高考总复习——机械能守恒定律

[ 思路诱导 ]
联系初末状态？
(1)物块沿 CBA做变速圆周运动，对过程用什么规律
(2)物块通过A点后，做什么运动？怎样处理？
[尝试解答]
设小物块的质量为 m，经 A处时的速度为v，由 A到D 1 2R＝ gt2 2
经历的时间为 t，有 1 2 1 2 mv ＝ mv ＋ 2mgR 2 0 2
x＝ vt 由三式联立解得 x＝1 m.
如右图所示，一根全长为l、粗细均匀的铁链，对称地挂在光滑的 轻小滑轮上，当受到轻微的扰动时，铁链开始滑动，求铁链脱离滑轮瞬 间速度的大小．
[解析]
解法一：根据重力势能的减少等于动能的增量列方程：
l 1 2gl mg ＝ mv2，求得 v＝ . 4 2 2 解法二：根据机械能守恒，选滑轮顶端为零势能面，列方程 1 1 1 2gl － mgl＝－ mgl＋ mv2，求得 v＝ . 4 2 2 2
[答案]
1m
机械能守恒定律一般结合圆周运动或平抛运动知识进行综合考查， 解题时应分清物体的运动过程，弄清各过程中遵循的物理规律．若物体
的运动过程中只有重力或弹力做功，其他力不做功，则可以利用机械能
守恒定律进行求解．
半径R＝0.50 m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固 定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20 kg的小球，小球套在 圆环上，已知弹簧的原长为L0＝0.50 m，劲度系数k＝4.8 N/m. 将小球从 在C点时弹簧的弹性势能EpC＝0.6 J(g取10 m/s2)，求： (1)小球经过C点时的速度vC的大小． (2)小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．
[尝试解答] 性可得： FN＝ FT
(1)设绳上拉力为 FT，碗对 A球的弹力为FN，根据对称
由平衡条件： 2FTsin60° ＝ m Ag 对 B球，受拉力与重力平衡得 FT＝ mBg 联立得 mA∶mB＝ 3∶ 1 (2)不正确． A球在碗底时， vA不等于 vB，应将 vA沿绳和垂直于绳的方向分解， 沿绳子方向的分速度即等于 B球的速度 vB的大小． 2 即： vB＝ vAsin45° ＝ vA 2
某同学解法如下：当 A球滑到碗底时， A球下降的高度为 R， B球上 升的高度为 2R，根据机械能守恒定律有 1 1 2 magR－ mBg 2R＝ mAvA＋ mBv2 B ① 2 2 且 vA＝ vB② 代入数据，解①②两式即可求得两球的速率． 你认为上述分析是否正确？如果你认为正确，请完成此题；如果 你认为不正确，请指出错误，并给出正确的解答． (3)在满足第(2)问中的条件下，求 A球沿碗壁运动的最大位移是多 少？
当物体受到的合外力为零时，物体的机械能一定守恒
物体受到的合外力为零，但除重力、弹力以外的其他力
做功代数和不为零，则机械能就不守恒．
(对应学生用书P87)
要点一 机械能是否守恒的判断方法 1.用做功来判断：分析物体或系统受力情况 (包括内力和外力)，明 确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功 ( 不是只受重 力或弹力 ) ，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守 恒，否则机械能不守恒. 例如炮弹爆炸时内力做功，因而爆炸前后系统 机械能不守恒．
如右图所示的位置由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点 C，
[解析]
(1)小球从 B到 C，根据机械能守恒定律有
1 mg(R＋ Rcos60° )＝ EpC＋ mv2 2 C 代入数据求出 vC＝ 3 m/s (2)小球经过 C点时受到三个力作用，即重力 G、弹簧弹力 F、环的 作用力 FN，设环对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律有 v2 C F＋ FN－ mg＝ m R F＝ kx＝ 2.4 N v2 C 所以 FN＝ m ＋ mg－ F R FN＝ 3.2 N，方向竖直向上
如右图是一个横截面为半圆，半径为 R 的光滑柱面，一根不可伸 长的细线两端分别系物体 A 、 B ，且 mA ＝ 2mB ，从图示位置由静止开始 释放A物体，当物体B达到半圆顶点时，求绳的张力对物体B所做的功．
[解析]
πR 系统重力势能的减少量为 ΔEp＝ mAg － mBgR， 2
1 系统动能的增加量为 ΔEk＝ (mA＋ mB)v2， 2 2 由 ΔEp＝ ΔEk得 v ＝ (π－ 1)gR. 3
例2
(2011·天水月考)如图所示，一个半径为R的半球形的碗固定
在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一 根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球 A和 B，当它们处于平 衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°. (1)求小球A与小球B的质量比mA∶mB. (2)辨析题：现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球 位于碗口 C 点，由静止沿碗下滑，当 A球滑到碗底时，求两球的速率为 多大？
根据牛顿第三定律得出，小球对环的作用力大小为3.2 N，方向竖 直向下． [答案] (1)3 m/s (2)3.2 N，方向竖直向下
题型二
多个物体组成的系统机械能守恒
应用机械能守恒定律解题时，常会遇到由多个物体组成的系统问 题，这时应注意选取研究对象，分析研究过程，判断系统的机械能是否 守恒，列方程时还要注意分析物体间的速度关系和位移关系，对于系统 有弹簧的问题，要注意分析弹簧形变量的变化，弹性势能的变化，而弹 簧形变量的变化往往与物体上升或下降的距离有一定的联系．
[答案] 2gl 2
(对应学生用书P88)
题型一 机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的基本步骤：
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)； (2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力
情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件；
(3)如果符合，则根据机械能守恒定律列方程求解．注意：所列方
(2)分析思路不同：用机械能守恒定律解题时只要分析研究对象初、
状态的动能，还要分析所有力做的功，并求出这些力所做的总功．
(3)书写方式不同：在解题的书写表达上，机械能守恒定律的等号 两边都是动能与势能的和；而用动能定理解题时，等号左边一定是所有 力做的总功，右边则是动能的变化． (4)mgh 的意义不同：在机械能守恒定律中 mgh 是重力势能，出现 在等号的两边，如果某一边没有，说明那个状态的重力势能为 0；在动 能定理中mgh是重力所做的功，写在等号的左边．不管用哪种规律，等 号两边绝不能既有重力做功，又有重力势能．
(4)系统性：重力势能是地球与物体所组成的这个“系统”所共有 的． (5)重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点 和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关． (6)重力做功与重力势能变化的关系 重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－ Ep1)＝Ep1－Ep2.
[答案]
(1) 3∶ 1 4 2－ 2gR ， 5
(2)不正确．vA＝ vB＝ (3) 3R 2 2－ 2gR 5
单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒，可以对系统应用机 械能守恒定律. 对系统应用机械能守恒定律要注意： (1)合理选取系统，判断是哪个系统的机械能守恒． (2)清楚系统内各部分机械能(动能、势能)的变化情况．
2．用能量转化来判定：若物体或系统中只有动能和势能的相互转 化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体机械能守恒． 3．对绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说 明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒，且能量损 失最大．
(2011· 正定月考 ) 对于做变速运动的物体 ，下列说法正确的是 ( ) A．仅靠重力改变物体的运动状态，则物体的机械能保持不变 B ．不是靠重力、弹力改变物体的运动状态，则物体的机械能一 定改变 C ．若改变物体速度的作用力是摩擦力，则物体的机械能一定改 变
程有多种形式 . 如：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp，ΔE1＝－ΔE2等，
视具体情况，灵活运用．
例1
如右图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道 ABC，
其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切．在C处放一小物块，给 它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后 落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s.取重力加速度g＝10 m/s2.
转
移观
ΔE增 ＝ΔE减
表示若系统由A、B 两部分组成，则A部分物 常用于解决两个或 体机械能的增加量与B部 多个物体系的机械能守恒
机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的， 因此，应用时要注意对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出 判断．动能定理反映的是 “功—能转化”关系，应用时要注意两个规律 中功和能的不同含义和表达式．
根据机械能守恒定律有 1 1 mAgR－ mBg 2R＝ mAv2 ＋ mBv2 A B 2 2
1 1 2 2 2 mAgR－ mBg 2R＝ mAv A＋ mB( vA) 2 2 2 可得 vA＝ 4 2－ 2gR ， vB＝ 5 2 2－ 2gR 5
(3)球 A经过碗底后继续上升，当速度减小为零时沿碗壁有最大位 移，如右图所示，此时 A相对碗边缘的高度为 h，则 4R2－ x2 h ＝ x 2R 由机械能守恒有 2mgh－ mgx＝ 0 联立以上两式可得： x＝ 3R
2．弹性势能 (1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能． (2) 大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有 关． 弹力做负功，弹性势能增加．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，
问题探究1 [ 提示 ]
势能是标量，但是势能有正负，势能的正负表示什么
含义？和我们前面所学的功的正负的含义相同吗？ 由于势能是标量，其正负表示大小，即势能为正，说明 物体在零势能面的上方，重力势能大于零；势能为负，说明物体在零势 能面的下方，重力势能小于零．不同的物理量的正负有着不同的物理意 义，如前面功的正负表示做功的性质，速度、加速度等矢量的正负表示 方向．