中考数学第2轮小专题集训题型专攻小专题(八)解直角三角形的实际应用课件
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2019年中考数学复习课件：解直角三角形及其应用(共16张PPT)
C
3.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货
轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行
24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航
行，有无触礁的危险？ A N1
N
DC
B
解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚，
∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚，
1.两锐角之间的关系:
解 直
∠A+∠B=900
角 2.三边之间的关系:
三 a2+b2=c2
角
形 的
sinA＝
a c
依 据
3.边角之间 的关系
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
考点1：解直角三角形的四种情况
在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
Ｂ
c a
西
东 O
45°
B
南
视线
∠1 水平线
∠2
视线
h
α
l
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角
54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（tan54°=1.38，精
确到0.1m）
A
变换条件：若将
B
“CD=40m”换成
“AB=10m”，求BC.
54°45°
D
C
2.如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5， 且AB= 13 m.
Ａ
bＣBiblioteka 考点2：解直角三角形与边角关系的综合
C
A
变式：如图，在△ABC中，已知∠CAB=30°， AB=BC=2,求点C到AB的距离。
3.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货
轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行
24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航
行，有无触礁的危险？ A N1
N
DC
B
解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚，
∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚，
1.两锐角之间的关系:
解 直
∠A+∠B=900
角 2.三边之间的关系:
三 a2+b2=c2
角
形 的
sinA＝
a c
依 据
3.边角之间 的关系
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
考点1：解直角三角形的四种情况
在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
Ｂ
c a
西
东 O
45°
B
南
视线
∠1 水平线
∠2
视线
h
α
l
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角
54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（tan54°=1.38，精
确到0.1m）
A
变换条件：若将
B
“CD=40m”换成
“AB=10m”，求BC.
54°45°
D
C
2.如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5， 且AB= 13 m.
Ａ
bＣBiblioteka 考点2：解直角三角形与边角关系的综合
C
A
变式：如图，在△ABC中，已知∠CAB=30°， AB=BC=2,求点C到AB的距离。
《解直角三角形应用举例》课件
一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行.
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
中考数学总复习课件：二轮专题复习 解直角三角形的应用 (共29张PPT)
专题八 解直角三角形的应用
数学
解直角三角形的应用是中考必考题型，常在解答题中考查，其中所给角度均 为特殊角，涉及夹角、仰角、俯角、坡角等问题．常需添加辅助线，将所给 图形转化为直角三角形或矩形来解决．预计2018年仍会在解答题中出现．
【例1】(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程 ，由主
解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α＝39°， 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D′作 D′E′⊥AC 于点 E′. 3 ∵CD＝12 m，∠DCE＝60°，∴DE＝CD· sin60°＝12× 2 ＝6 3 m， 1 CE＝CD· cos60°＝12×2＝6 m．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC， DD′∥CE′，∴四边形 DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3 m． D′E′ 6 3 ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝ ≈0.81≈12.8 m， tan39° ∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7 m. 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 m 才能保证教学楼的安全．
解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∠AOC＝30° ，∠BOC＝45°.在 Rt△ACO 中，∵∠ACO＝90°， 1 ∠AOC＝30°，∴AC＝2AO＝40 m，OC＝ 3AC＝40 3 m． 在 Rt△BOC 中，∵∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝40 3 m． ∴OB＝ OC2＋BC2＝40 6≈40×2.45≈98(m)． 答：小华家到学校的距离大约为 98 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2017· 十堰)如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到 达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？(参考数据： 3≈1.732)
数学
解直角三角形的应用是中考必考题型，常在解答题中考查，其中所给角度均 为特殊角，涉及夹角、仰角、俯角、坡角等问题．常需添加辅助线，将所给 图形转化为直角三角形或矩形来解决．预计2018年仍会在解答题中出现．
【例1】(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程 ，由主
解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α＝39°， 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D′作 D′E′⊥AC 于点 E′. 3 ∵CD＝12 m，∠DCE＝60°，∴DE＝CD· sin60°＝12× 2 ＝6 3 m， 1 CE＝CD· cos60°＝12×2＝6 m．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC， DD′∥CE′，∴四边形 DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3 m． D′E′ 6 3 ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝ ≈0.81≈12.8 m， tan39° ∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7 m. 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 m 才能保证教学楼的安全．
解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∠AOC＝30° ，∠BOC＝45°.在 Rt△ACO 中，∵∠ACO＝90°， 1 ∠AOC＝30°，∴AC＝2AO＝40 m，OC＝ 3AC＝40 3 m． 在 Rt△BOC 中，∵∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝40 3 m． ∴OB＝ OC2＋BC2＝40 6≈40×2.45≈98(m)． 答：小华家到学校的距离大约为 98 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2017· 十堰)如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到 达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？(参考数据： 3≈1.732)
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
中考数学专题复习之 解直角三角形及其应用 课件
3．(2020·怀化)如图，某数学兴趣小组为测量一 棵古树的高度，在 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30°，然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处，测 得古树顶端 D 的仰角为 45°，且点 A、B、C 在同 一直线上，求古树 CD 的高度．(已知： 2≈1.414，
3≈1.732，结果保留整数)
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°， ∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 km，
∵在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠DBC＝
60°，
sin ∠DBC＝CBDC，∴sin 60°＝C6D0 ，
解：由题意可知，AB＝20 米，∠DAB＝30°， ∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD 是等腰直角三角形，∴CB＝CD， 设 CD＝x，则 BC＝x，AC＝20＋x， 在 Rt△ACD 中， tan 30°＝CCDA＝ABC＋DCB＝20x＋x＝ 33，
解 得 x ＝ 10 3 ＋ 10≈10×1.732 ＋ 10 ＝ 27.32≈27，
即 CD＝27 米，
答：古树 CD 的高度为 27 米．
4．(2020·德州)如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30°，观测楼房底部 A 的俯角为 60°，求楼房的高度．
解：过 B 作 BE⊥CD 交 CD 于 E，
由题意得∠CBE＝30°，∠CAD＝60°， ∵在 Rt△ACD 中，
∴ CD ＝ 60×sin
60 ° ＝ 60×
3 2
＝
30
3
(km)>47 km，