2、磁场的高斯定理和安培环路定理

L
B dl o I i
L

S
B dS 0 j dS

S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
(r >R)
当r R时
L
r
O
μ0 NI N I B μ0 I μ0 nI 2π r 2πR 上式表明，对于细 式中n=N/2R为单位长度的匝数。
螺绕环，管内的B近似为常数。但各处磁感的方向均 沿切线方向,并非匀强磁场。但当R→∞时，任一段都 可看成长直螺线管，内部磁场为均匀的。
则有 (2)在螺绕环外部，环形积分回路为L'、L" ，
2、磁通量
3、磁场的高斯定理 规定：对于闭合曲面由里向外为法线的正方向。 由闭合曲面穿出的磁通量为正，进入闭合 曲面的磁通量为负。由于磁感应线是闭合线， 因此穿入闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出 闭合曲面的磁感应线数，所以通过任一闭合曲 面的总磁通量必然为零。即： B dS 0 磁场高斯定理 的积分形式
例 1.
I2
I1
I
L
I
I
L ② ① ① B dl 0 I1 I 2
L
L ③ ② B dl 0
L
③ B dl o I I 0
L
2、证明 ①、同心圆 B 0 I 2r B dl Bdl B dl
L L
I
L
0 I 2r 0 I 2r
②、同一平面任意闭合环路 B dl B cosdl Brd
L
I
B
r
d
L
dl

2
0
0 I 2 0 I rd 0 d o I 2 2r
L

S
B dS BdV 0
S
V
B 0
微分形式
磁场的高斯定理的物理意义 磁场为无源场，磁单极子（磁荷）不存在。
二、安培环路定理
1、定理 在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合 环路的线积分，等于穿过该环路的所有电流的 代数和的 0倍。
B
L R2 R1
r
O
I
(1)在螺绕环内部，环形积分回路为L， 的方向如图 B
L B dl L Bdl B L dl B 2πr μ0 NI
根据安培环路定理
μ0 NI , ∴ B 2π r
( R1 r R2 )
B
R2 R1
可见螺绕环内各处的磁场强 L 弱不同，r越小处，即越靠近螺 绕环内侧，B越大。当螺绕环很 细时， R1–R2<<R= (R1+R2)/2， 即R1R2 R，则有
b
B dl 或B 0
B 0 nI
( L)
例4、求均匀密绕环形螺线管 (螺绕环)的磁场。设螺线管内 半径为R1，外半径为R2，共有 N匝线圈，通有电流I。 [解]: 根据对称性分析可知螺 线管的磁感应线应为以O为中 心的同心圆环，每一圆环处的 磁感大小相等。以O为中心作 一系列半径为r的环形积分回 路，沿逆时针方向绕行。则有
对r < R1的L'： L B dl L Bdl B L dl B 2πr 0
∴ B0,
( r R1 )
根据安培环路定理
L B dl L Bdl B L dl
B 2πr 0
根据安培环路定理
对r > R2的L"：
B
L R2 R1 L' O
r r
L"
r
∴ B0,
( r R2 )
I
0,
通电螺绕环 的磁场分布
( r R1 )
B
μ0 NI , ( R1 r R2 ) 2π r 0, ( r R2 )
以上计算表明，螺绕环的磁场集中在管内的 空间里,若在环管上截开一小段空隙，便可得到相 当均匀的较强的磁场。
L
B dl o I i
L
说明： ①、积分的回路方向与电流方向满足右手螺旋 关系时，电流取正；相反则电流取负。
②、 I i为穿过闭合曲线L为边界的任意曲面的电流。
L
③、 是空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和， B 其中也包括不穿过L的电流产生的磁场，只不过后者 产生的磁场沿L积分后的总效果等于零。
B1
dl2
2
B2
r2
B1 dl1 B2 dl2 0
B dl 0
L
B dl B dS
L S
3、微分形式
I i j dS
L S
§8.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁通量 磁场的高斯定理 1、磁感应线 磁感应线的性质： ①、磁感应线上任一点的切线方向都与该点 处的磁感应强度方向一致； ②、磁感应强度较大的地方，磁感应线较密， 反之，磁感应线较疏； ③、磁感应线是无头无尾的闭合曲线。
④、磁感应线与激发磁场的电流互相套合,磁感
应线的绕行方向和电流流向成右手螺旋关系。
穿过面元dS的磁通量 d M B dS B cos dS 式中 为 B与 dS 的法向单位矢量 n 之间的夹 角，dS ndS为面元矢量。 穿过任意曲面 的磁通量 S M S d M S B dS S B cos dS M单位：韦伯(Wb) n B可看成是单位面积 B dS 的磁通量，称为磁通密度。 Wb m 2 其单位是
③、不在同一平面任意闭合环路 B dl B dl dl//
B cos 900dl B cos dl// 0 Brd 0 I
④、闭合环路中没有包括电流 r1 1 B1 dl1 B1 cos 1dl1 d dl1 0 I d B1r1d 2 I I B2 r2d 0 d B2 dl2 B2 cos 2dl2 2
小结：
1、磁场中的高斯定理 B 0 B dS 0
2、安培环路定理 B dl o I i
L L
B 0 j
B
a
d B // dl
b
B dl 或B 0
c
B0
b c d a B dl a B dl b B dl c B dl d B dl
( L)
a Bdl B ab 根据安培环路定理有 B dl μ0 nabI