第六章 不等式、推理与证明课时跟踪检测(三十四--三十九)

课时跟踪检测(三十四) 不等关系与不等式第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m2．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |3．(2013·西安模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 4．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |5．(2014·上海十三校联考)已知1a <1b <0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2.10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n2．(2014·北京西城区期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ； ④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 2．选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .3．选D 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.4．选D ∵1a <1b<0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.5．选C 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.6．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴(a 1－a 2)·(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)8．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)9．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. 10．解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x ＞3，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x 1＜x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 第Ⅱ组：重点选做题1．选B 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .2．选A 由a >b >0可得a 2>b 2，①正确；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b －1，②正确；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③正确；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④错误．课时跟踪检测(三十五) 一元二次不等式及其解法第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}3．(2014·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．第Ⅱ组：重点选做题1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.2．选D 因为一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2. 3．选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]5．选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. 6．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 8．解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)9．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67.法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝ (x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m . 第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.2．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0， 所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)课时跟踪检测(三十六) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第Ⅰ组：全员必做题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 4．(2013·北京西城一模)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．85．(2014·辽宁六校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]6．(2014·江南十校联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0表示y ≥0的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．7．(2013·广东高考)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．8．(2014·郑州质检)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax－y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx ，求z 的最小值．10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·北京高考)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D. ⎝⎛⎭⎫－∞，－53 2．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2.选D约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.3.选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ⎝⎛⎭⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32. 4．选D 先作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1的区域如图．由z ＝x －y 得y ＝x －z 可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线y ＝x －(－2)＝x ＋2，作出直线y ＝x ＋2，交y ＝2x －1于A 点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，y ＝x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，代入x ＋y ＝m 得m ＝3＋5＝8，故选D.5．选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积 S ＝12×⎝⎛⎭⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2. 答案：27．解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：68．解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.答案：⎝⎛⎭⎫－23，35 9．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由z ＝4x －3y ， 得y ＝43x －z 3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z3的最小值．平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． 故z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.10．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 第Ⅱ组：重点选做题1．选C 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－23.2．解析：画出可行域，易知直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点(1,1)时，a 取得最小值12；当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点(0,4)时，a 取得最大值4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，4.答案：⎣⎡⎦⎤12，4课时跟踪检测(三十七) 基本不等式第Ⅰ组：全员必做题1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 2．(2014·宁波模拟)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．43．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.524．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．25．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )C ．－4D ．－26．(2013·临沂二模)已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8.(创新题)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．9．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 32．(2013·北京海淀模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.2．选A ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b＝12时等号成立． 3．选B ∵a >1，b >1.∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号． 4．选A ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5．选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.6．解析：∵x ，a ，b ，y 成等差数列， ∴a ＋b ＝x ＋y .∵x ，c ，d ，y 成等比数列，∴cd ＝xy ，则(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝y x ＋x y ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y 时，取等号．答案：47．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x＋20x≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．答案：58．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1. f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立． 答案：1 39．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy ≥19＋22y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 10．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元． 第Ⅱ组：重点选做题1．选D 由32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2．选B 由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0， 则k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥2 2.⎝⎛⎭⎫当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立， ∴k ＋1<22，k <22－1.课时跟踪检测(三十八) 合情推理与演绎推理第Ⅰ组：全员必做题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164 D.1 274．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．设数列{a n}的前n项和为S n.由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：S n＝n2B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A．809 B．852C．786 D．8936．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．7．若{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)a p＋(n－p)a m＋(p －m)a n＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n}，有__________________．8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．第Ⅱ组：重点选做题 1．观察下列算式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 2．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4．选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．5．选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 247．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝18．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时， S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)799．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋ 34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2，19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n . (2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数2．(2014·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负4.(创新题)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.325．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是________．8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．9．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.答 案1．选B “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B.2．选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．3．选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0，故选A.4．选D 据已知定义可得不等式x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)≤0，解得－12≤a ≤32，故a 的最大值为32. 5．选D 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾． 所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b .答案：a ＜b7．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|则|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 8．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n9．证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．10．解：(1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图像的对称轴方程为 x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b2a <1a .又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。