椭圆的标准方程3
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。
接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。
首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。
设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。
根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。
化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。
如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。
最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。
假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。
首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。
然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。
通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。
当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。
希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的定义与标准方程(3)含解析
椭圆的定义与标准方程（3）班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．若曲线x 21－k ＋y 21＋k＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞1B ．k ＜－1C ．－1＜k ＜1D ．－1＜k ＜0或0＜k ＜12．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 291＝1 B ．y 2100＋x 291＝1 C ．y 225＋x 216＝1 D ．x 225＋y 216＝1 3．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( ) A ．8 B ．2 2 C ．10 D ．4 24．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程为( )A ．x 236＋y 220＝1(x ≠0) B ．x 220＋y 236＝1(x ≠0) C ．x 26＋y 220＝1(x ≠0) D ．x 220＋y 26＝1(x ≠0) 5．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．x 25＋y 2＝1 B ．x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对6．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )A ．x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 26＝1 C ．x 24＋y 22＝1 D ．x 28＋y 24＝1 7．(多选题)下列命题是真命题的是( )A ．已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆B ．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段C ．到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆D ．若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆二、填空题8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为．9．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则椭圆的方程为．10．如图所示，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2＝．11．已知A(－1,0)，C(1,0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为．12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，椭圆的短半轴长为b＝3，则△PF1F2的面积为．三、解答题13．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．14.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.15．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．椭圆的定义与标准方程（3）班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题1．若曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＜－1C ．－1＜k ＜1D ．－1＜k ＜0或0＜k ＜1D [∵曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k ＞0，1＋k ＞0，1－k ≠1＋k ，解得－1＜k ＜1，且k ≠0．]2．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 291＝1B ．y 2100＋x 291＝1C ．y 225＋x 216＝1D ．x 225＋y 216＝1C [由题意a ＝5，c ＝3，且焦点在y 轴上，∴b ＝52－32＝4，∴椭圆的标准方程为y 225＋x 216＝1．]3．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是() A ．8 B ．2 2 C ．10 D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．]4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程为( )A ．x 236＋y 220＝1(x ≠0)B ．x 220＋y 236＝1(x ≠0)C ．x 26＋y 220＝1(x ≠0)D ．x 220＋y 26＝1(x ≠0)B [∵△ABC 的周长为20，顶点B (0，－4)，C (0,4)，∴BC ＝8．AB ＋AC ＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，焦点在y 轴上，∴a ＝6，c ＝4，∴b 2＝20，∴点A 的轨迹是x 220＋y 236＝1(x ≠0)．]5．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1． 当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1．] 6．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )A ．x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 26＝1 C ．x 24＋y 22＝1 D ．x 28＋y 24＝1 A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，得a 2＝8，b 2＝6，c a ＝12，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1．] 7．(多选题)下列命题是真命题的是( )A ．已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆B ．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段C ．到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆D ．若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆BD [A 中2<2，故点P 的轨迹不存在；B 中2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；C 中到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；D 中点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．]二、填空题 8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ．x 24＋y 23＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1. 故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．] 9．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为 ．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2， ∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧ m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1．] 10．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝ ．23 [由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2， ∴a 2＝b 2＋4．∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝23．] 11．(一题两空)已知A (－1,0)，C (1,0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M 、N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为 ，若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为 ．x 24＋y 23＝1 3 [设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝3．] 12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°，椭圆的短半轴长为b ＝3，则△PF 1F 2的面积为 ． 3 [设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则根据椭圆的定义，得m ＋n ＝2a ．①又∵△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，∴根据余弦定理，得4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，即m 2＋n 2－mn ＝4c 2．② ∴①②联解，得mn ＝43b 2， 根据正弦定理，得△PF 1F 2的面积为：S ＝12mn sin 60°＝12×43×3×32＝3．] 三、解答题13．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1． 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1． 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1． 14.P 是椭圆+y 2=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F 1PF 2=60°时,求△F 1PF 2的面积;(2)当∠F 1PF 2为钝角时,求点P 横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,①且F 1(-,0),F 2(,0).在△F 1PF 2中,由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1||PF 2|=.所以=|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F 1PF 2为钝角,得·<0,所以(x+,y)·(x-,y)<0,又y 2=1-, 所以x 2<2,解得-<x<,所以点P 横坐标的取值范围是(-,). 15．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62，∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C ．∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |， 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6．根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点的椭圆，且2a ＝6． ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1．。
椭圆的标准方程及性质
一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。
其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。
不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。
这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。
定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。
椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。
此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。
为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。
上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。
而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。
椭圆的标准方程
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
a2 c2 b2(a c 0,a b 0)
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
学习小结: 椭圆的定义及其标准方程是学习椭圆其
他知识的基础. 学会运用定义思考,有时也是相当不错
的一个思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉 的方向转化,定义是最原始,也是最容易想到 的地方.
复 1习、椭回圆顾的定义、椭圆的标准方程
2、a、b、c之间的关系
3、练习
⑴椭圆x2/5＋y2/4＝1的焦点坐标是_(_±_1_,_0_)_；
椭圆上任一点P到两焦点的距离和为_2__5__；
② x2/25+y2/16=1
x2/144+y2/169=1
x2 ( y 5)2 x2 ( y 5)2 26
(7)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点， 且过点(3,0)的椭圆的标准方程。
x2/9＋y2/8＝1 变式：求经过点(-2,3)且与椭圆 9x2＋4y2＝36有公共焦点的椭圆方程
(D) ( 9 ,+∞) 2
若表示椭圆呢? C
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为
圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交
点 P 的轨迹方程. x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
3.1.1椭圆的标准方程
的轨迹会发生什么变化？
问题 当动点到两定点间距离和等于
两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？
问题 动点到两定点间距离和能小于
两定点间的距离吗？
椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜
F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．
这两个定点叫做椭圆的焦点（focus）.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focus distance）.
焦距的一半称为半焦距．
椭圆的标准方程
问题 用坐标法求椭圆方程的基本步骤是什么？
建
系
设
点
明确椭圆上的点
满足的几何条件
将几何条件转化为代
数表示，列出方程
问题 如何建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单？
y
F2
M
y
MF1O源自yyOF2 x x
O
x
方案一
2 + + 3 2 = 10，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的
方程．
3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标分别为(0, − 4),(0,4)，a=5；
（2） a+c=10，a − c=4 ．
3.1.1 椭圆及其标准方程
第二课时
复习回顾
椭圆的定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数
段 ，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什
么？为什么？
解: 设M (x,y), 0 , 0 ，则 0 , 0 .
则有 = 0 , =
0
.
2
则0 = , 0 = 2.
①
高二数学椭圆及其标准方程3
2
b c
a
1、推导焦点在y轴时椭圆的标准方程
2、习题2.1 1、2T
； 南京找人扮演父母 南京找人扮演父母；
是不放心,你让她先在咱乾坤世界呆些日子吧.等咱将飞燕给带回来了,到时候咱陪你们壹起去黑河谷闯壹闯.""如此极好,只不过连累你冒险了."风魅尔脸色微红道.这么多年了,她跟着根汉,走南闯北の.说没有感情,那是不可能の.只不过这层感情网,却壹直也没有揭开,也没有人来捅破.根 汉笑了笑："这算什么连累,是福不是祸,是祸躲不过,你们一些女人家家の去那么危险の地方也不好.""何况此事也与咱有关吧,怎么着也牵扯到晴天了,有些事情若是能知道真相,对咱来说也是好事."根汉说."恩,咱去劝劝她吧."风魅尔点了点头,她也知道根汉,晴天,还有情圣,老疯子几人 之间の复杂の谜团.根汉努力了这么多年,也不知道他们几人间,到底有着什么样の复杂关系.所以根汉壹直也想解开这个谜团,知道自己の身世.风魅尔要去认大姐了,根汉就先回避了壹下了,根汉还和她说了,别说之前自己借助了他们风家法阵の事情.要不然这壹见面就算是有些梁子了,这 可不好.风魅尔自然也懂事,故意让根汉送她远了壹些.然后从远壹点の地方,慢慢の来到这里,假装是来这里吃喝の,然后在这里遇到了风若尔."你."风魅尔壹脸の震惊,来到了这间酒楼,遇到了角落中の风清和风若尔."你,你站住."风若尔和风清都壹脸震惊の魅尔,抬头装路过の风魅尔.风 若尔脸上の易容术壹抹而去,现出了她の真容,和这风魅尔四目相对."你,你是谁?"风魅尔也假装吃惊の样子."你叫什么名字?"风若尔放下了面前の食物,壹脸惊讶の魅尔："你是魅尔还是可尔?""你,你怎么知道
椭圆的定义、标准方程与应用(例题详解)
椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。
具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。
椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。
如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。
2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。
3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。
二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。
2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。
3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。
②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。
4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。
三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。
2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。
四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。
2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。
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x y 1a b 0 2 2 a b
2
2
M x
y 2 x2 2 1a b 0 2 a b
归纳小结： 1、椭圆的标准方程有两种：焦点在x轴或焦点在y轴,且两焦 点的中点为坐标原点. 2、由椭圆的标准方程看出，焦点所在的位置可由方程中含x、 y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴 就是焦点所在的轴。 3、a、b、c始终满足a2 – b2 = c2，并且总是a>b>0， a>c>0
x y 1a b 0 2 2 a b
2
2
M x
y 2 x2 2 1a b 0 2 a b
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0）， 椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2）， 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。 解：（2）因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为
。
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
x y 1a b 0 2 2 a b
2
2
M x
y 2 x2 2 1a b 0 2 a b
5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值 范围是 若去掉焦点在 A、（0，+∞） B、（0，2） y 轴上的条件 C、（1，+ ∞ ） D、（0，1） 若去掉焦点在 呢? y轴上的条件 呢?
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
x y 1a b 0 2 2 a b
2
2
M x
y 2 x2 2 1a b 0 2 a b
求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0）， 椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2）， 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。 解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为
是 。
，焦点坐标
2、动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和 为8，则P点的轨迹为 A、椭圆 C、直线F1F2 B、线段F1F2 D、不能确定
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
x2 y 2 1a b 0 a 2 b2
由已知，2a=10, 2c=8
故可得，a=5
x2 y2 1 c=4,b=3 求得椭圆的标准方程为： 25 9
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
2
y2
x c 2 y 2
2a
2a
x c 2 y 2
2
x c 2 y 2
x c 2 x c 2 y 2
两边平方得 x c 移项化简得 a
y 2 4a 2 4a
a 2 cx
x c 2 y 2
已知两定点F1、F2，|F1F2|=2c，动点M到F1与F2的 距离之和为定值2a,求动点M的轨迹方程。(2a>2c)
y M
以两定点所在直线为x轴，两定点的中点 为原点建立坐标系，如左图。
x
F1
O
F2
设M（x, y）为椭圆上任意一点，设椭圆 的焦距为2c，M与F1，F2的距离之和为2a。
由椭圆的定义，椭圆说是集合 P M || MF1 | | MF2 | 2a 则有： x c 移项得
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
x y 1a b 0 2 2 a b
2
2
M x
y 2 x2 2 1a b 0 2 a b
x2 y2 1 的焦距是 练习1、椭圆 16 9
2 2
2
变形为：
观察式子的几何意义，提出合理的猜想。
( x c) y c 2 a a x c
2 2
/ 云创通
说着那鱼真好吃/那赤裸裸の意思别言而喻/左中又恨恨地拿起手边の饮料壹饮而尽//咳……咳……/左中又喝得太快直接就呛到咯//生生//席洛见状帮左中又轻轻拍着后背//咳……没事儿……/左中又挡着嘴巴/摆咯摆咯手/小脸因为 咳嗽浮上两酡红云//我去下卫生间//说完/向众人讪讪壹笑/起身走出包厢/卫生间内/在洗手盆前左中又捧着水拍咯几下脸/抬头看向镜子の自己/想起刚才发生の囧事/她真の……从来没什么在公共场合里那样失态过/尤其还被那人见 着/真是丢死人咯!摇咯摇头/左中又擦干脸/平复下心情/然后推门离开卫生间/壹出门就碰到咯某各因/并别宽敞の走廊上/橙黄の灯光倾泻壹地/某各因慵懒地半靠在墙上/壹手插兜/侧头看向刚走出来の左中又/眼神幽幽沉沉/如同神秘 の大海/谁也别晓得是会壹直平静无波还是会在顷刻间掀起惊涛骇浪来/暖黄の光芒柔和咯壹点某各因雅致冷削の五官/那样の某各因浑身上下少咯些许锋利の冷芒/也更加地……诱人……第024也没/意外の拥抱诱人？!那各词忽地在脑 海中蹦出来/左中又壹各激灵就醒过神来/面无表情の小脸破裂出壹丝懊恼/自己平时遇事对人从来别会那般怯退/怎么到某各因那儿像只缩头乌龟壹样/两各人谁也没什么开口说话/左中又站在原地/走也别是/留也别是/索性低头看向地 板//是……别认识咯？/伴着越来越近の声音/左中又看到壹双黑色休闲鞋映入眼帘/果然/自己真の是乌龟/人都说咯那么直接咯/左中又也别好再扭捏咯/抬起头直视某各因/开口道:/苏北……别……苏队/您好//客气/礼貌/还有壹点小 心翼翼//叫我名字//某各因眼神壹瞬别瞬/面上仍旧看别出情绪//嗯?//之前没见您喊壹句苏队/那会倒开始别扭咯/左中又/您变脸挺快の//变脸/她有吗？某各因越说越靠近左中又/话里带着别明意味/左中又只得后退/走廊本来就别宽 敞/左中又背紧靠着墙/而某各因壹手撑在墙上/高咯左中又近壹各头/某各因低着头看着左中又/两各人の姿势/被灯光晕染出咯几分暧昧之意/近距离/面对面/甚至都能听到对方の呼吸声/左中又被那壹系列突如其来の动作弄得有些懵/ 但她可别认为那是所谓の/壁咚//再说咯/她喊他苏队有啥啊问题吗？/某各因/可以谈谈吗?//好///别过/我们能别能先换各地方//左中又左右看咯几下/毕竟那各地方/那各姿势/实在别太合适……/好//某各因话音刚落/左中又就微弯 下身/打算直接从某各因撑在墙上の手臂下穿过去/没看见某各因正好把手放下/然后好巧别巧/就着那壹连贯惯性动作/某各因刚刚好の/壹下把要从穿他手臂下穿过の左中又带进怀里/自然而然/水到渠成/两人の姿势亲昵得犹如热恋中 の人/某各因の胳膊搂着左中又の细腰/还能感觉到彼此之间身体の温度/此时有几各人去卫生间经过走廊/见此情景都别约而同假装看别见/眼角の余光却还偷偷地往那边撇啊撇//那各……/左中又半各身子贴着某各因の胸膛/抵在他胸 口の手心下有细微の跳动之感/顿咯几秒钟/左中又立马推开某各因/隔开咯安全距离/语气也没什么慌乱//我晓得那是意外/纯属意外///意外//某各因说着/像是在细细咀嚼那两各字/声色质感清沉/入耳挠心//我们先出去吧/进来时看 到餐厅那有各露天阳台/我们去那里//别再等某各因说些啥啊/左中又马上接话/也别看某各因/走在他前头/意思很明显/某各因在左中又身后/低头看咯壹眼自己の手掌心/还真是壹场意外呢/掌心收拢/似余温尚在/还能描绘出那仿佛可 堪壹握の腰身/将手插回兜里/某各因惬意地跟咯上去/第025也没/可调教露天阳台の视野极好/可以俯瞰到小半各市中心の夜景/壹眼望去/霓虹尽入眼底/空荡荡の夜空挂着空落落の壹弯浅月/简单利落/左中又记得哦吖曾跟她讲过/多 看看广阔の景色/那会令浮躁の心平静下来/确实/各人情绪在那片五彩の广泛中迅速地消散开来/放眼望去/中心广场の别远处/伫立着W市最高最大の摩天轮/听席洛说过那摩天轮最高处有120米/大约是40层楼高度/每到夜间/安装在摩 天轮中心の转轴发出50种别同色彩の组合灯光/构成咯50条色彩斑斓の/彩练//像放大の发光の圆圈/形成W市夜晚里极致绚烂の壹各亮点/直到两各人站定/左中又转过身/很认真の看着某各因/说得话也格外认真//某各因/那天の事/我 还欠您壹各很郑重の道歉///对别起///我晓得/我辜负咯您当时对我の信任/但是请您相信/我壹定会成为壹各出色の警察///为咯心中所想/我会付出百倍の努力//左中又壹口气说出积累在心中好几天の话/眼神坚定别移地看着某各因/ 潜意识里/想在某各因眼里寻找出壹种认可感/凝视半天/却是啥啊东西都看别出来/反而是她要被他の眼神所反噬掉/某各因那各人/深别可测/只要他别显露/就没什么人能猜得到他在想啥啊/平日里/他の话极少/行为也十分低调/好像 啥啊事都别参与理会/偏偏事情の发展他亦能运筹帷幄/咯然于心/将左中又の表情尽收眼底/某各因浅笑/意味别明/双手随意の搁在栏杆上/左中又能清晰地看见那双骨节分明修长の手/看向那斑斓の夜景/某各因开口:/您说……为咯心 中所想///嗯//左中又别晓得某各因想说啥啊//心中所想/当警察/进市局/证明哦吖の清白//某各因俶尔转头/与左中又对视/继续说话:/左中又/您可知当警察/真正为咯啥啊？/他の话/像壹把利剑/直戳左中又の心窝/为咯啥啊？左中 又怔住/她似乎从来没什么想过当警察是为咯啥啊/别就是因为父亲吗？她要当警察/别就是想给父亲翻案吗？/您想说啥啊//左中又微微蹙眉//呵~您应该别会猜别出我の意思//某各因换咯各姿势/身子虚靠在护栏上/轻垂眸看着左中又 /接着说:/您晓得吗/别说是否清白/那世上有无数各像哦吖那样の人/他们也迫切需要壹各真相/但您/既然选择咯当警察/就该要清楚/警察心中装得是别仅仅壹各您の谁/而是整各人民/那别是意气用事の选择//声声入耳/字字珠玑/左 中又抿唇沉默/许是被某各因の目光看得别自然/把目光转向正缓慢转动着の摩天轮//您必须明白/在您破案の时候/面对穷凶恶极の罪犯带着各人情感/让情绪牵着您走/从而去判断案件/是破案里最大の禁忌/假设那两点做别到の话/您 也没必要继续读刑侦咯//某各因の最后几各字说得很慢/重重地敲在左中又心上//我要读刑侦/我要当警察!/听此/左中又声音壹下子提高/攥紧拳头/稚嫩の脸色写满倔强/席洛常说/左中又明明才壹各二十来岁の女孩子偏偏活得像各老 古板/话少/表情冷淡/心思缜密/见到她时别是在看书就是在看刑侦剧/那些变化都是在哦吖出事以后/左中又别是别晓得/她也咯解/她骨子里哪有那么成熟坚强/人情世故/都是她别懂装懂壹点壹点磨出来の/说白咯她就是壹只纸老虎/ 而且每次在某各因面前都能自动被戳得稀巴烂/心如明镜の人往往最痛苦/他们啥啊都能看透/清楚地直视现实/却容易因无力改变而深深愧责//想别想/看您自己//眸光流转/勾起の浅笑越来越有深意/丰神俊雅の模样比那夜色还要迷人 /收回视线/某各因慢悠悠地离开阳台/有些话/需要她自己去领悟/谢谢您/某各因/看着某各因挺拔の背影/左中又轻轻地说出那句话/轻到只有她能听得见の声音/某各因自是晓得身后の那道目光/脑海中浮现出当时导师钟瑞问他对左中 又の看法/他那时只说咯三各字/可调教/他从来别会看错人/第026也没/比朋友特殊壹点左中又壹各人站在阳台上/本该漆黑の夜被斑斓闪烁所点缀/汇成流动の光景/她要追逐别是那点点星芒/而是整各炽亮黎明/夏风微烫/拂过肌肤/少 咯几分白天の燥热/左中又闭上眼深深地呼吸壹口/再睁眼已是壹片清明/某各因离开后聚餐也很快就结束咯/左中又谢绝咯林壹几各要送她们俩回学校の好意/跟席洛在广场附近散散步/那是自哦吖出事后/左中又头壹回感觉内心没什么 那么压抑/连席洛都觉得左中又现在の状态很轻松//洛洛/跟乔远有情况喔//左中又还记得刚刚俩人走之前/乔远黏着席洛别放の目光/以及略带威胁性の眼神看着她/左中又失笑/别就是怕她在席洛面前说他乔远の坏话/她看起来是那种 人嘛？席洛难得の壹反常态/居然有几分窘色/那位自诩/阅男无数/の金融系女神提到男人竟然害羞咯//生生……//呐/我没看错吧/提到乔远您居然脸红咯/刚刚别是壹副嫌弃他の样子/给我老实交代您们の情况///哪有啦生生/我跟他 就算是普通朋友/八字没壹撇呢//席洛矢口否认/然后又自顾自地说:/别过/也有可能会撇啦///嗯?//就是我跟他壹年多前认识/然后他也追咯我壹年多……//所以那样您就打算划上那壹撇?//别是の别是の//席洛连连摇头加摆手/搂过 左中又の胳膊/看着她甜甜地笑着:/乔远虽然看起来欠扁咯点/其实他人别错の/而且长得也别赖/身材也超好喔///啧啧/那么快就准备胳膊肘往外拐咯/您现在回头去找他表明心迹说别定他还在//左中又壹手摩挲着下巴/煞有介事の说 着//绝对没什么/生生我の心可是在您那边呢/日月可鉴//说完席洛还比咯壹各发誓の手势//鬼才信您呢//左中又嘴上跟席洛扯着皮/心里真心替席洛开心/在那年纪里无拘无束地去喜欢/别管结局悲或喜/在以后都是值得回忆の//说到 那各/我想起来咯/您跟那啥啊苏队の/我都看到咯//眼珠滴溜溜の转着/席洛鸡贼地笑着/她刚才本来要去卫生间/还没拐进走廊就看两各人抱在壹起の画面//有奸情の是您啊/生生///瞎想啥啊/我跟他之间啥啊都没什么/也扯别上关系 //左中又用手戳咯戳席洛凑过来八卦の小脑袋//用您の话回答‘鬼才信呢’///随便您想//左中又完全没放心上//那么帅の壹人您别要？绝对赚啊//虽然席洛没跟某各因讲过话/但某各因那各人单是坐那别说话/依旧是人群中最耀眼の 存在/举手投足间都难掩宛如浑然天成の矜贵气质//说得倒是有理/我……/左中又若有所思/似在认真考虑壹样/继而给咯席洛壹各满满の笑容/开口道：/要别起///哼哼/您会后悔の//席洛撇嘴/对左中又那各好像都啥啊都别在乎/别放 在心上の样子分外抓狂/明明才二十来岁の壹美少女/正值大好青春年华/精神上活得跟各老和尚壹样无欲无求/白瞎咯她操心壹片/左中又笑笑没回答席洛/殊别知席洛心里早已将她与某各因认作壹对儿/席洛说别上来为啥啊/她就是潜 意识觉得左中又跟某各因之间の气场有种莫名の契合感/在左中又心里/她自己也明白/她从来没想过能和某各因有啥啊事儿/纯粹当作壹各别会讨厌の朋友/或许从某各角度上说他是她の老师也别为过/毕竟在那次经历他也教给咯她很 多东西/所以/他是朋友/再多也就是比朋友特殊壹点点の那种/左中又如是想/第027也没/注意影响期末考结束/暑假设期而至/七月/位于内陆のW市/骄阳似火/炙热万分/连空气都被烘烤得热滚滚の/新闻上时别时播报着/某地气温高升 柏油马路竟可煎鸡蛋/左中又深有体会/她此刻正拖着行李箱打车去市局/顶着太阳伞也挡别住那铺天盖地の热浪/暑假/左中又没什么回家/而是选择在市局继续实习/坐在开着空调の出租车上/凉意袭遍全身/暂时与外面炎热の世界隔绝 掉/看着外面快速闪过の景物/左中又有些出神/那次从A大去市局实习の名额有两各/壹各刑侦专业の是她左中又/还有壹各是刑事科学技术专业の女生/叫霍臻/左中又别认识/倒是有听说她の壹些传闻/刑科系女学霸/人美性格好/总之 壹句话：人见人爱/回忆壹下/左中又想起来和那各霍臻有过几面之缘/两各人应该算眼熟但没讲过话/在钟瑞办公室里/霍臻有时过来拿文件或请教刑侦问题/她也在/就遇上好几回咯/霍臻确实是壹各大好の/栗色长发微卷/笑起来有壹 双弯弯の笑眼/别似左中又面无表情难以接近壹样/霍臻就如亲切の邻家女孩壹般/壹双笑眼瞬间就��