。

如图所示，当a ＝0时，函数y ＝ax 2+4ax+3的图像是直线，即a ＝0时符合题意；当a≠0时，函数y ＝ax 2+4ax+3的图像是抛物线。

当a<0时，抛物线的开口向下，无论如何都不符合题意；当a>0时，抛物线的开口向上，依题意，函数y ＝ax 2+4ax+3的图像应在x 轴的上方且与x 轴无交点，因此有⎩⎨⎧<∆>00a ，解之得 0<a<43。

综上所述可得 a ＝0或 0<a<43，即0≤a<43。

通过这样教学处理，凭借函数图像的直观性，不仅使学生牢固地掌握了这类问题的解法，而且培养了学生对数学“形”与“数”的顿悟与灵感。

创新是一项复杂的系统工程，需要我们在数学教学目标、内容、方式方法、手段等各层面加大创新力度，以求数学教学创新的实质性，全面推进素质教育。

通过近几年的教学实践，我深感数学思想方法的博大精深，数学知识的无穷魅力，知识是永远学不完的，只有在掌握了科学的方法后，才能理顺脉络，使知识系统，有条理，学起来易懂易会不枯燥。

“方法一旦选择正确了，效率就会成倍提高”。

学生的思维是活跃的，有创造性的，富有新意的，他们全力地汲取知识的甘露，必将绽放美丽的花朵。

让我们朝着目标——给我们所有学生一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑而努力！。