2.1圆的对称性 (共18张PPT)
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《圆的对称性》圆PPT课件4 (共20张PPT)
2
圆的对称性
第2课时
圆是轴对称图形
O
对称轴是任意一条过圆心的直
圆是中心对称图形
对称中心为圆心
我们已经学过的图形中，有哪些既是 轴对称图形，又是中心对称图形？
O
同圆 能够重合的两个圆 等圆 半径相等的两个圆 同圆或等圆的半径相等
O'
O
圆心角
B A
顶点在圆心的角叫圆心角 ∠AOB ∠AOC ∠COD ∠BOD ∠BOC
问题.
1.我们这节主要研究的是圆的旋转不变性，即同圆或等 圆中圆心角、弦、弧之间的关系. 2.我们使用了折叠、旋转、证明等方法 .
忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效。 ——拉封丹
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
相等!
A
C
如果∠AOB =∠COD 如果OE = OF
E O
F
⌒ ⌒ AC = BD
D B
B
C
如果AB=CD，则图中有哪些弧相等？ ⌒ ⌒ AB = CD
O A
D ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB + BC = CD + BC ⌒ ⌒ AC = BD
AC = BD ？
⌒ ⌒ AC = BD？
1.（2011·舟山中考）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于
点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四
个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④CD2=
CE·AB．其中正确结论的序号是 ．
【解析】因为OA=OD，所以由AD平分∠CAB得∠OAD=∠DAC所 以∠CAD=∠OAD.所以AC∥OD；由AD平分∠CAB得 ∴∠AOD=∠DOC，又∠CAD =∠OAD，∠ADC=45°， ∴∠COD=45°，∠CDE=∠COD=45°, ∠DCE=∠OCD,∴△DCE∽△OCD，∴2CD2=CE· AB 答案：①④
圆的对称性
第2课时
圆是轴对称图形
O
对称轴是任意一条过圆心的直
圆是中心对称图形
对称中心为圆心
我们已经学过的图形中，有哪些既是 轴对称图形，又是中心对称图形？
O
同圆 能够重合的两个圆 等圆 半径相等的两个圆 同圆或等圆的半径相等
O'
O
圆心角
B A
顶点在圆心的角叫圆心角 ∠AOB ∠AOC ∠COD ∠BOD ∠BOC
问题.
1.我们这节主要研究的是圆的旋转不变性，即同圆或等 圆中圆心角、弦、弧之间的关系. 2.我们使用了折叠、旋转、证明等方法 .
忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效。 ——拉封丹
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相等!
A
C
如果∠AOB =∠COD 如果OE = OF
E O
F
⌒ ⌒ AC = BD
D B
B
C
如果AB=CD，则图中有哪些弧相等？ ⌒ ⌒ AB = CD
O A
D ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB + BC = CD + BC ⌒ ⌒ AC = BD
AC = BD ？
⌒ ⌒ AC = BD？
1.（2011·舟山中考）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于
点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四
个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④CD2=
CE·AB．其中正确结论的序号是 ．
【解析】因为OA=OD，所以由AD平分∠CAB得∠OAD=∠DAC所 以∠CAD=∠OAD.所以AC∥OD；由AD平分∠CAB得 ∴∠AOD=∠DOC，又∠CAD =∠OAD，∠ADC=45°， ∴∠COD=45°，∠CDE=∠COD=45°, ∠DCE=∠OCD,∴△DCE∽△OCD，∴2CD2=CE· AB 答案：①④
人教版九上数学第三章3.2圆的对称性(共19张ppt)
（2）你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，
●O
其对称轴是任意一条 过圆心的直线.
探究归纳 一(2)圆的中心对称性
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形 重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中 心为圆心.
探究归纳 一、(3)圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
C
在同圆中，相 归两一个(2纳)圆圆叫的做中由同心心对圆圆称性 的旋转不变性，我们发现： 5、 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 等的圆心角所 ∵∠AOD=∠BOE，
那么， ，弦AB=弦CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OC A
题设
结论
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等
在
圆心角所对的弦相等
同
圆 或
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
等
圆 中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论 问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，
●O
其对称轴是任意一条 过圆心的直线.
探究归纳 一(2)圆的中心对称性
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形 重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中 心为圆心.
探究归纳 一、(3)圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
C
在同圆中，相 归两一个(2纳)圆圆叫的做中由同心心对圆圆称性 的旋转不变性，我们发现： 5、 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 等的圆心角所 ∵∠AOD=∠BOE，
那么， ，弦AB=弦CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OC A
题设
结论
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等
在
圆心角所对的弦相等
同
圆 或
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
等
圆 中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论 问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
圆的对称性ppt课件
（第 2题）
ppt课件.
14
1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心角之
间的关系。
C
2、垂径定理
O
A
B
D
ppt课件. 图23.1.7
15
你说我说大家说!
今天你学到了什么？ 1、采用了哪些数学方法？ 2、你有什么体会，还有什么疑惑？ 3、你认为哪一组的同学表现得最好。
ppt课件.
16
ppt课件.
17
2.在同圆（或等圆）中，如果以上弦三相句话等如没，有那在同么一所 对的圆心角、所对的弧相等。圆中，这个结论还会成立
吗？
3.在同圆（或等圆） 中，如果弧相等，那么所 对的圆心角、所对的弦相等。[z x x k 学科网]
ppt课件.
6
试一试你的能力
一.判断：
1相等的圆心角所对的弧相等。（× ）
2相等的弧所对的弦相等。（√ ）B
如图,⊙O直径CD与弦AB（非直径）
交于点M，添加一个条件：
____________， 就可得到点M是AB的中点. D
ppt课件.
O
A
M
B C
12
达标练习： [z x x k 学科网]
1、如图，在⊙O中，弧AB＝弧 AC，∠B＝70°.求∠C 度数.
(第 1 题 )
ppt课件.
13
2、如图，AB是直径，弧BC ＝弧CD＝弧DE，∠BOC＝ 40°，求∠AOE的度数
圆的对称性
ppt课件.
1
做一做,想一想:
1.请同学们把自己做的圆卡的圆心钉在本 子上，旋转它们，你们发现了什么？
2.沿着任意一条直径所在的直线折叠 你所画的任意一个圆. 你又发现了什么?
圆的对称性(第1课时)精选教学PPT课件
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
《圆的对称性》圆PPT课件3 (共26张PPT)
2 2 2
这段弯路的半径约为545m.
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= 4 OC = ， .3
A O
5 ┏
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
C8
B
OA = 10，则∠OCA =
OC =
90 °，
6
.
10
O C 16 B
A
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题. 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决
2 2 2 2 ∴ AM AO OM 10 6 8
D
∴ AB = 2AM = 2
×
8 = 16
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的
弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？ 为什么？ 提示:作OG⊥AB ∵AG=BG,CG=DG
A O
└
∴AC=BD
问题.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论.及圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已 知CD = 20，CM = 4，求AB.
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ 对 ）
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两
种品德。 ——斯蒂文生
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
这段弯路的半径约为545m.
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= 4 OC = ， .3
A O
5 ┏
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
C8
B
OA = 10，则∠OCA =
OC =
90 °，
6
.
10
O C 16 B
A
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题. 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决
2 2 2 2 ∴ AM AO OM 10 6 8
D
∴ AB = 2AM = 2
×
8 = 16
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的
弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？ 为什么？ 提示:作OG⊥AB ∵AG=BG,CG=DG
A O
└
∴AC=BD
问题.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论.及圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已 知CD = 20，CM = 4，求AB.
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ 对 ）
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两
种品德。 ——斯蒂文生
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21圆的对称性PPT
圆是生活中常见的图形，许多物体都给 我们以圆的形象.
第2章
圆
本章要研究的是圆的性质、直线 与圆的位置关系及圆中的计算问题．
2.1 圆的对称性
从画圆的过程我们发现：圆 是平面内到一定点的距离等 于定长的所有点组成的图形.
这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
A
· O
圆也可以看成是一个动点绕一 个定点旋转一周所形成的图形， 定点叫作圆心.
如的图部圆分叫O上作两劣点弧A，，记B作间A的⌒B小；于半圆 A
B
AA⌒，MBB.间的(大注意于：半半圆圆既的不部是分劣叫弧，作也优不弧是优，弧记) 作
做一 做
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别 画一个圆，它们的半径相等，把白纸放 在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合， 观察这两个圆是否重合？
这两个圆
A C
B
点与圆的位置关系
点A在⊙O内 点B在⊙O上
OA＜r
C
OB=r
点C在⊙O外
OC＞r
rA
O
B
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( ) (2)过圆心的线段是直径；( )
(3)过圆心的直线是直径；(
)
(4)直径是最长的弦；(
)
(5)半径相等的两个圆是等圆.(
)
2.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，
2.在白纸的圆上面画任意一条直径， 把白纸沿着这条直径所在的直线折 叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
·O
E
A
B
D
这体现圆具有什么样的对称性？
圆是轴对称图形，任意一条直径所在 的直线都是它的对称轴
●
O
点与圆的位置关系
爱好运动的小明、小强、小兵三人相邀搞一次 掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规则是 谁掷出飞镖落点离红心越近，谁就胜.如下图中A、 B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你 认为这一轮中谁的成绩好？
第2章
圆
本章要研究的是圆的性质、直线 与圆的位置关系及圆中的计算问题．
2.1 圆的对称性
从画圆的过程我们发现：圆 是平面内到一定点的距离等 于定长的所有点组成的图形.
这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
A
· O
圆也可以看成是一个动点绕一 个定点旋转一周所形成的图形， 定点叫作圆心.
如的图部圆分叫O上作两劣点弧A，，记B作间A的⌒B小；于半圆 A
B
AA⌒，MBB.间的(大注意于：半半圆圆既的不部是分劣叫弧，作也优不弧是优，弧记) 作
做一 做
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别 画一个圆，它们的半径相等，把白纸放 在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合， 观察这两个圆是否重合？
这两个圆
A C
B
点与圆的位置关系
点A在⊙O内 点B在⊙O上
OA＜r
C
OB=r
点C在⊙O外
OC＞r
rA
O
B
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( ) (2)过圆心的线段是直径；( )
(3)过圆心的直线是直径；(
)
(4)直径是最长的弦；(
)
(5)半径相等的两个圆是等圆.(
)
2.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，
2.在白纸的圆上面画任意一条直径， 把白纸沿着这条直径所在的直线折 叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
·O
E
A
B
D
这体现圆具有什么样的对称性？
圆是轴对称图形，任意一条直径所在 的直线都是它的对称轴
●
O
点与圆的位置关系
爱好运动的小明、小强、小兵三人相邀搞一次 掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规则是 谁掷出飞镖落点离红心越近，谁就胜.如下图中A、 B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你 认为这一轮中谁的成绩好？
圆的对称性PPT演示课件
7
结论
二、点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
8
要点归纳
二、点和圆的位置关系
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？
P d P d P r
d
r
r d<r
点P在⊙O内 点P在⊙O外
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD, AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED, ACD. 优弧： (
D F A O C B E
(
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
14
探究
1.如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆 心重合，观察这两个圆是否重合.
C
·
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直 线都是圆的对称轴
18
O
D
议一议
如图,为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
19
议一议 为什么通常把车轮设计成圆形？说说理由.
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的
距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中
D E B
四 条．
A
O
F
C
32
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 . 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ） A.在⊙O内 C.在⊙O外 B.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O外
圆的对称性课件
2.2 圆的对称性
情境引入
你知道车轮为什么设计成圆形吗？
设计成三角形、四边形又会怎样？
从中你发现了什么？
新课讲授
·
α
O
A
圆绕着圆心旋转
任何角度后,都
能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
180
°
操作与思考
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O 和⊙O′.
(2)在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,∠A′OB′，
例1
如图, AB、AC、BC都是⊙O 的弦,∠AOC＝∠BOC.
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC与∠BAC相等.
在⊙O中，∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC=BC
∴∠ABC=∠BAC
O
B
A
C
若∠ABC与∠BAC,
则∠AOC=∠BOC吗？
例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
AB=CD.
A
D
拓展延伸
如图，在☉O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？
⌒ ⌒
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的
关系又是什么？
⌒
⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 CD 的中点E,连接OE.那么
∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE
= DE . CD =2 AB，弦AB=CE=DE,
你能证明上面的结论吗？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆
心O旋转,射线 OA与OA′重合.
∵ ∠AOB＝∠A′OB′，
A′
B
B′
∴OB与OB′重合．
情境引入
你知道车轮为什么设计成圆形吗？
设计成三角形、四边形又会怎样？
从中你发现了什么？
新课讲授
·
α
O
A
圆绕着圆心旋转
任何角度后,都
能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
180
°
操作与思考
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O 和⊙O′.
(2)在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,∠A′OB′，
例1
如图, AB、AC、BC都是⊙O 的弦,∠AOC＝∠BOC.
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC与∠BAC相等.
在⊙O中，∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC=BC
∴∠ABC=∠BAC
O
B
A
C
若∠ABC与∠BAC,
则∠AOC=∠BOC吗？
例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
AB=CD.
A
D
拓展延伸
如图，在☉O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？
⌒ ⌒
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的
关系又是什么？
⌒
⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 CD 的中点E,连接OE.那么
∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE
= DE . CD =2 AB，弦AB=CE=DE,
你能证明上面的结论吗？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆
心O旋转,射线 OA与OA′重合.
∵ ∠AOB＝∠A′OB′，
A′
B
B′
∴OB与OB′重合．
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(
C
B
(
A
C
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD,AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED,ACD. 优弧：
D F O B E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
(
(
A
C
4.圆的对称性：
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半 径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合， 观察这两个圆是否重合？
这个定点O叫作圆心.定长叫作半径. 圆也可以看成是平面内一个动点绕一 个定点旋转一周所形成的图形，定点 叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心. 以点O为圆心的圆叫作圆O，记作⊙O
· O A
探究
2.点与圆的位置关系有几种？
结论
点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
小结与复习
4.点与圆的位置关系
dP
O r
O r O r d P
点P在圆内 d ＜ r
点P在圆上 d = r 点P在圆外 d ＞ r
d
P
小结与复习
5.圆的有关概念
弦 (直径)
注意概念 间的区别 和联系
圆 的 有 关 概 念
劣弧 弧 优弧 等圆 等弧
·
2.在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直 径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？ 这体现圆具有什么样的性质？ 圆是轴对称图形，任意一条直 径所在的直线都是它的对称轴 思考： 弦AB与直径CD有什么关系？
E C
·
A
D B
O
如图，CD是⊙O的任意一条直径，A是⊙O上任意一点，
过点A作CD的垂线，与⊙O交点B，A和B关于CD对称。 直线CD是线段AB的垂直平分线．
D A
F
弧 : 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧，弧用符号“⌒”表示.
以A、B为端点的弧记作 AB ，读作 “圆弧AB”或“弧AB”． 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 劣弧与优弧
O · A O · B
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. (
正 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦； 确 （2）圆只有一条对称轴. 错 错 （3）圆的任意一条弦是圆的对称轴。 错 （4）圆的直径是弦，圆中任意弦也是圆的直径。 正 （5）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
1.下述命题是否正确？为什么？
确
2.已知⊙O的半径是5cm，线段OA=6cm，则A点在⊙O 外 。 3.已知Rt∆ABC，∠C=90º ，BC=3cm，AB=5cm， 以C为圆心，4cm长为半径作⊙C，则顶点A在圆 上 。
能够重合的两个 圆叫作相等的圆， 或等圆；把能够 互相重合的弧叫 作等弧。
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不 动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的 圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？
这体现圆具有什么样的性质？ 圆是轴对称图形，即圆绕圆心 旋转任意角度，都能与自身重合.特 别地，圆是中心对称图形，圆心是 它的对称中心.
4.在∆ABC中，∠ACB=90º ，∠A=40º ， 以C为圆心，BC为半径的圆交AB于D点， 则∠ACD= 40º . 5. 已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为 6cm，求圆心到AB的距离.
A
D
C· B
圆心到AB的距离为4㎝
A
O ·
D
B
1、圆的概念是什么？ 到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。. 一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，叫做圆。 2、圆对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，对称轴是圆的任意一条直径。 圆还是旋转对称图形。因为圆绕着圆心旋转任意 一个角度，都与自身重合。 3、点与圆的位置关系： 设点p和圆心距离为d，圆的半径为r d<r （1）点p在圆内 d=r （2）点p在圆上 d>r （3）点p在圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若 OP=
3 ，则点P在（ D ）
B.小圆内 D.大圆内，小圆外 o
A.大圆内 C.小圆外
C 3.圆中有关概念： E 连结圆上任意两点的线段叫作弦. · O 如图，线段CD是一条弦. 经过圆心的弦叫作直径. 如图线段EF是⊙O的一条直径，线段 EF的长度也称为直径. 直径是最长的弦
结论 一般地，设⊙O的半径为r，点P到
圆心的距离OP = d．
点P在圆内
d＜r
点P在圆上 d = r
点P在圆外 d ＞ r
典例精析
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别 为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系 是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点C在 圆外 .
本节内容
2.1
制作者：铜仁市万山区大坪中学
田令
如图所示，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一” 字排开.
问题这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 怎样站队？ 不公平；四个人应该站在离玩偶距离相等的位置上.
观察下面图形，它们有什么特点
这就点的距离等于定长的所有点 组成的图形.