高斯定理和环路定理
10-4高斯定理和环路定理
B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所 包围的各电流的代数和. 表达式: 注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋时， 为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析 选择合适的高斯面 根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则 此对对称电流元在该面上产生的合磁场 必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点 积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线
m2 （2）计算 单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂 直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的 磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量.
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
高斯定理和环路定理
高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。
它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。
本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。
一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。
高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。
高斯定理的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。
通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。
高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。
二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。
环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。
具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。
环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。
环路定理的应用也非常广泛。
例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。
通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。
环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。
三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。
虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。
例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
高斯定理（Gauss’s Theorem）和环路定理（The Ampere-Maxwell Law）是物理学上电场中重要的两个定理，描述了电流的流动以及电荷的影响。
高斯定理提供了一种描述电场的方法，即在宏观尺度上，电荷的总量决定其受影响的范围。
它可以通过一个球面的贴片来表示，每一贴片上的电荷量为零。
具体来说，它定义了任何内测面内电荷的累加值就可以表示外部电场，也就是高斯定理说明电荷就等于外部电场。
这个定理让人可以方便地描述一个电荷四周的电场，并且可以很容易地计算出电荷外围的电场强度和朝向。
环路定理中，它指出电流可以通过一个环形路径，以及流入和流出环形路径的电荷量之和，就可以反映该环形路径上的电场强度和方向。
也就是说，环路定理表明，电流的和就可以表示其所环绕的某个空间电场。
总之，高斯定理和环路定理在电学中都有重要的地位，它们不仅让我们更好地描述电场，也给出了电荷对外部电场的影响，极大地促进了理解电场的发展。
6-4稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
r2
r1 O
P
B2r
0 NI 0 NI r2 r1 r B 2r
B = m0 nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
无限大载流薄板看作无限 长载流导线密排：导线中 电流强度 I；单位长度导线 匝数n 分析对称性
dB
I
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
若认为电流为-I 则结果可写为
B dl 0 I
L
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合曲线不在垂直于 导线的平面内：
I
dr
L
dr dr//
B cos 90 dl B cos dl//
度 B 的大小。
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场 设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B
I
r
I
Q
B d l B 2 r
R
r
B
P
当 rR
B2r 0 I 0 I B 2 r
B
长圆柱形载流导线外的磁场与 长直载流导线激发的磁场相同 ！
b
a
.........
c
d
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
B 0 nI 2
0 B 0 nI 两板外侧 两板之间
o
R
r
当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线表面层时 当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线截面上时
《高斯定理环路定理》课件
环路定理的应用
总结词：广泛适用
VS
详细描述：环路定理在电磁学、电动 力学、麦克斯韦方程组等多个领域都 有广泛应用。它可以用来计算磁场穿 过任意封闭曲线的线积分，从而解决 一系列实际问题，如电磁感应、磁场 分布、电磁波传播等。
03 高斯定理与环路定理的比较
定理表述的比较
总结词
高斯定理和环路定理的表述形式各有特点，高斯定理强调空间区域内的电荷分布 ，而环路定理则关注磁场的变化。
应用。
02 环路定理
环路定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：环路定理表述为“磁场穿过一个封闭曲线的线积分等于零”，即磁场在封闭曲线上的线积分与路径无关，只与起 点和终点的磁通量有关。
环路定理的证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过引入矢量场和微分同胚等概念，利用矢量场的散度和旋度的性质，经过严谨的数学推 导，证明了环路定理的正确性。
复杂模型应用
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分析一个通电螺线管的磁场分布，通过环路定理确定磁 场方向和大小，展示环路定理在实际问题中的应用。
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对比验证
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通过对比环路定理和传统积分方法的计算结果，验证环 路定理的正确性和高效性，强调环路定理在电磁学中的重 要地位。
05ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总结与展望
环路定理是电磁学中的基本定理之一 ，它表述了磁场沿闭合路径的线积分 等于穿过该闭合路径所围成的面积的 磁通量。环路定理反映了磁场沿闭合 路径的线积分与磁通量之间的关系， 是计算磁场分布、磁通量、磁感应线 和磁力等方面的重要工具。
比较与联系
高斯定理和环路定理都是电磁学中的 基本定理，它们之间有着密切的联系 。通过高斯定理可以推导出环路定理 ，反之亦然。它们在描述电场和磁场 分布方面具有不同的侧重点，但都是 描述电磁场性质和行为的重要工具。
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
B dl
L
I
2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a
0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I
磁场的高斯定理和安培环路定理
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
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E
++
+ o+
++
P
dSE
S +e S
E S E dS 左 E dS 右 E dS 2ES
高斯面所包围的电量为
q eS
由高斯定理可知 2ES e S / 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。
E e 2 0
e 0 电场强度方向离开平面 e 0 电场强度方向指向平面
（2）对于闭合曲面
约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。
出发点：一条穿过闭和曲 面的电场线对这个闭和曲
/2
n
面的电通量的贡献为零
E
电场线穿出闭合面为正通量，
电场线穿入闭合面为负通量。 n 0 / 2 E
二、高斯定理
1. 高斯定理的内容 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，
3、关于高斯定理的说明
1、通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷 的代数和，与闭合曲面内的电荷分布无关,闭合曲面外的电荷 对其电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处 的场强大小和方向；
2、高斯面上电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
3、 q 是电荷的代数和, qi 0 并非高斯面内一定无
电荷,E有d可s 能 是面内0正负电并荷非数高目斯相面同上;场强一qi 定处0处为也零只若是；表明,
s
e
Φ 0 4、 e
只能说明高斯面内电量的代数和为零,并非一定没
有电力线穿过;可能是穿进和穿出的一样多而以净电场线数目为零。
三、高斯定理的应用举例
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比 较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。
iS
jS
qi 0
i 0
q4
E
dS
1
0
q内
q3 q2 q1
☆ 对连续电荷分布的情况，可把带电体划分为许多 小部分，并把每部分当作点电荷处理。这样，连续 电荷分布被代之以点电荷系。
☆ 静电场有源，电荷是它的源；
流量 v v S cos v S
qr
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
由此可知： 点电荷电场对球面的 ΦE 与 r 无关，
电场线是连续。在没有电荷的地方不会中断
• q 在任意闭合面内， 电通量为
Φe
E dS
S
q
0
穿过闭合面的电力线条数仍为
q/
0
• q 在闭合面外 e 0 Φe
穿出、穿入的电力线条数相等
等于该曲面所包围电量的代数和除以 0 。
ΦE
E d s
S
q内
0
2. 高斯定理的证明 证明可按以下四步进行：
1）一个点电荷的情况 E
• q 在球心处， 球面电通量为
Φe
SE dS
SEdS
E
dS
S
q 4πr 2
4 π 0r 2
q
0
E
dS
Hale Waihona Puke E2 0E
x
O
( 0)
E
EE
E
步骤： 1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布 的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见 的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量 n 与E 平行或垂直，n与 E 平行时，E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面；
E dS
q
S
0
2 ）多个电荷的情况
+q
E Ei E j
（S内i ）
j（S外）
任意闭合面电通量为
e E dS ( Ei ) d s ( E j d s) q5
S i
Sj
Ei d s E j d s
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
3）电场线密度与场强的关系
为了用电场线的蔬密表示场强的强 E
弱，规定：电场中任一点的场强的
E
大小等于穿过该点的垂直于E的单
位面积的电场线数（数密度），
S
E＝ E S
对于匀强电场，电场线密度处 处相等，而且方向处处一致。
4）静电场的电场线特点
(1) 电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲 线；不会在没有电荷的地方中断。
几种电荷的E 线分布的实验现象：
单个点 电 极
正负点电极
两个同号的点电极
分别带正负电的平行平板电极
带异号电荷的点电极和平板电极
怒 发 冲 冠
2.电通量
1）定义
通过电场中某一个面的电场线的条数叫做通过这一个面
的电场强度通量。简称电通量 E 2）计算电场的电通量
θ
n
θ
E
E
ΔS
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯 定理求出场强。
例1.5 、求面电荷密度为 e 的均匀带电的无限大薄平
板的电场强度分布。
解：由于电荷分布对于求场点 P到平面 的垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强
dS +
+r
+
必然垂直于该 平面。 底面 E dS 且 大小相等； 侧面 E dS
(2) 在没有电荷处,任何两条电场线都不能相交。
说明：
1）电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；
2）电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; 3）电荷在电场中的轨迹不是电场线； 4）电场线图形可以用实验演示出来。
把奎宁的针状结晶或头发屑悬浮在蓖麻油里，放入电场中， 微屑按照场强的方向排列起来，显示出电场线的分布情景。应 该注意，虽然我们可以用实验来模拟电场线，但电场线并不 是电场里实际存在的线，而是使电场形象化而假想的线。
3）法线的取向
① 对于不闭合曲面选择是任意的 ，多取 E 的方向
通量为标量，其正负有场强的方向与面元法向间 的夹角确定。
0 / 2, cos 0, dE >0，通量为正。
/ 2, cos 0, dE =0，对通量无贡献。
/ 2 , cos 0, dE <0，通量为负。