高中数学第三章导数及其应用第8课时导数的综合应用同步测试新人教A版选修1-1

第8课时导数的综合应用
基础达标(水平一)
1.函数y=x3-4x+4的图象(如图)为().
【解析】当y'=x2-4=0时,x=±2.当x∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,y单调递增;当x∈(-2,2)时,y单调递减.
当x=2时,y=-;当x=-2时,y=.
【答案】A
2.已知函数f(x)=+ln x,则有().
A.f(2)<f(e)<f(3)
B.f(e)<f(2)<f(3)
C.f(3)<f(e)<f(2)
D.f(e)<f(3)<f(2)
【解析】f'(x)=+,x∈(0,+∞),
因为f'(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以f(2)<f(e)<f(3).
【答案】A
3.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为().
A.36
B.18
C.25
D.42
【解析】由x+3y=9,得y=(9-x),
由x≥0,y≥0,得0≤x≤9.
∴x2y=x2=-x3+3x2.
设f(x)=-x3+3x2,∴f'(x)=-x2+6x.
令f'(x)=0,得x=0或x=6,
又f(0)=0,f(6)=-×63+3×62=36,
f(9)=-×93+3×92=0.
∴x2y的最大值为36.
【答案】A
4.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-a ln x在(1,2)上为增函数,则a的值等于().
A.1
B.2
C.0
D.
【解析】∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,
∴≥1,得a≥2.
又g'(x)=2x-,依题意g'(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立,即2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立,得
a≤2,∴a=2.
【答案】B
5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1在区间(-2,0)内单调递减,在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,则p的取值集合是.
【解析】f'(x)=3x2-2px.由题意知,f'(-2)=0,f'(0)=0,则有12+4p=0,即p=-3.
【答案】{-3}
6.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为.
【解析】设g(x)=,
则g'(x)=.
∵f(x)>f'(x),
∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上是减函数.
又∵f(0)=2,
∴g(0)=f(0)=2,
则不等式<2等价于g(x)<g(0).
又∵函数g(x)在定义域上是减函数,
∴x>0,
∴不等式的解集为(0,+∞).
【答案】(0,+∞)
7.若函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
【解析】显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为
(0,+∞),∴f'(x)=-2a2x+a==.
当a=0时,f'(x)=>0,
∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a>0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥,此时f(x)的单调递减区间为
.
由得a≥1.
当a<0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为
.
由得a≤-.
综上所述,实数a的取值范围是∪[1,+∞).
拓展提升(水平二)
8.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为().
A.1-e
B.-1
C.-e
D.0
【解析】因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)的单
调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1.
【答案】B
9.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为
().
A.1
B.2
C.3
D.-1
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令
f'(x)=0,得x=.又a>,所以0<<2.令f'(x)>0,得0<x<,所以f(x)在上单调递增;令f'(x)<0,得x>,所以f(x)在上单调递减.所以当x∈(0,2)
时,f(x)max=f=ln-a·=-1,所以ln=0,所以a=1.
【答案】A
10.已知函数f(x)的定义域为[(x)的图象如图所示.
下列关于函数f(x)的命题:
①函数f(x)的值域为[1,2];
②如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;
③函数f(x)在[0,2]上是减函数;
④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.
其中正确命题的序号是.
【解析】由导函数的图象知,f(x)在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递减,
结合图象函数的最小值是1,最大值是2,故函数f(x)的值域为[1,2],①正确.
由已知中y=f'(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则0≤t≤5,故t的最大值为5,即②错误.
由已知中y=f'(x)的图象可得在[0,2]上f'(x)<0,即f(x)在[0,2]上是减函数,即③正确.
当1.5<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点,故当1<a<2时,函数y=f(x)-a可能有2,3,4个零点,即最多有4个零点,故④正确.
【答案】①③④
11.已知f(x)=x-ln x,g(x)=,其中x∈(0,e](e是自然常数).
(1)求f(x)的单调性和极小值.
(2)求证:g(x)在(0,e]上单调递增.
(3)求证:f(x)>g(x)+.
【解析】(1)f'(x)=1-=,
当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当1<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)g'(x)=,令g'(x)≥0,得0<x≤e,
∴g(x)在(0,e]上单调递增.
(3)由(1)知,f(x)min=1.
由(2)知,g(x)max=g(e)=.
又g(x)max+=+<+=1=f(x)min, ∴f(x)>g(x)+.。