台湾区2011年大学入学指定科目考试数学科(文组)试题分析

2011年 数学乙 指定科目考试试卷第壹部分﹕选择题（单选题﹑多选题及选填题共占76分） 一﹑单选题（12分）说明﹕第1题至第2题﹐每题5个选项﹐其中只有1个是正确的选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题答对得6分﹐未作答﹑答错﹑或画记多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒( )1. 符号()P C 代表事件C 发生的机率﹐符号()|P C D 代表在事件D 发生的条件下﹐事件C 发生的机率﹒今设,A B 为样本空间中的两个事件﹐已知()()0.6P A P B ==﹒请选出正确的选项﹒ (1)()1P A B ⋃= (2)()0.2P A B ⋂= (3)()|1P A B = (4)()()||P A B P B A = (5),A B 是独立事件﹒( )2. 如图﹐平面上五个大小相同的圆圈用四根长度相同的线段连接成十字形﹐其中任意两相邻线段均互相垂直﹒今欲将其中两个圆圈着上蓝色﹐其它圆圈着上红色﹐并规定在着好色之后将图形绕十字形的中心旋转产生的各种着色法均视为同一种﹐试问共有几种着色法﹖ (1)3 (2)6 (3)10 (4)20 (5)32﹒二﹑多选题（32分）说明﹕第3题至第6题﹐每题有4个选项﹐其中至少有1个是正确的选项﹒选出正确选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题之选项独立判定﹒所有选项均答对者﹐得8分﹔答错1个选项者﹐得4分﹔所有选项均未作答或答错多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒( )3. 某种疾病有甲﹑乙﹑丙三种检测方法﹒若受检者检测反应为阳性﹐以符号「+」表示﹐反之则记为「-」﹒一个受检者接受三种检测方法呈现之结果共有18,,A A 八种不同的可能情况﹐例如事件1A 表示该受检者以三种方法检测反应皆为阳性﹐其余类推（如下表）﹕以18,,P A P A 分别代表事件18,,A A 发生之机率﹒请问下列哪些选项是正确的﹖(1)()()()1212P A A P A P A ⋃=+(2)以方法乙检测结果为阳性的机率是()()()()1246P A P A P A P A +++ (3)以方法甲与方法乙检测﹐结果一致的机率是()()12P A P A + (4)以方法甲﹑乙﹑丙检测﹐结果一致的机率是()1P A ﹒( )4. 某训练班招收100名学员﹐以报到先后顺序赋予1到100的学号﹒开训一个月之后﹐班主任计划从100位学员中抽出50位来参加时事测验﹒他拟定了四个抽签方案﹕方案一﹕在1到50号中﹐随机抽出25位学员﹔同时在51到100号中﹐也随机抽出25位学员﹐共50位学员参加测验方案二﹕在1到60号中﹐随机抽出32位学员﹔同时在61到100号中﹐也随机抽出18位学员﹐共50位学员参加测验方案三﹕将100位学员平均分成50组﹔在每组2人中﹐随机抽出1人﹐共50位学员参加测验 方案四﹕掷一粒公正的骰子﹕如果出现的点数是偶数﹐则由学号是偶数的学员参加测验﹔反之﹐则由学号是奇数的学员参加测验请选出正确的选项﹒(1)方案一中﹐每位学员被抽中的机率相等 (2)方案二中﹐每位学员被抽中的机率相等(3)方案三中﹐每位学员被抽中的机率相等(4)方案四中﹐每位学员被抽中的机率相等﹒( )5. 设(),r π为函数2log y x =图形上之一点﹐其中π为圆周率﹐r 为一实数﹒请问下列哪些选项是正确的﹖(1)(),r π为函数2x y =图形上之一点(2)(),r π-为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭图形上之一点(3)1,r π⎛⎫⎪⎝⎭为函数12log y x =图形上之一点 (4)(),2r π为函数4x y =图形上之一点﹒( )6. 某校数学复习考有400位同学参加﹐评分后校方将此400位同学依总分由高到低排序﹕前100人为A 组﹐次100人为B 组﹐再次100人为C 组﹐最后100人为D 组﹒校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题（考空间概念）的答对率列表如下﹕(1)第一题答错的同学﹐不可能属于B 组(2)从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于B 组的机率大于0.5 (3)全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率高15%(4)从C 组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于0.3﹒三﹑选填题（32分）说明﹕第A 至第D 题为选填题﹐请在答案卡的「解答栏」之列号（7-15）中标示答案﹒每一题完全答对得8分﹐答错不倒扣﹐未完全答对不给分﹒A. 设()532224f x x x x x =-+--﹐()43232g x x x x x =++++﹐()h x 为()f x 与()g x 的最高公因式且最高次项系数为1﹐则()1h 与()2h 的乘积为 ○7○8 ﹒B. 为讲解信赖区间与信心水平﹐数学老师请全班40位同学使用老师提供的随机数表模拟投掷均匀铜板16次﹒模拟的过程如下﹕随机指定给每位同学随机数表的某一列﹐该列从左到右有16个数字﹔如果数字为0,1,2,3,4时﹐对应投掷铜板得到正面﹔而数字为5,6,7,8,9时﹐对应投掷得到反面﹒某同学拿到的一列数字依序为﹕0612 9683 4251 9138该同学计算铜板出现正面的机率在95%信心水平下的信赖区间﹕ˆp p ⎡⎢-+⎢⎢⎣﹒则该同学所得到的结果中﹐=﹒ （化为最简根式）C. 坐标平面上有一面积为40的凸四边形﹐其四个顶点的坐标按逆时针方向依序为()0,0﹑()4,2﹑(),2x x 及()2,6﹐则x = ○11○12 ﹒ D. 一线性规划问题的可行解区域为坐标平面上由点()0,30A ﹑()18,27B ﹑()20,0C ﹑()2,3D 所围成的平行四边形及其内部﹒已知目标函数ax by +（其中,a b 为常数）在D 点有最小值48﹐则此目标函数在同个可行解区域的最大值为 ○13○14○15 ﹒第贰部分﹕非选择题（占24分）说明﹕本大题共有二题计算证明题﹐答案务必写在答案卷上﹐并于题号栏标明题号（一﹑二）与子题号((1)﹑(2))﹐同时必须写出演算过程或理由﹐否则将予扣分﹒务必使用笔尖较粗之黑色墨水的笔书写﹐且不得使用铅笔﹒每题配分标于题末﹒ 一﹑设,a b 为实数﹒已知坐标平面上满足联立不等式620x y x y x y y ax b+≥⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥-⎩ 的区域是一个菱形﹒(1) 试求此菱形之边长﹒（4分）(2) 试求,a b ﹒（8分）二﹑设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭为二阶实系数方阵﹒(1) 当A 为转移矩阵时﹐试叙述实数a ﹑b ﹑c ﹑d 须满足的条件﹒（6分）(2) 试证﹕当A 为转移矩阵时﹐2A 也是转移矩阵（式中2A 代表A 与A 的乘积）﹒（6分）答 案第壹部分﹕选择题 一﹑单选题 1.(4) 2.(1) 二﹑多选题3.(1)(2)4.(1)(3)(4)5.(1)(2)(3)6.(3)(4) 三﹑选填题A.48B.32C.10D.432第贰部分﹕非选择题一﹑(1)(2)2a =﹐b =二﹑(1),,,a b c d 都大于或等于0﹐且1a c +=﹐1b d +=﹒ (2)略﹒出处及解析第壹部分﹕选择题 一﹑单选题 1. 解析﹕依题意﹐只能推得()00.6P A B ≤⋂≤﹐而()P A B ⋂的值不确定﹒(1) 因为()()()()()1.2P A B P A P B P A B P A B ⋃=+-⋂=-⋂﹐所以()P A B ⋃的值不确定﹒ (2) ()P A B ⋂的值不确定﹒ (3) 因为()()()()|0.6P A B P A B P A B P B ⋂⋂==﹐所以()|P A B 的值不确定﹒(4) 因为()()()|P A B P A B P B ⋂=﹐()()()|P A B P B A P A ⋂=﹐且()()0.6P A P B ==﹐所以()()||P A B P B A =﹒(5) 因为等式()()()P A B P A P B ⋂=⋅不确定成立﹐所以,A B 不确定是独立事件﹒ 故选(4)﹒ 2.解析﹕依中心的颜色分二种情形讨论如下﹕(1) 中心涂蓝色﹕只有下列1种涂法﹒(2) 中心涂红色﹕有下列2种涂法﹒因此﹐共有123+=种涂法﹒故选(1)﹒二﹑多选题 3. 解析﹕依题意﹐得知{}128,,,A A A 为样本空间S 的一组分割﹐即这八个事件两两互斥且128A A A S⋃⋃⋃=﹒(1) 因为()()120P A A P ⋂=∅=﹐所以()()()()()()12121212P A A P A P A P A A P A P A ⋃=+-⋂=+﹒ (2) 因为两两互斥﹐所以乙结果为阳性的机率为()()()()()12461246P A A A A P A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++﹒ (3) 因为两两互斥﹐所以甲与乙结果一致的机率为()()()()()12781278P A A A A P A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++﹒ (4) 因为两两互斥﹐所以甲﹑乙与丙结果一致的机率为 ()()()1818P A A P A P A ⋃=+﹒故选(1)(2)﹒ 4.解析﹕方案一﹕每人被抽中的机率均为251502=﹒ 方案二﹕在1号到60号中﹐每人被抽中的机率为3286015=﹐ 在61号到100号中﹐每人被抽中的机率为1894020=﹐ 即每人被抽中的机率不相等﹒方案三﹕每人被抽中的机率均为12﹒方案四﹕每人被抽中的机率均为12﹒故选(1)(3)(4)﹒因为(),r π为2log y x =图形上一点﹐所以2log r π=﹐即2r π=﹒ (1) 因为2r π=﹐所以(),r π为2x y =图形上一点﹒(2) 因为122r r π-⎛⎫== ⎪⎝⎭﹐所以(),r π-为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭图形上一点﹒(3) 因为1121221log log log r πππ--===﹐所以1,r π⎛⎫⎪⎝⎭为12log y x =图形上一点﹒ (4) 因为()2224222rrrππ===≠﹐所以点(),2r π不在4x y =图形上﹒故选(1)(2)(3)﹒ 6.解析﹕(1) 因为B 组第一题答对率不是100%﹐所以第一题答错的同学有可能属于B 组﹒(2) 因为A ﹐B ﹐C ﹐D 四组答错第二题的人数分别是0﹐20﹐70﹐100﹐所以随机抽出一人﹐此人属于B组的机率为2020.50207010019=<+++﹒(3) 因为全体第一题与第二题答对率分别为 11008070202702740040040P +++===﹐2100803002102140040040P +++===﹐所以122721315%404020P P -=-==﹒ (4) 因为在C 组中﹐两题都答对的最大值为30%﹐即30人﹐所以从C 组中随机抽出一人﹐此人两题都答对的机率不可能大于300.3100=﹒ 故选(3)(4)﹒三﹑选填题 A. 解析﹕将()f x 与()g x 辗转相除如下（采分离系数法）： 得()f x 与()g x 的最高公因式为()3322x x x x ---=-++﹒因为()h x 为最高公因式且最高次项系数为1﹐所以3()2h x x x =++﹒ 故()(1)241248h h ⨯=⨯=﹒101224+-+--11132++++12144----- 11132----- 1012-+--11- 11132++++ 1012+++ 1012+++ 1012+++11--因为模拟掷铜板16次得9次正面﹐所以16n=﹐916p=﹒故===﹒C.解析﹕因为凸四边形的面积为40﹐所以OAB△面积OBC+△面积40=﹒利用三角形面积公式﹐得0010011142121402221261x xx x+=11624022x x⇒+=340x x⇒+=（因为0x>）440x⇒=解得10x=﹒D.解析﹕因为在()2,3D点有最小值2348a b+=﹐所以由并行线法得知﹐在()18,27B点有最大值()1827923948432a b a b+=+=⨯=﹒第贰部分﹕非选择题一﹑解析﹕(1)因为不等式的区域是一个菱形﹐所以其图形如右图所示﹒又分别解206x yx y-=⎧⎨+=⎩与20x yx y-=⎧⎨+=⎩﹐得()2,4A与()0,0O﹒因此﹐菱形的边长为OA===(2) 因为//OA BC ﹐且直线20x y -=的斜率为2﹐所以直线y ax b =-的斜率2a =﹒解20y x b x y =-⎧⎨+=⎩﹐得,33b b C ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹒再由菱形的边长为OC ==22209b ⇒=290b ⇒=﹒又因为0b >﹐所以b =﹒故2,a b ==二﹑ 解析﹕(1) 根据转移矩阵的定义﹐得知条件为,,,a b c d 都大于或等于0﹐且1,1a c b d +=+=﹒ (2) 根据矩阵乘积的定义﹐得222a b a b a bcab bd A c d c d ac cdbc d ⎡⎤++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ 因为,,,a b c d 都大于或等于0﹐所以2A 的每一个元都是大于或等于0﹒而且由1,1a c b d +=+=﹐得()()()()21a bc ac cd a a c c b d a c +++=+++=+=﹐ ()()()()21ab bd bc d b a c d b d b d +++=+++=+=﹒故当A 为转移矩阵时﹐2A 也是转移矩阵﹒。