新北师大版_八年级下册数学_第一章_三角形的证明_1.1.4等腰三角形
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 等腰三角形(第4课时)
课堂小结
等腰三角形 的拓展
等边三角形 的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
特殊的直角三 角形的性质
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
方法总结 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三 角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形来判定.
巩固练习
变式训练
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形， 则需添加的一个条件是 AB＝AC或∠B＝∠C .
证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
课堂检测
BE = AF， 在△AEF和△BDE中, ∠EBD =∠EAF， ∴△AEF≌△BDE(SASB),D∴=EFA=EE，D,
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∴△BDC是直角三角形(∠又BD∵C∠=9C0=°60).°, 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
课堂检测
拓广探索题
如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延 长线上,且BE=AF=CD. 求证:△DEF是等边三角形.
等腰三角形(2)八年级数学下册(北师大版)
随堂练习
3.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°, 则顶角的度数为 ( B )
A.50° B.80 °
C.100 °
D.130 °
4.在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、
∠ACB的平分线，BD=5，则CE= 5
.
随堂练习
5.如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是 三边AB，AC，BC 上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF 各个内角的度数．
A
B
C
探究新知
类比拓展： （1）等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条 对称轴？ （2）等边三角形还有哪些特征？
探究新知
归纳总结 等边三角形的性质： 1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形的各角都相等，都等于60° 3.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、 高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边 三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
随堂练习
解：因为△ABC 是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF 各个内角的度数都是60°.
等边三角 形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且 每个角都等于60°
谢谢~
情境导入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角 形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角 架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三 角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
八年级数学下册目录(北师大版)
八年级数学下册目录（北师大版）第一章三角形的证明
1. 等腰三角形
2. 直角三角形
3. 线段的垂直平分线
4. 角平分线
回顾与思考
复习题
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
1. 不等关系
2. 不等式的基本性质
3. 不等式的解集
4.一元一次不等式
5.一元一次不等式与一次函数
6.一元一次不等式组
回顾与思考
复习题
第三章图形的平移与旋转
1. 图形的平移
2. 图形的旋转
3. 中心对称
4. 简单的图案设计
回顾与思考
复习题
第四章因式分解
1. 因式分解
2. 提公因式法
3. 公式法
回顾与思考
复习题
第五章分式与分式方程
1. 认识分式
2. 分式的乘除法
3. 分式的加减法
4. 分式方程
回顾与思考
复习题
第六章平行四边形
1. 平行四边形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 三角形的中位线
4. 多边形的内角和与外角和
回顾与思考
复习题。
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
新版北师大八年级下册第一章_三角形的证明_知识点填空
八年级三角形全等证明知识梳理导学版知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容性质______________分别相等的两个三角形全等______ 边及其 _______ 分别相等的两个三角形全等________ 角及其 _______ 分别相等的两个三角形全等两____分别相等且其中_____________相等的两个三角形全等在直角三角形中，☆判定两个三角形全等时，必须有_____的参与，若有两边一角相等时，角必须是 ______ 角证题的思路：1.已知两边：找1） 2） 3）2.已知两角：找1） 2）3.已知一边一角1）若边为角的对边：找2）若边为角的邻边：找①②③注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）知识点2 等腰三角形的性质定理及推论定义有的三角形是等腰三角形。
性质定理①等腰三角形的相等。
（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的_____相等。
简述为：________________在△ABC中，若_______=_______，则∠ ___ =∠ ___条件：____ 相等，即 ___ = ___结论：_____相等，即∠ __ = ∠ __推论等腰三角形顶角的_____线、底边上的 ____ 线及底边上的_____线互相____，简述为：________.在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则 _____ 是_____ 边上的_____线，且 ____平分∠______.1.条件：等腰三角形中，一条直线是顶点的平分线结论：该线也是 ______ 和_______线2.条件：等腰三角形中，一条直线是底边上的中线结论：该线也是 ______ 和_______线3.条件：等腰三角形中，一条直线是底边上的高线结论：该线也是 ______ 和_______线解读【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，它的前提是“”拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形的定义；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”相等线段1．等腰三角形两底角的平分线相等；2．等腰三角形两腰上的高相等3．两腰上的中线相等； 4．底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理定义的三角形是等边三角形。
新北师大版八年级数学下册知识点总结 (4)【全文】
精选全文完整版可编辑修改知识点总结第一章《三角形的证明》一、三角形全等1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等2.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)二、等腰三角形1.性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）2.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）3.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）三、等边三角形1.性质定理：①三个角都相等，并且每个角都等于60度；②三条边相等，都满足“三线合一”的性质；③等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
2.判定定理：①三个角都相等②三边都相等③有一个角是60度的等腰三角形四、直角三角形1.性质：（1）勾股定理（2）直角三角形的两个锐角互余（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.判定：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）有两个锐角互余的三角形注意：在多个垂直的情况下，证明时多想等角的余角相等。
五、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定（1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（2）判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）证明方法：①、证两点都在垂直平分线上②、既是垂直又是平分2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
注意：锐角三角形，交点在内：直角三角形，交点在斜边中点：钝角三角形交点在外3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
六、角平分线1.角平分线的性质及判定定理（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版八年级数学下册 等腰三角形(基础)知识讲解 含答案解析
等腰三角形（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边, ∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧，两弧相交于点A;(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝180A角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
我能行
3
命题的猜想
300
1 操作:用两个含有300角的三角尺，
300
你能拼成一个怎样的三角形？
300 300 300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？
300
结论:在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半.
驶向胜 利的彼 岸
探索腰AB与底BC的关系？
A
B
300
D
300
C
BC 3 AB
随堂练习2
含300角的直角三角形
1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4.
C
你能规范地写出证明过程吗？
′
B
你的证题能力有所提高吗?
D
300
A
驶向胜 利的彼 岸
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
学无止境
2a A
例 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. D 求:腰上的高.
2a
150
B
150
C
解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一 个外角, 1等于和不相邻的两内角的和). ∴CD= 2 AC=a(在直角三角形中, 如果有一个 锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的 一半).
C A 300
B
D
A
B
300
300
C
能证明你的结论吗？
驶向胜 利的彼 岸
我能行
4
命题的证明
0
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, A 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图1 ,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300 30 求证:BC= 2 AB.
B C D
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
我能行
1
命题的证明
A
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600. 求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), ∴∠C=∠B=600.(等边对等角) B 600 C 0 ∴∠A=60 (三角形内角和定理) ∴∠A=∠B（等式性质）. ∴ AC=CB（等角对等边）. ∴AB=BC=AC（等式性质）. ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
1.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H，
∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。
A E
?
3
H1
D C
120°
B
CH=2 CE=5 BH=6 BD=7
2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是
BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数 60°
北师大版八年级数学下第一章三角形的证明来自1.1.4 等腰三角形
学习目标
• 1、探索一个三角形成为等边三角形的条件 并证明正确性 • 2、探究有30°角的直角三角形的性质及推 理过程 • 3、运用所学知识进行相关的证明和计算
自学指导
• • • • 阅读课本10-12页，回答问题： （1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （2）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ （3）用两个含30°角的全等的三角尺，能拼出一个怎样 的三角形？ • 请回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同 伴进行交流。 • 总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么他 所对的直角边与斜边的数量关系是？ • （4）阅读例题体会运用知识并解决随堂练习和习题1
A
P
(2)求证:BP=2PQ
E Q
B
D
C
小结
拓展
回味无穷
• 等边三角形的判定: • 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形. • 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. • 特殊的直角三角形的性质: • 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
驶向胜 利的彼 岸
A
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD 300 ∵ ∠ACB=900, (已知), ∴∠ACD=900(平角意义) B C D 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC（作图） ∠ACB=∠ACD（已证） AC=AC（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ∴ AD=AB ∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形 是等边三角形) 1 1 ∴BC= BD= AB(等式性质).
回顾反思 1
几何的三种语言
A
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). 600 ∴△ABC是等边三角形 B (有一个角是600的等腰三角形是等 边三角形).
C
这又是一个判定等边三角形的根据之一
驶向胜利 的彼岸
我能行
2
命题的证明
A
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形.
2
2
回顾反思 3
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. 1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中,
B
300
300角所对的直角边等于斜边的一 A 半).
C
推论：
BC : AC : AB 1 : 3 : 2
证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=AC,(等角对等边). B C 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC,(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 2
几何的三种语言
A
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形
′
在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), B ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形).