2 高斯定理
2.大学物理-高斯定理
关于高斯定理的讨论：
es
1 E dS q内
s
0
3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 s E cos dS 中的 E和 cos 能够提到积分号外，从而简便地求出 E 分布
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
q内 ( r ) dV
R ,r
dV L 2rdr
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）
对称性分析： 视为无限长均匀带电直线的集合
dE
x
dE
P
' dE
dE
E方向 垂直于带电平面，
E cos0 dS E cos0 dS E cos dS 2 E 2S
左 右 侧
0
0
2 0
E
o
x
2 0
E 2 0
其指向由 号决定
的符
讨论： 1.电荷均匀分布无限大平板（厚度 h 0 ）的电场。
2.电荷分层均匀分布分层均匀无限大平板（厚度
讨论：
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合； 选高斯面；同轴 圆柱面
R
o o
r
r
P
E o R r
' dE
P
dE
' dE dE
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
E 2 0 r
2. 计算均匀带电圆柱层（ R1 , R2 , ）的电场分布
2高斯定理
由高斯定理： 由高斯定理：
I、当闭合曲面内电荷为正时， Φ E>0,电场线从q 当闭合曲面内电荷为正时， >0,电场线从q 电场线从 出发穿出闭合曲面，＋q称为静电场的源头。 出发穿出闭合曲面，＋q称为静电场的源头。 ，＋ II、当闭合曲面内电荷为负时， Φ E <0,电场线穿 <0,电场线穿 II、当闭合曲面内电荷为负时， 入闭合曲面，终止于负电荷q，－q称为静电场的尾 入闭合曲面，终止于负电荷q，－q 闾。
dS
r E
dN E= dS
பைடு நூலகம்
r E
点电荷的电场线 负电荷 正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
+ + E
+ +
一对异号不等量点电荷的电场线
E +2q
q
带电平行板电容器的电场线
++ ++ + + + + +
E
静电场中电场线的特点： 静电场中电场线的特点：
1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷。 电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
–
+
结论：高斯定理说明，电场线起始于正电荷， 结论：高斯定理说明，电场线起始于正电荷，终
止于负电荷，即静电场是有源场。 止于负电荷，即静电场是有源场。
§ 5－3 高斯定理应用
1、均匀带电球面电场强度 、
r （1） < R
高斯面
0
∫∫sE . dS = ∫∫sE dS cos 0 = E ∫∫s dS
高斯 定理
德国数学家 物理学家
§2.高斯定理(Gauss theorem)
q ee E d s ds 2 40r s s q q 2 4 r 2 40r 0 思考：q不在球心，
曲面不是球面，
曲面内有多个电荷，
q在球心。
dS
e ?
q
0
0 其中： qi 曲面内电荷的代数和。 E 为闭合曲面（高斯面）上的场强。
和
两均匀带电球壳如图，求电场分布。设场点距球心为r.
解：
(1)当r R1时，作高斯面如图。有：
1q. 1R
1 ( r球面）
E COSdS
E1 0
q
0
r
R2.q2
( r球面）
(2)同理，当R1 r R2时有：
q
E2 cos dS
0
E2 .4r
n
θ
若为非匀强场，任意曲面，
dS
则可用微元法求φ，见图：
d EdS cos
E cosdS
3.的正负：
对闭合曲面法线方向规定向外。
s
0 s theorem)
1.导出：特例，求点电荷q的φe。
如图，封闭面为球面，
n
在上.下底面上 0 0 而且E为常量 有：
(S )
2
即： 2 ES
E cosdS E cos dS 2ES
（.上，下底）
0
S
E 2 0
1 2 e E We e dV 2 （4） (v)
(3) 求 平行板电容器间的场强. 面电荷密度为
2
0
q1
即E2
40 r
q1
2
(3)当r R2时。
E
3
静电场2(高斯定理)
Φe = ∫∫ E⋅ dS =
S
→
→ →
1
ε0
∑q
i
i
→
q
E
+q
E
E⋅ dS = ∫∫ E cosθdS = ∫∫
S S
→ →
1
ε0
∑q
i
i
高斯定理: 在静电场中， 高斯定理 在静电场中，通 过任意封闭曲面的电场强度通量， 过任意封闭曲面的电场强度通量， 等于封闭曲面内所包围的电荷代 数和除以 ε0 。
四、高斯定理的应用
当带电体电荷分布具有某些特殊的对称 性，因而使产生的电场分布也具有一定的 对称性时，可以应用高斯定理求电场。 对称性时，可以应用高斯定理求电场。 （1） 应用条件：电场分布具有对称性 ） 应用条件： 2）方法： （2）方法： 1.作一个封闭曲面（高斯面），通过所 作一个封闭曲面（高斯面），通过所 作一个封闭曲面 ）， 求场点，并满足：（ ：（a） 求场点，并满足：（ ）曲面上各点电 场大小相等，方向与曲面处处成定角。 场大小相等，方向与曲面处处成定角。 （b）曲面形状简单，可用几何公式算出。 ）曲面形状简单，可用几何公式算出。
q
+ +
E
r
2、均匀带电球体的电场。体电荷密度为ρ 、均匀带电球体的电场。 对称性：电荷分布球对称， 对称性：电荷分布球对称， ε 电场分布也是球对称 r （1） < R E
O
r
R 高斯面
E ⋅ dS = E ⋅ 4 r π ∫∫
S
→
→
2
14r π = ρ ρ ε0 3 E= r 3εo
3
ρ 2、均匀带电球体的电场。体电荷密度为 、均匀带电球体的电场。 ρ r <R （1） E= r
2 高斯定理
(2) 电场线密度
d Φ e ：通过 d S 的电场线根数
dS
E
定义：电场线密度=
dΦe dS E
dΦe dS
SI制中：
E
dΦe dS
（3）电场强度通量（电通量，
E 通量） Φ e d Φ e
1 定义: 通过电场中某个面的电场线的总根数. 2 （1）通过 dS 面的电通量
S
i 1
q
i
s
q2
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电 场强度通量，等于该曲面所包围的所有电 荷的代数和除以 ε 0 .
闭合曲面内包围的不是点电荷而是带电体 体状
Φe
S
E dS
dV
ε0
V
面状
Φe
S
E dS
dS
S
ε0
线状
dΦe EdS
dΦe dS
∵电场线密度=
dS
E
∴通过 dS 面的电通量
=电场线密度× dS
EdS
（2）通过
dS
面的电通量
dΦe EdS
en
dS
dS
E cos dS
E dS
dS dSen
E
讨 论 a. 非匀强电场中曲面的情况
i 1
Φ ei 0
N
y
P
en E
en
o
M
Rz en Nhomakorabeax
Q
四 高斯定理及其应用
(1) 包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量
en dS
第2次高斯定理-2
17
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷 远)。在无电荷处电力线不会中断。 这对应静电场的有源性，正点荷是源头，负电荷是尾闾。
2） 电场线不相交。 这对应电场强度的唯一性。方向、大小都是唯一的。
3） 静电场电场线不闭合。 这对应静电场的保守性。
2019/11/2
18
二 电场强度通量
1
2
2019/11/2
q
l dl
9
由于
l btg( ） bctg dl b csc2 d
2
r2 b2 l2 b2 csc2
dE
y
dE y
可得
dEx
4 0b
cos d
dEy
4 0b
sin d
积分得
dEx O
上次课内容回顾
库仑定律：
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
F
1 Q
点电荷的电场： E q0 4 π0 r2 er
电场叠加原理：
E
dE
1
4π 0
er r2
dq
均匀带点圆环（盘）轴线上：
E
4π
0
qx (x2
R2 )3
2
E x ( 1 20 x2
E
E
E
4
q πε0
(
x
2
2 xr0 r02
4)2
i
. q O q r0 2 r0 2 +
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
物理中的高斯定理
物理中的高斯定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：高斯定理是物理学中非常重要的定理之一，它描述了通过一个闭合曲面的电场或者磁场的总通量等于内部电荷或者磁荷的代数和的1/ε₀倍。
这个定理在电学和磁学中有着广泛的应用，对于理解电场和磁场的分布以及它们与电荷和磁荷的关系有着重要的作用。
本文将深入探讨高斯定理的概念及其在电学和磁学中的应用，并对其重要性进行总结和展望。
1.2 文章结构文章结构部分：本文将围绕物理中的高斯定理展开讨论，首先我们将介绍高斯定理的概念，包括其基本原理和数学表达式。
然后，我们将重点讨论高斯定理在电学和磁学中的应用，分析其在解决电场和磁场问题中的重要性和实际意义。
最后，我们将总结高斯定理在物理中的重要性，并对其未来的发展进行展望，以期为读者提供全面的物理学知识和思考。
1.3 目的本文旨在深入探讨物理学中的高斯定理，并探讨其在电学和磁学领域中的应用。
通过对高斯定理的概念和原理进行剖析，我们旨在帮助读者更好地理解与应用高斯定理。
同时，通过总结高斯定理在物理学中的重要性，并展望其在未来的应用前景，本文意在激发读者对物理学领域的兴趣，以及对高斯定理相关研究的关注。
最终，本文会总结结论，希望能够为读者提供对高斯定理的全面理解，并对其在物理学领域的未来发展提供一定的启示。
2.正文2.1 高斯定理的概念高斯定理，也称为高斯法则，是物理学中的重要定理之一，它描述了一个闭合曲面内的某一物理量的总量与这个曲面所包围的物理系统的产生或消失的量之间的关系。
换句话说，高斯定理可以用于计算一个矢量场通过一个闭合曲面的通量。
这个定理是根据德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的工作而命名的。
在数学上，高斯定理可以用公式表示为：∮∮S (F·n) dS = ∮V (∇·F) dV其中，∮∮S 表示对闭合曲面S 的面积分，F·n 表示矢量场F 在曲面上的法向分量，dS 表示曲面S 上的面积元素。
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Nantong Universityq +O xl.y B +e K −e K −r +r +-+E K .−E K E K q −y θθ电偶极子−E K +E K A .Nantong UniversityxPoxxREK +q223204π()qxE i εx R =+K K 圆环Nantong University例3有一半径为R ，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为σ.求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.xPxoRNantong Universityd d 2πd q S r r σσ==解:23220)( π4d d r x εq x E x +=23220)(d 2r x r xr ε+σ=xE E ∫=d 2π/σRq =22(1)2xεx Rσ=−+Pxox2/122)(r x +rd rRx E E ∫=d 22320d 2()Rxr r εx r σ=+∫220(1)2x E iεx Rσ=−+K KNantong UniversityxPxoRx <<02εE σ≈讨论讨论R22(1)2x E εx Rσ=−+σ+02E εσ=Nantong University推广：①一根有限长带电体，求它中垂线或连线上任一点的场强。
KEKENantong University②求半圆环中心O点的场强。
++ +++++++ +−−−−++Q + Q −Nantong University4.电场线（电力线）(1)切线方向为电场强度方向(2)疏密表示电场强度的大小定义：a. 点电荷的电场线负点电荷正点电荷+静电场是有源场(1)电场线源头尾闾Nantong Universityb. 两个等量异种或同种电荷周围的电场线+++Nantong Universityc. 两块相互平行的带等量异种电荷的金属板之间的电场线+ + + + + + + + + + + +南通大学Nantong University9-2 高斯定理电场线的基本性质： (1) 起始于正电荷，终止于负电荷，电场 线不闭合，也不会在没有电荷的地方中断. (2) 电场线永远不会在没有电荷的地方相 交. (3) 电场线与等势面垂直. (4) 电场线的疏密反映了场强的大小.第9章 静电场返回11南通大学Nantong University9-2 高斯定理(2) 电场线密度dΦe ：通过 dS⊥的电场线根数dΦe 定义：电场线密度= dS ⊥ dΦe ∝E dS ⊥ dΦe SI制中： E = dS ⊥第9章 静电场返回12dS ⊥E南通大学Nantong University9-2 高斯定理（3）电场强度通量（电通量， E 通量） Φe dΦe 1 定义 通过电场中某个面的电场线的总根数 2 （1）通过 dS ⊥ 面的电通量dS ⊥EdΦe = EdS⊥ dΦe ∵电场线密度= dS ⊥ ∴通过 dS ⊥ 面的电通量=电场线密度× dS ⊥ = EdS ⊥第9章 静电场返回13南通大学Nantong University9-2 高斯定理（2）通过 dS 面的电通量dΦe = EdS⊥endS ⊥ θdSθE= E cos θ dS= E ⋅ dSdS = dSn第9章 静电场返回14南通大学Nantong University9-2 高斯定理讨论 讨论 a. 非匀强电场中曲面的情况enθ通过 dS 的电通量EdΦe = E cos θdS = E ⋅ dS通过整个S面的电通量dSSΦe = ∫ dΦe = ∫ E ⋅ dSS第9章 静电场返回15南通大学Nantong University9-2 高斯定理b. 匀强电场中平面的情况 （1）所取面与 E 垂直S Sen EΦe = ∫ E cos θ dS = E ∫ dS= ESθ =0E第9章 静电场返回16南通大学Nantong University9-2 高斯定理（2）所取面与 E 不垂直E 与平面夹角 θπ2Φe = ES ' = ES cos θ = E ⋅ SSenθESS' θ当θ < 当θ = 当θ >时 Φe > 0 为正 时 Φe = 0 为零 时 Φe < 0 为负返回17π2π2第9章 静电场南通大学Nantong University9-2 高斯定理c. 闭合曲面的情况θenEΦe = ∫ E ⋅ dSSEθ=∫SE cos θ d SenS闭合曲面方向的规定： 总是取自内向外与面 元垂直的方向为正向。
第9章 静电场返回18南通大学Nantong University9-2 高斯定理θenEθ > 90 θ < 90“穿入” Φ e < 0 “穿出” Φ e > 0EθenSθ = 90 既不穿入 Φe = 0也不穿出第9章 静电场返回19南通大学Nantong University9-2 高斯定理θenEEθenS（1）闭合曲面中有多余的正电荷，则穿出 的电场线比较多。
（2）闭合曲面中有多余的负电荷，则穿入 的电场线比较多。
（3）闭合曲面中没有净电荷，则穿入和穿 出的电场线数目相等。
第9章 静电场返回20南通大学Nantong University9-2 高斯定理例1 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解Φe = ∑ Φeii =15yNS1PS2= Φe1 + Φe 2θen ERenoMzenx21Q返回第9章 静电场南通大学Nantong University9-2 高斯定理Φe1 = ∫ E ⋅ dS = ES1 cos π = − ES1 s1 Φe 2 = ∫ E ⋅ dS = ES 2 cos θ = ES1 s1∴Φe = ∑ Φei = 0i =1 5yNPθen ERenoMzenx22Q返回第9章 静电场南通大学Nantong University9-2 高斯定理四 高斯定理及其应用(1) 包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量ndS+Rq E= 2 4 πε0 RdΦe = E cos θdSq = dS 2 4 πε 0 R第9章 静电场返回23南通大学Nantong University9-2 高斯定理ndS+Rq dΦe = dS 2 4 πε 0 R通过整个球面的电通量 q Φe = ∫ dΦe = ∫ dS 2 S 4 πε R 0 q dS = 2 ∫S 4 πε 0 R q 4 πR 2 = 4 πε 0 R 2 q = ε0第9章 静电场返回24南通大学Nantong University9-2 高斯定理(2) 通过不包围点电荷q的任意闭合曲面S的 电通量Φe = 0q+第9章 静电场返回25南通大学Nantong University9-2 高斯定理(3) 真空中的高斯定理q1qnΦe =∫S1 E ⋅ dS = ε0∑qi =1nisq2高斯面在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电 场强度通量，等于该曲面所包围的所有电 荷的代数和除以 ε0 .第9章 静电场返回26南通大学Nantong University9-2 高斯定理闭合曲面内包围的不是点电荷而是带电体 体状 面状 线状Φe = Φe = Φe =∫S∫ E ⋅ dS =Vρ dVε0∫S∫ σ dS E ⋅ dS =Sε0∫S∫ E ⋅ dS =lλ dlε0返回27第9章 静电场南通大学Nantong University9-2 高斯定理讨论 讨论 ① 闭合曲面上的电场强度是由闭合曲面内 外所有电荷产生的合场强，但通过闭合曲面 的电场强度通量却只与闭合曲面内的电荷有 关，而与闭合曲面外的电荷无关。
② 高斯定理的物理意义：反映了静电场是 有源场第9章 静电场返回28南通大学Nantong University9-2 高斯定理(4) 高斯定理应用举例 例1：半径为R 的球体均匀带电，电荷体密度 为 ρ . 求球内外的电场强度 E . 解：对称性分析：球对称ρ + ++RO++高斯面：闭合球面第9章 静电场返回29南通大学Nantong University9-2 高斯定理（1）球外某一点的场强Φe =Sr>RS∫ E ⋅ dS = ∫ E cos θ dSEdS = E ∫ dS = E ⋅ 4π r 2 ∫Sρ + ++RO=++r∫ =P e r4 Q = ρ ⋅ π R3 若令 3ρ R3 ∴ E= 2 3ε 0 r第9章 静电场4 ρ ⋅ π R3 ρ dV 3 = ε0 ε0Sρ R3 Q = 则 E= 2 2 3ε 0 r 4πε 0 r返回30南通大学Nantong University9-2 高斯定理（2）球内某一点的场强Φe =0<r <R2∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π rSρ + ++RO+ Pr+4 3 ρ ⋅ πr 3 = ε0ρ ∴ E= r 3ε 0第9章 静电场返回31南通大学Nantong University9-2 高斯定理总结：O⎧ Q (r > R) ⎪ 4πε r 2 er ⎪ 0 E=⎨ ⎪ ρ re (0 < r < R) r ⎪ 3ε 0 ⎩R ErQ 4 πε 0 r 2Q 4πε 0 R2o第9章 静电场R返回r32南通大学Nantong University9-2 高斯定理推广：均匀带电球面 Q⎧ Q e (r > R) ⎪ 2 r E = ⎨ 4πε 0 r ⎪ 0 (0 < r < R) ⎩OR ErQ 4 πε 0 r 2Q 4πε 0 R2o第9章 静电场R返回r33南通大学Nantong University9-2 高斯定理用高斯定理求电场强度的一般步骤为： 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 计算积分 ∫ E ⋅ dS ； S 计算高斯面包围电荷的代数和； 应用高斯定理求出E.Φe =∫S1 E ⋅ dS = ε0第9章 静电场∑qi =1ni返回34南通大学Nantong University9-2 高斯定理例2: 设有一无限长均匀带电直线，电荷线 密度为λ，求距直线为r 处的电场强度. 解: 对称性分析 轴对称+ +E高斯面圆柱面hr+ + +o=∫Φe =上底∫ E ⋅ dSS下底E ⋅ dS + ∫E ⋅ dS + ∫侧面E ⋅ dS0第9章 静电场0返回35南通大学Nantong University9-2 高斯定理Φe = ∫+ +侧面E ⋅ dSEhr+ + +oλh = E ⋅ 2πrh = ε0Eλ ∴E = 2πε0 r1 ∝ rr第9章 静电场返回36O南通大学Nantong University9-2 高斯定理例3: 设有一无限大均匀带电平面，电荷面 密度为σ ，求距平面为r处某点的电场强度.E EE ESσσ第9章 静电场返回37南通大学Nantong University9-2 高斯定理解:Φe ==∫∫ E ⋅ dSS上底E ⋅ dS + ∫下底E ⋅ dS + ∫侧面E ⋅ dSE ESESES0σσS = 2ES = ε0σ ∴E = 2 ε0第9章 静电场返回38。