初论有限时间破产时罚金折现期望

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一类重尾风险模型的有限时破产概率

一类重尾风险模型的有限时破产概率邢培培;于长俊【摘要】考虑一类随机收取保费的重尾风险模型.与经典的风险模型相比,该模型考虑了保费收取过程的随机性,因而能够更好地刻画保险公司的运营风险.在索赔额服从强次指数分布的条件下,得到了当保险公司的初始资本x趋近于无穷大时,保险公司在时刻t之前破产的有限时破产概率的渐近估计.该渐近结果对于时间t具有一致性.%In this paper, a kind of heavy-tailed risk model with random premium is considered. Compared with that of the classical risk models, in this model, the randomness of the process in the charge for the premium is considered.Therefore, the operation risk of the insurance company can be better characterized. Under the condition that the claim-sizes have a strong subexponential distribution, the asymptotic estimation of the finite-time ruin probability before time t of the insurance company is derived when x, the initial capital of the insurance company tends to be infinity. The asymptotic results have uniformity for the time t.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】5页(P55-59)【关键词】重尾分布;风险模型;破产概率;保费;渐近性【作者】邢培培;于长俊【作者单位】南通大学理学院, 江苏南通 226019;通州高级中学, 江苏南通226300;南通大学理学院, 江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O211.6在更新风险模型中，保险公司的收益过程为其中：x表示保险公司的初始资本；ct表示到时刻t为止的保费收入；{N（t），t≥0}是一个更新过程；Xn，n≥1表示第n个客户的赔付金额，它们构成一列独立同分布的随机变量.众所周知，保费收入是对投保对象逐个收取的，因此，在上述模型中，保费收入过程与实际情况不太相符.因此，本文考虑一类保单到达过程和保单赔付过程均为更新过程的风险模型，其满足的基本假设如下：（A1）索赔时间间隔{θn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其均值为λ-1；（A2）索赔额{Xn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其共同分布为F；（A3）保单到达时间间隔{ηn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量序列，其均值为γ-1；（A4）客户保单的投保额是{Yn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量；（A5）随机变量序列{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}，{Xn，n≥1}，{Yn，n≥1}相互独立. 为了保证破产不是必然发生的，我们还需要保证单位时间内的平均保费收入大于单位时间内的平均赔付额，即需要如下的安全负荷条件：设{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}分别为由{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}生成的更新过程，即设保险公司的初始资本为x，则保险公司在时刻t的净收益为则其在时刻t之前破产的破产概率为该模型可以追溯到文献[1].在轻尾索赔情形下对该模型破产概率的研究，可以参见文献[2].Labbé等[3]研究了该模型下的期望折现惩罚函数满足的积分方程；Zhang 等[4]对该模型进行了推广，在索赔到达时间间隔和索赔额满足某种相依结构的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程；赵金娥等[5]在N（t）是M（t）的稀疏过程的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程，又在进一步考虑存在现金流干扰的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程[6].近年来，Cheng等[7]将公式（2）定义的模型推广到了多维情形，即保险公司运营多个保险业务的情形.然而，尽管上述研究在模型的刻画方面日益精进，但在重尾索赔情形的研究方面却进展不大.在上述研究中，只有文献[6]考虑了重尾索赔条件下有限时破产概率的渐近估计，但该结果对于时间t不具有一致性.当保费收益为线性函数时，对重尾索赔情形下有限时破产概率的一致渐近估计的研究已经比较成熟，最新研究成果可参见文献[8-10].本文将考虑收益过程为由公式（2）刻画的风险模型，在重尾索赔条件下有限时破产概率的一致渐近性.1 主要记号及结论为了更好地叙述本文的结论，我们首先介绍一些约定、记号和概念.设 a（x，t）和b（x，t）是定义在[0，∞）×[0，∞）上的二元函数，若对于任意趋于无穷的函数f（x），则称 a（x，t）～b（x，t）对于t≥0 一致成立.设随机变量X的分布函数为F，记其尾分布为即对于任意x∈R，对于任意分布 F 及n≥1，记F的n重卷积的分布为若对于任意y＞0，则称F属于长尾分布族，记作F∈L.对于任意u≥1，定义若则称F属于强次指数分布族，记作F∈S*.常见的强次指数分布包括形状参数大于1的Pareto分布，形状参数小于1的Weibull分布和对数正态分布等.这些分布在排队系统和风险理论中具有重要的应用，可参见文献[11-12].定理1 考虑满足假设条件（A1）-（A5）及安全负荷条件（1）的风险模型.假设存在β＞0使得若F∈S*，则当x→∞时，对于t≫ 0一致成立，其中μ=λ-1γEY1-EX1.2 定理1的证明为证明上述结论，我们需要两个引理.引理 1[13-14] 设{Xn，n≥1}和{θn，n≥1}满足假设（A1）、（A2）且二者相互独立.若F∈S*，则对任意c＞λEX1，当x→ ∞时，对于t≫0一致成立.引理2[8] 设F∈L，则对任意δ＞0，存在常数x0使得对于任意x≥x0及0≤y≤x-x0一致成立.定理1的证明：对于任意δ＞0，令根据强大数定律，我们有从而，我们有因此，对于任意存在充分大的l，使得进一步地，由知F∈S*⊂L知，存在充分大的x1＞l，对于任意x＞x1，有假设f（x）是最终趋于无穷的函数，则由引理1，存在充分大的 l＞1，对于任意 x ＞l及 t＞f（x），因此，当 x ＞ x1且 t＞ f（x）时，由式（6）-（8）得为证明上界部分，对于任意0＜δ＜γ，记则当x＞2l时，结合ET1＜0知，存在充分小的0＜κ＜β（γEY1）-1使得根据Markov不等式，我们有容易证明，M1同分布于其中独立于 M，同分布于η1.根据式（11）-（13）知，再次根据Markov不等式，对于任意x＞0，有根据文献[15]中的引理1，对任意ε＞0，若l＞0充分大，则对任意x＞l，因此，当 x ＞ max{x1，2l}时，由式（14）、（15）及式（7）知，不失一般性，假设 x＞ l时，f（x）＞（μλ）-1，则当 x＞max{x1，2l} 时，对于任意t≥f（x），μλt＞ 1.由式（14）与式（16）及知，根据引理1，当l＞1充分大时，对于任意x＞l及t＞ f（x），而根据式（18）及式（7），当 x＞x1时，对任意 t＞f（x），下面处理 I3（x，t）.根据引理 2，当 l充分大时，对于任意l≤y≤x-y，不失一般性，假设l充分大，使得由式（18）、（20）、（21）及（7）得，当 x ＞ max{x1，2l}时，对于任意t≥f （x），由式（10）、（17）、（18）及（20）得根据式（9）、（23），以及ε 和δ的任意性，立得式（4）.参考文献：【相关文献】[1]BOUCHERIE R J，BOXMA O J，SIGMAN K.A note on negative customers，GI/G/1 workload，and risk processes［J］.Probability in the Engineering and InformationalSciences，1997，11（3）：305-311.[2]杨善朝，马翀，谭激扬.保险费随机收取的风险模型［J］.经济数学，2004，21（1）：1-5.[3]LABBÉ C，SENDOVA K P.The expected discounted penalty function under a risk model with stochastic income［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215（5）：1852-1867.[4]ZHANG Z M，YANG H.On a risk model with stochastic premiums income and dependence between income and loss［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234（1）：44-57.[5]赵金娥，李明，何树红.一类稀疏风险模型的 Gerber-Shiu函数和最优红利策略［J］.应用概率统计，2014，30（4）：439-448.[6]赵金娥，李明，何树红.常利率下分红稀疏风险模型的期望折现罚金函数［J］.郑州大学学报（理学版），2015，47（3）：37-42.[7]CHENG J H，WANG D H.Ruin probabilities for a twodimensional perturbed risk model with stochastic premiums［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2016，32（4）：1053-1066.[8]CHENG D，YU C.Asymptotic for the ruin probabilities of a two-dimensional renewalrisk model［J］.Dynamic Systems and Applications，2017，26（3）：517-534.[9]LI J Z.A note on the finite-time ruin probability of a renewal risk model with Brownian perturbation［J］.Statistics&Probability Letters，2017，127：49-55.[10]YANG H Z，LI J Z.Asymptotic ruin probabilities for a bidimensional renewal risk model ［J］.Stochastics，2017，89（5）：687-708.[11]ASMUSSEN S，ALBRECHER H.Ruin probabilities［M］.London：World Scientific，2010：293-328.[12]FOSS S，KORSHUNOV D，ZACHARY S.An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions［M］.New York：Springer-Verlag，2013：66-86.[13]KO ETOVA J，LEIPUS R，IAULYS J.A property of the renewal counting process with application to the finite-time ruin probability［J］.Lithuanian Mathematical Journal，2009，49（1）：55-61.[14]WANG Y B，CUI Z L，WANG K Y，et al.Uniform asymptotics of the finite-time ruin probability for all times［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，390（1）：208-223.[15]EMBRECHTS P，GOLDIE C M，VERAVERBEKE N.Subexponentiality and infinite divisibility［J］.Probability Theory and Related Fields，1979，49（3）：335-347.。

常利率环境下Erlang(2)风险模型的罚金折现期望

／ｒ－。由这样的时间间隔组成索赔过程Ｎｔ即到￣ｅＡ２ｔ（（）时刻ｔ的索赔次数）是个Ｅｌｇ２过程。置代表第ｉｒｎ（）ａ
例如：如果取ｗｘｙ＝，（，１它就是破产概率；）如果取Ｏｒ＝
０和Ｗ（，），＝（。，ｙ）它就是破产前盈余 ≤ ）（≤ 。，
近年来，着Ｅｌｇ）随ｒｎ（过程在排队论中被日益ａ２
充分地研究，我们发现有些索赔过程是能够很好地
用Ｅｌｇ）近似的。Ｅｌｇ２￣险模型已经引起ｒｎ（来ａ２ｒｎ（）ａ
广泛的关注，是当前风险分析研究中的热点之一。而且，保险公司的１常经营中，司的主要资金在３公来自于保费的收入和索赔的支出。有一个不可忽还略的因素就是利率。它必定影响到公司的经营状况。就此引入要考虑的风险模型。考虑如下的模型：每两次索赔之间的时间间隔Ｔ（．ｄ服从Ｅｌｇ２Ａ分布，密度函数后ｔ＝／ｉ．）ｉｒｎ（，）ａ即（）
， ∞
（１２）．
其中Ａｕ＝ｆ（，Ｕ）。（）ｕＸｄｗ－ｘ
本文将利用积分变换，求解上述方程，将（）ｕ表示成级数形式。并给出几个特殊的例子。
令
．
的初始资本为Ｕ单位时间收取的保费为ｅ保险公，；
收稿日期：ｏ７２０ —０９Ｏ一６

初论一类风险模型下的破产时刻罚金折现期望

第２６卷第１期
２１００年２月
大学数学
Ｃ０ＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖ０．６，．１２ № １Ｆｅ．２０ｂ０１
初论一类风险模型下的破产时刻罚金折现期望
王后春，杜雪樵
（．１安徽建筑工业学院数理系，安徽合肥２０２；２合肥工业大学数学学院，徽合肥２００）３０２．安３０９
［摘
要］考虑一类具有Ｐｉｏ过程和Ｅｌｎ（）程的风险模型的破产问题，模型中保险公司具有ｏｓｎｓｒｇｎ过ａ该
两类保险，类保险的理赔次数过程都是Ｐｉｏ过程与一个共同的Ｅｌｇ）程的和．每ｏｓｎｓｒｎ（过ａ针对这类理赔相关的风险模型，利息力为常数的情形得到破产时刻罚金折现期望的积分一微分方程．就［键词］Ｐｉｏ关ｏｓｎ过程；ｒｎ（）ｓＥｌｇｎ过程；产时刻罚金折现期望；ａ破积分～微分方程［中图分类号］Ｏ２１Ｆ４１；８０［献标识码］Ａ文［文章编号］１７—４４２１）１Ｏ１—５６２１５（０００一】ＯＯ
Ｐｉｏｏｓｎ过程的可加性，模型转化为经典的情况来讨论．ｅ，Ｇｏｓ把Ｙｕｎｕ，Ｗｕ３，究了Ｍ。￡，（）【研ｊ（）Ｍ２￡是

2017年司法考试商法章节知识点：破产法

第七章破产法⼀、破产法的功能 1、保护债权 (1)破产终⽌了债务的拖延，迫使债务⼈清偿; (2)破产使债务⼈限度的满⾜债权⼈; (3)破产使不同性质、地位的债权⼈得到不同的清偿; (4)同⼀性质的债权按⽐例得到满⾜。

2、破产的间接功能 (1)淘汰作⽤ (2)约束作⽤(激励作⽤) ⼆、个⼈破产问题 1、各国关于个⼈破产问题有三种⽴法主义： (1)商⼈破产主义：个⼈不得破产 (2)⼀般破产主义：凡市场主体都可以依⼀定条件破产 (3)折衷破产主义：破产的范围是前两者的结合我国的模式不同于以上三种，实际上的破产范围窄于商⼈破产主义 2、对个⼈破产的观点： (1)反对者认为：个⼈破产的障碍在于⽆个⼈财产申报制度和监管制度以及个⼈⽣活必需品难以确定 (2)⽀持者认为：个⼈破产是公平受偿的需要，对个⼈财产的监管问题不能成为阻碍个⼈破产的理由;⽣活必需品的确定应当根据具体情况来判断。

三、我国破产法的不⾜ 1、适⽤主体有限 2、⾏政⼲预⾊彩较浓 (1)破产与否需主管部门批准; (2)破产程序和具体的破产活动都有⾏政参与; (3)破产后果 3、破产法条款规定⽐较简单，难以反映破产中的复杂问题。

四、对现⾏破产法的看法反思86年的破产法，可以⽤三句话来概括：第⼀句话，破产法在反对声中产⽣;第⼆句话，破产法在困难中⽣存中;第三句话，破产法在破产中破产。

1、破产法在反对声中产⽣，在困难中⽣存。

在新中国也就是中国共产党的⽴法，86年的破产法是最难产的⼀部法律。

为什么呢?因为⽴法在我国有⼀个特点，越是不懂的法律，⼈们越是容易通过，反之则不然。

破产法也是这样。

破产法的基本理念，基本功能基本制度，没有多少⼈懂，但破产法的直接结果是什么，⼤家都很清楚。

特别是86年破产法，破产法的对象是针对国有企业。

国有企业破产，从开始就有障碍。

2、在困难中⽣存：破产法产⽣之⽇起就这么困难，真要贯彻到司法实践中，在司法实践中没有相关的法律意识情况之下，恐怕就更困难了，这主要有三个⽅⾯的原因：第⼀个原因，破产法的制度层⾯存在缺陷。

带两类离散时间风险过程的期望折现罚金函数

为了讨论（）满足的一些关系，得出几何索赔额分布的Ｇｒｅ— ｈ折现罚金函数的表达式，ｅｒＳｉｂｕ定义辅助函数
（）＝研ＷＵＴ一，ＵＴ１，）Ｌ１， ¨ （（）Ｉ（））ｌ１＝ｋ
共同的离散分布ｑ＝ＰＹ＝ｉ和肛分别表示和ｙ（）的ｕｔ（）＝“ 此式在妒 “ 的推导过程中非常有用。］，（）令Ｍ＝Ｗ１＾Ｌ “≥０数学期望，（）＝ｓＰ（）＝，和ｓｑｓ分别表示和
ｋ）：Ａ１Ａ ‘ （一）。类似地，Ⅳ （）ｋ＝０１…｝｛２ｋ，，，是具有ｉ．
险模型（）我们利用概率生成函数这个工具来代替通１中，
那么在同一式中的ｕ是初期盈余，寸每个日期的保险费率是１｛（）０１，ｓｋ，，常被用于连续时间模型中的拉普拉斯变换式，＝，时间点上，可能会同时出现两种索赔，这是不同于连续时间｝是总金劫挝翟。假使ｓｋ是由两类的保险风险，（）减即
（台学院数学系，北邢台０４０）邢河５０１
摘
要：对于包括两种独立类型的离散时间风险模型，假设第一类的索赔间隔时间是服从几何分布的随机变量，并且第二类
索赔间隔时间是两个相互独立的各自服从几何分布的随机变量的总和，当两类的赔款服从几何分布时，可以得到Ｇｒｅ —Ｓｉ便ｅｂｒｈｕ
（）＝ＥｖｗＵＴ一，ｕｒｆ，）ｕｏＥ（（）Ｉ（））Ｉ（）＝“ ］
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ３
式中ｕ为非负整数，＜１０＜是折现因子，（，（，０ｗｉ）ｉｊｊ＝，

有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数

第２５卷
第１期
甘肃科学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＳｃｉｅｎｃｅｓ
Ｖｏｌ ‘ Ｚ５Ｎｏ．１
Ｍｆｉｒ．２Ｏｌ３
２０１３年３月
有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数
ＥｘｐｅｃｔｅｄＤｉｓｃｏｕｎｔｅｄＰｅｎａｌｔｙＦｕｎｃｔｉｏｎｏｆＰｏｉｓｓｏｎＲｉｓｋＭｏｄｅｌｗｉｔｈ
Ｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒＤｉｖｉｄｅｎｄＳｔｒａｔｅｇｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢｙａｃｌａｓｓｏｆＰｏｉｓｓｏｎｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅａｎｄｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒｄｉｖｉｄｅｎｄｓｔｒａｔｅｇｙ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒｄｉｖｉｄｅｎｄｓｔｒａｔｅｇｙ；ｅｘｐｅｃｔｅｄｄｉｓｃｏｕｎｔｅｄｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｐｏｉｓｓｏｎｒｉｓｋｍｏｄｅｌ；ａｂｓｏ — ｌｕｔｅｒｕｉｎｔｉｍｅ
ＨＵＡＮＧＧｕａｎｇ — ｄｉ．ＺＨＡＮＧＲｕｉ — ｆａｎｇ

2023年破产管理人报酬规定

2023年破产管理人报酬规定____年破产管理人报酬规定可以根据相关法律和法规进行调整。

以下是一份关于____年破产管理人报酬规定的____字的详细解释和说明。

第一章：总则第一条：破产管理人报酬是指破产管理人在履行破产管理职责过程中所获得的报酬。

第二条：破产管理人报酬的核定和支付应当依法进行，并且必须合理、公正和透明。

第三条：破产管理人报酬的支付应当按照破产债务的清偿顺序进行，不得先于清偿破产债务。

第二章：破产管理人报酬的计算方法第四条：破产管理人报酬的计算方法应当根据以下几个方面进行考虑：（一）破产债务的规模和破产财产的价值。

（二）破产管理人的工作量和管理难度。

（三）破产管理人的专业能力和经验水平。

（四）破产管理人的工作表现和取得的成果。

（五）破产管理人的办公条件和设备支持。

第五条：破产管理人报酬的计算方法可以选择以下几种方式：（一）按照破产财产的总价值的百分比进行计算。

（二）按照破产债务的清偿金额的百分比进行计算。

（三）按照破产管理人工作时间的工作量进行计算。

（四）按照破产管理人所属单位的规定进行计算。

第六条：破产管理人报酬的计算方法可以根据具体情况进行灵活调整，但是必须合理合法，并且应当经过相关方面的审批和批准。

第三章：破产管理人报酬的支付程序第七条：破产管理人报酬的支付程序应当遵循以下步骤：（一）破产管理人应当提交报酬申请书和相应的证明材料。

（二）有关部门应当对报酬申请进行审查和核定，确定报酬数额。

（三）报酬数额确定后，有关部门应当按照法定程序进行支付。

（四）破产管理人应当签收并确认收到报酬。

第八条：破产管理人报酬的支付应当及时进行，并且不得拖延或者拒绝支付。

第九条：破产管理人报酬的支付应当具有收据或者其他相关凭证，以备后续核查和审计。

第四章：破产管理人报酬的纠纷解决第十条：如果破产管理人对其报酬有异议，可以向相关部门提出申诉，相关部门应当及时处理和解决。

第十一条：如果破产管理人对相关部门的报酬核定结果有异议，可以进行复核和复议，并且有关部门应当予以配合和支持。

索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型的罚金函数

（）￡
ｚ＝∑ 置（）
＝
１
（．１）２
其中｛ｔ；０是参数为的ＰｉｉＮ（）ｔ｝ｏｓｎ过程，之为索赔次数过程；ｉｓｏ称Ｘ表示第ｉ次索赔额；｛ｉｉ，，｝间独立同分布，与｛ｔ；０独立．Ｔ＝ｉ（：≥０（）＜０表示Ｘ，＝１２… 之且Ｎ（）ｔ｝记ｎｔｔ，ｔｆ）破产发生时刻；并记（）ｕ：Ｐ（Ｔ＜∞）示初始盈余为／的破产发生概率．于上述常利率表．ｔ关
１ Ⅳ（）；）ｔ＝０
２｛ｔ；０具有平稳独立增量；）Ｎ（）ｔ｝
３ｔ．Ⅳ）Ｐ１而 Ⅳ），［＝）＞有（～（０且（］ｖＮ］告对０ｆＧ，；）ｆ＝ａ（ｒ
注１由定义２当｜０，，Ｄ时复合Ｐｉｏ—ｅｍｔｃ＝ｏｓＧｏｅｉ过程就是Ｐｉｏ过程．ｓｎｒｏｓｓｎ因此，复合Ｐｉｏ一ｓ８ｎＧｏｅｉ过程是Ｐｉｏｏ—ｅｍｔｃｒｏｓｎ过程的一种推广．ｓ
下面的引理见文［］Ｐ４４引理６６（．２）．引理２１｛，￡；．设Ｊ（） ≥０为复合Ｐｉ０—ｅｍｔｃ程，口：丛７、｝ｏｓｎＧｏｅｉ过ｓｒ记
Ｉｕ
＝
，若Ｐ＝０则取ａ（，
）则当ｔ，足够小时有Ｐ（￡ Ⅳ（）＝０）＝ｅ＝ｌ— ￡０ｔ，一＋（）
着实际的应用背景；在没有考虑利率因数的条件下，［］到了破产概率公式及更新方程．文６得本文将文［］６的结果推广到有利率的风险模型．

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作者简介：王后春（９０，．１７一）男安徽无为人，安徽建筑工业学院数理系讲师，硕士．研究方向ｔ应用统计与风险决策．
第２期
王后春，：论有限时间破产时罚金折现期望等初
３３０
（＋），）：。（‘￡（￡ｔ，）一（￡ “，）
ｘ＾
１
（）１
公式等结论；就利率的随机性通过标准Ｗｉｎｒｅｅ过
其中 “≥ ０ｃ０分别为保险公司的初始盈余和单，＞位时间的保费收入；Ｎ（）ｔ０｛￡， ≥ ）是参数为的
程和Ｐｉｏｏｓｎ过程来描述的随机利率的情形，ｓ文献
方程和渐近公式．关于当ｔ ∞ 时破产时罚金折现一
期望（，）的研究情况可参考文献［３～７］等．本
文将就利息力为常数的情形，给出经典风险模型下有限时间破产时罚金折现期望（，）满足的积 “￡所分一微分方程．
文章编号：０８４２２１）２００ —０１０ —１０（０００ — ３２３
初论有限时间破产时罚金折现期望①
王后春，操和友
（徽建筑工业学院数理系，安安徽合肥２０２）３０２
摘要：在经典风险模型下引进有限时间破产时罚金折现期望的概念．就利息力为常数的情形，出有限时间破产时罚金折现期望满足的积分一微分方程．给
＋，ＩＩ（一ｚ￡ｚｄ，（）ｘ）
＋Ｉ（，乱户）ｘ “ Ｘ一）（ｄ（）３
－ｆ
（ｙ－训ｚ，ｙｘｄ
是关于，的二元连续，￡可导函数．由式（）（）４、６知（￡，）是关于，的二元连续，ｔ可导函数．
一
ｌ＜）（～ｊ￡ｏ１）
Ｅ（）［＜Ｔ嚣ｗ（．－Ｕ
其中ＩＡ）随机事件Ａ的示性函数；ｘ，（是ｗ（）为
一
］）Ｉｗ（，）（＋ｙ）ｘｙ＜ ∞，＾（ｆｘｙｐｘｄｄ且利息力（）２
定理Ｉ１若非负惩罚函数ｗ（，．ｚ）满足
Ｐ＜ｏ【（）＝）有限时间破产概率（，（ｏＩ，０； “￡）
１有限பைடு நூலகம்时间破产时罚金折现期望的
积分一微分方程
一
定义为（ｔ＝Ｐ（＜ｔＵ（）＝ “ ．，）Ｏｌ）本文始终假定ｆ一＞０因此ｌ，ｉｍＵ（）一。，￡。
［３出了经典风险模型下当ｔｏ时破产时罚金２给＝。
折现期望（￡，）所满足的积分一微分方程、更新
Ｐｉｏｏｓｎ过程且Ｎ（）示时间区问［，ｓ￡表Ｏ］上的理赔
次数；Ｘ。ｋ≥ １（，）为非负独立同分布的随机变量序列，Ｘ表示第五理赔量，次每个Ｘ都有相同的分布函数Ｆ（）和密度函数夕ｚ，ＦＯ（）且（）一０，
确定的非负惩罚函数，赖于破产前瞬间盈余依
为常数，则有限时间破产时罚金折现期望声，（￡）
满足如下积分一微分方程：
【（一）及破产时赤字ｌ）ｌｒ￡息力累，Ｕ（；（）是
① 收稿日期：Ｏ０３４２１ —０一Ｏ
第２８卷第２期２１年０月００３
佳木斯大学学报
（自然科
学版）
Ｖｏ．８Ｎｏ２１２．
Ｍａ．ｒ２１００
Ｊｕｎｌｏｉｍｕｉｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｆａｓＵｎｖｒｉＮａｕａｉｎｅＥｄｔ）ＪｙＳｏ
般地，破产理论中为方便处理，在总假定
＾ｆ（）为常数，时此
）一＝Ｓｔ
类似文献［ —２，１］定义风险模型（）的有限时１
．，、一
［－．（一）Ｔ）Ｉ１．ｏＵ（ｅ＇Ｔ，ｌＵ（＿）
间破产时罚金折现期望为
ＥＸＩ［］＝＜０｛，≥ ０与｛，ｏ；Ｎ（）ｔ）ＸＩｋ≥ １相）
互独立．于ｔ０Ｕ（）对 ≥ ，￡表示保险公司在时刻ｔ的
盈余．
破产时刻Ｔ定义为Ｌ＝ｉｆｔ０Ｕ（）０，＿ｎ｛≥ ：￡＜）
其中ｉｆ＝。；产概率（）定义为（）＝ｎＯ。破
关键词：破产概率；产时罚金折现期望；ｏｓｏ过程；分一微分方程破Ｐｉｎｓ积中图分类号：０２１Ｆ４１；８０文献标识码：Ａ
０引言
设（Ｆ，，Ｐ）为包含本文中所有随机变量的完备概率空间．典风险过程定义为经
【（）＝＋ｃ — ，￡＝＝ｔ
ｋ。
一－
积函数，，￡有．）＝ｆ＾ｚｄ＾）（（）ｘ，（为利息力．
Ｊ０
就利息力ｈ￡为常数的情形，（）文献［３出了１给
经典风险模型下当ｔｏ — ｏ时破产时罚金折现期望
声，所满足的积分一微分方程、（）更新方程和渐近