椭圆规范标准方程

椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y216＝1.椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.即x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0).方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆.设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.类型二：求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋132b 2＝1，0＋－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0).①2<2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b 2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.【变式】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m>0，n>0). (2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1 (a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B)，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.（3）椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程【例3】已知一动圆M 与圆C1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值.【变式3】已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长据题C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ，故|MC 1|＋|MC 2|＝10， 据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴. 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P 是椭圆y 25＋x 24=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).∴ ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－43.【例5】已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小.解：由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【变式】(1)在椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.（1）S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.12F PF S △在①PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ①所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式，得 ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α.又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sin α2cos α2＝tan α2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2.（2）由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在①PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x ，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程， 并将其坐标化为x ＋c 2＋y 2＋x －c 2＋y 2＝2a . ①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). ②知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程22(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为____a 2＝b 2＋c 2____．类型一 椭圆标准方程的确定 例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时， 设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，12a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)． 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6. ∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹． 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆．反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2. ∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1. ∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.。