第09讲 判别式及其应用
判别式及其应用
判别式及其应用知识定位一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．知识梳理知识梳理1：判定方程根的情况判别式最基本最常用的的地方就是用以判断一元二次方程根的情况。
知识梳理2：确定方程中系数的值或范围在含参的方程中，我们变换一下主元，把原方程看作关于参数的一元二次方程，再根据判别式处理问题可以打开一片新天地，使问题变得明朗化。
知识梳理3：求某些方程或方程组的解在处理多元方程或方程组时，我们抓住其中一个未知数看作主元，把问题看作关于这个主元的一元二次方程，利用判别式来处理，配合一些实际的限制条件，能够把复杂问题简单化。
知识梳理4：证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．例题精讲【试题来源】【题目】设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． 【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若()()()()()()x a x b x b x c x c x a++++++++是关于x的完全平方式，求证：a b c==．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】求方程221x y x xy y +=-++的实数解． 【答案】1x y == 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】求方程5x 2+5y 2+8xy+2y-2x+2=0的实数解． 【答案】x=1，y=-1．【解析】先把y 看作是常数，把原方程看成是关于x 的一元二次方程，即5x 2+(8y-2)x+(5y 2+2y+2)=0．因为x 是实数，所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y 2+2y+2)≥0，化简后整理得y 2+2y+1≤0，即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得5x 2-10x+5=0，故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】m 为什么整数时，29526m m ++能分解成两个连续自然数的积？ 【答案】12613,,,-- 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5【试题来源】【题目】关于x 的方程322210x ax ax a --+-=只有一个实数根，求a 的取值范围．【答案】34a < 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x 的二次方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=，求证：当12122()p p q q =+时，这两个方程中至少有一个方程有实根．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a、b、c为互不相等的实数．求证：二次方程220bx cx a++=，++=，220ax bx c22++0cx axb=不可能同时都有两个相等的实根．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】满足()()22336x y -+-= 的所有实数对()x,y 中，yx的最大值是多少？ 【答案】322+ 【解析】(x-3)2+(kx-3)2=6，即 (k 2+1)x 2-6(k+1)x+12=0， 将它看成关于x 的一元二次方程．因x 是实数，所以△=36(k+1)2-48(k 2+1)≥0，即 k 2-6k+1≤0． ①【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】x,y 为实数，且满足221x y x x =++ ，求y 的最大值和最小值。
一元二次方程根的判别式的综合应用
一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,∵无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
一元二次方程根的判别式的综合应用.docx
一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：2 21. 一元二次方程ax +bx+c=O(a ≠ 0)的根的判别式Δ =b -4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，△> 0一方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，△ =0 一方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，Δ v 0—方程没有实数根.2、根的判别式逆用(注意：根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，方程有两个不等实数根一△ > 0.定理5 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，方程有两个相等实数根一△ = 0.定理6 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)中，方程没有实数根一Δv 0.注意：(1)再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。
( 2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、C的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况:⑴2X12+3X-4=0 (2)ax 2+bx=0(a ≠ 0)2解：⑴ 2X +3X-4=0a=2, b=3, c=-4,2 2■/ Δ =b -4ac=3 -4×2×(-4)=41>0•••方程有两个不相等的实数根。
(2) V a≠ 0, •方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，2 2V Δ=(-b) -4 ∙ a ∙ 0=b ,V无论b取任何关数，b2均为非负数，• Δ≥0, 故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
判别式在函数中的运用
6x
4y
8y
z
0
x
x
1
的值域。
x
x
yx x y 0 1 x ， 给定一个 ｘ 值就有一个 ｙ 值与之相对 x 1
(x 3) 4( y 1) 13 13
原代数式的பைடு நூலகம்小值为 －１３。 巧用判别式： 令
把它看作关于 ｘ 的一元二次方程 x
给定一个 （ｘ，ｙ ） ， 就有一个 ｚ 值与之相对应， 所以上述关于 ｘ 的 方程一定有实根， 即：
例 ４．求函数 y 解： 由 y
对于函数 y 应，
Á Á Á Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á Á Á Á
证明： 令 S ( x) 则
S( x)
( y 1) 4( y y 1) 3y 6y 3 2( y 1) 0 0， 原不等式成立。 点评： 把不等式转换成关于 ｘ 的二次函数， 利用抛物线与 ｘ 轴 交点的情况证明不等式成立。
例 ２．求函数 y
解： 由
x
一个 ｙ 值与之相对应， 一定有实根，
4 对应的几何图形为圆， 方程 ( x 1) ( y 1) 在圆上 ( x , y ) 任 取 一 点 ， 一 定 有 实 数 对 与 之 相 对 应 ， 即 方程 点评：很多同学开始会使用均值定理来求这个函数的最小值， 2 ( x 1) ( y 1) 4 一定有实数根， cos x 把 y t x 代入方程得： 与 是 虽然所求结果一样， 但是这种解法是错误的。 cos x 2 2 2 则此关于 ｘ 的二次方程也一定有 2 x 2tx t 2 t 2 0 ， 不能相等的， 所以不能利用均值定理作答。 实根， 即： 例 ３．已知 x , y R ， 求 x 4 y 6 x 8 y 的最小值。 b 4ac 4t 8( t 2t 2) 0 2 2 2 t 2 2 2 解：x 4 y 6 x 8 y ( x 6 x 9) (4 y 8 y 4) 13
判别式的作用及用法
判别式的作用及用法
1. 哎呀呀，判别式可是个厉害的家伙呢！你看，就像我们在黑暗中寻找正确的路一样，判别式能帮我们判断一元二次方程有没有解呀！比如方程x²-5x+6=0，通过判别式b²-4ac，就能知道它有两个不同的解呢！这多神奇呀！
2. 嘿，判别式的作用可大了去啦！它就好比是一个聪明的裁判，能一下子告诉我们方程的情况。
比如说，对于方程2x²-3x+1=0 ，判别式就能让我们清楚知道它是有解还是无解，是不是超厉害？
3. 哇塞，判别式真的太重要啦！这就好像是你在寻找宝藏的地图上的关键标记一样。
就像方程3x²+2x-1=0，靠着判别式我们就能确切知道能不能找到宝藏，也就是方程的解呀！
4. 你知道吗？判别式的用法那叫一个妙啊！它就仿佛是我们解题路上的指明灯。
像是方程4x²-4x+1=0，判别式一展身手，答案就清晰可见啦，太赞了吧！
5. 判别式可真是个宝啊！可以想象一下，它就像是一把神奇的钥匙，能打开方程的秘密之门。
就拿方程5x²-6x+2=0 来说，判别式让我们对它的解一目了然呀！
6. 哎呀呀，判别式的作用简直绝了！它就和我们走路的指南一样重要呢。
例如方程6x²-7x+3=0，判别式立马就能告诉你能不能顺利走下去找到答案，是不是超牛？
7. 嘿哟，判别式的作用和用法真不简单呐！它就像一个贴心小助手。
比如面对方程7x²-8x+4=0，判别式迅速帮我们搞清楚状况，你说妙不妙？总之，判别式在数学里那可是不可或缺的存在呀！。
专题9--一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
专题9 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、考纲要求1.掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.2.不解方程判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；3.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；4.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；5.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程；6.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.二、知识梳理1.一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac =-Δ.（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，即 21,240)2x b ac a=-≥.（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 两个 相等的实数根，即122b x x a==-. （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a⋅=. 三、要点精析易错知识辨析：（1）判断一元二次方程有无实根，就是判断b 2-4a c 的值，是大于0，等于0，还是小于0，b 2-4a c 主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要考虑二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（3）认真审题，注意“有实数根”“有两个实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不等的实数根”“无实数根”的区别.四、中考真题和试题精粹1.（2015•广东）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A. B. C.2a ＞ D.2a ＜ 【答案】C 【解析】试题解析：Δ＝1－4（94a -+）＞0，即1＋4a －9＞0，所以，2a ＞2.（2015上海，第10题4分）如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】m ＜-4 【解析】试题解析：Δ=16+4m ＜0，∴m ＜-43.(2015•湖南株洲，第8题3分)有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是 ( )A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根； D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x = 【答案】D 【解析】试题分析:本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系： A ．∵M 有两个不相等的实数根,∴Δ＞0,即240b ac ->而此时N 的判别式Δ＝240b ac ->，故它也有两个不相等的实数根；B ．M 的两根符号相同：即120c x x a ⋅=>，而N 的两根之积＝ac＞0也大于0，故N 的两个根也是同号的. C ．如果5是M 的一个根，则有：2550a b c ++=①，我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立， 代入，得110255c b a ++=②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立. D ．由两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=N ：20cx bx a ++=，可知0a ¹， 0c ¹，又0a c +=，则0a c -?比较方程M 与N 可得22()()1 1a c x a c x x -=-==± 故可知，它们如果有根相同的根，则可以是1或－1 答案为：D4.（2015•四川成都，第8题3分）关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1->kB.1-≥kC.0≠kD.1->k 且0≠k 【答案】D 【解析】试题解析：由一元二次方程定义，得0k ≠，然后由两个不相等的实数根，则0∆>. 即 224(1)01k k ∆=-⨯->⇒>-，所以1k >-且0k ≠，因此选择D.5.（2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式，分别计算Δ的值，进行判断即可． 试题解析：A 、Δ=0，方程有两个相等的实数根；B 、Δ=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C 、Δ=﹣16＜0，方程没有实数根；D 、Δ=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根． 故选：B ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2﹣4a c ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 考点：根的判别式．6.（2015•广东省，第8题，3分）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜ 【答案】C 【解析】试题分析：∵关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根， ∴291404a ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭－，即1＋4a －9＞0，解得2a ＞.故选C.考点：一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.7.（2015•浙江金华，第5题3分）一元二次方程2x 4x 30+-=的两根为1x ，2x ，则12x x ⋅的值是( ) A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 【答案】D.【解析】试题分析：∵一元二次方程2x 4x 30+-=的两根为1x ，2x ，∴123x x 31-⋅==-. 故选D.考点：一元二次方程根与系数的关系.8.（2015•四川南充，第10题3分）关于x 的一元二次方程2x 2mx 2n 0++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2y 2ny 2m 0++=同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②()()22112m n -+-≥；③1221m n -≤-≤．其中正确结论的个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，两个方程都有两个整数根且乘积为正，则x 1x 2=2n ＞0, y 1y 2=2m ＞0，解得n ＞0,m ＞0 又一元二次方程2x 2mx 2n 0++=的两根之和为-2m ，一元二次方程2y 2ny 2m 0++=的两根之和为-2n ， 所以两个方程的根都为负数，故①正确；根据题意，Δ1=4m 2-8n ≥0，Δ2=4n 2-8m ≥0，可得m 2-2n ≥0，Δ2=n 2-2m ≥0所以，()()2222112121m n m m n n -+-=-++-+=22222m m n n -+-+≥2，故②正确；由根与系数关系得2m-2n=y 1y 2+y 1+y 2=(y 1+1)(y 2+1)-1，由y 1和y 2都是负整数，得(y 1+1)(y 2+1) ≥0 所以，(y 1+1)(y 2+1)-1≥-1，即2m-2n ≥-1，同理可得2n-2m=x 1x 2+x 1+x 2=(x 1+1)(x 2+1)-1≥-1,即2m-2n ≤-1，故③正确 故选D考点：一元二次方程根与系数的关系.9. 已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x =－2. 故选A.【考点】一元二次方程要挟与系数的关系.10. 如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜B ．k ＜且k≠0C ．﹣≤k＜D ．﹣≤k＜且k≠0【答案】D 【解析】试题分析：由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得Δ=2k+1﹣4k ＞0.三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0. 故选D.考点：一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件.11.(2015•江苏南昌，第11题3分)已知一元二次方程2430x x --=的两根为m ，n ，则22m mn n -+= . 【答案】25 【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得m ＋n=4，mn=﹣3，又()m mn n m n mn 2223-+=+-∴原式=()243325-?=.12.(2015•江苏南京，第12题3分)已知方程2x mx 30++=的一个根是1，则它的另一个根是_____ ，m= _________． 【答案】3，﹣4．2kx 10+=1212121212121212【解析】试题分析：设方程的另一个解是a ，则1+a =﹣m ，1×a =3，解得：m=﹣4，a =3．故答案为：3，﹣4． 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．13.（2015•甘肃武威，第16题3分）关于x 的方程k x 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k≥﹣6． 【解析】试题分析：由于k 的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．试题解析：当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x =﹣，当k≠0时，方程k x 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意，可得Δ=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6， 故答案为k≥﹣6．点评：本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与Δ=b 2﹣4a c 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论． 考点：根的判别式；一元一次方程的解．14.（2015•绵阳第17题，3分）关于m nm 2﹣n 2m ﹣2=0的一个根为2，则n 2+n ﹣2= ． 【答案】26 【解析】试题分析：先根据一元二次方程的解的定义得到﹣2n 2﹣2=0，两边除以2n 得n+1n，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+1n）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．试题解析：把m=2代入7nm 2﹣n 2m ﹣2=0得4n ﹣2n 2﹣2=0，所以n+1n所以原式=（n+1n）2﹣2 =（2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力． 考点：一元二次方程的解．15.（2015•四川省内江市，第15题，5分）已知关于x 的方程x 2﹣6x +k=0的两根分别是x 1，x 2，且满足11x +21x =3，则k 的值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：找出一元二次方程的系数a ，b 及c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．试题解析：∵3x 2+2x ﹣11=0的两个解分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=k ，11x +21x =1212x x x x +=6k=3， 解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键． 考点：根与系数的关系．16.（2015•四川泸州，第15题3分）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 . 【答案】27 【解析】试题分析：首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．试题解析：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27，故答案为27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大． 考点：根与系数的关系．17.（2015•四川成都，第25题4分）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54. 【答案】②③ 【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误； 对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=⇒22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确； 对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知1455222b t t b a a ++--==⇒=- ， 由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为 22150105094550093ax ax a x x x -+=⇒-+=⇒=，253x =，因此本选项错误.综上可知，正确的选项有：②③.18.（2015•江苏徐州，第13题3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣﹣k=0有两个相等的实数根，则k 值为 ． 【答案】-3 【解析】试题分析：因为方程有两个相等的实数根，则Δ=（﹣）2+4k=0，解关于k 的方程即可．试题解析：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣﹣k=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（﹣2﹣4×（﹣k ）=12+4k=0， 解得k=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．考点：根的判别式．.19.（2015•山东日照，第15题3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．考点：根与系数的关系．.【答案】2026【解析】试题分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．试题解析：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．20.（2015•北京市，第14题，3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．【答案】11a b =⎧⎨=⎩（答案不唯一） 【解析】试题分析：满足b 2=a ，a ≠0即可.点评：本题考查一元二次方程的基本概念.考点：一元二次方程21.(2015·贵州六盘水，第13题4分)已知x 1＝3是关于x 的一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一个根x 2是 ．【答案】1【解析】试题分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．试题解析：设方程的另一个根是x 2，则3+x 2=4，解得x =1，故另一个根是1．故答案为1．点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．考点：根与系数的关系．.22.(2015·黑龙江绥化，第15题 分)若关于x 的一元二次方程ax 2+2x －1=0无解 ，则a 的取值范围是____________．【答案】a ＜﹣1．【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a ≠0且Δ=22﹣4×a ×（﹣1）＜0，然后求出a 的取值范围．试题解析：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，∴a≠0且Δ=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2﹣4a c：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．23.（2015湖南岳阳第12题4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【答案】9 4【解析】试题分析：根据题意可得Δ=0，据此求解即可．试题解析：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=9﹣4m=0，解得：m= 94．故答案为：94．点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根．考点：根的判别式．24.（2015湖南邵阳第16题3分）关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ．【答案】-1【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．试题解析：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴22﹣4×1×（﹣m ）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．考点：根的判别式．25.（2015湖北荆州第14题3分）若m ，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为 ．【答案】0【解析】试题分析：由题意m 为已知方程的解，把x =m 代入方程求出m 2+m 的值，利用根与系数的关系求出m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵m，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m 2+m=1，则原式=（m 2+m ）+（m+n ）=1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．26.（2015年广东梅州9分）已知关于x 的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求的值及方程的另一根.【答案】（1）a ＜3；（2）-3.2220x x a ++-=a a【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于0得到关于a 的不等级式，解之即可.（2）当该方程的一个根为1时，代入方程即可求得a 的值，从而得到方程，解之即得另一根.试题解析：（1）∵关于x 的方程有两个不相等的实数根，224(2)03a a ∴∆=-->∴<.（2）∵该方程的一个根为1，∴1+2+a -2=0，解得a =-1.∴原方程为x 2+2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=-3∴a =-1，方程的另一根为-3.考点：一元二次方程的根和根的判别式；解一元二次方程和一元一次不等级式.27.（2015•江苏泰州，第18题8分）已知：关于x 的方程22210x mx m ++-=.（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值.【答案】(1) 方程x 2+2m x +m 2－1=0有两个不相等的实数根；(2) m=－4或m=－2．【解析】试题分析：（1）找出方程a 、b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x =3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值.试题解析：（1）∵a =1，b =2m ，c=m 2－1，∵Δ=b 2－4a c=（2m ）2－4×1×（m2－1）=4＞0，∴方程x 2+2m x +m2－1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2m x +m2－1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m 2－1=0， 2220x x a ++-=解得:m=－4或m=－2．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解.28.（2015·湖北省孝感市，第22题10分）已知关于x 的一元二次方程：0)3(2=---m x m x ．（1）试判断原方程根的情况；（4分）（2）若抛物线m x m x y ---=)3(2与x 轴交于)0 ()0 (21，，，x B x A 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． （友情提示：21x x AB -=）（6分）【答案】（1）原方程有两个不等实数根；（2）存在最小值，是【解析】试题分析：（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A 、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．试题解析：（1）Δ=[﹣（m ﹣3）]2﹣4（﹣m ）=m 2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8，∵（m ﹣1）2≥0，∴Δ=（m ﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=m ﹣3，x 1•x 2=﹣m ．∵AB=|x 1﹣x 2，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=（m ﹣3）2﹣4（﹣m ）=（m ﹣1）2+8，∴当m=1时，AB 2有最小值8，∴AB 有最小值，即点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．考点：抛物线与x 轴的交点；根的判别式．29.(2015山东青岛)关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】m ＞－ 【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式可得：当方程有两个不相等的实数根，则Δ=－4a c ＞0，从而得出m 的不等式，然后进行求解.试题解析：由题知，解得， 答：的取值范围是 考点：一元二次方程根的判别式. 30.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x 的方程k x 2+（2k+1）x +2=0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y =k x 2+（2k+1）x +2图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围；（3）已知抛物线y =k x 2+（2k+1）x +2恒过定点，求出定点坐标．【答案】（1）见解析；（2）实数a 的取值范围；（3）【解析】试题分析：（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式Δ≥0，方程总有实数根；（2）通过解k x 2+（2k+1）x +2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y =x 2+3x +2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到k x 2+（2k+1）x +2﹣y =0恒成立，由此列出关于x 、y 的方程组，通过解方程组求得该定点坐标． x 0322=-+m x x m 982b 9)(2432＞m -⨯⨯-=∆89-＞m m 89-＞m试题解析：（1）证明：①当k=0时，方程为x +2=0，所以x =﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵Δ=（2k+1）2﹣4k×2=（2k ﹣1）2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）试题解析：令y =0，则k x 2+（2k+1）x +2=0， 解关于x 的一元二次方程，得x 1=﹣2，x 2=1k-， ∵二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y =x 2+3x +2，．由图象得到：当y 1＞y 2时，a ＞1或a ＜﹣3．（3）依题意得k x 2+（2k+1）x +2﹣y =0恒成立，即k （x 2+2x ）+x ﹣y +2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．考点：抛物线与x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．31.（2015年江苏泰州8分）已知：关于的方程.x 01222=-++m mx x（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求的值.【答案】（1）方程有两个不相等的实数根.（2）-2或-4.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式的情况即可判断方程根的情况.（2）根据方程根的意义，将x =3代入关于x 的方程得到关于m 的一元二次方程，解之即可.试题解析：（1）∵Δ=(2m)2-4(m 2-1)=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）∵方程有一个根为3，∴9+6m+m 2-1=0，m 2+6m+8=0，即(m+2)(m+4)=0.解得m 1=-2，m 2=-4.考点：一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根；解一元二次方程.32.（2015•四川南充，第20题8分）（8分）已知关于x 的一元二次方程()()214x x p --=，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）p=0，2，－2.【解析】试题分析：（1）计算一元二次方程根的判别式，证明0D >即可证明方程有两个不相等的实数根.（2）根据方程有整数解得出p 的值.试题解析：（1）方程化简，得22540x x p -+-= ()()22544p D =---= 2940p +>∴方程有两个不相等的实数根． m（2）p的值为0,2，-2时，方程有整数解. 考点：一元二次方程根的判别式.。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式〖教材分析〗1、地位和作用本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。
利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。
由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。
最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。
一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
2、重点和难点本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖学生情况分析及应对策略〗学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。
教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。
教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
〖设计理念〗教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
〖教学准备〗教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学目标〗根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
根的判别式的应用课件
判别式的未来发展
随着数学和其他学科的发展，判别式的研究和应用将更 加深入和广泛，未来可能会发现更多判别式的应用场景 。
THANKS
感谢观看
1. 当 $\Delta > 0$ 时，函数图像与 x 轴有两个交点；
案例三：利用判别式绘制二次函数的图像
2. 当 $\Delta = 0$ 时，函 口方向，我们可以绘 制出函数的图像。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，函数图像与 x 轴 没有交点。
详细描述
如果一个二次方程的两个根相等，那么这两 个根就具有对称性。此外，如果一个二次方 程的两个根互为相反数，那么这两个根也具 有对称性。这种对称性可以用于解决一些数 学问题，例如找到函数图像的对称轴等。
根与函数的零点
总结词
函数的零点与二次方程的根具有密切关系， 通过观察函数的零点可以获得二次方程的信 息。
详细描述：对于一元 二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式 $\Delta = b^2 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，我们可以判断 方程实数根的个数
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不同 的实数根；
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相同 的实数根；
一元二次不等式的解法
总结词
利用判别式可以快速求解一元二次不等式，进而求出其整数解。
详细描述
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（a≠0），可以利用判别式将其转化为几个一次不等式组，从而求解其 整数解。
二次函数图像的绘制
总结词
通过判别式可以判断二次函数的图像是开口向上还是向下，以及与x轴有无交点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲判别式及其应用
一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．
1．判定方程根的情况
例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．
解因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以
△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，
即 m＜-1．
因为
△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，
所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．
例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程
(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0
的实数根的个数情况．
实根．当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式
△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，
说明对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．2．确定方程中系数的值或范围
例3 关于x的一元二次方程
有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．
解因为方程有实根，所以
即-a2-2a-1≥0．
因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．
当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以
a99+x99=(-1)99+199=0．
例4 若方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0
有实根，求a，b的值．
解因为方程有实根，所以它的判别式
△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，
化简后得
2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，
所以(a+2b)2+(a-1)2≤0，
说明在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程
2x2-12x+m=0
的两个根，求m的取值范围．
解设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由
△=122-4·2·m=144-8m≥0
并且不等式
25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，
3．求某些方程或方程组的解
例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．
解先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即
5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．
因为x是实数，所以判别式
△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0，
化简后整理得
y2+2y+1≤0，
即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得
5x2-10x+5=0，
故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．
说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．
(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为
4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，
从而x=1，y=-1．
例7 解方程组
解引入待定系数k，由k·①+②得
或写成
△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．
即
4．证明不等式，求最大值和最小值
用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．
是多少？
(x-3)2+(kx-3)2=6，
即(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，
将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以
△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，
即k2-6k+1≤0．①
解由于
所以 yx2+(y-2)x+y=0，
上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以
△=(y-2)2-4y2≥0，
即3y2+4y-4≤0，
(3y-2)(y+2)≤0．
当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=
例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式
-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，
证因为对任何实数t，有
-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，
9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，
当t=1时，便有
1≤ab+bc+ca≤1，
所以ab+bc+ca=1．
由于a+b=2-c，于是
ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，
于是a，b是一元二次方程
t2-(2-c)t+(c-1)2=0
的两个实数根．所以
△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，
即 3c2-4c≤0，
练习2
1．选择：
(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5，此方程根的情况是[ ]
(A)有两个不相等的实根
(B)有两个相等的实根
(C)没有实根
(D)由实数m的值而定
(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[ ]
(3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程
(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [ ]
(A)2个(B)1个
(C)0个(D)不确定
(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 [ ]
(A)1组(B)2组
(C)4组(D)无数组
(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ]
(A)△＞M (B)△=M
(C)△＜M (D)不确定
2．填空：
(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0
恰有一个实根，则a=____．
(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．
(3)当m=____时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0
有两个不等的实数根．
(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．
(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．
3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解．
4．解方程组
5．已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．
6．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v2≥2(u+v)．。