2016-2017年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二上学期期中数学试卷及答案(文科)

2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣ D．﹣22．（5分）“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：54．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．015．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”6．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P（m，n）落在直线x+y=4下方的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q8．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．9．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，5） C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）10．（5分）“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（）A．B．C．2 D．312．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为．14．（5分）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．16．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：==，）19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．20．（10分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心在第二象限，半径为，且圆C 与直线3x+4y=0及y轴都相切．（1）求D、E、F；（2）若直线x﹣y+2=0与圆C交于A、B两点，求|AB|．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣ D．﹣2【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=3满足条件i＜2016，执行循环体，a=2，i=4满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，又2016=672×3，可得：满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2015满足条件i＜2016，执行循环体，a=﹣，i=2016此时，不满足条件i＜2016，退出循环，输出a的值为﹣．2．（5分）“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为“序数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大，利用二位数的特点可知所有的二位数共：9×10=90，而二位数中“序数”的个数为：8+7+6+5+4+3+2+1=36个，对于所有二位“序数”中比56大的有：57，58，59，67，68，69，78，79，89总共9个，所以比56大的二位“序数“的概率为：=，故选：A．3．（5分）甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：5【解答】解：∵甲乙两人的平均数相等，∴=，又∵甲乙两人的中位数相等，∴，（1≤x≤5，y≤3）或=y，（x＞5，y≤3）或，（1≤x≤5，y＞3）或=3，（x＞5，y＞3）解得：x=3，y=2，或x=7，y=5，故x：y=3：2，或x：y=7：5，4．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．5．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【解答】解：A中的两个事件是包含关系，故不符合要求．B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求故选：C．6．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P（m，n）落在直线x+y=4下方的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，共可得到6×6=36个点，点P在直线x+y=4下方的情况有（1，1），（1，2），（2，1），共3种，故点P在直线x+y=4下方的概率为=．故选：C．7．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p 假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x ﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．8．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．9．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，5） C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）【解答】解：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，≤1且m＞0，得m≥1，而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故选：C．10．（5分）“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）=cosx+m﹣1有零点⇒方程1﹣m=cox有解⇒﹣1≤1﹣m ≤1⇒0≤m≤2，即[0，1]⊆[0，2]，∴“0≤m≤1”是“函数f（x）=cosx+m﹣1有零点”的充分不必要条件．故选：A．11．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（）A．B．C．2 D．3【解答】解：由可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2﹣1，∴要使得的值最小，则要的值最小，而的最小值为a﹣c=2，此时，故选：B．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为15．【解答】解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：1514．（5分）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．【解答】解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10=90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．故答案为：．15．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．16．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．【解答】解：联立，得x=，y=，∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，=，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：，两式相减，得，a2=2b2，∴a=，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：==，）【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P （A ）=1﹣0.4=0.6．故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是0.6；（2）由数据，求得=（11+13+12）=12，=（25+30+26）=27，由公式求得===，=﹣3．所以关于x 的线性回归方程为y=x ﹣3． （3）当x=10时，y=x ﹣3=22，|22﹣23|＜2， 同样，当x=8时，y=x ﹣3=17，|17﹣16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表K2=≈6.35＜6.635所以，没有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，则2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为1﹣=0.7．20．（10分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．21．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心在第二象限，半径为，且圆C 与直线3x+4y=0及y轴都相切．（1）求D、E、F；（2）若直线x﹣y+2=0与圆C交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）圆C的标准式为：（x+）2+（y+）2=，圆心为（﹣，﹣），因为圆C与y轴相切，即﹣=﹣⇒D=2；圆C与3x+4y=0相切，即d==⇒E=﹣4，即圆心为（﹣，2），=2⇒F=8，综上：D=2，E=﹣4，F=8；（2）由（1）知圆心（﹣，2），R=，由点到直线距离知d==1，所以==1，故|AB|=2．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．【解答】解：（1）∵椭圆C过点，∴①，∵=2，∴PF2⊥F1F2，则c=1，∴a2﹣b2=1，②由①②得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2=2得，得x0=﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）=﹣km⇒k=m+1，即y=kx+m=（m+1）x+m⇒m（x+1）=y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。